2024-2025学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ函数与方程理

2024-2025学年高考数学（理）考点：函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210概念方法微思索函数f(x)的图象连绵不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能．1．（2024•天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【解析】若函数恰有4个零点，则有四个根，即与有四个交点，当时，与图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当时，与轴交于两点，图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当时，与轴交于两点，在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需与在，还有两个交点，即可，即在，还有两个根，即在，还有两个根，函数，（当且仅当时，取等号），所以，且，所以，综上所述，的取值范围为，，．故选．2．（2024•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】函数在，的零点个数，即方程在区间，的根个数，即在区间，的根个数，即或在区间，的根个数，解得或或．所以函数在，的零点个数为3个．故选．3．（2024•新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则A． B． C． D．1【答案】C【解析】因为，所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，等价于函数的图象与的图象只有一个交点．①当时，，此时有两个零点，冲突；②当时，由于在上递增、在上递减，且在上递增、在上递减，所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，冲突；③当时，由于在上递增、在上递减，且在上递减、在上递增，所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，由题可知点与点重合时满意条件，即，即，符合条件；综上所述，，方法二：，令，则为偶函数，图象关于对称，若有唯一零点，则依据偶函数的性质可知当时，，所以．故选．4．（2024•上海）设，若存在定义域为的函数同时满意下列两个条件：（1）对随意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是__________．【答案】，，，【解析】依据条件（1）可得或（1），又因为关于的方程无实数解，所以或1，故，，，，故答案为：，，，．5．（2024•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为__________．【答案】3【解析】，，，，，当时，，当时，，当时，，当时，，，，，或，或，故零点的个数为3，故答案为：3．6．（2024•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则，当时，__________，__________．【答案】8；11【解析】，当时，化为：，解得，．故答案为：8；11．7．（2024•新课标Ⅰ）已知函数，若（3），则__________．【答案】【解析】函数，若（3），可得：，可得．故答案为：．8．（2024•上海）设，函数，，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程有两不同根，也就是有两不同根，，在上有两不同根．，或，．又，且，，仅有两解时，应有，则．的取值范围是．故答案为：．9．（2024•江苏）设是定义在上且周期为1的函数，在区间，上，，其中集合，，则方程的解的个数是__________．【答案】8【解析】在区间，上，，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又是定义在上且周期为1的函数，在区间，上，，此时的图象与有且只有一个交点；同理：区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；在区间，上，的图象与无交点；故的图象与有8个交点，且除了，其他交点横坐标均为无理数；即方程的解的个数是8，故答案为：8．10．（2024•上海）若关于、的方程组无解，则实数__________．【答案】6【解析】若关于、的方程组无解，说明两直线与无交点．则，解得：．故答案为：6．11．（2024•上海）设、，若函数在区间上有两个不同的零点，则（1）的取值范围为__________．【答案】【解析】函数在区间上有两个不同的零点，即方程在区间上两个不相等的实根，，如图画出数对所表示的区域，目标函数（1）的最小值为过点时，的最大值为过点时（1）的取值范围为故答案为：．1．（2024•马鞍山三模）已知，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值范围为A．， B． C．， D．，【答案】B【解析】当时，，则，令得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，且（1），，当时，，则，明显，当时，，单调递增；当时，，单调递减，且，故函数的大致图象如图所示，令，则关于的方程化为关于的方程，△，方程有两个不相等的实根，设为，，由韦达定理得：，，不妨设，，关于的方程恰好有5个不相等的实根，由函数的图象可知：且，设，则，解得．故选．2．（2024•龙凤区校级模拟）若关于的方程恰有4个不相等实根，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】方程恰有4个不相等实根，转化为恰有4个不相等实根，令，可得．由，得，当时，，当，时，，可得在上单调递减，在，上单调递增．作出的图象如图，由图可知，要使恰有4个不相等实根，则，，且关于的方程在，上有两个不相等的实数根，即在，上有两个不同的零点，则，解得．故选．3．（2024•香坊区校级一模）已知为定义在上的奇函数，且，当，时，，则函数的零点个数为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，可得周期，又是奇函数，可得，，可得函数关于对称，当，时，，作出的图象如与之间的交点，结合函数的图象可知，图象的交点有4个．即函数的零点个数为4个．故选．4．（2024•唐山二模）函数的零点个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】当时，函数，，故在，上单调递增．，，，在，有一个零点；当时，令得，即，此时原函数的零点即为：，的零点．令得．当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．因为（1），（3），（6），故在和上各有一个零点，即在上有两个零点．综上，共有3个零点．故选．5．（2024•湖北模拟）已知函数，，则函数在区间，内有个零点A．4038 B．4039 C．4040 D．4041【答案】B【解析】令得，在，上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，且是上的奇函数且，，，，如图所示在同一坐标系下作出与的图象可知：与的图象在，上有2024个交点，在，上有2024个交点函数有4039个交点；故选．6．（2024•九龙坡区模拟）已知函数，若方程有四个不同的解，，，且，则的取值范围是A． B．， C． D．，【答案】D【解析】作函数函数，的图象如下，由图可知，，，，则，其在上是减函数，令，函数和函数在，是减函数，在，上是减函数，由单调性可得：（1），即．故选．7．（2024•杜集区校级模拟）已知函数对随意的，都有，函数是奇函数，当时，，则函数在区间，内的零点个数为A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】由题意，，可知关于对称，那么函数是奇函数，即图象过，且，可得即，可得周期，作出，的图象，可得函数在区间，内的零点个数为8．故选．8．（2024•武侯区校级模拟）定义在上的函数有个零点？（其中表示不大于实数的最大整数）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由题意，函数的零点问题转化为求的根的个数，依据和的图象，求两函数图象的交点，则有，，，，一共有3个零点．故选．9．（2024•杜集区校级模拟）已知函数有唯一的零点，则常数A． B．1 C． D．【答案】B【解析】由题意，函数有唯一的零点，即函数与，只有一个交点，当时，函数的最小值为1，其顶点坐标为，那么函数的最大值的坐标为，所以，所以．故选．10．（2024•西安三模）定义域和值域均为，（常数的函数和的图象如图所示，方程解得个数不行能的是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】方程对应的有一个解，从图中可知，，可能有1，2，3个解；从而可知方程解得个数不行能为4个；故选．11．（2024•武侯区校级模拟）定义在区间，的函数有个零点？（其中表示不大于实数的最大整数）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】令，则，，，则原问题转化为求的根的个数，依据和的图象，求两函数图象的交点，则有，，，，即当，则；，则和；，，亦有两解，一共有5个零点．故选．12．（2024•东湖区校级模拟）若函数在其定义域上有两个零点，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】函数定义域为，由有两个根，而（1），所以不是方程的根，即直线与函数有两个交点，，因为在上恒成立，所以当时，，当时，，当时，．．作出函数的图象，如图所示：由图可知，的取值范围是，．故选．13．（2024•青羊区校级模拟）设函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】只有一个整数解，即只有一个整数解，令，则的图象在直线的上方只有一个整数解．作出的图象，由图象可知的取值范围为（3）（2）即，故选．14．（2024•梅河口市校级模拟）已知函数在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，当时，与函数恒有一个交点，的最大值的端点坐标为．函数有两个不同的零点，即函数与且有一个交点；当时，函数的函数值为3，即坐标为，若，即直线与抛物线相切，则只有一个解，即△，，可得，若，要使函数与且有一个交点，则，，综上可得实数的取值范围是．故选．15．（2024•运城模拟）定义在上的函数满意，且，若函数有5个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以是周期为的周期函数，作出函数的图象如图所示，直线经过点，，由图知，当直线夹在直线与直线之间时，与函数的图象有5个交点，易知，，，则；实数的取值范围是．故选．16．（2024•道里区校级四模）定义：表示的解集中整数的个数．若，，且，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】当时，由幂函数和对数函数的性质可知，不只有两个整数解，当时，，若，即，解得，整数解不是两个，当时，（3），（3），（3）（3），所以3是一个整数解，若另一个整数解为2时，，解得，若另一个整数解为4时，无解，综上所述的取值范围为，故选．17．（2024•天心区校级模拟）已知函数，若方程有3个不同实数根，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】当直线与曲线相切时，设切点为，则切线斜率，所以，即，解得．又当时，．所以（1）当时，有1个实数根，此时有1个实数根，不满意题意；（2）当时，有2个实数根，此时有1个实数根，满意题意；（3）当时，无实数根，此时最多有2个实数根，不满意题意．综上，，故选．18．（2024•桃城区校级模拟）已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是A．， B． C．，， D．，【答案】D【解析】（1）当时，，所以是的一个零点；（2）当时，由题知应有两个不为零的不同零点，即有两个不为零的不同实根，即与的图象有两个不为零的不同交点，又，令，，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，令，，则，所以时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的大致图象是数形结合，知当或，时，函数有三个零点．故选．19．（2024•让胡路区校级三模）已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】画出函数的图象如图中实线部分所示，方程恰有四个不相等的实数根，即函数与函数的图象有四个不同的交点，而是斜率为，过定点的直线，当直线与相切时，即图中，设切点坐标为，，，则切线的方程为，又点在切线上，代入可解得，直线的斜率为，当直线过原点，即图中，计算可知直线的斜率为，所以当时，两函数的图象有4个不同的交点．故选．20．（2024•河南模拟）已知函数函数零点的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解析】令B，则，①当时，，即，即，当时，有一个解，即方程有一个解；当时，，，；，，且，所以，当时，而，于是方程无解．②当时，，由（1）知，即，当时，有一个解；当时，，所以无