2024年中考数学二次函数压轴题：面积定值问题

专题04面积定值问题

一、知识导航

二、典例精析

如图，抛物线y=-d+2x+3与无轴交于A、B两点、(点A在点8左侧)，与y轴交于点C,连接BC,抛物

线在线段2C上方部分取一点P,连接尸8、PC,若△P2C面积为3,求点P坐标.

思路1：铅垂法列方程解.

根据8、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3,

设点P坐标为^m,—m2+2〃z+3),

过点P作PQy_x轴交于点。，

则点Q坐标为(m,-m+3),

PQ=加？+2m+3)—(一〃？+3)|=|—m2+3m|,

2

SPBC=—x3x|—m+3词=3,

分类讨论去绝对值解方程即可得相的值.

思路2:构造等积变形

同底等高三角形面积相等.

取8C作水平宽可知水平宽为3,根据△PBC面积为3,

可知铅垂高为2,

在y轴上取点Q使得C0=2,过点Q作BC的平行线,

交点即为满足条件的尸点.

当点。坐标为(0,5)时，解析式为：y=-x+5,

耳关五方:—x~+2x+3=—x+5,解即可.

当点。坐标为(0,1)时，解析式为：y=-x+\,

联立方程：-x2+2x+3=-x+],解之即可.

在平面直角坐标系中，直线y=尤+2与x轴交于点A,与y轴交于点3,抛物线y-ax2+bx+c(。＜0)经过

点A、B.

(1)求a、6满足的关系式及c的值.

(2)如图，当。=-1时，在抛物线上是否存在点P,使的面积为1?若存在，请求出符合条件的所

有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),

代入解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考虑A、B水平距离为2,△B43的面积为1,故对应的铅垂高为1.

当〃二-1时，可得Z?=-l,抛物线解析式为y=-x2_%+2.

取点。(0,3)作A5的平行线，其解析式为：y=x+3,

联立方程-X2-%+2=X+3,解得X=1,故点《坐标为(-1,2)

取点。(0,1)作A3的平行线，其解析式为：y=x+l,

联立方程-12-%+2=%+1,解得X]=—1+,%2=—1—.

三、中考真题演练

1.(2023•浙江湖州•中考真题)如图1,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=Y-4x+c的图象与y轴的

交点坐标为(0,5),图象的顶点为矩形ABCD的顶点。与原点。重合，顶点A,C分别在x轴，y轴上,

(2)如图2,将矩形ABC。沿无轴正方向平移f个单位(0</<3)得到对应的矩形AB'C'D.已知边C'。'，A!B'

分别与函数y=--4x+c的图象交于点P,Q,连接尸2,过点尸作PGLAF于点G.

①当r=2时，求QG的长；

②当点G与点。不重合时，是否存在这样的f,使得△2质的面积为1?若存在，求出此时f的值；若不存

在，请说明理由.

【分析】（1）把（0,5）代入抛物线的解析式即可求出C,把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；

（2）①先判断当,=2时，〃，A的坐标分别是（2,0）,（3,0）,再求出x=3,x=2时点。的纵坐标与点P

的纵坐标，进而求解；

②先求出。G=2,易得P,。的坐标分别是。，产-47+5）,。+1,r-2/+2）,然后分点G在点。的上方与点

G在点。的下方两种情况，结合函数图象求解即可.

【详解】（1）二•二次函数y=f-4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0,5）,

••c=5,

«•y—x~~4x+5=（x—2）+1,

顶点M的坐标是（2,1）.

（2）①在无轴上，8的坐标为（1,5）,

•••点A的坐标是（1,0）.

当t=2时，Dfi,A的坐标分别是（2,0）,（3,0）.

当x=3时，y=（3-2『+1=2,即点。的纵坐标是2,

当x=2时，y={2-2）2+1=1,即点尸的纵坐标是1.

•；PGVAB',

点G的纵坐标是1,

/.QG=2-1=1.

②存在.理由如下：

•.•△尸3的面积为1,PG=1,

：.QG=2.

根据题意，得P,Q的坐标分别是产-布+5）,仅+1,产-2r+2）.

如图1,当点G在点。的上方时，QG=」-4「+5-（产-2f+2）=3-2r=2,

=2,一3=2,

此时/=］（在0<r<3的范围内）.

・一1十5

・・,二1或二".

22

2.（2023•四川甘孜•中考真题）已知抛物线y=Y+6x+c与无轴相交于A（-l,0）,B两点，与y轴相交于点

C（0,-3）.

（2）尸为第一象限抛物线上一点，,P3C的面积与，ABC的面积相等，求直线A尸的解析式;

【分析】（1）由待定系数法即可求解;

（2）5*"=53°得到钎〃5。，即可求解;

1-/?+c=0,

【详解】（1）由题意，得

c=-3.

b=-2,

c=-3.

（2）由（1）得抛物线的解析式为产元2-2彳-3.

令y=0,贝曦2-2为一3=0,得X]=T，尤2=3.

•••8点的坐标为(3,0).

S&PBC=^AABC，

：.AP//BC.

：3(3,0),C(0,-3),

直线3c的解析式为y=x-3.

•；AP//BC,

，可设直线AP的解析式为y=x+m.

A(T,0)在直线AP上，

・・0=-1+171.

m=l.

•••直线"的解析式为y=x+L

3.（2023.内蒙古呼和浩特.中考真题）探究函数＞=-2国?+4国的图象和性质，探究过程如下:

(1)自变量X的取值范围是全体实数，X与，的几组对应值列表如下

_5_3j_25_

XL-2-1012L

~2~2~2222

_52222_5

yL0m020L

~22222~2

其中，机=.根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分,

请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质；

⑵点P是函数y=-2时+叫图象上的一动点,点4(2,0),点8(—2,0),当k—=3时,请直接写出所有

满足条件的点尸的坐标；

【分析】(1)把尤=-1代入解析式，求出机的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质即

可；

(2)利用义印=(><4'|调=3,进行求解即可.

【详解】(1)解：当x=-l时，y=-2x|_『+4|-l|=-2+4=2,

m=2,

根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下：

故答案为：4.

⑵解：：点A（2,0）,点3（-2,0）,

.・.AB=4,

•'-5AFAB=1X4X|）;F|=3，

%=±T，

当》=|时：-2|X|2+4|X|=|,

初汨3113

解得：x,=--,x2=--,x3=-,x4=~,

.•・汜！或小遥

当苏时：_2国2+4国=一?

解得：2=+1,x2=一^^一1，

综上：小与，-口或可±;《或d弓》

4.（2023・辽宁盘锦・中考真题）如图，抛物线>=加+灰+3与x轴交于点A（-l,0）,8（3,0）,与，轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式.

⑶如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交V轴于点。，AE的延长线交抛物线于点P,点P在线段CO

上，且CF=OD,连接E4,FE,BE,BP,SAAFE=SAABE,求，R4B面积.

【详解】（1）解:.抛物线>=加+次+3与无轴交于点A（-l,0）,3（3,0）,

jtz—Z?+3=0

'\9a+3b+3=0J

a=-1

解得:

b=2

二抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；

(3)解：设点P。%-4+2机+3),直线AP的解析式为>=区+"

A(-1,O),

-k+b=O

km+b=-m2+2m+3

k=-(m-3)

解得：,

b=—(m-3)

直线AP的解析式为y=-(m-3)x-(m-3),

当x=0时，y=-(m-3)=3-m,

/.(0,3-m),

/.OD=3—m9

CF=OD=3—mJ

在抛物线y=-九2+2尤+3中，当x=0时，y=3,

/.C(0,3),

OC=3,

:.DF=OC-OD-CF=3-(3-m)-(3-m)=2m-3,

设点E的坐标为«，—(m―3»—(m—3),

A(-1,O),5(3,0),

.\AB=4,

‘△AFE='△ABE，

:XDF\xA-xE)=-AByE,

—x(2m-3)x(?+l)=—x4x^-(m-3)?-(m-3)],

解得：m=1,

.二点尸的坐标为3口

。1―1,77

-''sPAB^~ABxyp^~x4x~=~-

5.（2023・湖南・中考真题）如图，二次函数y=d+6x+c的图象与x轴交于A,8两点，与V轴交于C点,

其中3（1,0）,C（0,3）.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）在二次函数图象上是否存在点P,使得&PAC=SAABC?若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理

由；

【详解】（1）解：将点3（1,0）,C（0,3）代入y=d+6x+c,得

fl+Z?+c=0

[c=3

仿二-4

解得：。

[c=3

•••抛物线解析式为y=f-©+3；

22

（2）vy=x-4x+3=（X-2）-1,

顶点坐标为（2,1）,

当y=0时，x2-4x+3=o

解得：%=1,%=3

A（3,0）,则。4=3

VC（0,3）,则OC=3

AOC是等腰直角三角形，

••V—V

•°APAC一°AAfiC

/.P到AC的距离等于B到AC的距离,

•••4(3,0),C(0,3),设直线AC的解析式为>=履+3

3左+3=0

解得：k=-l

直线AC的解析式为y=-尤+3,

如图所示，过点8作AC的平行线，交抛物线于点尸,

设3尸的解析式为y=r+d,将点3(1,0)代入得,

-l+d=0

解得：<7=1

直线3尸的解析式为y=-x+l,

[y=-x+\

[y=炉-4x+3

•/PA=J(3-2,+F=®PB={(2-1)2+F=也A8=3-1=2

P^+PB1=AB1

AB尸是等腰直角三角形，且/4P3=90。，

如图所示，延长PA至。，使得=过点。作AC的平行线OE,交x轴于点E,则/M=R4,则符

合题意的点尸在直线DE上，

•；△AP8是等腰直角三角形，DE//AC,ACLPD

：.Z.DAE=NBAP=45°PD±DE

，VADE是等腰直角三角形，

AE=CAD=6AP=2

/.E（5,0）

设直线DE的解析式为y=-x+e

，—5+e=0

解得：e=5

直线DE的解析式为7=-尤+5

3-717f3+V17

----------X=----------

综上所述，p（2T）或尸心,尸

6.（2023.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）综合与探究

如图，抛物线y=-V+bx+c上的点A,C坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与x轴负半轴交于点3,点、M

（1）求点M的坐标及抛物线的解析式;

（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP,CP,当S&ACMSAACM时，求点尸的坐标;

【分析】(1)根据点M在y轴负半轴且OM=2可得点M的坐标为M(0,-2),利用待定系数法可得抛物线

7

的解析式为y=-Y+5x+2；

(2)过点尸作依轴于点R交线段AC于点E,用待定系数法求得直线AC的解析式为y=-1x+2,

设点尸的横坐标为P(0<P<4),则尸[p,-p2+：p+2),+,故尸E=-p2+4p(0<p<4),先

求得S~CM=8,从而得至l]S&Ac=；PE-OC=-2p2+8p=8,解出p的值，从而得出点尸的坐标；

【详解】(1)解：：点M在y轴负半轴且31=2,

将4(0,2),C(4,0)代入了一+匕尤+,,得

c=2

1-16+48+。=0

解得，2

c=2

7

•••抛物线的解析式为y=-x2+jx+2

(2)解：过点尸作尸轴于点尸，交线段AC于点E,

设直线AC的解析式为y=kx+m(k^Q),

将4(0,2),44,0)代入尸4+利,得

m=2k=--

妹+八。,解得2,

m=2

直线AC的解析式为y=-；x+2

设点尸的横坐标为。(。<。<4)

则P(P，—p2+g夕+2),£1[〃,一；〃+2),

PE=-p2+(p+2-1-；〃+2)=-p2+4p{0<p<4)

2

••,SAACM=8,SAPAC=|PE-OC=-2p+8^=8,解得网=0=2,

P（2,5）

7.（2023・四川泸州•中考真题）如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax?+2x+c与坐标轴分别

相交于点A,B,C（0,6）三点，其对称轴为x=2.

⑴求该抛物线的解析式；

（2）点尸是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线■分别与V轴，直线BC交于点。，E.

①当CD=CE时，求8的长；

②若.CW,_CDE,△口/的面积分别为S-邑，邑，且满足豆+$3=252,求点尸的坐标.

【答案】⑴y=-g/+2x+6

⑵①8-2虎；②尸（4,6）

91

【分析】（1）根据抛物线对称轴为尤=2,可得一或=2,求得°=心，再将C（0,6）代入抛物线，根据待定系

数法求得。，即可解答；

（2）①求出点3,点A的坐标，即可得到直线3C的解析式为y=-x+6,设8=。，则£>（0,6-。），求得

AD的解析式，列方程求出点E的坐标，最后根据CD=CE列方程，即可求出的长；

②过召/分别作的垂线段，交A3于点G,H,过点。作EG的垂线段，交EG于点/,根据工+$3=252,

可得AD+£F=2DE,即竺=工，证明，设尸"，-《后+2力+6］，得到直线AF的解析式，

AF3<2）

求出点。的坐标，即可得到点E的坐标，将点E的坐标代入y=-x+6解方程，即可解答.

【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为x=2,

得*2,

解得a=-g,

将C（0,6）代入抛物线可得6=C,

1,

抛物线的解析式为了=-//+2》+6；

|,

（2）解：当>=。时，得0=-+2尤+6,

解得玉=6,%=-2,

••.A（-2,0）,8（6,0）,

设CB的解析式为y=h+b,将C（o,6）,8（6,0）代入y=区+b,

,f6=

得jo=6Zb+Z/

解得［:=］，

.•.。3的解析式为〉=一天+6,

TSCD=a,则。（0,6-a）,

设AZ）的解析式为y=+将。（0,6—a）,A（—2,0）代入y=G+4,

得[[o6=-_a2勺=+b,6/

k6—a

解得小亏，

b[=6-a

.:钻的解析式为〉=等》+6-。,

y=—x+6

联立方程6-au，

y=----x+o-a

I2

2a

x=------

8-〃

解得

48—8。

y=---------

S-a

根据ACE,得[分-6

解得4=8-2应，出=8+2血，

经检验，«[=8—2>/2,%=8+2>/^是方程的解，

点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，

.：£>在y轴正半轴，

:.a<6f

.,.41—8-21\/2

即C£>的长为8-2夜;

②解：如图，过E『分别作的