2024年中考数学提高复习讲义：圆的性质及相关计算

中考专题复习之圆的性质及相关计算

知识梳理

1.圆的定义

在同一平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫作圆.以点

O为圆心的圆写作“。0”，读作“圆O”.圆指的是封闭的曲线，而不是圆面.

2.点与圆的位置关系

设。O的半径为r,则点P与。O的位置关系如下：

(1)点P在。O上:OP=r.

(2)点P在。O内:OP<r.

(3)点P在。O外:OP>r.

3.证明几个点在同一个圆上的方法

要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等.

4.确定圆的条件

(1)经过一个已知点能作无数个圆.经过一个已知点并确定圆的半径同样也能作无数个圆，这些圆的圆心构成一

个圆.

(2)经过两个已知点A,B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.

(3)同一平面内，不在同一条直线上的三个点确定一个圆.(过三个已知点作圆时要考虑圆的存在性和唯一性.)

5三角形的外接圆、外心的概念

经过三角形各个顶点的圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接

三角形.

三角形的外心是内接三角形三条边的垂直平分线的交点.

对于不同的三角形，三角形外心的位置也不同，具体如下：

(1)锐角三角形的外心在三角形内部.

(2)直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点上.

(3)钝角三角形的外心在三角形的外部.

6.圆的轴对称性

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴.圆的对称轴有无数条.

注意：对称轴是直线，所以不能说圆的每一条直径都是它的对称轴.

7.垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.

推论：

(1)平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的弧.(如果其中的弦为直径，则不成立.因为两条直径总是互相

平分的)

(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

(3)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫作弦心距.

利用垂径定理及其推论进行相关证明时，常需要作出弦心距，垂足为弦的中点.

8.圆心角、圆周角的相关定理及推论

圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么

它们所对应的其余各组量都分别相等.

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论：(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。圆周角所对的弦是直径.

(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

(其中同弧或等弧不能改为同弦或等弦.一条弦对应的圆周角分布在弦的两侧，并且两侧圆周角之间互为补角)

在圆心角和圆周角的关系中，所有圆心角和圆周角的等量关系都要通过它们所对的弧进行转换.9.圆的内接四

边形的概念

圆的内接四边形中，四边形的对角互补.

圆的内接平行四边形为矩形.

圆的内接梯形一定为等腰梯形.

10.弧长及扇形的面积、弓形的面积

⑴在半径为r的圆上，圆心角a所对的弧长1的计算公式为1=黑.

loO

由上述弧长公式可推出：n=竺”,「=理.

nrmt

(2)如果扇形的半径为r,圆心角为a,扇形的弧长为I,那么扇形面积的计算公式为:5=喏=衿

DOUZ

如果弓形的面积是S,弓形所在扇形的面积是S1,圆心角是a,扇形的两条半径与弓形的弦所形成的三角形

面积是S2,则当a=180。时，S=Si；当a<180°时,.S=S、-S?;当a>180°时,S=S"S2.

11.圆锥及其相关计算

圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，斜边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧

面.无论转到什么位置，这条斜边叫作圆锥的母线，另一条直角边旋转而成的面叫作圆锥的底面.如果记圆锥的高线

长为h,底面半径为r,母线长为1,则/+产=p

圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长1(也表示圆锥的侧面展开图扇形的半径),弧

长是圆锥的底面周长C=2兀r,侧面积S-Tirl.

侧

圆锥的侧面积与底面积的和叫作圆锥的全面积(或表面积)：Sx=nrl+nr2.

注意：不同公式中字母1的含义不同，须区分.

12.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有以下两种方法.

(1)代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式/=b2-

4ac.

△>0^^线1与。C相交线1与。C有两交点；

A=0聿线1与。C相切通线1与。C有一交点；

A<0漏线1与。C相离U直线1与。C无交点.

(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.

d<r聿线1与。C相交通线I与0c有两交点；

d=ru直线1与OC相切u直线1与。C有一交点;

d>r聿线1与。C相离镜线1与。C无交点.

13.圆的切线方程

若圆的方程为好+必=产点p（Xo打）在圆上，则过P点且与该圆相切的切线方程为xox+yoy=r.

22

经过圆（%-a）+（y-bY=产上一点P（Xo,y0）的切线方程为（等—。丫+（中一b?=r.

14.直线与圆相交

直线与圆相交时,若1为弦长，d为弦心距,r为半径,则有产=d2+掷/=求弦长或已知弦长

求其他量的值时，一般用此公式.

15.圆与圆的位置关系

（1）圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含.

（2）判断圆与圆的位置关系常用方法如下：

①几何法：设两圆圆心分别为01,02,半径为「1"2（匕丰「2）,则有

|。1。2I>71+72G）。1与19。2相离白肓4条公切线；

1。1。21=G+「2。。1与。。2外切怎3条公切线；

|ri-r2|<|。1。2|<7+「22=OO1与。。2相交u有2条公切线;

|OiO2|=\n-r2\O5与。。2内切演1条公切线；

\OrO2\<|r!-r2|O。］与OO2内含u有。条公切线.

②代数法：

方程组二:有两组不同的实数解u两圆相交；

有两组相同的实数解U两圆相切；

无实数解U两圆外离或内含.

典型例题

例1

矩形ABCD中,AB=Scm.BC=3有cm,点P在边AB上，且BP=3AP,如果。P是以点P为圆心，PD为半径的

圆，那么下列说法正确的是（）.

A.点B,C均在。P外B.点B在OP外、点C在。P内

C.点B在。P内、点C在。P外D.点B,C均在0P内

解析若求点B,C与。P位置关系，只需要比较PD与PB,PC的大小即可.

如图所示，因为ABCD为矩形，

所以AB=DC=8cm,BC=AD=3&cm.

因为AB=8cm,BP=3AP,

所以AP=2cm,PB=6cm,

例1图

所以在RtAAPD中,DP=y/AP2+AD2=J22+（3V5）2=V49=7cm

同理:在RtAPCB中,PC=<PB2+BC2=9cm

因为PB<DP<PC,

所以点B在。P内、点C在。P外.故选C.

例2

如图所示，在△ABC中，点D是/BAC的平分线上一点,BDLAD于点D,过点D作DE〃AC,交AB于点E.求证:

点E是经过A,B,D三点的圆的圆心.解析若要证明点E是经过A,B,D三点的圆的圆心，换句话说也就是证明A

E=ED=EB即可.

因为AD平分/CAB,

所以/CAD=/DAB.

又因为DE〃AC,

所以NCAD=/ADE,

所以/DAB=/ADE,

例2图

所以△ADE为等腰三角形，即AE=ED.

又因为BDXAD.

所以/DAB+/ABD=NADE+/EDB=90。.

又因为NDAB=/ADE,

所以NABD=/EDB,

所以△EBD为等腰三角形，即ED=EB,

所以AE=ED=EB,

所以点E是经过A,B,D三点的圆的圆心.

例3

如图所示，在RtAABC中,/ACB=9(F,AC=BC=1,将RtA4BC绕点A逆时针旋转30。后得到RtAADE，点B经

过路径为弧BD,则图中阴影部分的面积是.

解析RtAABC绕A点逆时针旋转30。后得到Rt△ADE,,AB绕A

点旋转形成扇形BDA,旋转过程中RtAABC面积保持不变.

如图所示，S阴影=S弱形人+S△八ED-S△人

因为SAED=SABC

所以S=S扇形BDA-

例3图

_30TTX(V2)2_n

因为S梯形BDA

360

所以联建.

例4

如图⑴所示，在RtAABC中,NACB=9(r,AC=6cm,BC=8cm,P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方

向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆，设点Q运动的时间为ts.

(1)当t=1.2时，判断直线AB与。P的位置关系,并说明理由.

⑵已知OO为公ABC的外接圆，若。P与。O相切，求t的值

AAA

(2)(3)

例4图

解析⑴如图⑵所示，过P作PDXAB于D,若要判断直线AB与。P的位置关系，比较PD与PQ的长度的大小

即可.

在RtAPDB中，因为P为BC的中点，所以PB=4cm.

因为NB=/B,NACB=9(r,NPDB=90。，

所以△PDBS/\ACB.所以瞳=言

因为ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,

所以AB=10cm,

所以处=空今U=刍

ACPD6PD

所以PD=2.4cm.

当t=1.2时,PQ=2xl.2=2.4(cm).

因为PD=2.4cm=PQ,

所以直线AB与OP的位置关系为相切.

(2)如图(3)所示，连接OP.

因为NACB=90。,所以AB为。0的直径，所以0B=5cm.

因为P点在。0的内部，所以。P与。0只可以内切，即有|r0-r0|=OP.

因为0点和P点分别为AB和CB的中点，

所以在RtAABC中,OP=|XC=3,

所以\rp-r0\=OP为|2t-5|=3,

所以t=l或4.

双基训练

1.下列正确说法的个数是().

(1)弧分为优弧和劣弧两种；

(2)直径是弦；

(3)圆心角相同的扇形面积相等；

(4)长度相等的弧是等弧；

(5)三点可以确定一个圆.

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.矩形ABCD中,AB=6,AD=8,AC与BD交于O,若以。点为圆心，使得矩形的四个顶点均在圆外，则圆的半径

可能为().

A.4B.5C.6D.7

3.如图所示,。O的半径为4cm,且OE=EB,/BEC=30。厕CD的长为（）.DA

A.lcmB.2V15cm

C.V15cmD.V3cmB

4.已知A（2,0）,B（4,0）,以C点为圆心,半径为2的圆经过A,B两点，则C点的坐标为（）.

A.(2,V3)B.(4-V3)

C.(3,V3)D.(3,V3)ng((3<-V3)第3题图

5.如图所示,AB是。O的切线,B为切点,AO与。O交于点C,若/BAO=40。,则/OCB的度数为（）.

A.40°B.50°C.65°D.75°

6.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB为6dm,如果再注入一些油后，油面宽AB上升Id

m,油面的宽变为8dm,圆柱形油槽的直径MN为（）.

A.6dmB.8dmC.10dmD.12dm

第S题图第6题图

7.如图所示,AB,CD是。O的两条直径，且CE〃AB,下列说法不正确的是（）.

A.ZOCE=ZDOAB.弧DA与弧BC相等

C.弧BC与弧AE不相等D.若连接OE,则2/DCE=/DOE

第7题图第8题图

8.如图所示,。O是正△ABC的外接圆,D为。O上一点，且BD=CD,则四边形OBDC为（）.

A.正方形B.菱形C矩形D.任意四边形

9.已知AB,CD是长度相等的两条不同的弦，那么弧AB与弧CD所对应扇形的面积分别记为S1和S2,两

者的关系是（）.

A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不能确定

10.如图所示,四边形ABCD是菱形,NA=6（T,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面

积是（）.

271V3

AA.------------B胃-遮

32

「V3

C.TE-------D.7T—V3

2

11.如图所示,ABLCD,旦AB为。O的直任若AB=4厕弧CD与弧AD的长的和为（

第10题图

。.|兀

A.兀/2B.兀C.2兀

第11题图

12.如图所示，圆锥形的烟囱帽底面半径为15cm,母线长为20cm,制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至

少是（）.

A.1507Tcm2B.3007rcm2C.6007rcm2D.150cm2

13.将一个圆心角为90。的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积SM和底面积SM的关系为（）.

侧=底B.S=2sLO'肉=3S底D.S肉=转底

A$S侧底

14.如图所示，在。O中,NADB=NABC=60o,AB=l,贝!JSAABC=

15.如图所示,AB是。O的直径，点C,D都在OO上，连接CA,CB,DC,DB.已知ZD=30°,BC=3,,则AB的长是―

16.已知教学楼内有2个教室A,B需要接入网线，教室A,B分别位于半径为50m半圆弧的三等分的位置，

现要在楼道安装路由器，楼道正好位于圆的直径上，则最少需要网线—.

17.矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm..以点A为圆心，作半径为8cm的。O,则B,C与。O的位置关系分别

是____-

18.如图所示，在。O中,CD14B于E,AB为。O的直径，其中CD=6cm,BD=5cm,则半径为.

19.如图所示，在。O中，直径AB1CD于点E,乙40。=120。,则劣弧COD的度数为.

第18题图

第19题图第20题图

20.如图所示，四边形ABCD中有一点O,且已知△40。与△40B为等腰三角形，AO=OD=OB,ZDAB=ZD

CB=80°,贝!!/CDO+NCBO=.

能力提升

21.已知任意一点A到OO上的点的最小距离为3cm,最大距离为11cm，则。O的半径为（）.

A.8cmB.14cmC.4cm或7cmD.7cm

22如图所示,。A与。B外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E是切点，若NCED=xO,NECD=yO,0B的半

径为R,则劣弧DE的长度是（）.

B兀(90-y)R

/I.

90,90

CTT(180-X)7?D"(180-y)R

,1801180

第22题图

23.如图所示，在0O中,E,F分别是弦AB和CD的中点,OE=OF,则下列说法中正确个数有（）.

（1）OE±AB;（2）OF±CD;（3）ZAEF=ZCFE;⑷ZOEF=ZOFE.

24如图所示，点P是等边三角形ABC外接圆OO上的点，在以下判断中，不正确的是（）.

A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形

B.当小APC是等腰三角形时,PO,AC

C.当PO_LAC时,/ACP=30。

D.当NACP=30。时,△BPC是直角三角形

25.已知在。O中,半径为2,弦.AB=2但弦AC=2值,，则NBAC为（）.

A.15°B.30°C.75°D.15°或75°

26.如图所示,已知点A,B,C,D都在上，弧CD的度数等于84°,CA是/OCD的角平分线，则/ABD+NCAO=

D

第26题图

27.已知在。0中上有A,B,C三点且AB=AC,圆心O到AB的距离为3,AB=8,则BC=—.

28.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1,以顶点A,B为圆心，1为半径的两弧交于点E,以顶点C,D

为圆心，1为半径的两弧交于F,则EF的长为—.

29.如图所示，已知OO中，直径AB，弦CD,沿CD将弓形CAD翻折，点A与圆心O恰好重合,已知圆的半径

为2,则月牙形(图中实线围成的部分)的面积是—.

第29题图

30.如图所示，三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是.(结果保留兀)

拓展资源

31.已知0O中，如图所示，动弦CD在弧AGB上滑动，且C与A,D与B不重合,E,F为AB上的点，弦CD的长度

为定值,EC±CD,FD±CD下列说法不正确的个数有().

(1)OE=OF;

(2)AE=FB;

(3)若过。点作直线OH1.CD于H,OH为定值；

(4)四边形ECDF的面积不是定值.

A.OB.lC.2D.3第31题图

32如图所示有一四边形形状的铁皮ABCD,BC=CD,AB=2AD,/ABC=NADB=90°

(1)求/C的度数.

(2)以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD,剪下该扇形并用它围成一个圆锥的侧面，若已知BD=

a,求该圆锥的底面半径.

c

第32题图

33.如图⑴所示,△ABC中,CA=CB,点O在高CH±.(0D1C4于点D,(0E1CB于点E,以0为圆心,OD为半径

作OO.

(1)求证:。0与CB相切于点E.

(2)如图⑵所示，若。0过点H,且.AC=AB=6,,连接EH,求△的面积和tanZBHE的值

第33题图

34如图所示，已知AB是OO的直径，点C在。0上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,

乙COB=2乙PCB.

(1)求证:PC是。O的切线.

⑵求证:BC=|4B.

⑶点M是弧AB的中点,CM交AB于点N若AB=4,求MNMC的值.

第34题图

第23讲

1-5AABDC6-10CCBDB11-13CBD

V3/415.616.100m18.^14.17.B在圆内,C在圆外19.120。20.120°

21-25CBDCD

26.48°27.y28.V3-129.]+2V330.3TI/8

31.B

32.(1)因为AB=2AD,ZADB=90°

所以NDBA=30。

又因为NABC=90。

所以NDBC