2024年中考数学复习讲义：一元一次不等式(组)及其应用

第08讲一元一次不等式（组）及其应用

目录

题型05一元一次不等式整数解问

一、考情分析

题

二、知识建构

题型06根据含参数不等式解集的

考点一不等式及不等式的基本性质

情况求参数的取值范围

题型01不等式的概念及意义

题型07与一元一次不等式有关的

题型02列不等式

新定义问题

题型03取值是否满足不等式

题型08含绝对值的一元一次不等

题型04利用不等式的性质判断式

式

子正负

题型09不等式与方程组综合求参

题型05根据点在数轴位置判断式

数的取值范围

子正负

考点三一元一次不等式组

题型06利用不等式的性质比较大

题型01一元一次不等式组定义

小

题型02解不等式组

题型07利用不等式的性质证明（不）

题型03求不等式组整数解

等式

题型04由不等式组整数解求字母

题型08利用不等式的性质确定参

取值范围

数的取值范围

题型05由不等式组的解集求参数

题型09不等式性质的应用

题型06与不等式组有关的新定义

考点二一元一次不等式

问题

题型01判断一元一次不等式

题型07根据程序图解不等式组

题型02根据一元一次不等式求参

题型08不等式组与方程的综合

数值

考点四不等式（组）的实际应用

题型03求一元一次不等式解集

题型oi利用一元一次不等式解决

题型04利用数轴表示一元一次不

实际问题

等式解集

题型02利用一元一次不等式组解

决实际问题

考点要求新课标要求命题预测

不等式及不等式的>结合具体问题，了解不等式的意义，探中考数学中，一元一次不等式（组）的

基本性质索不等式的基本性质解法及应用题时有考察.其中不等式性

一元一次不等式>能解数字系数的一元一次不等式，并能

质、解一元一次不等式（组），通常是以选

在数轴上表示出解集

择题或填空题的形式出现，难度不大.而不

一元一次不等式组>会用数轴确定两个一元一次不等式组成

等式（组）相关的应用题常会和其它考点

的不等式组的解集.

（如二元一次方程组、二次函数等）结合考

察，常以解答题形式出现，此时难度上升,

不等式（组）的实

需要小心应对.对于一元一次不等式（组）

际应用>能根据具体问题中的数量关系，列出一

元一次不等式，解决简单的问题.中含参数问题，难度偏大，但是考察几率

并不大，为避免丢分，学生应在复习过程

中扎实掌握.

不等式的定义：用不等

号”＞，，，£，，"＜，，，，M,，，¥，，表示不等关系的式

子，叫做不等式.

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

不

题型不等式的概念及意义

等不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个01

题型列不等式

式不等式的解集.02

题型03取值是否满足不等式

及

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示.题型04利用不等式的性质判断式子正负

不

题型05根据点在数轴位置判断式子正负

等解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.

题型06利用不等式的性质比较大小

式若a>b,贝［Ja±c>b±c题型07利用不等式的性质证明（不）等式

的题型08利用不等式的性质确定参数的取值范围

若a<b,则a士c<b±c

基★题型09不等式性质的应用

本若4>b,c>0,则（或且>2）

性cc

质

若心瓦cvO,则…（或段）（易错）

不等式的左右两边都是整式

特征只含有一个未知数题型01判断一元一次不等式

题型02根据一元一次不等式求参数值

元未知数的最高次数是

1题型03求一元一次不等式解集

一题型04利用数轴表示一元一次不等式解集

去分母不等式性质2、3题型05一元一次不等式整数解问题

次

去括号分配律去括号法则题型06根据含参数不等式解集的情况求参数的

不取值范围

步骤移项不等式性质1

等题型07与一元一次不等式有关的新定义问题

题型08含绝对值的一元一次不等式

式合并同类项合并同类项法则

题型09不等式与方程组综合求参数的取值范围

1系数化为1不等式性质2、3

组

}

概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,

及组成一元一次不等式组.

其

一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部

题型01一元一次不等式组定义

应

分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.题型02解不等式组

用

数轴法取公共部分题型03求不等式组整数解

题型04由不等式组整数解求字母取值范围

不等式组解集的确定有两种方法大大取大题型05由不等式组的解集求参数

小小取小题型06与不等式组有关的新定义问题

口诀法题型07根据程序图解不等式组

大小、小大中间找题型08不等式组与方程的综合

大大、小小取不了

解一元一次不等式组的一般步骤

题型01利用一元一次不等式解决实

•元一次不等式（组）的应用题的关键语句际问题

不等式（组）的实际应用用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤题型02利用一元一次不等式组解决

实际问题

考点一不等式及不等式的基本性质

■夯基-必备基础知识梳理

一、不等式的相关概念

不等式的定义：用不等号“>"、2"、“<”、"W”或“尹’表示不等关系的式子，叫做不等式.

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示.

不等式■示>>ax<«x^asCa

数“集示£"*二A-K1»

aoaa

解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.

二、不等式的性质

基本性质1若cob,则a±c>b±c

若a<b,则a±c<b±c

基本性质2若a>b,c>0,则ac>bc（或，>g）

基本性质3若a>b,c<0,贝！］ac<bc（或/<?）

易混易错

1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系.

2.常见的不等号有：r,>,2,<,4五种.

3.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点.

4.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：

1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值.

2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值.

3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解.

5.在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.

同时要根据关键词准确地选用不等号.另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际.

6.运用不等式的性质的注意事项：

1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算.

提升-必考题型归纳

题型01不等式的概念及意义

［例1］以下表达式：①4%+3yW0；②a>3；③/+孙；④。？+抑=02；⑤乂力5.其中不等式有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【提示】根据不等式的定义进行判断即可.

【详解】解：a+6、a>3.xK5是不等式，x2+xy和a?+及=02不是不等式，

即不等式有3个，故B正确.

故选：B.

【点拨】本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键.

【变式1-1］（2023湖里区模拟）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙>150毫克”，它的含

义是指（）

A.每100克内含钙150毫克

B.每100克内含钙不低于150毫克

C.每100克内含钙高于150毫克

D.每100克内含钙不超过150毫克

【答案】C

【提示】“>”就是大于，在本题中也就是“高于”的意思.

【详解】解：根据〉的含义，“每100克内含钙>150毫克”，就是“每100克内含钙高于150毫克”，

故选：C.

【点拨】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容.

题型02列不等式

【例2】（2020.河北统考模拟预测）下面列出的不等式中，正确的是（）

A.“租不是负数”表示为TH>0B.“TH不大于5”表示为TH<5

C.与4的差是正数”表示为九-4>0D.“几不等于4”表示为几>4

【答案】C

【提示】根据题意列出不等式即可判断.

【详解】A,初不是负数，

-，-m>0,A选项错误；

B.".'m不大于5,

.,.m<5,B选项错误；

C：•”与4的差是正数，

•,.n-4>0,C选项正确；

D./??不等于4,

''n<4或〃>4,D选项错误.

故选：C.

【点拨】本题考查了由题目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四个选项的正误是解题的关键.

【变式2-D2023•甘肃陇南•统考二模闫鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米若

用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，贝k满足的关系为（）

A.%<3500B.%<3500C.x>3500D.%>3500

【答案】D

【提示】根据题意列出不等式即可求解.

【详解】解：,.•乌鞘岭主主峰海拔超过3500米.

/.X>3500,

故选：D.

【点拨】本题考查了不等式的定义，理解题意是解题的关键.

【变式2-2]（2023南宁市模拟）”是非负数的表达式是（）

A.a>0B.|a|>0C.a<0D.a>0

【答案】D

【提示】非负数就是正数和零，即大于等于零的数是非负数判断即可.

【详解】•一是非负数,

:.a>0,

故选：D.

【点拨】本题考查了非负数，熟练掌握定义是解题的关键，易错点是忽略零而导致错误.

题型03取值是否满足不等式

[例3]（2023.河北保定.统考二模）在-或，-2,1,-3四个数中，满足不等式广-2的有（）

A.-2B.-3C.-V2D.1

【答案】B

【提示】根据各数的大小即可做出判断.

【详解】在一VX—2,1,—3四个数中，一/>—2,—2=—2,1>—2,—3<—2,

故满足不等式X<-2的有-3,

故选：B

【点拨】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题的关键.

【变式3-1]（2021・四川南充•统考中考真题）满足％<3的最大整数x是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【提示】逐项提示，求出满足题意的最大整数即可.

【详解】A选项，1<3,但不是满足比<3的最大整数，故该选项不符合题意，

B选项，2<3,但不是满足久<3的最大整数，故该选项不符合题意，

C选项，3=3,满足x<3的最大整数，故该选项符合题意，

D选项，4〉3,不满足x<3,故该选项不符合题意，

故选：c.

【点拨】本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解.

【变式3-2]（2023•广东东莞・东莞市厚街海月学校校考模拟预测）当久=4时，不等式成立的是（）

A.%+1<4B.-x>2C.2%+1<5D.3%-2>9

【答案】D

【提示】将％=4分别代入四个选项中，看不等式是否成立即可.

【详解】A选项：当久=4时，x+1=5>4,不符合题意；

B选项：当久=4时，（x=2,不符合题意；

C选项：当x=4时，2%+1=9>5,不符合题意；

D选项：当久=4时，3x-2=10>9,符合题意；

故选D.

【点拨】本题考查了代数式求值，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键.

方法技巧

要判断某个未知数的值是不是不等式的解可直接将该值代入不等式的左、右两边，看不等式是否成

W共成立皿1星差皿|木星

题型04利用不等式的性质判断式子正负

[例4]（2023•湖南长沙•长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考模拟预测）如果x<-3,那么下列不

等式成立的是（）

A.x2>-3xB.x2>-3xC.x2<-3%D.x2<—3x

【答案】A

【提示】根据不等式的性质判断即可.

【详解】解:因为久<-3,

所以久2>-3%（不等式的两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变）.

故选：A.

【点拨】本题考查不等式的基本性质:（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，

不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的

两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【变式4-1］（2023.湖南常德.统考模拟预测）已知a>b,则下列不等式变形不正确的是（）

A.CL-2>b—2B.—2a）—2bC.a+2>b+2D.

【答案】B

【提示】①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）

同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质进行提示即可.

【详解】解：A.a>6,不等式的性质1，。-2>b-2,故A正确，不符合题意；

B.a>b,不等式的性质3,-2a<-2b,故B错误，符合题意；

C.a>b,不等式的性质1,a+2>b+2,故C正确，不符合题意；

D.a>b,不等式的性质2,T>，故D正确，不符合题意；

故选：B.

【点拨】本题主要考查了不等式的性质，解题关键是要注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等

号的方向改变.

【变式4-2］（2023•浙江嘉兴统考二模）已知a,b,c,d是实数,S.a-b>c-d，下列说法一定正确的是（）

A.若b=d.,贝！］a>cB.若a=c，则

C.若b>d，则a>cD.若a〉c，则

【答案】A

【提示】根据不等式的性质，逐项提示判断即可求解.

【详解】解：A.若b=d,a-b>c-d,贝！］a>c,故该选项正确，符合题意；

B.若a=£?,61-6><?-£?,则6<6（,故该选项不正确，不符合题意；

C.若6>d,则a>c不一定成立，例如a-2,c-1,2>l;b=2,d=l,b>d,则a一b=c-d,故该选

项不正确，不符合题意；

D.同C选项，可得，若a>c,则6>d不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；

故选：A.

【点拨】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.不等式的性质：不等

式的基本性质1:不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本

性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式

的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【变式4-3]（2023•浙江杭州•杭州市丰潭中学校考三模）设》,y,c为实数，贝U（）

A.若x>y,贝！J%+3c>y—2cB.若%>y,贝!>yc

C.若1>y,贝he2>yc2D.若2>W,贝！R>y

【答案】D

【提示】根据不等式的性质进行运算辨别即可.

【详解】解：若x>y,%+5c>y不一定成立，即x+3c>y-2c不一定成立，

故选项A不符合题意；

若%>y,c=0时,xc=yc,

故选项B不符合题意；

若x>y,c=0时，贝！]xc2=yc2,

故选项C不符合题意；

若.>~i'则c?>0,故x>y,

故选项D符合题意.

故选：D.

【点拨】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质.

题型05根据点在数轴位置判断式子正负

[例5]（2023•黑龙江大庆•统考一模）实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是

（）

cb0a

A.—a—c>—b—cB.ac>beC.\a-b\=a—bD.a<—b<—c

【答案】C

【提示】借助数轴上实数的位置关系结合相反数和绝对值的知识点，判断大小，逐一验证.

【详解】解：A.由图知：a>6,那么-a<-b,-a-c<-b-c,故选项错误，不符合题意；

B.由图知：a>b,c<0,那么ac<cb,故选项错误，不符合题意；

C.由图知：a>b,那么a-6>0,|a-6|=a-6,故选项正确，符合题意；

D.由图知：|a|>闻，|a|>|c|,a>0,c<b<0,那么a>-c>-b,,故选项错误，不符合题意.

故选:C.

【点拨】本题考查了数轴，实数，绝对值，相反数的大小比较，注意符号的变化对数值的影响.

【变式5-1]（2023•上海徐汇・统考二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A.B对

应的实数分别是A6,下列结论一定成立的是（）

AB

------111------>>

a-0-------------b

A.a+6<0B.b—a<0C.-2a>—2bD.|a|>\b\

【答案】C

【提示】由数轴可得a<0<b,\a\<\b\,再结合有理数的加法与减法法则及不等式的性质，绝对值的含

义逐一提示即可.

【详解】解：-a<0<b,\a\<\b\,故D不符合题意;

-'-a+b>0,b-a>0，故A,B不符合题意；

,/a<b,

2a>-2b,故C符合题意；

故选c.

【点拨】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，有理数的加法与减法法则的应用，绝对值的含义，不等

式的性质，掌握基础知识是解本题的关键.

【变式5-2]（2022.江苏镇江.统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A.B

对应的实数分别是A.b,下列结论一定成立的是（）

a0b

A.a+6<0B.b—a<0C.2a>2bD.

【答案】D

【提示】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行

逐一判断即可得出结论.

【详解】解:由题意得：a<O<b,且|a|<\b\,

--a+b>0,/.A选项的结论不成立；

b-a>0,/.B选项的结论不成立；

2a<2b,:.C选项的结论不成立；

a+2<b+2,.'.D选项的结论成立.

故选：D.

【点拨】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出。，6的

取值范围是解题的关键.

【变式5-3]（2023.福建福州.福建省福州延安中学校考三模）如图所示，数轴上有。、A.B.C四点位置与各

点所表示的数，若数轴上有一点D,D点所表示的数为d,|d-5|=|d-c|,则。点的位置（）

AcB

IIII

-5c05

A.在A的左边B.在4C之间C.在CO之间D.在O、8之间

【答案】D

【提示】结合绝对值的几何意义进行求解即可.

【详解】解：由题意，点B表示的数为5，点C表示的数为c,

-D点所表示的数为d,且|d-5|=|d-c|,

二根据绝对值的几何意义得：D点到B点的距离等于D点到C点的距离，

二。点为BC的中点，则D点表示的数d=等，

由题意，—5<c<0,则。<<|,

••-0<d<］即。点的位置在0、B之间，

故选：D.

【点拨】本题考查绝对值的几何意义，以及不等式的性质等，理解并熟练运用绝对值的几何意义是解题关

键.

【变式5-4］（2023•河北石家庄•石家庄市第四十一中学校考模拟预测）m,〃在数轴上对应的点如图所示,

下列各式正确的是（）

-------1----------1--------1------------►

mn0

A.x<x—n<x—mB.x—n<x<x—m

C.x—m<x—n<xD.…_

【答案】A

【提示】数轴上右边点表示的数比左边点表示的数大，运用不等式的基本性质求解.

【详解】如图，6<71<。

/.0<—n<—m

.,.x<x—n<x—m

故选A.

【点拨】本题考查利用数轴比较实数的大小、不等式的基本性质；注意不等式两边同乘一个负数，不等号

反向.

题型06利用不等式的性质比较大小

［例6］（2022•浙江丽水・统考一模）数m,m+1,-m-2（m>0）的大小顺序是（）

A.—m—2<m<m+lB.—m—2<m+l<m

C.m<m+1<—m—2D.m<—m—2<m+1

【答案】A

【提示】根据m>0,判断出其余各数的大小关系.

【详解】m>0

・•・—m<0

••・—m—2<—2

•••m+1>m

故选：A.

【点拨】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键在于通过小>0,判断出各个数的范围大小.

【变式6-1](2022.浙江杭州.统考一模)已知M=x2-2x+4,N=x2-4x+4,请比较M和N的大小.

以下是小明的解答：

-：M=(%-I)2+3>3,Af=(%-2)2>0,

：.M>N.

小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答.

【答案】有错；久>0时，M>N；x=0时，M=N；尤<0时，M<N；

【提示】先求出加与N的差，根据不等式的性质对M与N的差进行分类讨论即可求解.

【详解】解：有错，正确解答如下.

'.'M=%2-2%+4,=%2-4%+4,

.'.M—N=%2—2%+4—(x2—4x+4)=2万.

.•.当尤>0时，2x>0,即M—N>0,此时M>N；当x=0时，2x=0,即M—N=0,此时M=N；当x<0时，

2x<0,即M-N<0,此时M<N.

.-.X>0时，M>N；x=0时，M=N；x<0时，M<N.

【点拨】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键.

40.(2021.江苏南京.南师附中树人学校校考一模)阅读：

(1)若。<6,则2a-3<26-3,简述理由:

小明的解法：,.Z<b,

••-2a<2/7,(不等式性质2:),

-'-2a-3<2Z;-3,(不等式性质1).

小亮的解法：令y=2x-3,

'.'k=2>0,

随x的增大而增大.

.,a<b,

：2a■3<2Z?■3.

小敏的解法：

■-a<b,观察函数y=2x-3的图象可知，图象上点(a,2a-3)在点(b,26-3)的左边，而图象由左往

右呈上升趋势，

:2a-3<2Z?-3.

(2)若a<6<0,请用两种不同的方法比较-:与-捐勺大小.

(3)若。<6<0,比较(a+2)2+1与(b+2)2+1的大小，简述理由.

(4)若a<6<0,且W-2,厚-2,直接写出-”与-怒的大小关系.

【答案】(1)不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；(2)见解析，-2<：；(3)见解析；(4)

ab

2a+l2匕+1、［/c,八2a+l2匕+1

当-2<a<Z?<0和4<。<-2时,一罚"百；当“<-2<八0时，-

【提示】(1)根据不等式的性质回答即可；

(2)方法一：利用作差法比较；方法二：利用反比例函数的性质比较；

(3)利用二次函数的性质比较；

(4)利用作差法比较即可.

【详解】解：(1)不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；

/c、-14—、+12,2、2222_2a2b

(2)方法1：—展_(_/=_/+3=3

aabab

2-)

ab

'.'a<b<0,

.,.ab>0,a-b<0,

「.2(〃-Z?)<0,

■,^-^1<0

方法2:令y=-£

'.'k=-2<0,

二在第二象限内，y随x的增大而增大.

'.'a<Z?<0,

;

ab

(3)令广。+2)2+1,则该二次函数图象的对称轴是x=-2且开口向上.

二当x<-2时，y随着A-的增大而减小；当x>-2时，y随着x增大而增大.

'.'a<b<0t

.,.当a<b<-2时，3+2>+1>3+2产+1;

当-2<〃<b<0时，3+2>+1<(Z?+2)2+l；

当a<-2<b<0且|。+2|<族+2|时，(〃+2)?+1<(Z?+2)2+l.

3(b—a)

2(a+2)(匕+2)

'：a<b<0,

.b-a>0,

当-2<a<Z?<0时，..,〃+2>0,Z?+2>0，.二----->-----；

口，，'2a+42匕+4，

当a<-2<时，•.,〃+2<0，/?+2>0,-——<-;

b<02a+42。+4

、［/,-_Lc八1r\2(1+12匕+1

当a<6<-2n时,'.'o+2<0,Z?+2<0,----->-----；

2a+42b+4

综上可知，当-2<a<b<0和a<6<-2时，-猊*装；当.<一2<b<0时，一篇一瑞.

【点拨】本题考查了不等式的性质，分式的加减，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，二

次函数的图象与性质，作差法比较代数式的大小，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握函数的图象与性质

是解答本题的关键.

方法技巧

根据不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断.如果两个数或

式子分别为机和〃，若m-n>Q,贝！]m>n；若m-n=O,贝！|；若m-n<Q,贝!]m<n.

题型07利用不等式的性质证明(不)等式

【例7】(2022•江苏南京.南师附中树人学校校考二模服据不等式的性质若％-y>0,则乂>y若x-y<0,

则％<y.利用上述方法证明：若践<0,则蜉>三|.

【答案】见解析

【提示】先求出I-兰=7一，根据”0，得出n-1<0，从而得出"5-1)>0,即7一>0,从

TL71—1?1Q71—1)1)

而证明结论.

【详解】证明：匚-F

Tlit—1

(n—I)2—n(n—2)

n(n—1)

1

n(n—1)

.n<0,

•-72—1<0,

:.n(jt—1)>0,

.n-ln-2

,•-->---.

nn-l

【点拨】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则.

【变式7-1](2019上•江西赣州•九年级校考期中)学以致用：问题1:怎样用长为12cm的铁丝围成一个面

积最大的矩形？

小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cM的正方形时面积最大为9cm2.请用你

所学的二次函数的知识解释原因.

思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为97n2且周长最小的矩形?

小明猜测：围成正方形时周长最小.

为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：

结论：在a+6》2Vab(axb均为正实数)中，若为定值p,则a+b>25,当且仅当a=b时，a+b有

最小值2四.

a+b》2而(a,b均为正实数)的证明过程：

对于任意正实数a、b,(Va-迎)2>0,.,.a-2y/ab+b》0,

a+b>,当且仅当a=。时，等号成立.

解决问题：

(1)若久>0,贝次+:>—(当且仅当x=—时取“=”)；

(2)运用上述结论证明小明对问题2的猜测；

(3)当x>-1时，求y=詈的最小值.

【答案】(1)4,2；(2)见解析；(3)2

【提示】(1)根据题意，由a+b》24ab,当且仅当a=b时，等号成立；即可解决问题；

(2)设矩形的长、宽分别为x、y,由题意得xy=9,再根据公式证明当x=y时，x+y有最小值，进而得结

论；

(3)把丫=詈转化为y=X+1+±-2的形式,再根据公式进行解答便可.

【详解】解：(1)•.•x>0,

X>0,

:当％=:时，即％=2时，

-》2新!，即尤+5》4；

故答案为4；2.

(2)设矩形的长、宽分别为符”、ym,由题意得盯=9,贝！］

x+y》2yfxy，即x+y》6,

当x-y=3时,x+y取最小值为6,

此时矩形的周长最小为：2(%+y)=12；

•••尤=y时，矩形变为正方形，

二铁丝围一个面积为9n?且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小；

/xX2+3(X+1—1)2+3(x+l)2—2(x4-1)+4..40

Jx+1x+1x+1x+1

X>—1,

4

.•.x+l>0,—>0,

y>2](x+1)•六—2,即y>2,

:当x+1=9•时，即比=1时，

y取最小值为：2.

【点拨】本题是一个阅读材料题，主要考查了完全平方公式的应用，不等式的性质，二次函数的应用，关

键是读懂题意，弄清解答的理论依据，学会对新知识进行拓展应用，难度较大，第(3)题关键是把求出

函数表达式转化为两个恰当的正实数的和形式，才能应用公式.

【变式7-2](2022.山东日照.日照市新营中学校考二模)2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园3

世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图(如图1),该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方形的

面积大于4个直角三角形的面积之和…

设直角三角形的边长为a,b,则S正方形>4SRTA,(a2+b2)>4Qab^,即a?+b2>2ab；

当a=匕时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即a?+匕2=

4Qab^=2ab,

综上所述，a?+炉22ab,当且仅当a=匕时等号成立.

使用上述结论，“02+炉22ab,当且仅当a=b时等号成立”解决下列问题：

⑴证明：“若a,6为正实数，贝必+622<ab.当且仅当a=b时等号成立”.

（2）a/均为实数，若ab为定值4,则a+b有最小值________；若。+6为定值6，则ab有最大值__________.

⑶请结合函数图象（图2）研究y=%+［中函数值y的取值范围.

（4攻口图3，已知尸是反比例函数y=>0）图象上任意一动点,0（0,0）,4（一1,a）,其中。是常数,a>0,

试求SAP%的最小面积（用a表示）.

【答案】（1）见解析

⑵当a>0,b>0时,a+6的最小值为4,当a<0,b<0时，a+。没有最小值；9

（3）y>2或y<-2

⑷

【提示】（1）利用a?+22ab,当且仅当a=b时等号成立进行求解即可；

（2）利用（1）中的结论求解即可；

（3）分当%>0时，%+匕2口，当x<0时，（r）+222/（-*）•六,两种情况讨论求解即可；

%7%（-%）7（一%）

（4）如图所示,过点P作轴于C,过点A作A3_Lx轴于B,设点P的坐标为［,|）,则点C的

坐标为（x,。），点8坐标为（-1,。），然后根据SAPOA=S燧#”口“—SAAOB一5心”建立关系式，再由（1）

中结论求解即可.

【详解】（1）解：*2+6222ab,当且仅当a=b时等号成立,

」.（6）+（VF）>2y/~ab,

「.a+b>当且仅当返=VF即a=b时等号成立

（2）解：若仍为定值4时，

当a>0,b>。时，<a+b>2Vab,ab=4,

--Ct+bN4,

此时a+b的最小值为4,

当a<0zbV。时，「（一a）+（—b）>2J（—a）（—b）,

一（a+b）之4,

「.a+b4一4t

,此时a+6没有最小值；

若a+b为定值6,则a"不可能都小于0,因此要使aM直最大，只需要讨论当a、b都是正数的情况即可,

当当a>0,b>0时，:a+&>2Vab,a+b=6,

/.2Va&<6,

.'.ab<9,

一•ab的最大值为9；

(3)解：当%>。时tx+->2lx--,即％+->27

X\X