2024年中考数学压轴题突破训练：圆的相关证明与计算（原卷版+解析）

压轴热点考点13圆的相关证明与计算

压轴突破——2024年【中考・冲刺】数学高频热点考点好题精编

一、单选题

1.如图，点P是：。外的一点，出、PC是.。的切线，切点分别为A,C,A2是.。的直径，连接2C,

PO,尸。交弦AC于点。.下列结论中不正确的是（）

A.PO//BC

B.PD=2OD

C.若NABC=2/CPO,贝必^4c是等边三角形

D.若AB4c是等边三角形，则/ABC=2NCPO

2.如图，在半径为1的Q中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60。，90°,120。那么以这三条弦长为边

长的三角形的面积是（）

3.如图，点A,B是半径为2的；。上的两点，且43=2百，则下列说法正确的是（）

A.圆心。到的距离为6

B.在圆上取异于A,8的一点C,贝h.ABC面积的最大值为26

C.以42为边向上作正方形，与o的公共部分的面积为

D.取AB的中点C,当A3绕点。旋转一周时，点C运动的路线长为打

4.如图，已知是半圆。的直径，点C,。将分成相等的三段弧，点M在48的延长线上，连接〃。.对

于下列两个结论，判断正确的是（）

结论I：若/。阿＞=30。，则V。为半圆。的切线;

结论II：连接AC,CD,则NACO=130。

A.i和n都对B.i对ii错C.I错II对D.I和II都错

5.如图，已知A8为。。的弦，C为A8的中点，点。在优弧ABC上一点，连接下列式子一定正确的

是（）

A.ZADC^ZBB.ZADC+2ZB=90°

C.2ZADC+ZB=90°D.ZB=30°

6.如图所示，已知三角形筋E为直角三角形，ZAfiE=90°,BC为。切线，C为切点，DE为0直径,

C4=C2则ABC和...CDE面积之比为（）

A.1:3B.1:2C.72:2D.(V2-l):l

7.有一直径为48的圆，且圆上有C、D、E、/四点，其位置如图所示.若AC=6,AD=8,AE=5,

AF=9,AS=10,则下列弧长关系何者正确？（）

A.AC+AD=AB>AE+AF=ABB.AC+AD=AB^AE+AF^AB

C.AC+AD^AB>AE+AF=ABD.AC+AD^AB^AE+AF^AB

8.如图，。。与AABC的三边分别相切于点D,E,F,连接OE,EF.若AO=6,BE=7,CF=S,则tan

/。跖的值是（）

B

AFC

374

A.-B.2C.-D.-

243

二、填空题

9.如图，已知：O的半径为1,A8为直径，C为:O上一动点，过C作O的切线CP,过A作AM,CP,

垂足为连结OM,若.AOM为等腰三角形,贝UAM=_____.

B

10.如图，。的两条半径Q4与互相垂直，垂足为点。，点C为上一点，连接AC并延长交。于

CD3

点D若益二'则cos』3c的值为一

A

11.如图，ZA=90°,。与NA的一边相切于点P,与另一边相交于B,C两点，且AB=1,BC=2,

则扇形BC的面积为

12.如图，C、。两点在半圆。的弦上，点E在半圆。上，且「CDE为等边三角形，已知AC=6,CD=3,

ZAOB=120°,则劣弧AB的长为

13.如图，AB是「。的直径，C,。两点在圆上，连接AD,CD,且BC=CD，Z.CAB=25°,P为ABC

上一动点，在运动过程中，。尸与AC相交于点M,当VCDW为等腰三角形时，NPDC的度数

14.如图，在。中，AB是，。的直径，AB=2区AD=BC,AD,BC交于点E,点。为BC的中点，点

G为平面内一动点，且BGLEG,则AG的最小值为.

A

三、解答题

15.一条盘水管的截面如图所示，水面宽AB垂直平分半径0D.

D

⑴求/OD3的度数;

(2)若。。的半径为6,求弦AB的长.

⑶若连结AD,请判断四边形AOBD的形状，并给出证明.

16.如图，。为四边形A3CD的外接圆，若TW=A£＞、CB=CD,延长AD至点R连接FC并延长至点

E,恰好使得/8CE+//=90。.

(1)证明：所为的切线

(2)连接80,若。的半径为4,CF=6,求的长

17.如图，ABC是一。的内接三角形，E在C4的延长线上.给出以下三个条件：①AC是。的直径,

②EB是。的切线，©ZABE^ZC.

(1)请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论,组合成一个新的真命题，并给予证明;

⑵在(1)的条件下，若AB=M,求/C的度数.

18.阅读与思考

学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务.

割线定理

如图，A是。外一点，过点A作直线AC,AE分别交(Q于点8,C,D,E,则有=.

证明：如图，连接BE,DC.

'：ZBCD=ZBED（依据：①）,ZCAD=ZEAB,

；.NACD:NAEB.

：.ABAC=ADAE.

任务：

(1)上述阅读材料中①处应填的内容是,②处应填的内容是.

(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论.请将下列已知、求证补充

完整，并给出证明.

己知：如图，A是，。外一点，过点A的直线交。。于点2,C,.

19.阅读下面材料，完成相应的任务：

阿基米德(Arc/i加edes,公元前287-公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、

高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研

究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的.

其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长

弦上的射影，就是折弦的中点.

(1)定理认识：如图所示，AB,3C是圆。的两条弦(折弦)，M是ABC的中点，MDVBC,垂足为。，

求证：.

(2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达

到“截长补短”效果.同学1：在。上截取CE=A5,同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E,

同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论(本题可直接使用)过点M作5c的平行弦交。。于点N.请你参

考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明.

20.如图，已知A8,8是。。的两条直径，直径8平分/ACE,/ACE的一边CE■与iO和直径AB分

别交于点E,F,连接BE,MAC=AF.

⑴证明：BE//CD；

⑵若CF=2,求所的长.

压轴热点考点13圆的相关证明与计算

压轴突破——2024年【中考・冲刺】数学高频热点考点好题精编

一、单选题

1.如图，点尸是：o外的一点，加、PC是CO的切线，切点分别为A,C,是。的直径，连接BC,

PO,PO交弦AC于点D.下列结论中不正确的是()

A.PO//BC

B.PD=2OD

C.若=则ABAC是等边三角形

D.若AB4c是等边三角形，则NABC=2/CPO

【答案】B

【分析】连接0C,根据切线的性质，推出△R4。/PCO(HL),进而推出尸OLAC,圆周角定理，得到

BC±AC,判断A,条件不足,无法得到PD=2OD,判断B,同角的余角相等,得到ABAC=ZAPO=Z.CPO,

进而推出/APC=60。，再根据R4=PC,判断C,根据等边三角形的性质，圆周角定理，推出NCPO=30。，

ZABC=60°,判断D,即可得出结论.

【详解】解析：连接OC,

•.•丛,尸(7是一。的切线,

ZR4O=/PCO=90°,

VOA=OC,PO=PO,

：.△B4O丝PCO(HL),

APA^PC,ZAPO=ZCPO,

・・・PO.LAC.

•；AB是一。的直径，

.・.BC±AC,

APO//BC.选项A正确；

•・,Z&4C+ZPAC=90°,AAPO+APAC=90°,

・•.ABAC=ZAPO=ZCPO,

•；ZABC=2ZCPO,

：.ZABC=2ZBAC,

ABCABAC=90°,

：.ABAC=30°,

：.ZAP。=60。,

,:PA=PC,

是等边三角形，选项C正确；

•・・△尸AC是等边三角形，

：.ZAPC=60°=ZPAC,

・・•ZAPO=ZCPO,

：.NCPO=30。,

・.•ZPAO=90°,

JABAC=30°f

〈AB是。的直径，

・•・ZACB=90°,

：.ZABC=90°-30°=60°,

；・ZABC=2/CPO,选项D正确；

条件不足，无法得到PD=2OD,选项B错误；

故选B.

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质.熟练掌握相关知识点并灵活运用，

是解题的关键.

2.如图，在半径为1的,。中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60。，90。，120。那么以这三条弦长为边

长的三角形的面积是（）

\_z.------\-J.--------

22

【答案】D

【分析】连接。4、OB、OC、OD、OE、OF,则AOB、△<%>£)分别为等边三角形，等腰直角三角形，

进而可得到48、A8长；再过点。作于点根据垂径定理可得EF=2EfZ,ZEOH=ZFOH=60°,

根据锐角三角形函数可求出Ef/,进而可得肝；再根据AS2+CZ)2=E尸可判断以A3、CD、E/为边的

三角形为直角三角形，即可求出其面积.

【详解】解：解：如图，连接04、OB、OC,OD、OE、O尸，则ZA03=60。，/COD=90。，ZE(9F=120°,

在RtCOD中，CD=>/12+12=V2-

,?OA=OB,

二oAOB是等边三角形，

AB=OA=1,

过点。作OH_L£F于点“，则£F=2EH,ZEOH=ZFOH=60°,

：.FH=OFsm^°=\^—=—,

22

,EF=2FH=y/3,

VI2+(V2)2=(73)2,BPAB2+CD2=EF2,

...以A3、CD、麻为边的三角形为直角三角形，

,其面积为：lxV2xl=^l.

22

故选：D.

【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理的逆定理，解题关键是熟练应用垂径定理求弦长.

3.如图，点A,B是半径为2的＜O上的两点，且A8=2出，则下列说法正确的是（）

A.圆心。到A5的距离为出

B.在圆上取异于42的一点C,贝hABC面积的最大值为26

C.以A3为边向上作正方形，与「O的公共部分的面积为+g

D.取AB的中点C,当绕点。旋转一周时，点C运动的路线长为万

【答案】C

【分析】根据垂径定理结合勾股定理可求出0C，从而可判断A；当ABC的高最大时三角形面积最大即

高在的垂直平分线上且在48的上方，计算出二ASC的面积可判断B；根据

S阴影=S矩形/BCD+S扇形-SDOC可判断C；点C的运动轨迹是以。为圆心，0c为半径的圆周，求出周长可

判断D

【详解】解：A.如图1,过点。作OCL钻于点C,贝IJ有AC=：A3=V^,

由勾股定理得，OC=JAO?一AC?=西-（呵=1,

所以，圆心。到48的距离为1,故选项A说法错误；

B.如图2,当ABC的高最大时三角形面积最大即高在A3的垂直平分线上且在的上方，此时,

CD=OC+OD=2+1=3

c

图2

ABC的最大面积为!.AB.CD=2退x3=3如，故选项B说法错误;

22

C.如图3,根据题意可得/ABO=30。，四边形ABC。是矩形，

图3

ZOSC=60°

△08C是等边三角形，

BC=OB=2,ZDOC=120。，

S阴影=S矩形4gCD+S扇形ooc—SDOC=2若x2+120"x2_J_x2道义1=34+±%，故选项C正确;

36023

D.如图4,点C的运动轨迹是以。为圆心，OC为半径的圆周，

图4

周长为：2xlx万=2万，所以，选项D错误;

故选：C

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周长、扇形面积的计算等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关

键

4.如图，已知AB是半圆。的直径，点C,D将AB分成相等的三段弧，点M在A8的延长线上，连接V。.对

于下列两个结论，判断正确的是（）

结论I：若/。〃。=30。，则V。为半圆。的切线；

结论n：连接AC,CD,则NACO=130。

A.i和n都对B.i对ii错c.i错ii对D.i和n都错

【答案】B

【分析】连接O。，OC,先得出AC=OC=DB，NAOC=NOOB=gxl80o=60。，进而得出/ODM=90。,

MD为半圆。的切线；连接AC,CD,再证明AOC,△OOC是等边三角形，即可得出NACD=120。.

【详解】连接OD，OC,

•.•点C,D将AB分成相等的三段弧,

AC=DC=DB，

：.ZAOC=ZDOB=-xl80°=60°,

3

,/ZOMD=30°,

：.ZOOM=90°,

OD是半径，

二MD为半圆。的切线，故I对，

连接AC,CD,

,/OD,OC是半径，ZAOC=zcor>=60°,

cAOC,△DOC是等边三角形，

ZACO=ZDCO=60°,

ZACD=120°,故n错，

故选：B.

【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键.

5.如图，已知A8为。0的弦，。为的中点，点。在优弧A5C上一点，连接下列式子一定正确的

A./ADC=NBB.ZADC+2ZB=90°

C.2ZADC+ZB=90°D.ZB=30°

【答案】C

【分析】先利用垂径定理，由。为的中点得到则NA+NA0090。，然后根据圆周角定理得

到NAOC=2NAOC,加上于是可判断。选项一定正确.

【详解】・・・C为A5的中点，

JOC1AB,

：.ZA+ZAOC=90°,

・.・ZAOC=2ZADC,

A2ZA£>C+ZA=90°,

•；OA=OB,

・•・ZA=ZB,

.\2ZADC+ZB=90°.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.也考查了垂径定理.

6.如图所示，已知三角形叱为直角三角形，ZABE=90°,为。。切线，。为切点，DE为0直径，

G4=CD,则一ABC和.CD石面积之比为（）

A

c.V2:2D.(V2-l):l

【答案】B

【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算

即可.

【详解】解：如图取。石中点连接0C.

：.ZDCE=ZDCA=90°.

・・・3C与圆。相切.

：.ZBCO=90°.

*.•ZDCA=ZBCO=90°.

：.ZACB=ZDCO.

•：ZABD-^-ZACD=180°.

：.ZA+ZfiZ)C=180°.

又ZBDC+ZCDO=180。.

：.ZA=ZCDO.

VZACB=ZDCO,AC=DC,ZA=ZCDO.

：.AABC=AZ)OC(ASA).

•,=S^DOC•

・・•点。是。石的中点.

••S&DOC=0.5SACDE•

=0.55ACD£.

S/\ABC'S&CDE=1：2

故答案是：1:2.

故选：B.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周

角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提.

7.有一直径为48的圆，且圆上有C、D、E、尸四点，其位置如图所示.若AC=6,AD=8,AE=5,

AF=9,AB=10,则下列弧长关系何者正确？（）

A.AC+AD=AB，AE+AF=ABB.AC+AD=AB，AE+AF^AB

C.AC+AD^AB-AE+AF=ABD.AC+ADwAB，AE+AF^AB

【答案】B

【分析】连接BD,BF,先求解AC=&)=6,可得AC=BO，AC+AD=AB，再求解2尸=加，可得

AE丰BF，AE+AF^AB^从而可得答案.

AC=6,

,\AC=BD.

AC=BD^

AC+AD=AB，

AB直径，AB=10,AF=9,

ZAFB=90°,BF=M,

AE=5f

•,AEwBF，

AE+AFwAB，

所以B符合题意，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的

关键.

8.如图，。。与AABC的三边分别相切于点。，E,F,连接。E,EF.若A£>=6,BE=1,b=8,则tan

/■DEF的值是（）

【答案】A

【分析】过点B作BM±AC于点M,连接OD、OE、OF、AO,BO、CO,根据切线长定理先得出AF=A。=6,

CE=CF=8,BD=BE=1,即可得出三角形的三边长，根据勾股定理求出AM的长度，根据面积求出三

角形内切圆的半径，根据圆周角定理和三角形全等，求出ZAOD=/DEF,即可得出结果.

【详解】解：过点3作而W，AC于点连接OD、OE、OF、A。、BO、CO,如图所示：

B

与AABC的三边分别相切于点£>,E,F,

：.OD±AB,OF±AC,OELBC,OD=OE=OF,

AF=AD=6,CE=CF=8,BD=BE=1,

设OD=OE=OF=r,

：.AB=AD+BD=13,AC=AF+FC=14,BC=BE+EC=15,

\'BM±AC,

：.ZBMA=ZBMC=90°,

/.AABM与ACBM为直角三角形，

，根据勾股定理可得：BM2=AB2-AM2>BM2=BC2-CM2,

即AB2-AM2=BC2-CM-,

13--AM2=152-(14-AM)2,

解得：AM=5,

贝UBM=y/AB2-AM2=12，

/.S..„r=—xl4xl2=84,

,•V—Q_i_Q_i_Q

•°AABC-丁0AAOC丁°bBOC

=—ABxr+—ACxr+—BCxr

222

=1(AB+AC+BC)

xr

1

=­x(13+14+15)xr

2

=21r

・・・21/=84,解得：r=4,

在Rt^AOD和RtAAOF中，<八八八厂，

[OD=OF

：.RtAAOD^RtAAOF(HL),

/.ZAOD=ZAOF=-/DOF,

2

DF=DF，

/.ZDEF=-ZDOF,

2

:.ZAOD=ZDEFf

，tan/DEF=tan/AOZ)==—=—,故A正确.

OD42

故选：A.

【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，圆周角定理，三角函数的定义，三角形全等的判定和性

质，作出辅助线，求出三角形内切圆的半径，是解题的关键.

二、填空题

9.如图，已知(。的半径为1,A3为直径，C为：。上一动点，过C作。的切线CP,过A作AMJ_CP,

垂足为连结OM,若AOW为等腰三角形，则4W=

【答案】1或巨卫

2

【分析】连接0C,过。点作OALA"于a,如图，根据切线的性质得OCLCP,则可判断四边形oa组

为矩形,所以HM=OC=1,OH=CM,利用AOM为等腰三角形得到AM=AO=1MA—MO,当MA—MO

时，设MO=x,CM=y,贝l|4W=x,AH=x-l,利用勾股定理12+丁=/，(l-x>+y2=l2,然后解方

程组可得到对应的AM的长度.

【详解】解：连接。C,过。点作于如图，

CP为。的切线，

OCLCP,

AM±CP,OHLAM,

四边形OCMW为矩形,

,-.HM=OC=\,OH=CM,

AOM为等腰三角形，

AM=AO=1或MA=MO,

当M4=MO时，设AfO=x,CM=y,贝l|AM=x,AH=x-l,

在RtZkOCM中，i2+y2=x2,①

在RtzVMH中，(l-x)2+y2=l2,②

②—①得x2-2X+1-1-1-X2,

整理得2尤2-21=0,

解得玉=匕且，x2二』(舍去)，

122

...AM的长为1±2叵，

2

综上所述，AM的长为1或匕走.

2

故答案为：1或S叵.

2

A

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理、折叠的性质和

解直角三角形.

10.如图，O的两条半径。4与08互相垂直，垂足为点0,点C为03上一点，连接AC并延长交。于

CD3

点。.若三二一,则cos/Q4c的值为_____.

AC4

【答案】

【分析】根据延长AO交I。于点E,连接OE,构造出直角三角形，再根据相似三角形的判定和性质解答

即可.

【详解】解：延长49交。于点石，连接。石，

E

&

A

AE是直径，

ZADE=90°,

OALOB,

：.ZAOB=90°,

ZOAC=ZDAE9

/\OAC^/\DAE,

..CD_3

,~AC~4"

设OA=r,AC=4a,CD=3a,

.OA_ACr_4a

•・而―瓦，即五一五’

.•」=而，

a

小。心组=—"=巫.

AC4〃4〃4

故答案为：号.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理和相似的判定和性质,熟练掌握这些性质和定理是解答本题的关键.

11.如图，ZA=90°,二。与2A的一边相切于点P,与另一边相交于8,C两点，且AB=1,BC=2,

则扇形BC的面积为____________

AP

【答案】—/—兀

33

【分析】连接0P,过O点作于点E,作砥，OP于点F,利用垂径定理的内容得出

BE=CE=?BC=1，再证明四边形。£班\四边形Q4B尸是矩形，即有OP=PF+"=2,进而有

OP=OB=OC=2f从而得出△06。是等边三角形，即NH9C=60。，利用扇形面积公式求出即可.

【详解】连接0P,过O点作于点E,作5尸，OP于点F,如图，

•：OELBC,BC=2,

：.BE=CE=-BC=l

2f

・・•一。与/A的一边相切于点尸，

AAP1PO,

VOELBC,BFLOP,ZA=90°,

・•・可得四边形。£班\四边形R师是矩形，

VAB=l,BC=2,

：.AB=1=PF,BE=OF=1,

・・・OP=PF+OF=2,

：.OP=OB=OC=2,

・・・△O5C是等边三角形，

・•・ZBOC=60°,

,,S扇形BOC=^^X71XOP2=~7l,

故答案为：■

【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利

用已知得出OP=Pb+。/=2是解决问题的关键.

12.如图，C、。两点在半圆O的弦上，点E在半圆。上，且「.CDE为等边三角形，已知AC=6,CD=3,

ZAOB=120°,则劣弧AB的长为

o

【分析】先利用圆周角定理求得NAES,再根据等边三角形的性质和三角形的外角性质求得NE4C=N丽,

ZACE=NEDB,利用相似三角形的判定证明ACEyED3得到生=式，进而求得30、AB,过。作

DEBD

OFLAB于忆利用垂径定理和锐角三角函数值求得Q4,然后利用弧长公式求解即可.

【详解】解：连接他、BE,

：ZAOB=120°,OA=OB,

\ZAEB=180°——ZAOB=120°,NOAB=OBA=30。，

2

・・CDE1为等边三角形，CD=3,

\ZCDE=ZCED=ZDCE=60°fCE=DE=CD=3

\ZACE=ZEDB=120°,ZAEC+ZBED=6G°,ZAEC+NE4c=60。,

,・NEAC=NBED,

,・ACEsEDB,

•・AB=AC+CD+BD=—

2

过O作于忆则NAFO=90。，AF=

在HAFO中，cos30°=—=—,

OA2

・•・劣弧A5的长为I2。""7岳,

1803

故答案为：逑^

3

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、三角形的外角性质、相似三角形

的判定与性质、解直角三角形、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性

质求解线段长是解答的关键.

13.如图，是。的直径，C,。两点在圆上，连接AD,CD,且BC=C。，ZCAB=25°,P为ABC

上一动点，在运动过程中，0P与AC相交于点闻,当va泌为等腰三角形时，NPDC的度数

【分析】根据BC=CD，NC4B=25。可得：ZCAD=ZCAB=25°,再由AB是二。的直径得NC=40。，然后

分三种况讨论即可得出答案.

ZCAD=ZCAB=25°,

:.ZDAB=50°,

钙是：。的直径，

:.ZADB=9Q°,

:.ZDAB^ZABD=9Q0,

:.ZABD=40°,

AD=AD

：.ZC=ZABD=40°f

当NCDM为等腰三角形时，

①当MD=MC时，ZPDC=ZC=40°,

1«n0_40°

②当CD=CM时，NPDC=­--=70°,

③当DA/=OC时，ZPDC=180°-2x40°=100°,

故答案为：40。或70。或100。.

【点睛】本题考查了圆周角定理和直径所对的圆周角等于90。，解题的关键是利用圆周角定理以及直径所

对的圆周角等于90。，求出/C的度数，以及掌握利用分类讨论的思想来解决问题.

14.如图，在。中，48是,。的直径，AB=25AD=BC,AD,8C交于点E,点D为BC的中点，点

G为平面内一动点，且3GLEG,则AG的最小值为

【答案】V7-1/-1+V7

【分析】连接AC,以BE为直径作M,先证明点G在＜，"上，连接AM,当AM于M交于点G时，

AC][

此时AG最短，再求得3E=AE=---------=2,CE=^AE=1,则得到CM=

COS30022

CE+ME=2,由勾股定理得到4加=近，即可得到答案.

【详解】解：连接AC,以8E为直径作；M,

•JBGLEG,

:.NBGE=9Q。,

二点G在M上，

连接AM,当AM于M交于点G时，此时AG最短，如图,

,：AD=BC,

AD=BC，

,•,点。为8C的中点,

・,BD=CD=AC，

：.ZCBD=ZCBA=ZBAD=ACAD,

：.AE=BE,

〈AB为O。的直径,

・•・ZACB=90°,

：.ZCAD+ZBAD+ZABC=90°,

：.ZCBD=ZCBA=NBAD=ZCAD=30°,

・，.AC=^AB=gx2百=g,

A(J]

：・BE=AE=---------=2,CE=—AE=1,

cos3002

•：MG=MB=ME=gBE=1,

：.CM=CE+ME=2,

：.AM=《AC。+C"=J(可+*=S，

：.AG=AM-MG=y/j-1,

即AG的最小值为4-1,

故答案为：V7-1

【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作辅助圆是解题的关键.

三、解答题

15.一条盘水管的截面如图所示，水面宽垂直平分半径。。.

D

⑴求/OD8的度数；

(2)若。的半径为6,求弦AB的长.

(3)若连结AD,请判断四边形AQBD的形状，并给出证明.

［答案］⑴60。

(2)6^

(3)菱形

【分析】(1)结合垂直平分线的性质以及圆的性质，证明O3=OD=Z)3,易知.为等边三角形，即

可获得答案;

(2)结合题意可得OB=OD=6,OC=3,利用勾股定理可解得BC=，然后由垂径定理可知AB=2BC,

即可获得答案；

(3)证明。4===即可判断四边形AOBO的形状.

【详解】(1)解：:AB垂直平分。。，

OB=DB,

由：OB=OD,

OB=OD=DB,

.LG®。为等边三角形，

NODB=60°；

(2)：O的半径为6,即O3=OD=6,

又：AB垂直平分OD,

OD±AB,且OC=—OD=—x6=3,

22

•*-BC=ylOB2-OC2=762-32=373-

VODLAB,OD为O半径，

AC=BC,

：.AB=2BC=6A/3;

(3)四边形493。为菱形，证明如下:

连接AO,如下图,

D

AB垂直平分0D,

AOA=DA,OB=DB,

由：OA=OB,

OA=DA=DB=OB,

二四边形A03D为菱形.

【点睛】本题主要考查了圆的基本概念、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、垂

径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.

16.如图，.Q为四边形ABC。的外接圆，若=CB=CD,延长AD至点孔连接收并延长至点

E,恰好使得/3CE+/F=90。.

（1）证明：斯为（。的切线

（2）连接80,若。的半径为4,CF=6,求3D的长

【答案】（1）见解析

192

⑵加=后

【分析】（1）连接AC,根据弧，弦之间的关系，推出AC为。直径，ZACB^ZACD,进而得到

ZADC=NCDF=90°,根据同角的余角相等，得到/3CE=NOC尸，再根据平角的定义，推出

ZACD+ZDCF^90°,即AC_L£F,即可得证；

（2）设3。交AC于点垂径定理得到=，勾股定理求出"的长，等积法求出8,

再用勾股定理和等积法求出DH的长，即可得解.

【详解】（1）证明：连接AC,

VAB=AD,CB=CD,

,,AB=AD，CB=CD，

AB+CB=CD+AD^ZACB=ZACD,

AB+CB为半圆，

・・・AC为。。的直径，

・•・ZADC=90°,

・・・NCDF=90。,

AZDCF+ZF=90°,

•；/BCE+/F=90。

：.NBCE=NDCF,

•・・ABCE+ADCF+ZACB+ZACD=180°,

AZACD+ZDCF=90°f即：OC±£F；

•・•oc为。。的半径，

；.EF为。的切线；

(2)设交AC于点H,

则：BH=DH,AH±BD,

。的半径为4,

・・・AC=8,

・.,ZACF=90°,CF=6,

JAF=7AC2+CF2=10，

SACF=-ACCF=-AFCD

ACF22f

・・・6x8=100

ACD=4.8,

•・・ZADC=90°,

・•・AD7AC2-CU=6.4,

SACD=-ACDH=-ADCD,

ACD22

・•・8。〃=4.8x64,

：.DH=—,

25

192

BD=2DH=——.

25

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理.解题的关键是掌握弧，弦，角之间的关系，得到

AC是。的直径.

17.如图，ABC是。的内接三角形，E在C4的延长线上.给出以下三个条件：①AC是。的直径,

②EB是，。的切线，③ZABE=/C.

（1）请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论,组合成一个新的真命题，并给予证明；

⑵在（1）的条件下，若=求—C的度数.

【答案】（1）选择①②作为条件，③作为结论；选择①③作为条件，②作为结论；证明见解析

（2）30°

【分析】（1）选择①②作为条件，③作为结论：如图所示，连接。3,根据切线的性质和圆周角定理得到

ZABC=ZOBE=90°,则可得NO3C=NABE,再由等边对等角得到NC=NO3C,由此可得/4BE=/C；

选择①③作为条件，②作为结论：如图所示，连接。8,由圆周角定理得到NOBC+/OA4=90。，由等

边对等角得到NC=NOBC,由此即可得到ZOBC=ZABE,进一步得到NOBE=90。，则EB是O的切线；

（2）证明NABEM/CMNE,再由/ABE+NC+/E+/ABC=180。进行求解即可.

【详解】（1）解：选择①②作为条件，③作为结论：

如图所示，连接。3,

••,AC是；。的直径，EB是。的切线，

ZABC=ZOBE=90°,

：.NOBC=ZABE,

'：OB=OC,

：.NC=NOBC,

：.ZABE=NC；

选择①③作为条件，②作为结论：

如图所示，连接。3,

；AC是eO的直径，

ZABC^90,

：.ZOBC+ZOBA=90°,

'：OB=OC,

：.NC=NOBC,

ZABE=NC；

/OBC=ZABE,

：.ZABE+AOBA=90°,即ZOBE=90°,

・・・。5是O的半径，

JZABE=/E,

又・・・ZABE=NC,

：.ZABE=ZC=ZE9

ZABE+ZC+ZE+ZABC=180°,

・•・3ZC+90°=180°,

/.ZC=30°.

【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知切

线的性质与判定条件是解题的关键.

18.阅读与思考

任务:

(1)上述阅读材料中①处应填的内容是,②处应填的内容是.

(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论.请将下列已知、求证补充

完整，并给出证明.

己知：如图，A是，。外一点，过点A的直线交＜O于点8,C,.

(2)AE与1O相切于点E.ABAC；证明见解析

【分析】(1)根据题意得到结论即可；

(2)如图，连接BE,CE,证明.ABEACE即可得到结论.

【详解】(1)如图，连接BE,DC.

•：ZBCD=ZBED(依据：①、同弧所对的圆周角相等.),ZCAD=ZEAB,

：.NACD:NAEB.

.AD„AC

：.—=@—

AB-AE-------

ABAC=ADAE.

AT

故答案为：同弧所对的圆周角相等；芸；

AE

(2)已知：如图，A是外一点，过点A的直线交，。于点8,C,AE与。相切于点E.

证明：如图，连接BE,CE,连接E。并延长交(。于点。，连接50.

；AE为。的切线,

ZJDE4=90°,

ZDEB+ZAEB=90°,

'：DE为IO的直径，

/./DBE=90。,

ZDEB+ZBDE=90°,

/./BDE=NAEB,

'：ZBDE=ZBCE,

：.ZAEB=ZBCE.

,?ZA=ZA,

A4ABEAEC,

.ABAE

"AC）

/.AE2^ABAC.

故答案为：4£与（。相切于点E.ABAC

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，割线定理，熟练掌握割线定理是解题的关键.

19.阅读下面材料，完成相应的任务：

阿基米德（Arc/i加edes,公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、

高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基