2024年中考数学专项复习：反比例函数背景下的面积问题（解析版）

专题反比例的数

行景F的面积问题

模型介绍

一、反比例函数左的几何意义

1.反比例函数人的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂

所围成三角形的面积为］

线与坐标轴所围成矩形的面积为闲。如图二

二、利用k的几何意义进行面积转化

k_

1.如图，直线AB与反比例函数y=£1wO）交于A、8两点，与无、y轴的交点分别为C、

D,

那么-SAOBD-SA"C，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，

就比较低

2.如图，过点A、8作x轴的垂线，垂足分别为E、尸，则根据上的几何意义可得，S.OBF=S.OAE,

而+S梯形XBFE=SAOAB+SAOAE，所以$梯形ABFE=，此方法的好处，在于方便，快捷，

不易出错。

n（=）

词同例题精讲

【例1］如图，反比例函数y=$在第一象限的图象上有两点A，B,它们的横坐标分别是

x

2,6,则△AO8的面积是8.

过点A作AC±y轴于点C,过点B作BD±x轴于点D,

•反比例函数>=g在第一象限的图象上有两点A,B,它们的横坐标分别是2,6,

X

，x=2时，y=3；龙=6时，y=l,

故SAACO=5AOBD=3,

S四边形A0£>3=2X(3+1)*4+3=11,

2

故△A03的面积是：11-3=8.

A变式训练

【变1-1].如图，点A在反比例函数(x＞0)的图象上，点8在X轴负半轴上，直线

则k的值为()

D.12

解：如图，过点A作ADLx轴，垂足为D,

.0D1

••-----------

0B2

SAAOD寺2U0B=6卷IkLk>0

.\k=12,

故选：D.

【变1-2].如图，反比例函数＞=&(左＞0)的图象与矩形ABC。的两边相交于£,尸两点,

X

若后是的中点，SLBEF=4,则％的值为16.

aa

•・・£是A8中点，

下点坐标为(2a,K),

2a

：.BF=BC-FC=—--=—

a2a2a

SABEF=4,

・•・左=16.

故答案是：16.

【例2].如图，平面直角坐标系中，菱形A3CD在第一象限内，边与I轴平行，A,B

两点的纵坐标分别为6,4,反比例函数>=区(x>0)的图象经过A,8两点，若菱形

X

A3C。的面积为2粕，则左的值为12.

解：解法一：过点A作x轴的垂线，交C2的延长线于点E,

：.AE±BC,

-.-A,B两点在反比例函数y=K(%>0)的图象，且纵坐标分别为6,4,

X

AA(区，6),B(区，4),

64

：.AE=2,BE=—-A=JL,

4612

:菱形ABCD的面积为2,

:.BCXAE=2遥,即BC=遥，

:.AB=BC=爬,

在RtAA£B中，BE=7AB2-AE2=V(V5)2-22=1，

.\k=12.

解法二：同理知：BE=L

设A(a,6),则B31,4),

；.6。=4(o+l),

••2,

：.k=2X6=n,

故答案为12.

A变式训练

【变27].如图，点A、8在反比例函数y=12的图象上，A、8的纵坐标分别是3和6,

X

连接04、0B,则4。45的面积是()

解：..•点4、8在反比例函数>=工2的图象上，A、3的纵坐标分别是3和6,

x

AA(4,3),B(2,6),

作AZ)_Ly轴于£>,BE_Ly轴于E,

/.S/^AOD=S^BOE——X12=6,

2

,**SAAOD+S梯形ABEO-S/\BOE=S梯形ABED,

：.SMOB=—(4+2)X(6-3)=9,

2

【变2-2].如图，在直角坐标系中，。为坐标原点，函数y=更与y=2(a>b>0)在第

一象限的图象分别为曲线Ci,C2,点P为曲线Ci上的任意一点，过点P作y轴的垂线

交C2于点A,作x轴的垂线交C2于点B,则阴影部分的面积SAAOB=』"二_.（结

—22a

mn

•・•点P为曲线。上的任意一点,

・•・阴影部分的面积-工。-工(m--)(n--)

222nm

=mn-b--(nrn-b-b+—b—4)

2mn

1b2

=mn-b--mn+b--------

22inn

故答案为：Xa-^~.

22a

实战演练

1.如图，在△ABC中，AB=AC,点A在反比例函数y=K枭＞0,尤＞0）的图象上，点2,

X

C在无轴上，。。=工。2,延长AC交y轴于点D连接瓦），若△BC。的面积等于1,

5

A.3B.2C.—D.4

2

解：作AE_LBC于E,连接。4,

'：AB=AC,

：.CE=BE,

"：OC=」OB,

5

/.OC=」BC=AX2CE=工CE,

442

'JAE//OD,

；.△COZ)s△CEA,

.•.也％=(里2=%

S/1C0D0C

：△BCD的面积等于1,OC=A(?B,

5

•'»S^COD=—S\/BCD=—

44

.*.5ACEA=4XA=i,

4

,?OC=—CE,

2

SAAOC=—5ACEA="-,

22

1Q

:.+1=9,

22

S^AOE=—k(左＞0),

2

:.k=3,

故选：A.

2.如图，OC交双曲线y=K于点A,且。C：OA=5：3,若矩形ABC。的面积是8,且AB

A.18B.50C.12D.

9

解：延长D4、交x轴于E,

:四边形ABCD是矩形，且AB〃x轴，

：.ZCAB=ZAOE,

；.Z)E_Lx轴，CB_Lx轴，

ZAEO=ZABC

：./\AOE^/\CAB,

./△ABC(AC)2,

^AAOE0A

:矩形ABC。的面积是8,OC：04=5：3,

」.△ABC的面积为4,AC：OA=2：3,

../△ABC_(AC)2=生

,△AOEOA9

SAA0E=9,

•.•双曲线y=K经过点A,

S/xAOE=—\k\=9

2f

'：k>0,

.•・Z=18,

3.如图，已知点A,8分别在反比例函数yi=-2和”=K的图象上，若点A是线段03

解：设A(mb),则3(2〃，2b),

二,点A在反比例函数yi=-2的图象上，

x

••ab'='-2；

VB点在反比例函数＞2=区的图象上，

X

:・k=2a*2b=4ab=-8.

故选：A.

4.如图，点A(w,“)，2(4,旦)在双曲线＞=区上，且0＜根＜”.若△AOB的面积为生,

2x4

贝!]m+n=(

D.3a

解：•.,点A(m,n),B(4,弓)在双曲线y=K上,

.,.mn=4X—=k,

2

・・mn=k=Gi

.♦.双曲线为y=旦，

X

・・・6〃=——，

m

作轴于。，3£_Lx轴于£,

,**S/^AOB—S/\AOD+S梯形ADEB~S^BOE=S梯形ADEB,

(旦+旦)(4-m)=更，

2m24

解得向=1,m2=-16,

VO<m<n.

・・tn~~1,

••n~~6,

:.—7,

故选：A.

5.如图，点A,B是反比例函数>=区(x>0)图象上的两点，过点A,3分别作AC_Lx轴

于点C,轴于点。，连接。4、BC,已知点C(2,0),BD=3,S&BCD=3,则

AOC为()

解：在RtZsBC。中，

•：^XCDXBD=3,

2

/.AXCDX3=3,

2

：.CD=2,

,：C(2,0),

***0c*=2,

・・・OD=4,

：.B(4,3),

•・•点5是反比例函数y=K(%>0)图象上的点，

x

.\k=12,

-x轴,

k

.".SMOC———6,

2

故选：D.

k1k

6.如图，平行于y轴的直线分别交与y=」9■的图象(部分)于点A、3,点C是y

xx

轴上的动点，则△ABC的面积为(

C.ki-kiD.—(k2-h)

2

ki

解：由题意可知，AB=—AB边上的高为x,

、

ik,k9xi

.*.SAABC=—X(--——)*x=—(fci-fo),

2xx2

故选：B.

7.已知四边形0ABe是矩形，边0A在x轴上，边0C在y轴上，双曲线y=K与边2C交

x

于点。、与对角线。8交于中点E,若△08。的面积为10,则上的值是（）

A.10B.5C..D.致

33

解：设E点的坐标是（龙，y）,

是08的中点，

点的坐标是（2x,2y）,

则。点的坐标是（3，2y）,

2y-

「△OB。的面积为10,

1k

.\Ax（2x--）X2y=10,

22y

解得，左=22,

3

故选：D.

8.如图，在以0为原点的直角坐标系中，矩形。43。的两边OC、。4分别在％轴、y轴的

正半轴上，反比例函数尸hx>0)与A8相交于点。，与8c相交于点E,若瓦)=34。，

且△<?£)£■的面积是12,则左=()

A.6B.9C.毁D.丝

55

解：：四边形OCBA是矩形，

：.AB=OC,OA=BC,

设2点的坐标为(a,b),

■:BD=3AD,

：.D(包，b)

4

•；D、E在反比例函数的图象上，

.•.处=%,

4

设E的坐标为(a,y),

••ay~~k,

：.E(a,K),

a

•S/^OZ)E=S矩形OCBA~S/^AOD~S&OCES/\BDE^ab-—k~—~k~—-*——■(b---)=12,

2224a

••.4左+还=12

88

心丝

5

故选：D.

9.如图，一直线经过原点O,且与反比例函数尸K(Q0)相交于点4点8,过点A作

x

ACLy轴，垂足为C,连接8c.若△ABC面积为8,则k=8.

y

干

解：•.•反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点,

；.A、B两点关于原点对称，

：.OA=OB,

：.ABOC的面积=Z\AOC的面积=8+2=4,

又是反比例函数y=K图象上的点，且ACLy轴于点C,

X

.•.△4尢的面积=和，

因=4,

2

\'k>Q,

"=8.

故答案为8.

10.如图，若反比例函数y=近的图象经过等边三角形PO。的顶点P,则△尸。。的边长

x

为2.

解：如图，过点尸作x轴的垂线于

,••△尸。。为等边三角形，

：.OP=OQ,OM=QM=^OQ,

•反比例函数的图象经过点P,

设尸（如运）（。>0）,

a

则OAf=a,0Q=0P=2a,返，

a

在RtAOPM中，

PM=VOP2-OM2=V（2a）2-a2=^3fl,

**.—=V3a）

a

・・.4=1（负值舍去），

***OQ=2〃—2,

故答案为：2.

11.如图，A(4,3)是反比例函数y=K在第一象限图象上一点，连接0A,过A作A8〃x

x

轴，截取A8=OA(8在A右侧)，连接08,交反比例函数y=K的图象于点P.贝

解：过尸作AfALLx轴于M,交AB于N,过A作AD_Lx轴于。,

VA(4,3),

：.AD^3,0£)=4,

；•A0=VOD2+AD2=5，

"：AB=AO,

：.AB=5,

轴,

点2的横坐标是4+5=9,纵坐标是3,

即点B的坐标是(9,3),

设直线的解析式是y="，

把B点的坐标(9,3)代入得：3=9°,

解得：a=—,

3

即y——x,

,3

轴，

：.MN±AB,

把A(4,3)代入y=K,得％=12,

x

即y=—,

x

解方程组，:得:x=6甫/x=-6

y=2ly=-2

•.•点尸在第一象限，

点尸的坐标是(6,2),

VA(4,3),A2〃尤轴，P(6,2),

:.MN=AD=3,PN=3-2=1,

.♦.△04尸的面积是SA4B。-SA4PB=，X5X3-yX5X1=5,

故答案为：5.

12.如图，直线尸元+根与双曲线尸旦相交于A,B两点，BC〃彳轴，AC〃y轴，则△ABC

x

面积的最小值为6.

设A(小芭)，B(b,2),则C(a,旦).

abb

将y=x+m代入y=±,得x+m=—,

xx

整理，得/+必-3=0,

贝!ja+b=-m,ab--3,

/.Ca-Z?)2=(〃+/?)2-4ab=m2+12.

'：SABC=—AC-BC

A2

=工(2-2)(a-b)

2ab

=1.3(b-a)<a-b)

2ab

=—(a-b)2

2

=—(m2+12)

2

=—7M2+6,

2

/.当m=0时，△4BC的面积有最小值6.

故答案为6.

方法二：

因为y=x+m斜率为1,且BC〃x轴，AC〃y轴,

AZABC=ZBAC=45°,

...△ABC为等腰直角三角形，

：.AC^BC=-^AB,

2

S^ABC=—AC*BC=—AB2,

24

当AB最小时，771=0,直线为y=x,

y=xfj§GM

联立方程I3,解得.x=*或*

y=V3y=-V3

/.A（百，V3）,B（-M，-M）,

AB=&X2我=2%,

•••S^ABC最，j、=1X4X6=6.

4

故答案为：6.

13.如图，在平面直角坐标系中，△。48的边。4在x轴正半轴上，其中/O48=90°,A0

=AB,点C为斜边02的中点，反比例函数y=K（Q0,尤>0）的图象过点C,且交线

段AB于点。，连接C。，0D.若S^OCD=6,则k的值为8

k

O\A

解：根据题意设8（m,m）,贝!]A（m,0）,

:点、C为斜边。8的中点，

：.C（典，典）,

22

•反比例函数>=区（左>0,x>0）的图象过点C,

X

2

・・・%=旦•必==,

224

'：ZOAB=90°,

AD的横坐标为m,

•.•反比例函数y=K（%>0,x>0）的图象过点£）,

X

・・・。的纵坐标为四，

4

作轴于E,

***SACOE=SAAOD，

S^OCD=SACOE+S梯形AQCE-S^AOD=S梯形AOCE,S^OCD=6,

...JL(AD+CE>AE=6,即工(a+a).(m-AZ?J)=6,

22422

m2—32,

2

：.k=—=S,

4

故答案为：8.

解法二：

作CE±OA^-E,

：C为A3的中点，OA=AB,ZOAB=90°,

S/\OEC=S^AOD=—kfS/^AOB=2,k>

2

.3

••SABOD=­k,

2

•・・C为斜边05的中点，

S/\OCD=S/\BCD=-S^BOD=()J

2

3左=6,

22

0=8.

故答案为：8.

14.如图，在平面直角坐标系中，团。4BC的顶点A,8在第一象限内，顶点C在y轴上,

经过点A的反比例函数y=K(x>0)的图象交BC于点D若CD=2BD,回。48c的面

X

积为15,则无的值为18.

解：过点。作。MLy轴于N,过点B作轴于M,

aa5

故答案为：18.

15.如图，点A在双曲线y=K的第一象限的那一支上，垂直于y轴于点8,点C在x

X

轴正半轴上，且OC=2A3,点E在线段AC上，且AE=3EC,点。为03的中点，若^

AOE的面积为3,则上的值为—西

解：连。C,如图,

'：AE=3EC,ZVIDE的面积为3,

；.△(?£)£的面积为1,

.,.△ADC的面积为4,

设A点坐标为(a,b),贝U4B=a,OC=2AB=2a,

而点。为OB的中点，

：.BD=OD=—h,

2

"•"S梯形OB4C=SAABD+SAAOC+SAODC，

.•.A(a+2。)X/?=At7xAz,+4+Ax2axAz,,

22222

3

把A(a,b)代入双曲线y=区，

x

k

16.如图，已知反比例函数丁1=3~与一次函数y2=%2x+b的图象交于点A(1,8),B(-4,

m)两点.

(1)求左1,ki,b的值;

(2)求△AOi5的面积；

(3)请直接写出不等式且《卜2什"的解•

解：(1)•.•反比例函数”=二上与一次函数丁2=g+人的图象交于点A(1,8)、8(-4,

m).

，上=8,5(-4,-2),

k2+b=8Jkc2=2

解方程组《解得I;

+=

-4k2b-2,b=6

(2)由(1)知一次函数y=A*+b的图象与y轴的交点坐标为(0,6),

.•.5AAOB=—X6X4+AX6X1=15；

22

(3)-4W尤＜0或xel.

17.如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为(a,6),ABLc轴于点B,cos/OAB=旦，

5

反比例函数y=K的图象的一支分别交A。、43于点C、D.延长A。交反比例函数的图

X

象的另一支于点E.已知点。的纵坐标为国.

2

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求直线EB的解析式；

(3)求S4o所.

解：(1)点的坐标为(a,6),A8_L冗轴，

.\AB=6,

：cos/OAB=3=胆，

5OA

•.•6"h3,

OA5

/.OA=10,

由勾股定理得：OB=8,

(8,6),

：.D(8,3),

2

..•点。在反比例函数的图象上，

"=8x3=12,

2

反比例函数的解析式为：y=£；

x

(2)设直线OA的解析式为：y=bx,

VA(8,6),

；.86=6,b=—,

4

二直线OA的解析式为：y=3x,

-4

则丝=>^_,

x4

x=±4,

：.E(-4,-3),

设直线BE的解式为：y=nvc+n,

把8(8,0),£(-4,-3)代入得：(8mtn=0

I-4m+n=-3

'二

解得：m7,

n=-2

・•・直线BE的解式为：y=lx-2；

4

(3)S^OEB=—OB*\yE\=—X8X3=12.

22

18.如图，直线与反比例函数的图象交于点A(3,a),第一象限内的点3在这个反

比例函数图象上，08与％轴正半轴的夹角为a,且tana=』.

3

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求点B的坐标；

.•・〃=&X3=4,

3

・••点A的坐标为(3,4),

•••々=3X4=12,

・・・反比例函数解析式尸段.

x

(2)•••点8在这个反比例函数图象上，设点8坐标为(x,工2),

X

・・

.t,ana=一1，

3

12

,解得：尤=±6,

x3

:点8在第一象限，

•・x=6,

.•.点8的坐标为(6,2).

(3)设直线。2为〉=乙，(％#0),将点3(6,2)代入得：2=6公

解得：k=—,

3

则点C坐标为（3,1）,

；.AC=3.

SAOAB的面积=S/\OAC的面积+SA4CB的面积=-X|AC|X6=9.

2

/.△OAB的面积为9.

19.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A（-2,与反比

例函数在第一象限内的图象的交于点2（2,n），连接2。，若S^AOB=4.

（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；

（2）若直线AB与双曲线的另一交点为。点，求△ODB的面积.

即/2X*=4,

*=4,

：.B（2,4）,

设反比例函数的解析式为：y=K,

x

把点8的坐标代入得：Z=2X4=8,

设直线AB的解析式为：y=ax+b,

把A(-2,0)、B(2,4)代入得：［%+b。

12k+b=4

解得：0=1,

lb=2

，y=x+2；

(2)由题意得：x+2=6,

X

解得：xi=-4,X2=2,

：.D(-4,-2),

:.S^ODB—SAOAD+S^OAB=—X2X2+4=6.

2

20.如图，在平行四边形0ABe中，00=272,NA0C=45°,点A在x轴上，点。是A8

的中点，反比例函数y3(k〉0)的图象经过C,。两点.

(1)求女的值；

(2)求四边形。48c的面积.

解：(1)过点C作CE_Lx轴于E,

VZAOC=45Q,

：.OE=CE,

：.OEl+CEr=OC1

*/OC=2七

：.OE=CE=2,

：.C(2,2),

•反比例函数y弋■的图象经过点C点，

.•#=2X2=4；

(2)过点。作。无轴于R

,/四边形042c是平行四边形，

.•.AB=OC=2我，/ZMP=/AOC=45°,

又丁点。是A3的中点,

：.AD=42>AF=DF,

:.AF2+DF2=AD2,

J.AF^DF^l,

.••D点的纵坐标为1,

V反比例函数了屋的图象过点。点,

：.D(4,1),

：.OF=4,OA^OF-AF=4-1=3,

平行四边形048C的面积S=OA-CE=3X2=6.

21.如图，直线y=6x与双曲线>=工(左W0,且x>0)交于点A,点A的横坐标为2.

x

(1)求点A的坐标及双曲线的解析式；

(2)点2是双曲线上的点，且点B的纵坐标是6,连接08,AB,求△A0B的面积.

解：(1)将尤=2代入y=6x,得：y=12,

.♦.点A的坐标为12,12),

将A(2,12)代入y=区，得:左=24,

X

・••反比例函数的解析式为y=22；

(2)在y=&■中y=6时，x=4,

x

，点8(4,6),而A(2,12),

如图，过A作ACJ_y轴，轴，交于点E,贝U

OD=4,0C=12,80=6,AC=2,AE=2,BE=6,

S/\AOB=S矩形OC£D-S/\AOC-S丛BOD-S^ABE

=4X12-AX2X12-AX4X6-AX2X6

222

=48-12-12-6

=18.

22.如图，已知A(-4,〃)，B(2,-4)是一次函数y=^+6的图象和反比例函数y坦的

图象的两个交点.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)求△AOB的面积；

(3)若。(x,0)是x轴上原点左侧的一点，且满足kx+b-W"<0，求尤的取值范围.

・・"1=8,

...反比例函数的表达式为＞=-

X

VA(-4,")在y=-区的图象上，

x

.'.n=2,

：.A(-4,2).

经过A(-4,2)和8(2,-4),

-4k+b=2

2k+b=-4

k=-l,

解得

b=-2.

，一次函数的表达式为y=-x-2.

(2)当y=-x-2=0时，解得x=-2.

...点C(-2,0),

；.OC=2,

S^AOB—SMOC+S/^COB

AX2X2+AX2X4

22

=6.

(3)根据函数的图象可知：若D(x,0)是无轴上原点左侧的一点，当-4<x<0时,

满足质+6-&<0.

x

23.如图，一次函数尸匕彳+6的图象与反比例函数(x<0)的图象相交于点A(-1,

x

2)、点B(-4,〃).

(1)求此一次函数和反比例函数的表达式;

(2)求△AO8的面积;

(3)在x轴上存在一点P,使△融8的周长最小，求点P的坐标.

解：(1)•.•反比例函数y="(x<0)的图象经过点A(-1,2),

X

：.k2=-1X2=-2,

・••反比例函数表达式为：y=-2

x

:反比例y=-Z的图象经过点2(-4,ri'),

x

-4〃=-2,解得n=—

2

:.B点坐标为(-4,—

2

•.•直线y=hx+b经过点A(-1,2),点8(-4,-1),

-k1+b=2

解得：u，

14

・•・一次函数表达式为：y=^x+§.

2x2

(2)设直线AB与x轴的交点为C,如图1,

当y=0时，-i-x+-^-=O,x=~5；

・・・C点坐标(-5,0),AOC=5.

SAOC=—•<?C*|^A|="X5X2=5.

A22

S^BOC=—9OC*\yB\——X5X—=—.

2224

515

S^AOB=S^AOC-S&BOC=5--=;

44

(3)如图2,作点A关于x轴的对称点A',连接A'B,交x轴于点P,此时△以8的

周长最小，

:点A'和A(-1,2)关于x轴对称，

.,.点A'的坐标为(-1,-2),

设直线A'3的表达式为y=ax+c,

•经过点A'(-1,-2),点8(-4,1)

2

r-a+c=-2

1»

-4a+c=-^-

'.5

好方

解得：17，

c=------

6

直线A'8的表达式为：y=-立彳-卫，

66

当y=0时，贝！

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形。08。是矩形，且0(0,4),5(6,0).若

k1

反比例函数(尤＞0)的图象经过线段OC的中点A(3,2),交。C于点E,交BC

x

于点F.设直线EF的解析式为y=k2x+b.

(1)求反比例函数和直线跖的解析式；

(2)求△OEF的面积；

k

(3)请结合图象直接写出不等式也什6」＞0的解集.

x

解：(1):四边形。。8C是矩形，且Q(0,4),B(6,0),

点坐标为(6,4),

点坐标为(3,2),

左1=3义2=6,

反比例函数解析式为尸旦；

把兀=6代入＞=旦得冗=1,则方点的坐标为(6,1)；

x

把y=4代入＞=旦得％=旦，则E点坐标为(旦，4),

x22

把尸(6,1)、E(-|,4)代入产fox+Zb

%k2+b=l

得＜3，

yk2+b=4

k------

解得，23.

,b=5

直线EF的解析式为尸-■|x+5；

(2)AOEF的面积=S矩形580-S^ODE-S^OBF-S^CEF

=4X6-—X4X^--AX6X1-AX(6--)X(4-1)

22222

=45.

V

(3)由图象得：不等式也c+b-二＞0的解集为3Vx＜6.