2024年中考数学试题分类汇编：等腰三角形与直角三角形（28题）含答案及解析

专题19等腰三角形与直角三角形（28题）

一、单选题

1.（2024・广东广州•中考真题）如图，在中，ZA=90°,AB=AC=6,。为边的中点，点E,F

分别在边A3,AC上，AE=CF,则四边形AED尸的面积为（）

A.18B.9A/2C.9D.672

2.(2024・青海•中考真题)如图，在Rt^ABC中，。是AC的中点，ZSDC=60°,AC=6,则BC的长是

()

A.3B.6C.73D.373

3.（2024・四川广元・中考真题）如图，将AABC绕点A顺时针旋转90。得到VADE,点8,C的对应点分别为

点，E,连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则AD的长为（）

4.（2024.内蒙古包头.中考真题）如图，在扇形A08中，ZAOS=80°,半径Q4=3,C是抽上一点，连接

OC,。是OC上一点，且OD=OC,连接BO.若3DL0C,则AC的长为（）

,兀e兀c兀c

A.-B.-C.-D.兀

632

5.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片ABC。，AD=12cm,CD=10cm,他进

行了如下操作：

第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与3C重合，得到折痕MN,将纸片展平.

第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到AD交折痕于点E,则线段EN

的长为（）

24248

6.（2024・福建・中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中AOLB与

△0DC都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,尸分别是底边AB,CD的中点，OE1OF.下列

推断错误的是（）

A.OBLODB.NB0C=ZA0B

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

7.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程/-10*+21=0的两个根，则这个三角形的

周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

8.（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）如图，在”WC中，ZC=90°,ZB=30°,以点A为圆心，适当长为半

径画弧分别交AB,AC于点”和点N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点尸,

连接AP并延长交BC于点£>.若AACD的面积为8,则△ARD的面积是（）

9.（2024・安徽・中考真题）如图，在Rt^ABC中，AC=3C=2,点。在的延长线上，且CD=AB,贝U

的长是（）

A.V10-V2B.底-立C.272-2D.2®-卡

10.（2024・四川自贡・中考真题）如图，等边AABC钢架的立柱CDLAB于点。，AB长12m.现将钢架立柱

缩短成DE,ZB£D=60°.则新钢架减少用钢（）

A.（24-12V3）mB.仅4-86）mC.（24-6石）mD.（24-46）m

11.（2024.天津•中考真题）如图，“1SC中，NB=30。，将“BC绕点C顺时针旋转60。得到ADEC,点A,B

的对应点分别为D,E,延长血交。E于点下，下列结论一定正确的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

二、填空题

12.（2024•浙江•中考真题）如图，D,E分别是AABC边AB,AC的中点，连接BE,DE.若

ZAED=ZBEC,DE=2,则BE的长为

13.（2024・四川成都・中考真题）如图，在平面直角坐标系宜刀中，已知A（3,0）,B（0,2）,过点8作>轴的

垂线/,P为直线/上一动点，连接尸O,PA,则PO+PA的最小值为.

14.（2024・天津・中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上.

（2）点E在水平网格线上，过点A,E,尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE,•的

延长线相交于点3,C,AABC中，点M在边3C上，点N在边上，点尸在边AC上.请用不刻廖的直

尺，在如图所示的网格中，画出点N,P,使△MVP的周长最短，并简要说明点N,P的位置

是如何找到的（不要求证明）.

15.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图，等腰AABC中，AB=AC=2,ABAC=120°,将AABC沿其底边中

线AD向下平移，使A的对应点A满足44'=：AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是.

16.（2024.黑龙江牡丹江.中考真题）矩形ABCD的面积是90,对角线AG如交于点。，点E是BC边的

三等分点，连接OE,点P是DE的中点，OP=3,连接CP,则PC+PE的值为.

17.（2024•山东・中考真题）如图，已知上M4N,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与40、AN相

交于点C；分别以C为圆心，以大于18C的长为半径作弧，两弧在NWN内部相交于点尸，作射

线AP.分别以A,3为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D,E,作直线OE分别与48,

2

AP相交于点F，Q.若AB=4,NPQE=&75°,则下到4V的距离为.

18.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点尸在边BC上，连接"，

将AABP沿AP所在的直线折叠，点8的对应点为夕，把纸片展平，连接班'，CB',当VBCB'为直角三角

形时，线段CP的长为.

19.（2024・四川内江•中考真题）如图，在AABC中，ZABC=60°,BC=8,E是BC边上一点,且BE=2,

点/是AABC的内心，3/的延长线交AC于点£>,尸是上一动点，连接PE、PC,则PE+PC的最小值

为.

20.（2024・四川广元・中考真题）如图，在中，AB=5,tanNC=2,则AC+好5C的最大值为

5

C

AB

三、解答题

21.（2024•陕西・中考真题）如图，已知直线/和/外一点A,请用尺规作图法，求作一个等腰直角,

使得顶点8和顶点C都在直线/上.（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）

A

22.（2024.黑龙江牡丹江•中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在Rt^ABC中,

ZAC8=90°,ZBAC=30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,过点E作

EF//BC,交直线于点尺

（1）当点。在线段上时，如图①，求证：BD+EF=AB;

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=AE构造全等三角形，便尝试着在A3上截取=£F,

连接。通过证明两个三角形全等，最终证出结论:

推理证明：写出图①的证明过程:

探究问题:

（2）当点。在线段8C的延长线上时，如图②：当点。在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接

写出线段EF,4B之间的数量关系;

拓展思考:

(3)在(1)(2)的条件下，若AC=6jLCD=2BD,贝i」EF=

23.（2024•江西・中考真题）追本溯源：

题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.

AAED

图2

8D平分/ABC,交AC于点。，过点。作3C的平行线，交于点E,请判

断△瓦汨的形状，并说明理由.

方法应用:

（2）如图2,在YABCD中，BE平分/ABC,交边A。于点E,过点A作小_LBE交0c的延长线于点尸,

交3C于点G.

①图中一定是等腰三角形的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

②已知AB=3,BC=5,求CV的长.

24.（2024・山东威海・中考真题）感悟

如图1,在AABE中，点C,D在边BE上,AB=AE,BC=DE.求证：ZBAC^ZEAD.

（1）如图2,用直尺和圆规在直线2C上取点。，点E（点。在点E的左侧），使得ZEAD=NBAC,且DE=3C

（不写作法，保留作图痕迹）;

图2

（2）如图3,用直尺和圆规在直线AC上取一点。，在直线BC上取一点E,使得NCDE=NR4C,且=M

（不写作法，保留作图痕迹）.

A

BC

25.(2024.黑龙江大兴安岭地•中考真题)已知AABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=-ZBAC,/MAN

2

在NBAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段NC、之间的数量关系.

M-CB

(1)如图①，当/BAC=90。时，探究如下：

由ABAC=90°,AB^AC可知，将AACW绕点A顺时针旋转90°,得到^ABP，则。V="且ZPBM=90°,

连接PM,易证△AMP四△AAW,可得"P=M7V,在RtZXPBN中，BM2+BP2=MP2^则有

BM2+NC2^MN2.

(2)当Zfi4c=60。时，如图②：当NBAC=120。时，如图③，分别写出线段9公NC、之间的数量关

系，并选择图②或图③进行证明.

26.(2024•北京・中考真题)已知NM4N=a((F<a<45。)，点8,C分别在射线AN,AM1.,将线段2C绕

点8顺时针旋转180。-2。得到线段8£>,过点£>作AN的垂线交射线AM于点E.

BDNAB

图1图2

⑴如图1,当点。在射线AN上时，求证：C是AE的中点；

(2)如图2,当点。在/M4N内部时，悍DF〃AN,交射线AW于点尸，用等式表示线段E/与AC的数量

关系，并证明。

27.（2024・湖北武汉•中考真题）如图是由小正方形组成的3x4网格，每个小正方形的顶点叫做格点.AABC

三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

⑴在图（1）中，画射线AD交3C于点。，使AD平分AABC的面积；

⑵在（1）的基础上，在射线AD上画点E,使NECB=ZACB；

（3）在图（2）中，先画点F,使点A绕点/顺时针旋转90。到点C,再画射线"交3c于点G；

⑷在（3）的基础上，将线段绕点G旋转180。，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）.

28.（2024・吉林•中考真题）如图，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3cm,AO是"IBC的角平分

线.动点P从点A出发，以gem/s的速度沿折线AD-向终点8运动.过点尸作尸。〃48,交AC于点

Q,以PQ为边作等边三角形尸QE,且点C,E在PQ同侧，设点尸的运动时间为*s）«>0）,YPQE与必BC

重合部分图形的面积为Men?）.

（1）当点尸在线段AO上运动时，判断△AP。的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含f的代数式表

示）.

⑵当点E与点C重合时，求f的值.

（3）求S关于r的函数解析式，并写出自变量f的取值范围.

专题19等腰三角形与直角三角形（28题）

一、单选题

1.（2024・广东广州•中考真题）如图，在中，ZA=90°,AB=AC=6,。为边的中点，点E,F

分别在边A3,AC上，AE=CF,则四边形AED尸的面积为（）

A.18B.9A/2C.9D.672

【答案】C

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是

解题关键.连接AD,根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出V4组出VCD广，将四边形万的面

积转化为三角形ADC的面积再进行求解.

【详解】解：连接AD,如图:

VABAC=90°,AB=AC=6,点。是3C中点，AE=CF

：.ZBAD=ZB=ZC=45°,AD=BD=DC

：.7ADE却CDF,

,,S四边形的加==^AADC=]

又

S△/AlFojcC=6x6x—2=18

,,S四边形AEZM=2SLABC=9

故选：C

2.（2024.青海・中考真题）如图，在中，。是AC的中点，ZBDC=60°,AC=6,则5c的长是

）

A.3B.6C.V3D.3A/3

【答案】A

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质.根据直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到△即C等边三角形，据此求解即可.

【详解】解：,••在Rt^ABC中，ZABC=90°,。是AC的中点,

BD=-AC=CD,

2

ZBDC=60°,

ABDC等边三角形,

/.BC=CD=-AC=-x6=3.

22

故选：A.

3.（2024・四川广元・中考真题）如图，将AABC绕点A顺时针旋转90。得到VADE,点8,C的对应点分别为

点、D,E,连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则4）的长为（）

B.而C.2D.20

【答案】A

【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=AE,ZCAE=90°,

DE=BC=1,推出"CE是等腰直角三角形，CE=4,过点A作AHLCE于点”，得到EE>=1,利用勾股

定理求出AD的长.

【详解】解：由旋转得△ABC/ZC4E=90°,

AC=AE,NC4E=90°,DE=BC=1,

..."小是等腰直角三角形,CE=CD+DE=3+1=4,

过点A作于点H,

E

D

BA

・・・AH=-CE=CH=HE=2,

2

HD=HE-DE=2-1=1,

・，・AD7AH〜血=五+,=5

故选：A.

4.（2024.内蒙古包头.中考真题）如图，在扇形中，NAO3=80。，半径。4=3,C是A8上一点，连接

OC,D是OC上一点，S.OD=DC,连接20.若3OJ_OC,则AC的长为（）

7D.兀

【答案】B

【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接3C,根据OD=DC,

BD1OC,易证△03C是等腰三角形，再根据O3=OC,推出△08C是等边三角形，得到N30c=60。,

即可求出/AOC=20。，再根据弧长公式计算即可.

【详解】解：连接BC,

OD=DC,BD1OC,

OB=BC,

△O3C是等腰三角形,

OB=OC,

OB=OC=BC,

△OBC是等边三角形,

ZBOC=60°,

..ZAOB=80°,

，ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

Q4=3,

20x37171

AC=--------=—

1803

故选：B.

5.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片ABC。，AD=12cm,CD=10cm,他进

行了如下操作:

第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与3C重合，得到折痕MN,将纸片展平.

第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△AZJN沿AN折叠得到AD交折痕于点E,则线段EN

的长为（）

图①

16955

A.8cmB.——cmC.——cmD.——cm

24248

【答案】B

【分析】本题考查了矩形与折叠问题,熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键.

根据矩形的性质和折叠的性质推出N/WM=ND/N,进而得出£A=4V,设石4=4V=xcm,则

EM=(12-x)cm,根据勾股定理可得：AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.

【详解】解：：四边形ABC。是矩形，

AB=CD=10cm,

由折叠可得：AM=-AB=5cm,AD=ADr=12cmMN1AB,ZDAN=ZDrAN,

29

・•・四边形AMV。是矩形，

.\MN\\AD,MN=AD=12cm,

：.ZDAN=ZANM,

：.ZANM=AD'AN,

:・EA=EN,

^EA=EN=xcm,则£M=(12-x)cm,

在RtZXAME中，根据勾股定理可得：AM2+ME2=AE2>

即52+（12-X）2=X2,

解得：x=警，

24

口口

即EfNr=-1-6-9-cm,

24

故选：B.

6.（2024・福建・中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中AOLB与

△0DC都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,尸分别是底边AB,8的中点，OEVOF.下列

推断错误的是（）

A.OBYODB.NB0C=ZA0B

C.OE=OFD.ZB<9C+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得NAO3=〃OC,由等腰三角形的性质得/BOE=g/AOB,ZDOF=^-ZDOC,即可

判断；

B./3OC不一定等于NAO3,即可判断；

C.由对称的性质得QNB9QDC、由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GWJ_O",可得ZGOD=ZBOH,由对称性质得=同理可证=,

即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A.vOELOF,

:.ZBOE+ZBOF=90°,

由对称得ZAOB=ZDOC,

•・•点E,尸分别是底边AB,。的中点，与AODC都是等腰三角形，

ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:.NBOF+NDOF=9Q°,

:.OB±OD,结论正确，故不符合题意；

B./3OC不一定等于/AC®,结论错误，故符合题意;

C.由对称得△。钻丝AOJDC,

；点、E,尸分别是底边AB,CD的中点，

:.OE=OF,结论正确，故不符合题意；

H

过。作

NGOD+NDOH=90°,

•.•/BOH+/DOH=90°,

Z.GOD=NBOH,由对称得ZBOH=NCOH,

:.NGOD=NCOH,

同理可证ZAOM=NBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,结论正确，故不符合题意；

故选：B.

7.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程X2_I（）X+21=0的两个根，则这个三角形的

周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得%=3,

%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程X?-10x+21=0得，々=3,x2=7,

V3+3<7,

...等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

8.（2024-内蒙古呼伦贝尔•中考真题）如图，在445c中，ZC=90°,=30°,以点A为圆心，适当长为半

径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点M,N为圆心，大于;的长为半径画弧，两弧交于点P,

连接AP并延长交2C于点。.若AACD的面积为8,则的面积是（）

【答案】B

【分析】本题考查了尺规作图，含30。的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AD平

分NBAD,则可求NC4D=/ZMB=30。，利用含30。的直角三角形的性质得出CD,利用等角对等

2

边得出=进而得出=然后利用面积公式即可求解.

2

【详解】解;VZC=90°,ZB=30°,

ZCAB=60°,

由作图知：AD平分—BAD,

，ZCAD=ZDAB=3Q°,

：.CD=-AD,ZB=ZBAD,

2

:.AD=BD,

：.CD=-BD,

2

Q—CD,AC[

...S.D=2=CD=1

BD2

S、ABD-BDAC

2

又AACD的面积为8,

，△ABD的面积是2x8=16,

故选B.

9.（2024・安徽•中考真题）如图，在RtA4BC中，AC=3C=2,点。在AB的延长线上，S.CD=AB,则BO

ABD

A.710-72B.瓜-立c.2V2-2D.26■-底

【答案】B

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点。作DELCB的延长

线于点E,则/3即=90。，由/ACB=90。，AC=BC=2,可得A3=2忘，NA=/ABC=45。，进而得到

CD=142,ZDBE=45°,即得△BDE为等腰直角三角形，得到DE=3E,设DE=BE=x,由勾股定理得

（2+尤）2+/=（2应/，求出X即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过点。作DE，CB的延长线于点E,则/肛>=90。，

VZACB=90°,AC=BC=2,

••・48=亚点=2夜，ZA=ZABC=45。，

CD=2^2,ZDBE=45°,

；•△3QE为等腰直角三角形，

/.DE=BE,

设DE=BE=x,贝l]CE=2+x,

在RtACDE中，CE2+DE2=CD2,

/.（2+尤『+/=（2可，

解得占=0-1，x2=-\/3-1（舍去），

DE=BE=y[3-\,

BD=J（A/3-1）2+（V3-1）2=娓-垃，

故选：B.

10.（2024・四川自贡・中考真题）如图，等边“LBC钢架的立柱8，至于点。，A3长12m.现将钢架立柱

缩短成£>E,ZBEE>=60°.则新钢架减少用钢（）

A.（24-126）mB.仅4-86）mC.（24-6V3）mD.（24-4班）m

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用.利用三角函数的定义分别求得=26,

BE=4^=AE,CD=6y5,禾U用新钢架减少用钢=AC+3C+CD-AE—BE—OE,代入数据计算即可求

解.

【详解】解：：等边AABC,CD_LAB于点，48长12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

•；NBED=60°,

：.tan60°=—=^,

DE

DE=24，

BE=^DE2+BD2=4A/3=AE，

ZCBD=60°,

CD=BDtanZCBD=#>BD=6/m,BC=AC=AB=12m,

.•.新钢架减少用钢=AC+3C+CD-AE-BE■-DE

=24+6月-8百-26=（24-4@m,

故选：D.

H.（2024.天津.中考真题）如图，AABC中，ZB=30,将URC绕点C顺时针旋转60。得到△JDEC,点A，8

的对应点分别为D,E,延长血交DE于点尸，下列结论一定正确的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BFLCE

【答案】D

【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.先根据旋转性质得NBCE=NACD=60。，结合48=30。，即可得证族_LCE,再根

据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC〃小不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算

得出A和C选项是错误的.

【详解】解：记母■与CE相交于一点打，如图所示：

•/AABC中,将AABC绕点C顺时针旋转60。得到ADEC,

：.ZBCE=ZACD=60°

:ZB=30°

...在中，ZBHC=180°-ZBCE-ZB=90°

BF±CE

故D选项是正确的，符合题意；

设NAC"=x。

ZACB=60°-x°,

:ZB=30°

/.ZEDC=ABAC=180°-30°-（60。-x。）=90°+x°

NEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+x°

x。不一定等于30。

.../EDC+/ACD不一定等于180。

AC〃上不一定成立，

故B选项不正确，不符合题意；

VZACB60°-x°,ZACD^60°,廿不一定等于0。

NACB=/4CD不一定成立，

故A选项不正确，不符合题意；

:将AABC绕点、C顺时针旋转60°得到ADEC,

，AB=ED=EF+FD

:.BA>EF

故C选项不正确，不符合题意;

故选：D

二、填空题

12.（2024.浙江・中考真题）如图，D,£分别是“RC边AB,AC的中点，连接BE,DE.若

ZAED=NBEC,DE=2,则班的长为

【答案】4

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得

DE〃BC,3c=2OE=4,得出/C=ZAED=NBEC,得出BE=8C=4

【详解】解：：。，E分别是AABC边AB,AC的中点，

，DE是AABC的中位线，

DE〃BC,BC=2DE=4,

：.ZAED=ZC,

•：NAED=NBEC,

：.NC=/BEC,

：.BE=BC=4,

故答案为：4

13.（2024・四川成都・中考真题）如图，在平面直角坐标系xQy中，已知A（3,0）,B（0,2）,过点8作>轴的

垂线/,P为直线/上一动点，连接尸O,PA,则PO+PA的最小值为

【答案】5

【分析】本题考查轴对称一最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点A关于直线/的对称点H,

连A0交直线/于点C,连AC,得到AC=AC,A'Arl,再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，

得到当。,尸,A三点共线时，P0+R4的最小值为A0,再利用勾股定理求A0即可.

【详解】解：取点A关于直线/的对称点4,连A0交直线/于点C,连AC,

则可知AC=4C,A'A±l,

：.PO+PA^PO+PA>AO,

即当O,P,A'三点共线时，PO+PA的最小值为AO,

:直线/垂直于y轴，

AA_Lx轴，

：A(3,0),5(0,2),

AO=3,AA'=4,

...在RtAA'AO中，

AO=7(9A2+A4,2=J32+42=5，

故答案为：5

14.(2024・天津•中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上.

(1)线段AG的长为；

(2)点E在水平网格线上，过点A,E,尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE,"的

延长线相交于点B,C,AABC中，点/在边BC上，点N在边AB上，点尸在边AC上.请用不刻度的直

尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,P,使△MVP的周长最短，并简要说明点N,P的位置

是如何找到的(不要求证明).

【答案】0图见解析，说明见解析

【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作点M关于A3、AC的对称点连接跖孙、,分别与AB、AC相交于点E、P,AWP

的周长等于Mi"?的长，等腰三角形的腰长为川江，当AM的值最小时，的值最小，此时M是

切点，由此作图即可.

【详解】(1)由勾股定理可知，AG="7F=0，

故答案为：A/2

(2)如图，根据题意，切点为M；连接腔并延长，与网格线相交于点Mi；取圆与网格线的交点。和格

点、H,连接。口并延长，与网格线相交于点加2；连接M|M2,分别与AB,AC相交于点N,P,则点

15.(2024•甘肃临夏・中考真题)如图，等腰AABC中，AB=AC^2,ZBAC=120°,将AABC沿其底边中

线AO向下平移，使A的对应点4满足则平移前后两三角形重叠部分的面积是.

【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一,根据平移的性质，推出AA'EFSAAB'C',

根据对应边上的中线比等于相似比，求出E尸的长，三线合一求出AO的长，利用面积公式进行求解即可.

【详解】解：••,等腰AASC中，AS=AC=2,NR4c=120。，

ZABC=30°,

,/AO为中线,

/.ADIBC,BD=CD,

•'*AD=—AB=1,BD=y/iAD=A/3,

/.BC=2^3,

,/将AABC沿其底边中线AD向下平移，

B'C//BC,B'C=BC=2>/3,AG=AD=1,

AAEF^AB'C,

.EFA'D

B'C~A/G)

AA'=-AD,

3

972

DA1=-AD=-AG=-,

333

.EFA'D2

,*B'C~^G~3)

故答案为：手.

16.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点O,点E是2C边的

三等分点，连接DE,点尸是DE的中点，OP=3,连接CP,则PC+PE的值为.

【答案】13或比而

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理.当CB>比时，利用三角形中位线定理

求得CE=12,再求得矩形的边长，利用勾股定理求得DE的长，再根据斜边中线的性质即可求解；当CE<BE

时，同理求解即可.

【详解】解：当时，如图，

BEC

:矩形ABC。，

.••点。是BD的中点，

:点P是OE的中点，

ABE=2OP=6,CP=PE=PD,

:点E是3C边的三等分点，

ACE=2BE=\2,BC=3BE=18,

:矩形A8c。的面积是90,

BCxCD=90,

：.CD=5,

-'-DE=A/52+122=13>

：.PC+PE=DE=13；

当时，如图，

:矩形ABC。，

.,.点。是的中点，

:点P是OE的中点，

：.BE=2OP=6,CP=PE=PD,

:点E是BC边的三等分点，

/.CE=-BE=3,3c=3+6=9,

2

:矩形A8CO的面积是90,

BCxCD=90,

：.CD=iO,

，PC+PE=DE=y/l09;

故答案为：13或而？.

17.（2024•山东・中考真题）如图，已知NM4N,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相

交于点3,C；分别以8,C为圆心，以大于［BC的长为半径作弧，两弧在NM4N内部相交于点P,作射

线AP.分别以A,3为圆心，以大于［AB的长为半径作弧，两弧相交于点£）,E,作直线OE分别与48,

2

AP相交于点尸，Q.若AB=4,/PQE=675°,则尸到4V的距离为.

【答案】行

【分析】如图，过尸作尸于H,证明/A4P=NG4P,DEJ.AB,AF=BF=^AB=2,再证明

ZE4H=45。，再结合勾股定理可得答案.

【详解】解：如图，过尸作FW_LAC于

由作图可得：ZBAP=ZCAP,DE,LAB,AF=BF=-AB=2,

2

ZPQE=61.5°,

：.ZAQF=67.5°,

，ZBAP=ZCAP=90°-67.5°=22.5°,

ZFAH=45°,

：.AH=FH=—AF=y/2,

2

P至ij4V的星巨离为0；

故答案为：V2

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角

形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作.

18.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）已知矩形纸片A3CD,AB=5,3C=4,点尸在边上，连接AP,

将AAB尸沿AP所在的直线折叠，点2的对应点为2,，把纸片展平，连接班'，CB',当V3CB'为直角三角

形时，线段CP的长为.

【答案】彳或2

【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进

行讨论：当/8CB'=90。时，当/3B'C=90。，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】解：：四边形A3CD为矩形，

:./BCD=NADC=/ABC=NBAD=9Q。,AB=CD=5,AD=BC=4,

当/BCB'=90。时，如图所示：

NBCD=90。,

，点9在CD上，

根据折叠可知：AB'=AB=5,BP=B'P,

设CP=x,则8P=8'P=4-x,

DB'=ylAB'2-AD2=旧—4?=3，

CB'=DC—DB'=5—3=2,

在Ri^CB'P中，根据勾股定理得：B'P-=B'C2+CP2，

BP（4-X）2=22+X2,

解得：彳=；3,

3

即

当/BBC=90。,如图所示：

D\

AB

根据折叠可知：BP=B,P,

NPBB'=/PPB,

,/ZPBBr+/BCB'=90°,ZPBrB+ZPBV=90°,

・•・NBCB'=/CB'P,

：.PC=PB',

：.PC=PB,

•:BC=BP+PC=4,

：.CP=2；

3

综上分析可知：CP=彳或2.

2

3

故答案为：1或2,

19.（2024・四川内江•中考真题）如图，在AABC中，ZABC=6O°,BC=8,E是BC边上一点，且3E=2,

点/是AABC的内心，即的延长线交AC于点O,P是80上一动点，连接PE、PC,则尸E+尸C的最小值

为.

【答案】2万

【分析】在A3取点R使班'=跖=2,连接P尸，CF,过点,F作FHLBC于H,利用三角形内心的定义

可得出NABO=NCB。，利用SAS证明@7名印£P,得出正尸=尸E,则PE+PC=PF+PCNCF,当C、P、

F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF,利用含30。的直角三角形的性质求出3”,利用勾股定理求出

FH,C/即可.

【详解】解：在AB取点忆使BF=BE=2,连接尸尸，CF,过点尸作，3c于"，

BHEC

:/是44BC的内心，

以平分/ASC,

，ZABD=NCBD,

又BP=BP,

：.ABFP^ABEP（SAS）,

:.PF=PE,

：.PE+PC=PF+PC>CF,

当C、P、尸三点共线时，PE+PC最小,最小值为b,

■:FHIBC,ZABC=60。，

ZBFH=30°,

BH=LBF=I,

2

FH=\lBF2-BH2=-CH=BC-BH=J,

CF=-JCH2+FH2=2713，

PE+PC的最小值为2.

故答案为：25.

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知

识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30。的直角三角形是解题的关键.

20.（2024・四川广元•中考真题）如图，在AABC中，AB=5,tan/C=2,则AC+且BC的最大值为

5

【答案】5A/2

【分析】过点8作垂足为。，如图所示，利用三角函数定义得到AC+且BC=AC+Z）C,延长

5

DC到E,使EC=CD=x，连接BE,如图所示，从而确定AC+@8C=AC+OC=AC+CE=AE,NE=45°,

5

再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在。。上运动，AE是。。的弦，求AC+好BC的最大值就是求弦AE的

5

最大值，即AE是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解：过点8作3DLAC,垂足为£>,如图所示：

C

tan/C=2,

，在RJBCD中，设DC=x,则8D=2x,由勾股定理可得BC=底:,

AC+—BC=AC+DC,

5

延长OC到E,使EC=CD=x,连接BE,如图所示:

AC+—BC^AC+DC=AC+CE=AE,

5

BD±DE,DE=2x=BD,

.•ABDE是等腰直角三角形，则NE=45。，

在AABE中，AB=5,NE=45。，由辅助圆-定弦定角模型，作445万的外接圆，如图所示:

，由圆周角定理可知，点E在O。上运动，AE是。O的弦，求AC+吏的