2024年中考数学专项复习：“垂美”四边形（解析版）

大招垂美四边形模型

模型介绍

13结论：对角线互相垂直的四边形叫做"垂美"四边形，如图所示则有：AB2+CD2=AD2+BC2

【证明】'：AC±BD,

：.ZAOD^ZAOB^/BOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得：

AB2+CD1=Ad1+BO2+CO2+DO2,

ADr+BC2^AC^+DC^+BC^+CO1,；.AB1+CD1=AD1+BC2

团方法点拨

①对角线垂直的四边形对边的平方和相等;

②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形

例题精讲

【例1].如图，在四边形ABC。中，ACLBD,若42=5愿，AD=5®CD=12,则BC

=13.

解：设AC,BD交于点0,

；ACLBD,AB=5y/3,AD=5®,CD=12,

；Q2+OB2=75,OA2+OQ2=50,o£>2+oc2=i44,BC2=OB2+OC2,

OA2+(9B2+OD2+(9C2-(OA2+OD2)=OB2+(9C2=169,即BC2=169,

；.8C=13.

故答案为：13.

A变式训练

【变式1T】.如图，在△ABC中，AD,8E分别是BC,AC边上的中线，且垂

足为点尸，设BC=a,AC=b,AB=c,则下列关系式中成立的是()

A.cr+b2=5c1B.a2+b2=4c1C.a2+b2=3c2D.a1+b2=2c2

解：连接。E,如图，

设EF=x,DF=y,

,：AD,BE分别是BC,AC边上的中线,

DE为AABC的中位线，

J.DE//AB,DE=—AB,

2

.EF=DF=DE=1

"BFAFAB2"

：.AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,

\'ADLBE,

：.ZAFB=NAFE=NBFD=90°,

在RtZkAfS中，4x2+4y2=c2,①

22

在中，?+4y=A/?,②

在RtZ\2Fr)中，4/+丫2=工/,③

4

22

②+③得5f+5y2=JL(a+b),

4

：.4x2+4y2=—(a2+b2),④

5

①-④得c2--(/+必)=0,

5

即cr+b2=5c2.

故选：A.

【变式1-2].如图，四边形ABC。是圆。的内接四边形，请回答下列问题:

(1)若AB〃CD,求证：弧80=弧AC

(2)若8=4,圆。的半径为3,求的长;

(3)在(2)的条件下求B42+p82+pc2+PZ)2的值.

(1)证明：•:ABHCD,

：.ZBAC=ZACD,

BC=AD,

BC+AB=AD+AB,

...弧30=弧AC；

(2)解：过点。作OELCO于点E,作直径CR连接型，FD,如图:

,?OE_LCD于点E,

为中点，CE=Z)E=~1CO』X4=2,

22

:圆。的半径为3,

°E=Voc2-CE2=VS2-22=遥，

:。为C尸中点，E为cr＞中点，

:.DF=2OE=2娓,

是O。直径，

：.ZCAF^9Q°,ACLAF,

'：AC±BD,

：.BD//AF.

：.ZADB=ZFAD,

.\DF=AB,

尸=2遥；

(3)解：•.,AC_LBD于点P,

：.AB2=PA2+PB2,CD1=PC2+Pb2,

PA2+PB2+PC2+PD1=AB2+CD2,

由(2)知48=2泥，CD=4,

：.AB2+CD2=(2V5)2+42=36,

...B42+PB2+PC2+P£>2=36.

证明：过点尸作E凡LAB交AO于点凡0C于点E；过点P作GHLA。交于点G,

CB于点H.则FA=DE,FP=HB,CH=EP,HP=EC.

：.P^+PC1=F^+FP1+CH1+HP2

=DE2+HB2+EP2+HP2

=PB2+PD2,

:.PA2+PC2=PB2+PD2,

.•.22+42=32+PZ)2,

.*.PD=Vn.

故答案为J五.

A变式训练

【变式27].对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四

边形ABCD,对角线AC、BD交于点、O.若AD=疵,BC=3&,则482+“)2=23.

解：'JACLBD,

：.ZBOC^ZCOD^ZDOA^ZAOB=90°,

：.OB2+OC2=BC2,OA1+OD1=AD2,OB2+OA2=AB2,OC2+OD1=CD2,

：.AB2+CD2=OB1+O^+OC1+OD2=BC2+AD2,

VAD=V5，BC=3®

：.BC2+AD2=(3&)2+(遥)2=18+5=23,

：.AB2+CD2=23,

故答案为：23.

【变式2-2].如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直

相交于。点，则42=_'而_.

AEC

解：'：AD.BE为AC,8C边上的中线，

：.BD=^BC=2,AE=』AC=3,点。为△ABC的重心，

222

：.AO=2OD,0B=20E,

"JBELAD,

：.BO2+OD2=BD1=4,OE1+Ab2=AE2=^-,

4

.,.BO2+AAO2=4,1BO1+AO2=^-,

444

；.^!-BO2+—AO2^—,

444

：.BO2+AO2=5,

.,.AB=^BQ2+AQ2=75,

故答案为

1.两个矩形，小矩形绕着公共点C任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE^+DK1

的值.

解：•；NBCD=/KCE=90°,

：.ZBCK=ZDCE,

vBC6_3CK_4.53

乂•=------，-=—，

DC84CE64

.BC=CK

"CDCE'

：.4BCKS丛DCE,

:.NCBK=NCDE,

:ZCBK+ZKBD+ZBDC=90°,

:.NCDE+/KBD+/BDC=90°,

ZDOB=90°,

：.Of^+DO1=DK2,BO^+OE2=BE2,

：.BE^+DK2=Of^+EC^+DC^+BO1=BD^+KE2=AB2+AD2+KF2+KE2=36+64+36+20.25=

156.25.

2.如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC,BD,且于点O,若AO=2,BC

=6,则A#+CD2=40.

解：在RtZkAB。与RtZkCDO中，由勾股定理得,

AB2=BO2+AO1,

CD2=CO2+DO2,

：.AB1+CD2=BO1+cd1+Ad2+DO2,

在RtZ\20C与RtZWOD中，由勾股定理得，

BC2=BO2+CO2,

AD2=AO2+DO2,

：.AB2+CD2=BC2+AD2=62+22=40,

故答案为：40.

3.如图，在RtZXABC中，/BAC=90°,M、N是BC边上的点，BM=MN=NC,如果AM

—4,AN—3,则MN—_遍_.

B

AC

解：过M,N分别作AC的垂线MD和NE,作NOLMO,D、E、O为垂足，则MD=2NE,

AE=2AQ,如图，

可得AM2=AD1+MD2,AN1=AE^+N伊,

解得A£>2=4,"伊=旦，

33

■:EN为丛CDM的中位线，所以MD=2NE,

'：NO±MO,MDLED,

四边形ODEN为平行四边形，即OD=NE,

：.MO=NE,ON=DE,

MN=VMO2+NO2=聘隹=VB.

故答案为

B

ADEC

4.如图，在边长为2的正方形ABC。中，点E、尸分别是边AB,BC的中点，连接EC,FD,

点G、”分别是EC,ED的中点，连接GH,则GH的长度为亚.

—2―

解：连接C8并延长交AD于尸，连接PE,

E

G7^<J

BFC

:四边形ABC。是正方形，

/A=90°,AD//BC,AB=AO=2C=2,

'：E,尸分别是边AB,BC的中点，

.*.A£=CF=AX2=1,

2

'JAD//BC,

：.NDPH=NFCH,

,：ZDHP=ZFHC,

,:DH=FH,

.".△PDH^ACFH(AAS),

：.PD=CF=1,

：.AP=AD-PD=1,

•••PE=VAP2+AE2=近'

•.•点G,H分别是EC,阳的中点，

.•.G/f=』EP=亚.

22

5.如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形A8C。中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABC。是垂

美四边形吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图1,垂美四边形ABC。的对角线AC,BD交于点0.猜想：AB2+CD2

与AO2+8C2有什么关系？并证明你的猜想.

(3)解决问题:如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG

和正方形连结CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

解：(1)四边形ABC。是垂美四边形.

理由如下：如图2,连接AC、BD,

图2

'：AB^AD,

...点A在线段BD的垂直平分线上，

"：CB=CD,

...点C在线段8。的垂直平分线上，

直线AC是线段BD的垂直平分线，

J.ACLBD,即四边形ABCD是垂美四边形;

(2)AB2+CD1=AD1+BC2,

理由如下：

如图1中，

AZAOD^ZAOB=ZBOC^ZCOD^90°,

由勾股定理得，AD^BC2^AC^+DC^+BC^+CO1,

AB2+CD1^ACP+BCP+CCP+DO1,

:.AD1+BC2=AB2+CD2；

图3

正方形ACFG和正方形ABDE,

：.AG=AC,AB=AE,ZCAG^ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

在△GAB和△口!£■中,

，AG=AC

-ZGAB=ZCAE,

AB=AE

：.^GAB^/\CAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

VZAEC+ZAME=90°,

：.ZABG+ZAME=90°,

ZAME=ZBMN,

：.ZABG+ZBMN^9Q°,

即CELBG,

，四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2,

'：AC=4,AB=5,

BC=VAB2-AC2=VB2-42=3,

CG=VAC2+AG2=V42+42=4我'BE=VAB2+AE2=A/52+52=5近’

.•.G£2=CG2+B£2-CB2=(4&)2+(5A/2)2-32=73,

--.GE=V73.

6.如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.

(1)性质探究：如图1.已知四边形ABC。中，ACXBD.垂足为。，求证：AB2+CD2

^AD^+BC2.

(2)解决问题：已知A8=5祀.BC=4叵,分别以△ABC的边8c和AB向外作等腰

RtABCE和等腰RtAABZ)；

①如图2,当/ACB=90°,连接。E,求。E的长；

②如图3.当NACBW90°,点G、”分别是A。、AC中点，连接GH.若GH=2星),

解：(1)如图1,:四边形ABC。中，ACLBD,

：.ZAOB^ZCOD=ZBOC^ZA0D^9Q°,

：.AB1=O^+OB1,CD1=OC1+OD1,BC2=OB2+OC2,AD1=OA2+OD1,

：.AB1+CD2^OA1+OB2+OC2+Ob1,B^+AD1=(?B2+OC2+OA2+O£)2,

：.AB1+CD2=AD1+BC2；

(2)如图2,延长CB交。E于M,过点。作。NJ_CB于M

又•.•等腰RtzYBCE和等腰RtZ\AB。，AB=5近,BC=4近,NACB=90°,

:.NACB=NBND=/CBE=/ABD=NEBN=90°,AB=BD=5®BC=BE=4®

：.ZABC+ZBAC=90°,/ABC+NDBN=9Q°,AC=^/Ag2_BC2=372，

：.ZBAC=ZDBN,

在△ACB和△8N£)中，

,ZACB=ZBND

<ZBAC=ZDBN,

AB=BD

:.△ACB9ABND(AAS),

:.BC=DN=BE=4®,AC=BN=3近,

在和LEBM中,

，ZDMN=ZEMB

，ZDNM=ZEBM,

DN=EB

:.△DNMQ2EBM(AAS),

:.MN—MB-1BN-1X3&-,MD=ME=LDE,

2222

在RtaEWM中，/MND=90°,

M£)=VMN2+DN2=(-^-^-)2+(4V2)2=-yVl46-

:.DE=2MD=3146；

(3)如图3,ZACB^90°,分别过点A、D作4M_LCB于点Af,DNLCB于点、N,连

接DC,

又：等腰RtZVBCE和等腰RtZkABD,AB=5五,BC=4&,

:.NAMB=/BND=NCBE=NABD=90°,AB=BD=5®,BC=BE=4近,

：.ZABC+ZBAM=90°,ZABC+ZDBN=90°,

：.ZBAM=ZDBN,

在△AMB和△BN£>中，

'NAMB=/BND=90°

-ZBAH=ZDBN,

AB=BD

:.△AMB/ABND(A4S),

：.BM=DN,AM=BN,

设AM=BN=尤，则CN=BC+BN=4我+x,

■:点、G、H分别是A。、AC中点，连接GH、DC,GH=2遍,

:.DC=2GH=4瓜,

在Rt/\DNC和Rt^DNB中，由勾股定理得：

DN2=DB2-BN2,DN2=DC2-CN2,

：.DB2-BN2=DN2=DC1-CN1,即(5A/2)2-^=(4加)2(4-72+-r)2

解得：尤=22巨，即AM=BN=X=&0,

88

/.SAABC=—BC»AAf=Ax4V2X^^-=—.

2282

图1

7.如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是

垂美四边形的是菱形，正方形.

（2）性质探究：如图2,已知四边形ABC。是垂美四边形，试探究其两组对边AB,CD

与BC,之间的数量关系，并写出证明过程.

（3）问题解决:如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG

和正方形48OE,连接CE,BG,GE,CE交AB于点M,已知AC=4,AB=5,求GE

的长.

解：（1）:•菱形、正方形的对角线垂直,

菱形、正方形都是垂美四边形，

故答案为：菱形，正方形；

（2）猜想：AL^+B^A^+CD2.

理由如下：连接AC,8。交于点0,

图2

V四边形ABCD是垂美四边形，

：.AC.LBD,

：.ZA0D=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理，得

AB1+Cb1=Ad1+BO1+Cd1+Dd1,

2222

.*.Ar>+BC=AB+CD;

(3)连接CG,BE,

BD

'：ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

在△GAB和△CAE中，AG=AC,ZGAB=ZCAE,AB=AE,

:.4GAB沿4CAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

又；NA£C+/AME=90°,

AZABG+ZAME=9Q°,

又；NBMC=NAME,

：.ZABG+ZBMC=90°,

J.CELBG.

/.四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)可知CG2+BE1=CB2+GE1,

'：AC=4,AB=5,

由勾股定理，得CB?=9,CG2=32,BE2=50,

G£2=CG2+BE2-CB2=73,

.•.GE=V7§.

8.定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.

(1)下面四边形是垂等四边形的是④；(填序号)

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)图形判定：如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,AC±BD,过点。作2。垂线交

8c的延长线于点E,且NQ8C=45°,证明：四边形ABC。是垂等四边形.

(3)由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用：

在图2中，面积为24的垂等四边形A8C。内接于。。中，/BCD=60°.求。。的半径.

解：(1)①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形;

②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；

③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；

④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；

故选：④；

(2)'：AC±BD,EDLBD,

：.AC//DE,

又•：

四边形ADEC是平行四边形，

：.AC=DE,

又8c=45°,

ABDE是等腰直角三角形，

：.BD=DE,

C.BD^AC,

又

四边形ABCD是垂等四边形；

(3)如图，过点。作OE_L8O,连接。£>,

•；四边形ABCD是垂等四边形,

：.AC=BD,

又•••垂等四边形的面积是24,

：.^AC'BD=24,

2

解得，AC=BD=4-/3,

又：NBCD=60°,

ZD0E=6Q°,

设半径为r,根据垂径定理可得：

在△ODE中，OD=r,DE=2^，

•lDE—第

sin60°M

二。。的半径为4.

9.定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形的

中心.

（1）写出一种你学过的和美四边形正方形；

（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是A.

A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定

（3）如图1,点。是和美四边形ABC。的中心，E、F、G、X分别是边A3、BC、CD、

D4的中点，连接OE、OF、OG、OH,记四边形AEOH、BEOF.CGOF、O”OG的面积

为Si、52、S3、S4,用等式表示Si、S2、S3、S4的数量关系（无需说明理由）

（4）如图2,四边形A8CZ）是和美四边形，若48=3,BC=2,CO=4,求的长.

解：（1）正方形是学过的和美四边形，

故答案为：正方形；

（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，

故选：A.

（3）由和美四边形的定义可知，ACL8D,

则/AO8=N8OC=NCOD=NDOA=9（r,又E、F、G、“分别是边AB、BC、CD、

DA的中点，

.♦.△AOE的面积=/\20£的面积，△BO/的面积=/\。0尸的面积，△COG的面积=△

DOG的面积，△£>OH的面积的面积，

：.S\+Si=/\AOE的面积+ZXCO尸的面积+ZkCOG的面积+Z\A。”的面积=62+84；

（4）如图2,连接AC、8。交于点0,则ACLBD,

•.,在RtZ\AOB中，AO1=AB1-BO1,RtZiDOC中，DO2=DC2-CO2,A8=3,BC=2,

CD=4,

AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=AB1+DC2-8c2=32+42-22=21,

即可得AO=ai.

10.如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）写出2个所学的特殊四边形是垂美四边形：菱形，正方形.

（2）性质探究：

已知：如图1,四边形ABC。是垂美四边形，对角线AC、2。相交于点O.猜想：AB2+Cr>2

与AU+BC2有什么关系？并证明你的猜想.

（3）问题解决：

如图2,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰RtAACG（NGAC=

90°）和等腰RtZkABE（NA4E=90°）,连接GE,GB,CE,已知AC=2,AB=5.求

GE的长.

解：（1）:菱形和正方形的对角线互相垂直,

菱形和正方形都是垂美四边形，

故答案为：菱形，正方形；

(2)AB2+CD2=AD2+BC2,理由如下：

•/四边形ABCD是垂美四边形，

C.ACLBD,

。屋+0^2=人小，。£)2+0。2=CD2,

AOA2+OB2+OD1+OC2=Cb2+AB2,

：.AIJ^+BC1=CD2+AB2；

(3)'：ZGAC=ZBAE,

：.ZGAB=ZCAE,

：AC=AG,AB^AE,

」.△GA跆△CAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

设CE与BG交于H点，CE与42交于。点,

：.ZBHC=ZOAE=90°,

J.BGLCE,

四边形BCGE是垂美四边形，

z.CG2+BE1=BC1+EG2,

\'AC=2,AB=5.

由勾股定理得，CG2=8,BE2=50,8c2=21,

.*.EG2=8+50-21=37,

■:EG>3

：.EG=y/37.

11.如图1，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用Si、S2、

S3表示，则不难证明S1=S2+S3.

(1)如图2,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用Si、

S2、S3表示，那么Si、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)

(2)如图3,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用Si、

S2、S3表示，请你确定Si、8、S3之间的关系并加以证明.

(3)四边形A3。的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个正方形，面

积分别为Si、S2、S3、S4.则S1、52、S3和S4之间的关系是S1+S3=S2+S4.

解：(1)如图(2),分别以Rt^ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用Si、S2、

S3表示，那么S1=52+53,

理由为：在RtAABC中，利用勾股定理得：AB2=AC2+BC1,

：.—AB2=—AC2+—BC2,即Si=S2+S3;

888

(2)如图(3),分别以三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用Si、S2、

S3表示，Si、％、S3之间的关系为S1=S2+S3,

理由为：在RtZWBC中，利用勾股定理得：AB2=AC2+BC2,

.•.返4B2=Y3_AC2+运8c2,即Si=S2+S3.

444

(3)由(2)可知：51+53=52+54

故答案为：S1+S3=S2+S4.

12.定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形.

(1)请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称正方形；

(2)如图1,在等腰RtZXABC中，ZBAC=90°,经过点A、8的圆交AC边于点

交8c边于点E,连结QE.若四边形ABE。为圆美四边形，求细■的值；

DE

(3)如图2,在△A8C中，经过A、8的圆交AC边于点。，交BC于点E,连结AE,

BD交于点F.若在四边形AB即的内部存在一点P,使得NPBC=NAOP,连结PE交

30于点G,连结E4,若B4_LP。，PB±PE.求证：四边形A8即为圆美四边形.

(1)解：根据圆美四边形的定义知，正方形是圆美四边形,

故答案为：正方形；

(2)解：连接BD,AE,

.•.2。为。。的直径，

；・/BED=NCED=90°,

・・・四边形ABED为圆美四边形，

：.BDA.AE,

：.ZABD+ZBAE=90°,

9：ZCAE+ZBAE=90°,

/.ZABD=ZCAE,

/.AD=DE,

：.AD=DE,

在等腰直角△<?£>£中，CD=®DE,

:.CD=®AD,

：.AC=（V2+1）AD,

\'AB^AC,AD=DE,

.・.黑=&+1;

DE

(3)证明："：PA±PD,PB±PE,

；.NAPD=/BPE=90°,

,/ZPBC=ZADP,

：.AAPD^AEPB,

.AP=PD

"EPPB'

.AP=EP

"PD丽，

又ZAPD+/DPE=ZBPE+ZDPE,

即NAPE=NOPB,

△APEs^DPB,

：.ZAEP=ZDBP,

又；/DBP+/PGB=90°,NPGB=NEGF,

：.ZAEP+ZEGF=9Q°,

即/BFE=90°,

J.BDLAE,

又B,E,。在同一个圆上，

四边形ABED为圆美四边形.

13.如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形ABCQ中，AB=AD,CB=CD,问四边形A8CD是垂

美四边形吗？请说明理由；

(2)性质探究：经探究发现，垂美四边形A8CD两组对边AB,CD与BC,之间有

这样的数量关系：AB2+CD2=AD2+BC2,请写出证明过程；(先画出图形，写出已知，求

证)

(3)问题解决:如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG

和正方形A2DE,连接CE,BGGE.已知AC=4,A2=5,求GE长.

解：(1)解：四边形ABC。是垂美四边形.

理由如下：如图2,连接AC、BD,

图2

\'AB=AD,

点A在线段BD的垂直平分线上，

,:CB=CD,

.:点C在线段的垂直平分线上，

直线AC是线段3。的垂直平分线，

：.AC±BD,即四边形ABC。是垂美四边形;

(2)证明：如图1中，设AC交8。于点0.

VACXBD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

:.AD2+BC2^AB2+CD2；

图3

正方形ACFG和正方形ABDE,

：.AG=AC,AB=AE,ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即NGAB=NCAE,

在△G42和△CAE中，

AG=AC

-ZGAB=ZCAE,

AB=AE

.'.△GAB当ACAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

VZAEC+ZAME=90°,

：.ZABG+ZAME=90°,

•?ZAME=NBMN,

:./ABG+/BMN=90°,

即CE±BG,

四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得，CG2+BE1=CB2+GE1,

：AC=4,A2=5,

BCVAB2-AC2=VB2-42=3'

CG=VAC2+AG2=山2+42=4&'BE=q/=62+52=5加，

.*.G£2=CG2+B£2-CB2=(4&)2+(5A/2)2-32=73,

:.GE=4T3.

14.如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有菱形和

正方形；

(2)如图2,垂美四边形ABCD两组对边A8、CD与BC、AO之间有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给出证明；

(3)如图3,分别以Rt^ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方

形ABDE,连接CE,BG,GE,CE与8G交于点O,已知AC=3,AB=5,求△OGE的

中线08的长.

解：(1).••菱形、正方形的对角线垂直,

菱形、正方形都是垂美四边形.

故答案为：菱形和正方形.

(2)猜想：AQ2+8C2=AB2+CO2.

理由：'JACLBD,

：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理，A£>2+BC2=AO2+Z)O2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2^AB2+CD2.

(3)连接CG、BE,设AB,CE交于点M,

图3

'：ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即/GAB=/CAE,

;在△G42和△CAE中，

，AG=AC

<ZGAB=ZCAE,

AB=AE

.,.△G42注△CAE(SAS),

/ABG=ZAEC,

5LZAEC+ZAME=90°,

AZABG+ZAME=90°,即CE_LBG,

/.四边形CGEB是垂美四边形，

ACG2+BE1=CB2+GE2,

VAC=3,AB=5,

.,.BC=^AB2_AC2=4,CG=®AC=3®,BE=®AB=5®

：.GE2=CG2+BE2-*=18+50-16=52,

：.GE=2-J13,

：.OH=^GE=-/13.

2

15.数学活动：图形的变化

问题情境：如图(1),△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,E是AC边上的一个动

点（点E与A,C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角△£€!）,NECD=9Q°,

连接BE,AD.猜想线段BE,AD之间的关系.

（1）独立思考：请直接写出线段BE,AD之间的关系；

（2）合作交流：“希望”小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角绕着点

C顺时针方向旋转至如图（2）的位置，BE交AC于点H,交AO于点。（1）中的结论

是否仍然成立，请说明理由.

（3）拓展延伸：“科技”小组将（2）中的等腰直角AABC改为RtZXABC,ZACB=90°,

AC=8,BC=6,将等腰直角△ECD改为Rtz\EC£>,NECD=90：8=4,CE=3.试

猜想瓦冒+入炉是否为定值，结合图u）说明理由.

解：(1);△ABC和△CCE都是等腰直角三角形,

：.BC=AC,CE=CD,ZBCE=ZACD=90°,

:.△BCEQAACD,

：.BE=AD,ZCEB=ZCDA,

'：ZCBE+ZCEB=9Q°,

：.ZCBE+ZCDA^9Q°,

C.BELAD,

(2)BE=CD,BE.LAD,

理由：:△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°

：.AC=BC,

「△CDE是等腰直角三角形，ZECD=90°,

：.CD=CE,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

：./\BCE^/\ACD,

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,

■:NBHC=NAHO,/CBH+NBHC=90°,

：.ZCAD+ZAHO=90°,

AZAHO=90°,

J.BELAD-,

即：BE^AD,BE±AD；

(3)是定值，

理由：VZ£CZ)=90o,ZACB=90°,

NACB=NECD,

：.ZACB+ACE=ZECD+ZACE=90°,

NBCE=ACD,

VAC=8,BC=6,CD=4,CE=3,

.BCCE=3

""AC'CDT

：.ABCEsL