材料力学(I)第二章

第2章轴向拉伸和压缩§2-1轴向拉伸和压缩的概念

§2-2内力·截面法·及轴力图§2-3应力·拉(压)杆内的应力

§2-4拉(压)杆的变形·胡克定律§2-5拉(压)杆内的应变能§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能§2-7强度条件·安全因数·许用应力

§2-8应力集中的概念

1§2-1轴向拉伸和压缩的概念工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图2受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆桁架的示意图（未考虑端部连接情况）3§2-2内力·截面法·及轴力图材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。也就是由于外力作用于构件而产生的附加内力。Ⅰ.内力根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。

通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。4Ⅱ.截面法·轴力及轴力图(1)假想地截开指定截面；(2)用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；(3)根据分离体的平衡求出内力值。步骤：FN=F5横截面m-m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)——轴力。取横截面m-m的左边或右边为分离体均可。轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定:当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形为负。轴力背离截面FN=+F6用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。轴力指向截面FN=-F7轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。F(f)(c)F8试作图a所示杆的轴力图。例题2-191.用截面法分别求各段杆的轴力。为求轴力方便，先求出约束力

FR=10kN。在AB段用1-1截面将杆截开，以左端杆为分离体（图c），由SFx=0得FN1=10kN(拉力)10kN例题2-1解:10以图d为分离体，由SFx=0，得FN2=50kN(拉力)10kN40kN例题2-111取截面3－3右边为分离体（图e），假设轴力为拉力。同理，FN4=20kN

(拉力)由SFx=0，得FN3=-5kN

（压力）。(e)25kN20kN例题2-112由轴力图可见2.以横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小，由以上结果作轴力图如图所示。例题2-113试作图a所示杆的轴力图。例题2-2FFFl2ll(a)ABCD141.用截面法分别求各段杆的轴力约束反力为FR=F例题2-2FR2FFFq11233(b)l2llxABCD解:15以图c为分离体，得FN1=F以图e为分离体，得FN3=F例题2-2(c)11AF33D(e)2FFFqFR11233(b)l2llxABCD16以图d为分离体，得例题2-2BqFFx1A22(d)2FFFqFR11233(b)l2llxABCD17FN

图FFF+-+(f)2.由以上结果画出轴力图如图f所示例题2-2FFFl2ll(a)ABCD18求分布荷载作用的BC段的轴力时，作截面之前不允许用合力2lq＝2F代替分布荷载。作截面之后，利用平衡方程求轴力时，方可用合力qx1代替分布荷载。求轴力时，不允许将力沿其作用线段，例如，将作用在D截面的力F移到C截面时，AB、BC段的轴力不变，而CD段轴力为零。例题2-2FFFl2ll(a)ABCD19§2-3应力·拉(压)杆内的应力Ⅰ应力的概念受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积DA上分布内力的平均集度即平均应力，，其方向和大小一般而言，随所取DA的大小而不同。20该截面上M点处分布内力的集度为，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。21总应力p法向分量切向分量正应力s切应力t某一截面上法向分布内力在某一点处的集度某一截面上切向分布内力在某一点处的集度应力量纲：ML-1T-2应力单位：Pa(1Pa=1N/m2，1MPa=106Pa)。22Ⅱ拉(压)杆横截面上的应力

(1)与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；

(2)s在横截面上的变化规律横截面上各点处s

相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力FN；横截面上各点处s

不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。23为此：

(1)观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。

(2)设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。24

(3)推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s都相等。

(4)等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式。25注意：

(1)上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。

(2)即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。

(3)圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。26q=F/AqF/2F/2F/2F/2FFFFFFFF(a)(b)这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严格的理论证明，也没有确切的数学表达式，因此不能随便使用。上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚绍中编《材料力学精讲》，P15)。27试求图a所示正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。例题2-3281.作轴力图如图所示。分别求各段柱的工作应力。Ⅰ段柱横截面上的正应力

Ⅱ段柱横截面上的正应力(压应力)(压应力)例题2-329结果表明，最大工作应力为smax=s2=-1.1MPa

(压应力）

例题2-330试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：d=200mm，d=5mm，p=2MPa。

例题2-431薄壁圆环(δ<<d)在内压力作用下，径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法向力FN后，用式s=FN/(bδ)求拉应力。

例题2-4解:32用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离体，如图b所示。分布力的合力为由SFy=0，得径向截面上的拉应力为例题2-433Ⅲ.拉(压)杆斜截面上的应力斜截面上的内力：变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相互平行。两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。34斜截面上的总应力：

推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力pa相等。

式中，为拉(压)杆横截面上(a

=0)的正应力。

35斜截面上的正应力(normalstress)和切应力(shearingstress)：

正应力和切应力的正负规定：

36思考：1.写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和切应力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。

2.拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？kk37

3.对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力s0(其上的切应力t0=0)，是否就可求出所有方位的截面上该点处的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情况——该点处的应力状态(stateofstress)？38§2-4拉(压)杆的变形·胡克定律拉(压)杆的纵向变形

基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：

纵向总变形Dl=l1-l

（反映绝对变形量）

纵向线应变（反映变形程度）39x截面处沿x方向的纵向平均线应变为

图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。沿杆长均匀分布的荷载集度为f轴力图微段的分离体40线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。一般情况下，杆沿x方向的总变形

x截面处沿x方向的纵向线应变为

沿杆长均匀分布的荷载集度为f轴力图微段的分离体41横向变形——与杆轴垂直方向的变形在基本情况下42引进比例常数E，且注意到F=FN，有

胡克定律(Hooke’slaw),适用于拉(压)杆。

式中：E称为弹性模量(modulusofelasticity)，由实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA——

杆的拉伸(压缩)刚度。胡克定律(Hooke’slaw)工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力43胡克定律的另一表达形式：

←单轴应力状态下的胡克定律

低碳钢(Q235)：

44注意：(1)单轴应力状态——受力物体内一点处取出的单元体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。45

(2)单轴应力状态下的胡克定律阐明的是沿正应力s方向的线应变e与正应力之间的关系，不适用于求其它方向的线应变。

46单轴应力状态下，应力不超过比例极限时：47低碳钢(Q235)：n

=0.24~0.28。

亦即

横向变形因数(泊松比)(Poisson’sratio)单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变e

与和该方向垂直的方向(横向)的线应变e'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比(Poisson’sratio)：48

(2)横截面B,C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E。

(1)列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个杆纵向变形的表达式。

49FFFN

图F+-+位移：变形：50

(3)图(b)所示杆，其各段的纵向总变形以及整个杆的纵向总变形与图(a)的变形有无不同？各横截面及端面的纵向位移与图(a)所示杆的有无不同？何故？51FFFN

图F+-+位移：变形：52求例题2-4中所示薄壁圆环的直径改变量Dd。已知E=210GPa，d=200mm，d=5mm，p=2MPa。例题2-553解:1.由例题2-4已求出圆环径向截面上的正应力为例题2-5542.因为p<<s，所以在计算变形时可忽略内压力的影响，则薄壁圆环沿圆环切向的线应变e（周向应变）与径向截面上的正应力s

的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即

例题2-555圆环直径的改变量(增大)为3.圆环的周向应变e与圆环直径的相对改变量ed有如下关系：例题2-556图示杆系中，荷载

P=100kN。试求结点A的位移DA。已知：a=30°，l=2m，两杆直径均为d=25mm，材料的弹性模量为E=210GPa。例题2-657求拉（压）杆系节点位移的关键在于确定变形后节点的位置。本例中，解除铰链A

的约束，设1，2

杆的伸长量分别为Dl1和Dl2，

分别以B和C为圆心，以l1

+Dl1和l2+Dl2为半径画圆弧，两圆弧的交点A'为变形后A点的精确位置。但在小变形时，

Dl1<<l1，Dl2<<l2，可近似用A1B和A2C的垂线代替圆弧，得到交点A'作为变形后A点的位置。再根据位移图所示的几何关系求A的位移。Dl1Dl2(b)例题2-658由胡克定律得

其中

解:1.分别求1，2两杆的轴力及伸长由结点A的平衡方程得例题2-6592.求A点的位移

由图b可见因为Dl1=Dl2，所以DAx=0Dl1Dl2(b)例题2-660在小变形情况下，确定杆系变形后的位置时，用杆端垂线代替圆弧线是本题的重点也是难点，一定要掌握。2.杆系节点A的位移是因杆件变形所引起，但两者虽有联系但又有区别。变形是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。例题2-661§2-5拉(压)杆内的应变能

应变能(strainenergy)——弹性体受力而变形时所积蓄的能量。

弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能Ve在数值上等于外力所作功W，

Ve=W。

应变能的单位为J（1J=1N·m）。62拉杆(压杆)在线弹性范围内的应变能或外力F所作功：

杆内应变能：63亦可写作或或应变能密度

ve——单位体积内的应变能。

应变能密度的单位为J/m3。64沿杆长均匀分布的荷载集度为f轴力图微段的分离体65求如图所示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理(Vε=W)求结点A的位移DA。已知：P=100kN，杆长

l=2m，杆的直径

d=25mm，a

=30°，材料的弹性模量E=210GPa。例题2-766利用Vε=W只能求P力的作用点沿P力方向的位移。本题中由对称性可知，A点的水平位移DAx=0，只有竖直位移DAy

，即DA=DAy所以可用1/2PDA=

Vε求DA。例题2-7671.

求结构的应变能由节点A的平衡方程求得FN1=FN2=P/2cosa结构的应变能为例题2-7682.求结点A的位移例题2-769§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能Ⅰ.材料的拉伸和压缩试验

圆截面试样：l=10d或l=5d(工作段长度称为标距)。

矩形截面试样：或。

拉伸试样

70试验设备：(1)万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。

(2)变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。

圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能)

正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能)

压缩试样

71实验装置（万能试验机）72拉伸试验录象73Ⅱ.低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能

拉伸图

纵坐标——试样的抗力F(通常称为荷载)

横坐标——试样工作段的伸长量74低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：

(1)阶段Ⅰ——弹性阶段变形完全是弹性的，且Dl与F成线性关系，即此时材料的力学行为符合胡克定律。75

(2)阶段Ⅱ——屈服阶段

在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45°的滑移线(，当α=±45°时ta

的绝对值最大)。76(3)阶段Ⅲ——强化阶段

77卸载及再加载规律

若在强化阶段卸载，则卸载过程中F-Dl关系为直线。可见在强化阶段中，

l=Dle+Dlp。

卸载后立即再加载时，F-Dl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载——冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。78

(4)阶段Ⅳ——局部变形阶段试样上出现局部收缩——颈缩，并导致断裂。

79低碳钢的应力—应变曲线(s

-e曲线)为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即，其中：A——试样横截面的原面积，l——试样工作段的原长。80低碳钢

s-e曲线上的特征点：比例极限sp(proportionallimit)

弹性极限se(elasticlimit)屈服极限ss(屈服的低限)

(yieldlimit)强度极限sb(拉伸强度)(ultimatestrength)

Q235钢的主要强度指标：ss

=240MPa，sb

=390MPa81低碳钢拉伸试件图片低碳钢拉伸是试件破坏断口图片82低碳钢的塑性指标：伸长率断面收缩率：A1——断口处最小横截面面积。Q235钢：y≈60%Q235钢：

(通常d

>5%的材料称为塑性材料)83注意：

(1)低碳钢的ss，sb都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是名义应力。

(2)低碳钢的强度极限sb是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。

(3)超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得，

因而是名义应变(工程应变)。84

(4)伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积(或直径)之比，原因在此。

思考：低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距（l=10d

和l=5d），试问所得伸长率d10和d5哪一个大？

85Ⅲ.其他金属材料在拉伸时的力学性能

86由s－e曲线可见：

伸长率√√×局部变形阶段√√√强化阶段×××屈服阶段√√√弹性阶段退火球墨铸铁强铝锰钢材料87sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑性材料88铸铁拉伸破坏试验89割线弹性模量用于基本上无线弹性阶段的脆性材料脆性材料拉伸时的唯一强度指标：

sb←基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。铸铁拉伸时的应力应变曲线90Ⅳ.金属材料在压缩时的力学性能

低碳钢拉、压时的ss基本相同。低碳钢压缩时s-e的曲线

91低碳钢材料轴向压缩时的试验现象92铸铁压缩时的sb和d均比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。灰口铸铁压缩时的s-e曲线93试样沿着与横截面大致成50°~55°的斜截面发生错动而破坏。材料按在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。94铸铁压缩破坏断口铸铁压缩破坏95Ⅴ几种非金属材料的力学性能

(1)混凝土压缩时的力学性能

使用标准立方体试块测定端面润滑时的破坏形式端面未润滑时的破坏形式96压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关。以s-e曲线上s=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如C20混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于20MPa的混凝土。压缩强度远大于拉伸强度。97木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交异性材料。松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s

-e曲线如图。(2)木材拉伸和压缩时的力学性能木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。98(3)玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料）纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s-e曲线如图中(c)，纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维、硼纤维等。99§2-7强度条件·安全因数·许用应力Ⅰ.拉(压)杆的强度条件

强度条件——保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件：其中：smax——拉(压)杆的最大工作应力，[s]——材料拉伸(压缩)时的许用应力。100Ⅱ

材料的拉、压许用应力塑性材料：脆性材料：许用拉应力其中，ns——对应于屈服极限的安全因数其中，nb——对应于拉、压强度的安全因数101常用材料的许用应力约值

(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）170230160－200710.31017023034－540.440.66.4Q23516MnC20C30低碳钢低合金钢灰口铸铁混凝土混凝土红松（顺纹）

许用应力/MPa牌号材料名称轴向拉伸轴向压缩102Ⅲ.关于安全因数的考虑

(1)考虑强度条件中一些量的变异。如极限应力(ss，sp0.2，sb，sbc)的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差异。

(2)考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。安全因数的大致范围：静荷载(徐加荷载)下，103Ⅳ强度计算的三种类型

(3)计算许可荷载已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN,max=A[s]，由FN,max计算相应的荷载。

(2)截面选择已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。

(1)强度校核已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件对于等截面直杆即为104试选择如图(a)所示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F=16kN，[s]=120MPa。例题2-81051.用m-m截面将桁架截开由图中(b)所示分离体的平衡方程SMA=0，即例题2-81062.

求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径由于圆钢的最小直径为10mm，故钢拉杆DI