2024年中考数学压轴题突破训练：二次函数的解析式、图像及其性质（原卷版+解析）

压轴热点考点06二次函数的解析式、图像及其性质

压轴突破——2024年【中考・冲刺】数学高频热点考点好题精编

一、单选题

1.如图，二次函数＞=62+法+。的图象与x轴的交点为A、。的横坐标分别为3和-1,其图像与x轴围

成封闭图形L图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（）

2.如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB的长为a,动点。在AB边上从点A向点3运动，

过点。作OELACDFLBC,垂足分别为E,F,设AD的长为x,矩形CEC甲的面积为y,y随x变化的

关系图象如图2所示，其中点P为图象的最高点，且纵坐标为白，则。的值为（）

图1图2

A.2B.4C.6D.8

3.雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”，由于地

理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，

线段表示水平的路面，以。为坐标原点，所在直线为x轴，以过点。垂直于无轴的直线为y轴，

建立平面直直角坐标系.经测量Q4=10m,抛物线的顶点尸到0A的距离为9m,则抛物线的函数表达式

为（）

4.已知二次函数〉=以2一26-8〃（a为常数）经过点C（0,2）,图象与无轴交于点A、在2的左边）,

连接8C,点尸是抛物线图象在第一象限内的一点，过点尸作PQLBC交于点0,若PQ取得最大值，则

此时点P的横坐标为（）

5.如图，已知在抛物线y=d一2上有一点AB/x轴于8点，连接。4,将△0B4绕。点顺时

针方向旋转一定的角度后，该三角形的A.8两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（）

C.150°D.180°

6.如图，在RtZXABC中,AB=3,3C=4,点。从点C出发沿CB方问以lcm/s向点匀速运动，过点。作

DELBC于点D.以DE所在直线为对称轴，将，CDE折叠，点C的对应点为C，，移动过程中ZDC'与

ABC重叠部分的面积为S（cm?）,运动时间为电），则S与/之间函数关系的图象大致是（）

A

7.如图1,某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m,若建立如图2所示

的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（）

A.尸色炉-2B.816

y=30尤2—40xC.y-------尤~H-----xD.y=—40x2+30%

453-453

8.老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述一个二次函数y=f+依+6的图象性质，其中。，b为

常数，甲说：该二次函数的对称轴是直线x=l；乙说：函数的最小值为3；丙说：尸-1是方程/+依+b=0

的一个根；丁说：该二次函数的图象与丁轴交于（。,4）.若四个描述中，只有“卧底”的描述是假命题，贝『‘卧

底”是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

二、填空题

9.掷实心球是安徽省高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图是某学生投实心球，出手后实心球沿

一段抛物线>+桁+'（”,仇<:为常数，。*0）运行，当运行到最高点时，运行高度y=3m,水平距离x=3m.

3

（1）当出手高度为时，a=；

（2）若实心球落地水平距离不小于8m,且不超过10m,贝匹的取值范围是.

10.已知抛物线y=x2-3"tx+2"72-i（加＞0）与直线＞=-1相交于点（点B在点A右侧），且Afi=2.

（1），"的值是.

（2）直线了=〃（2（“（4）与抛物线丁=/-3«^+2加2一1相交于点/5,与直线、=丘一2（左＞0）相交于点。，

l=PQ.若/随”的增大而增大，则左的取值范围是.

11.如图①，是可移动的灌溉装置以水平地面方向为了轴，点。为原点建立直角坐标系，点A在y

轴上，如图②所示.其水柱的高度y（单位：m）与水柱距喷水头的水平距离x（单位：m）近似满足函数

关系式＞=+在图②中，若水柱在某一个高度时总对应两个不同的水平位置，则X的取值

范围是.

12.在平面直角坐标系无Qy中，对封闭图形M和不重合的两点尸，。给出如下定义：点。关于点P的中心

对称点为。，若点。'在图形〃内（包含边界），则称图形用为点。经点尸投射的“靶区”.如图，抛物线

,=加-46+6与x轴的交点A,3位于原点两侧（点A在点B的左侧），且03=3。1，则抛物线的函数

表达式为，记x轴上方的抛物线与x轴所围成的封闭图形为G,点E（O,，〃）为y轴上一动点，若

直线y=x+3上存在点尸，使得图形G为点尸经点E投射的“靶区”，则加的取值范围是

IAoB\x

13.如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长钻=3m,BC=4m,抛物线的最高点E到BC

的距离为4m.在该抛物线与4。之间的区域内装有一扇矩形窗户FGHK,点G、"在边AD上，点、F、K

在该抛物线上.按如图所示建立平面直角坐标系.若GH=2m,则矩形窗户的宽尸G的长为_____m.

14.某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱

距池中心4m处达到最高，高度为6m.以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在

喷水池中心的正上方设计挡板（AB,AC）,使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M

处，挡板A3所在直线的表达式为y=gx+〃，则抛物线/的表达式为,〃的值为

15.如图，抛物线丁=-0.25/+4与y轴交于点A,过AO的中点作轴，交抛物线y=/于2、C两

点（点8在C的左边），连接8。、CO,若将BOC向上平移使得3、C两点恰好落在抛物线＞=-0.25炉+4

上，则点。平移后的坐标为.

y=-0.25£+4

x

16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+2x-3的图象与坐标轴相交于A,B,C三点，连接AC,

显.则四边形BCDE面积的大小为

2

17.已知抛物线小y=-f-2x+8与无轴负半轴交于点A,与y轴交于点3.现将抛物线。平移，使平移后

的抛物线4过点8和点C(3,11).

(1)求抛物线4的表达式；

⑵点尸(帆n)(m>3)为抛物线4上一点，过点P作y轴平行线,交直线8c于点M,过点尸作x轴平行线，

交y轴于点M当AO3与△MRV相似时，求点P坐标.

18.湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度A8为4米，

桥墩露出水面的高度AE为Q88米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，建

立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(尤-〃『+左，其中x(m)是横截水面，y(m)是

拱桥距水面的高度.

游船参数

长5.7米，宽2.2米，

满员后游船露出水面

高度为216米

(1)求抛物线的表达式;

(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、。两处设置航行警戒线，并且CE=DF,要

求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米?

19.在平面直角坐标系中，二次函数＞=-5-m)2+2(加＞())的图象如图1所示，该抛物线的顶点为C,且

(2)如图2,延长AC交/于点。，请用含优的代数式表示的面积；

(3)如图3,点E在抛物线第一象限的图象上且位于点C的左侧，连接EC并延长交/于点G,过点E作所垂

直于AB,垂足为点b，连接歹G.求证：AC//FG.

20.综合实践

九年级第一学期教材第2页结合教材图形给出新定义

如图，对于两个多边形，如

果它们的对应顶点的连线

对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形A8CD,得到四边形

相交于一点，并且这点与对

4片GR；放大四边形ABCD,得到四边形A&GQ.

应顶点所连线段成比例，那

么这两个多边形就是位似

多边形，这个点就是位似中

心.

用-必…廿

......

图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得

到与它形状相同的图形.图中，四边形A由GR和四边形432c都与四边

形A3CO形状相同.我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就

说是相似形.

⑴填空：在上图中位似中心是点;多边形是特殊的多边形.（填“位似”或“相似”）

（2）在平面直角坐标系中（如下图），二次函数y=尤的图像与无轴交于点A,点B是此函数图像

上一点（点A、8均不与点。重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为!，

②直线y=履（%>0）与二次函数y=一3工的图像交于点M,与①中的抛物线交于点N,请判断△OAN和

是否为位似三角形，并根据新定义说明理由.

压轴热点考点06二次函数的解析式、图像及其性质

压轴突破——2024年【中考・冲刺】数学高频热点考点好题精编

一、单选题

1.如图，二次函数>=依2+法+。的图象与尤轴的交点为A、。的横坐标分别为3和-1,其图像与X轴围

成封闭图形乙图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数。的值可以是（）

【答案】B

【分析】依照题意画出图形，结合图形找出关于。的不等式组，解之即可得出结论.

【详解】解：.•,二次函数y="2+6x+c的图象与x轴的交点为4。的横坐标分别为3和-1,

二次函数解析式为y=a（x+D（x-3）,对称轴为直线x=l,

当x=1时，y=,x=0,y=-3a

抛物线顶点坐标为（1，-4a）,与y轴的交点坐标为（0,-3a）,

如图所示，：图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），

.J-3<-4a<-2

i9

解得；

.♦.四个选项中只有B选项符合题意，

故选B.

【点睛】考查了二次函数图象的性质，抛物线与X轴的交点坐标，解题时，利用了数形结合的数学思想,

难度较大.

2.如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB的长为a,动点。在AB边上从点A向点8运动,

过点。作DELAC,。尸，BC,垂足分别为E,F,设AD的长为x,矩形CEDF的面积为y,y随x变化的

关系图象如图2所示，其中点尸为图象的最高点，且纵坐标为心，则a的值为()

图1图2

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据含30度角的直角三角形的性质，得到。E==

==勾股定理，得到AE=叵,AC=4电，求出CE的长，利用矩形的面积公式得到二次函数

关系式，利用二次函数的性质进行求解即可.

【详解】解：：NA=30。，AO的长为x,AB的长为a,

1111

・••在RtZkAS9中，DE=-AD=—x,在中，BC=-AB=-a,

2222

AAE=4AD--DE2=—x,AC7AB2-BC?=叵，

22

/.CE=AC-AE=—(a-x),

由图象可知：—a2=43,

16

a=4（负值已舍去）.

故选：B.

3.雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”，由于地

理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，

线段Q4表示水平的路面，以。为坐标原点，Q4所在直线为无轴，以过点。垂直于无轴的直线为y轴，

建立平面直直角坐标系.经测量OA=10m,抛物线的顶点尸到0A的距离为9m,则抛物线的函数表达式

为（）

图②

【答案】D

【分析】根据题意得出A。。,。）,尸（5,9）,设抛物线的表达式为y=a（尤-犷+左，把P（5,9）代入得

y=a（x-5）2+9,再把&。0,0）代入求出。的值，即可得出抛物线表达式.

【详解】解：•••Q4=10m,抛物线的顶点尸到Q4的距离为9m,

AA（10,0）,P（5,9）,

设抛物线的表达式为y=a（x-hf+k,

把尸（5,9）代入得：y=a（x—5y+9,

把A（10,0）代入得：0=000—5）2+9,

解得：”=卷，

•••抛物线表达式为y=-《（x-5）-+9,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤,

以及二次函数的顶点式.

4.已知二次函数丁=依2_2ax-8a(a为常数)经过点C(0,2),图象与无轴交于点A、8(A在8的左边)，

连接BC,点尸是抛物线图象在第一象限内的一点，过点尸作交于点Q,若PQ取得最大值，则

此时点尸的横坐标为()

【分析】作尸"，x于点"交班于可推证？PDQ?BDH?BCO,说明ZPDQ的函数值一定,PD

最大时，PQ满足最大；待定系数法确定直线BC解析式＞=x+2,设点尸坐标，表示出尸£),运用

二次函数最值，确定点坐标即可.

【详解】解：•••图象经过点CQ2),

—8a=29

•a」

4

将a代入关系式得，＞=-：/+!*+2,

42

令y=0,即-4/+，+2=0,

42

解得,%=-2,x2=4,

.•.A(-2,0),8(4,0),

,1℃=2,OB=4＞BC=,2?+4：=2A/5，

设BC解析式y=履+人人？0),得

•、一1一0

••y=---%+2,

2

作7W_Lx于点凡交84于。，贝IJ??7汨?COB90?

:.PH//CO

4_275

・•・sin?PDQsin?BCO

2^5-5

・・・尸£）最大时，尸。满足最大，

设点尸苏+lm+2）,则点£）（m,-im+2）,

422

11111

/.PD=--m92+—m+2-（-—m+2）=-—m92+m=--（m-2）29+1

42244

当租=2时，PQ有最大值.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用，锐角三角函数，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，

由三角函数确定线段间的数量关系是解题关键.

5.如图，已知在抛物线,=炉-2上有一点A（右,1）,轴于2点，连接。4,将△0B4绕。点顺时

针方向旋转一定的角度后，该三角形的A.8两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（）

A.90°B.120°C.150°D.180°

【答案】B

【分析】如图，设抛物线与y轴的交点为点C,则点C坐标为（0,2）,再根据。4=2可得当点A与抛物线

顶点C重合时满足题意，再利用锐角三角函数求得4408=30。，从而求得旋转角度.

【详解】解：如图，设抛物线与y轴的交点为点C,则点C坐标为（0,2）,

VAASA轴于8点，

:•AB=1,08=6，0A=J（可+俨=2,

VtanZAOB=—=—,

OB3

ZAOB=30°,

ZAOC=30°+90°=120°,

...将△OBA绕O点顺时针方向旋转120。，该三角形的A与抛物线的顶点C重合,

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线与y轴的交点，旋转的性质、勾股定理及锐角三角函数，根据抛物线求得顶点坐

标，从而确定旋转角度是解题的关键.

6.如图，在Rt^ABC中，AB=3,3c=4,点。从点C出发沿CB方问以lcm/s向点匀速运动，过点。作

DE上BC于点D.以DE所在直线为对称轴，将CDE折叠，点C的对应点为C',移动过程中回C与

ABC重叠部分的面积为S（cm2）,运动时间为《s）,则S与f之间函数关系的图象大致是（）

【答案】A

【分析】分两种情况讨论：①当0WXW2时，S=SEDC，可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像；②

当2〈犬＜4时，S=S梯形DM/可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像.

【详解】解：・.・AB=3,BC=4,

・・・当点。在5。中点时，C和3重合，

,：DElBCfAB1BC,

：.DE〃AB,

：.NCDE:NCBA,

.DECD

・・,点。速度是lcm/s,运动时间为小），

CD=t{cva),

33

DE=-CD=-t,

44

①当0WxW2时,

1133

2

由题意可得：S=SEDC=-xDCxDE=-tx-t=-tf

2248

此时，S与方之间函数关系的图像是顶点在原点，开口向上的抛物线;

②当2vxW4时，如图所示,

此时s=S梯形DBFE=gx(DE+BF)xBD,

•：CD(cm),BC=4,

BD=BC—DC=4—，，BC=DC—BD=DC—BD=，一（4—r）=2/—4,

3

,/DE=—CD,

4

33

同理可得：BF=-BC=-（2t-4）,

44、7

?.S=|x|?+|（2z-4）x（4一r）=一凯一|J+2,

Q

.•.当f=§时，s有最大值，最大值为2,

Q

此时，S与/之间函数关系的图象是开口向下的抛物线，且当，=|时，S有最大值，

故选：A.

【点睛】本题考查动点问题的函数图像，关键是分段求出S与f之间函数解析式.

7.如图1,某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m,若建立如图2所示

的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（）

图1图2

816816

A.y——%?---xB.y=30x2—40xC.y-....HxD.y——40x2+3Ox

453453

【答案】C

【分析】根据抛物线与x轴的两个交点坐标可得抛物线的对称轴为直线1=15,再根据顶点坐标设解析式为

y=a（x-15）2+40（°/0）,把（0。）代入求出。，即可得到解析式.

【详解】解：由二次函数的图象可得，抛物线与x轴的交点坐标为（0,0）和（30,0）,

对称轴为》=号9=15,

:桥墩的高度为40m,

抛物线的顶点坐标为（15,40）,

设抛物线的解析式为y=a（x-15y+40（"0）,

把（。，。）代入上式得，axl52+40=0,

s0

...该抛物线的表达式为y=-—（x-15）+40,

45'7

日n82,16

即y=-----%H-----x,

453

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据函数图象反映的信息求出解析式是解题的关键.

8.老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述一个二次函数>=W+«x+6的图象性质，其中。，b为

常数，甲说：该二次函数的对称轴是直线x=l；乙说：函数的最小值为3；丙说：尸-1是方程/+依+6=0

的一个根；丁说：该二次函数的图象与丁轴交于（。,4）.若四个描述中，只有“卧底”的描述是假命题，贝『‘卧

底”是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】C

【分析】设甲乙正确，利用顶点时写出抛物线的解析式为丁=（彳-1）2+3,然后计算自变量为-1和。对应的

函数值，从而判断丙错误.

【详解】解：若甲乙正确，则抛物线的解析式为y=（x-l>+3,即y=Y-2x+4,

当x=—1时，y=7w0,此时丙错误；

当x=0时，y=4,此时丁正确.

而其中有且仅有一个说法是错误的，

所以只有丙错误，贝I“卧底”是丙.

故选：C.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y="2+bx+c（a,b,。是常数，。工0）与x轴

的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

二、填空题

9.掷实心球是安徽省高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图是某学生投实心球，出手后实心球沿

一段抛物线y=加+6x+c（a,6,c为常数，*0）运行，当运行到最高点时,运行高度y=3m,水平距离x=3m.

3

(1)当出手高度为5m时，a=；

(2)若实心球落地水平距离不小于8m,且不超过10m,贝匹的取值范围是.

133

【答案】————<a<--

62549

【分析】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及其应用；

(1)利用待定系数法求出解析式即可；

(2)设y=a(x-3y+3,根据当x=8时，^>0,x=10时，y40即可求出。的取值范围.

【详解】解:(1)设y=a(x—3y+3,

将(0，£|代入可得|=9〃+3,

解得〃=，

6

故答案为：-

6

(2)设y=a(x-+3,

若落地水平距离不小于8m,

3

则当x=8时，y>0,代入得25a+3之0,解得“2—石；

3

当％=10时，j<0,代入得49，+3<0,解得〃0一二，

49

33

综上所述，-石Va〈一西.

10.已知抛物线)=%2_3g+2加2—1(相>0)与直线丁=-1相交于点45(点3在点A右侧)，且AB=2.

(1)根的值是.

(2)直线x="(244)与抛物线y=x2-3mx+2m2-1相交于点尸，与直线，=丘-2(左>0)相交于点。，

l=PQ.若/随〃的增大而增大，则上的取值范围是.

【答案】2k>2

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键.

(1)先求出抛物线》=%2—3如+2加2一1(加>o)与直线》=—1交点横坐标，然后根据AB=2即可求出加的

值；

(2)设Qgkn—2),P(n,n2-6n+7),表示出/的长，然后利用二次函数的性质求解即可.

【详解】解：(1)当>=-1时，X2-3nvc+2m2-1=-B

解得玉=人工2=2m，

AB=2,m>0,

:.2m—m=2

即m=2；

（2）当机=2时，抛物线为丁=尤2-6苫+7=。-3）2-2,点4（2,-1）,点3（4,-1）,顶点为（3,—2）.

直线>=米-2与y轴交于点（0,-2）.

设！2（”,切-2）,尸（九,川-6"+7）,

则/=y°—yp=kn_2_(a2_6〃+7)=_n~+(k+6)〃-9,

:当时，/随”的增大而增大,

k+6

,,"2x(-1)",

解得人22.

11.如图①，是可移动的灌溉装置（M,以水平地面方向为无轴，点。为原点建立直角坐标系，点A在y

轴上，如图②所示.其水柱的高度y（单位：m）与水柱距喷水头的水平距离无（单位：m）近似满足函数

关系式>=-最£+1龙+鼻.在图②中，若水柱在某一个高度时总对应两个不同的水平位置，则X的取值

范围是.

【答案】0Wx<6且XH3

【分析】根据题意可先求出点A的坐标，然后求出当y=。时对应的x值，即可得出水柱的水平距离x的取

值范围，然后求出顶点坐标和对称轴，再求出点A关于对称轴对称的点，根据当水柱在某一个高度时，总

对应两个不同的水平位置，即可得出了的取值范围.

【详解】解：由题意可得：当x=0时，j=|,

A（0,百，

425

当y=。时，即——/+―%+—=0,

2793

153

解得：x2=-1,

，水柱的水平距离X的取值范围为：OVxwM，

2

y=―--x2+—%+—=―-—（x-3）2+3,

279327v7

・•・顶点坐标为（3,3）,对称轴x=3,

点关于对称轴对称的点为,

当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置,

・•・X的取值范围为：0WxW6且无中3；

故答案为：0VxV6且xw3.

【点睛】本题考查的主要是二次函数的应用，解题关键是求出点A关于对称轴对称的点以及顶点坐标.

12.在平面直角坐标系尤2y中，对封闭图形/和不重合的两点P,。给出如下定义：点。关于点P的中心

对称点为Q',若点。'在图形M内（包含边界），则称图形M为点。经点尸投射的“靶区”.如图，抛物线

y=以2-4取+6与x轴的交点A,B位于原点两侧（点A在点8的左侧），且O3=3Q4,则抛物线的函数

表达式为,记x轴上方的抛物线与x轴所围成的封闭图形为G,点E（O,〃z）为>轴上一动点，若

直线y=x+3上存在点尸，使得图形G为点尸经点E投射的“靶区”，则加的取值范围是

0<m<A/T5且w3.

【分析】由OB=3OA,以及抛物线的对称轴，可得出点A的坐标，进而求出函数表达式；求出直线y=x+3

关于y轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出机的取值范围.

【详解】解：由题知，

抛物线的对称轴为X=2,

令A（〃?,0）,又A,8两点关于x=2对称，

所以2-帆=/一2,则九5=4-m.

所以OA=—m,OB=4-m.

又。5=3OA,

所以4一根二3x（—冽），得加=一2.

故4（-2,0）.

将A点坐标代入抛物线解析式得，4«+8«+6=0,则a=

所以抛物线的函数表达式为y=-gf+2x+6.

直线y=x+3关于>轴的对称直线为y=_x+3,

记直线》=-尤+3与封闭区域G的交点为M,N,

1

y=—x?+2%+6X=3+715x=3-V15

则2解得或，

y=y/15

y=-x+3y=-岳

故皿3一而后）.

所以加的取值范围是04机4且〃件3.

故答案为：y=-^x2+2x+6,0<m<y/15S.m^3.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用直线y=x+3关于V轴的对称直线是解题的关键.

13.如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长AB=3m,5c=4m,抛物线的最高点E到BC

的距离为4m.在该抛物线与AD之间的区域内装有一扇矩形窗户点G、H在边上，点反K

在该抛物线上.按如图所示建立平面直角坐标系.若GH=2m,则矩形窗户的宽FG的长为m.

【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，设/（-1,加），求出根=宁，即可得到矩形窗户的宽尸G的长.

【详解】解：由题意可知，4（一2,3）、。（2,3）、E（0,4）,

设抛物线解析式为y=办2+bx+c,

ri

a=一

4a-2b+c=3

<4Q+2"+C=3,解得：,b=Q

c=4c=4

抛物线解析式为＞=-1/+4,

点G、〃在边AD上，且GH=2m,

:.G（T3）、”（1,3）,

四边形FGHK是矩形，

,设厂（-1,加）,

•:点"T,间在抛物线上，

1/»“15

:.m=——x（—1）+4=—,

4V74

153

:.FG=m-AB=——3=-m,

44

3

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质等知识，求出

二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键.

14.某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱

距池中心4m处达到最高，高度为6m.以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在

喷水池中心的正上方设计挡板（AB,AC）,使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M

处，挡板所在直线的表达式为y=+%则抛物线/的表达式为,"的值为

【分析】运用待定系数法可求出抛物线的解析式，再与直线'=3工+〃联立方程，令△=（）可求出〃的值.

【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-4y+6,

根据题意得，。0,0）在抛物线上,

/.a(10-4)2+6=0,

解得，a=~^>

6

1、1410

二抛物线的解析式为>=_2(》_4)2+6=_2尤2+］彳+方，

与直线y=gx+”联立方程，得：

11410

——X+n------XH2—XH------,

2633

整理得：--x2+-x+—-n=0,

663

•.•直线y=1+〃与抛物线y=-/+如+?有唯一公共点,

2633

解得，«=—:

O

KAd=t、r1241035

帮答案为：>=一1/+彳龙+7-

633T

【点睛】本题主要考查了函数图象与性质，正确求出抛物线的解析式是解答本题的关键.

15.如图，抛物线y=-0.25/+4与y轴交于点A,过AO的中点作3c轴，交抛物线y=f于8、C两

点（点B在C的左边），连接80、CO,若将30c向上平移使得8、C两点恰好落在抛物线＞=-0.25x2+4

上，则点。平移后的坐标为

/\\I/人尸0.25/+4

o\X

【答案】［。，£|

【分析】先求出A（0,4）,从而可得点8和点C的坐标，再设点民C平移后的对应点分别为点9C,则点笈

的横坐标为-应，点C'的横坐标为应，代入函数解析式可得C'的纵坐标，从而可得AO的中点向上平移

的距离，由此即可得.

【详解】解：抛物线、=-0.25犬+4与y轴交于点A,

・•.A（0,4）,

过A。的中点作轴，

.♦•点8和点C的纵坐标均为gx4=2,

当y=2时，则/=2,解得x=土收，

:.2（一衣2）,。（也2）,

如图，设点氏C平移后的对应点分别为点B',C,

则点B'的横坐标为一收，点C的横坐标为V2,

当X=时，y=—0.25x+4=—,

则AO的中点向上平移了：-2=；个单位长度，

3

所以点。也向上平移了4个单位长度，

2

所以点0平移后的坐标为，

故答案为：[o,|

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、点坐标的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.

16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+2x-3的图象与坐标轴相交于A,B,C三点，连接AC,

BC.已知点E坐标为点。在线段AC上，且的)=[.则四边形比DE面积的大小为

【分析】根据二次函数的解析式求出4B,C三点的坐标，然后再求出AC所在直线的解析式，设

r)(x,-x-3)(-3<x<0),根据AD=¥，求出。点坐标，再利用割补法即可求出四边形BCDE的面积.

【详解】解：二次函数y=，+2x-3的图象与坐标轴相交于4B,C三点;

.­.A(-3,0),3(1,0),C(0,-3)；

容易求出AC所在直线的解析式为y=-x-3；

Z)(x,-x-3)(-3<x<0),

=克,

7.

二.AF=-；AB=4,OC=3；

2

二S四边形BCDE=SABC-ADE~~；

41

故答案为k.

O

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及到了求二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解

析式以及利用割补法求不规则图形的面积，熟练掌握二次函数的综合知识是解题的关键.

三、解答题

17.已知抛物线乙：〉=-丁-2工+8与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点3.现将抛物线右平移，使平移后

的抛物线4过点2和点C（3,11）.

（1）求抛物线4的表达式；

⑵点P（帆〃）（机＞3）为抛物线右上一点，过点P作y轴平行线，交直线BC于点M,过点尸作x轴平行线，

交y轴于点M当AOB与4MPN相似时，求点P坐标.

【答案】（l）y=-d+4x+8

【分析】（1）先求出点8的坐标，然后用待定系数法求抛物线4的表达式；

（2）先求出Rt^AOB中49,8。的长，MP=m2-3m,NP=m,再根据相似三角形的性质，分两种情

况分别列出方程，并求解小的值，即可得到答案.

【详解】（1）令x=0,则y=8,

所以点2的坐标为（0,8）,

2

设抛物线L2的表达式为y=-x+bx+c,

fc=8

将HC两点的坐标代入得八》「，

[-9+3Z?+c=ll

[b=4

解得。，

[c=8

所以抛物线L的表达式为y=-炉+4x+8；

（2）令y=0,贝I]-/+4尤+8=0,

解得为=-4,12=2,

所以点A的坐标为（T,0）,

在RtZ\AO3中，49=4,30=8,

点尸的坐标为（心,-病+4m+8）,NP=m,

设直线8C的解析式为y=依+〃，

田=8

则3%+少=1/

解得[k="l,

所以直线BC的解析式为y=X+8,

所以点M的坐标为G%〃?+8),

所以MP=m+8-(-m2+4m+8)=m2-3m，

当AOBsNPM时,—,

一NPMP

nr,48

即一=22'

mm-3m

解得m=5,

所以点尸坐标为q,弓)或(5,3)；

当工AOBsMPN时,—,

MPNP

口口48

即——「二一，

m—5mm

,7

解得m=-,

所以点P坐标为(!?)；

综上所述，点尸坐标为0金或(5,3).

【点睛】本题考查了二次函数的相似三角形问题，二次函数的平移，用待定系数法求二次函数的解析式,

相似三角形的性质，求一次函数的解析式，分两种情况求点尸的坐标是解题的关键.

18.湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米,

桥墩露出水面的高度AE为0.88米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，建

立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为>=。"-九)2+左，其中x(m)是横截水面，y(m)是

拱桥距水面的高度.

游船参数

长5.7米，宽2.2米，

满员后游船露出水面

高度为216米

(1)求抛物线的表达式;

(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、。两处设置航行警戒线，并且CE=DF,要

求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？

19

【答案】⑴了=-/口-2)一+2.88；

(2)C处距桥墩的距离CE至少为0.8米.

【分析】本题主要考查了二次函数的应用，审清题意、掌握数形结合思想是解题的关键.

(1)先确定抛物线的顶点坐标，然后用代入消元法即可解答；

1

(2)令y=2.16可得2.16=-5@-2)92+2.88,然后解二元一次方程即可解答.

【详解】(1)解：•••48为4米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米,

抛物线顶点为(2288),

设抛物线的表达式为y=«(X-2)2+2.88,

将4(0,0.88)代入得：0.88=4o+2.88,解得。=一；.

19

抛物线的表达式为＞