2024年中考数学压轴题训练：二次函数与最值

2024年中考数学高频压轴题训练

二次函数与最值

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线h：y=x2+bx+c过点C(0,-3),且与抛物线b：y

=-Jx2-jx+2的一个交点为A,已知点A的横坐标为2.点P、Q分别是抛物线11、抛

物线12上的动点.

(1)求抛物线h对应的函数表达式；

(2)若点P在点Q下方，且PQ〃y轴，求PQ长度的最大值；

(3)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标.

备用图

2.如图，二次函数丁=-尤2+ax+b的图象与x轴、y轴交于点A(T。)、3(4,0)、C三点,

点P是抛物线位于一象限内图象上的一点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)作点P关于直线CB的对称点D,求四边形CDBP面积的最大值；

(3)在(2)的条件下，连接线段CP,将线段CP绕点C逆时针旋转60。到CE,连接DE交

抛物线于点忆交直线CB于点G,试求当△CPG为直角三角形时点尸的坐标.

3.已知抛物线y=+bx-4经过点A(-2,0),8(4,0),与y轴的交点为C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点尸是该抛物线上一点，且位于其对称轴/的左侧，过点尸分别作/,x轴的垂线，垂

足分别为M，N,连接若和△03C相似，求点尸的坐标.

试卷第2页，共10页

4.【概念理解】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当彳＜0时，它们对应的函

数值互为相反数；当尤20时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函

数.

-x+l（x＜0）

例如：一次函数是＞=尤-1,它的相关函数为＞=“、八、.

【尝试解决】

已知二次函数y=Y-4龙-2,请回答下列问题：

（x＜0）

（1）这个二次函数的相关函数为y=、八；

L---------（行。）

（2）当川私-3）在这个二次函数的相关函数的图像上时，求机的值；

【灵活应用】

（3）当TWxW5时，求这个二次函数的相关函数的最小值是；

（4）当直线y=r+》与该二次函数的相关函数的图像只有二个交点时，6的取值范围是

.（直接写出答案）

3Q

5.如图,已知抛物线的解析式为安-丁+片+3与x轴交于A、B两点（点A在点5左

侧），与y轴交于点C,点E的坐标为（2,0）,绕点。逆时针旋转OE得到OE',旋转角为

2

6Z（0°<a<90°）,连接BE'、CE',求BE'+,CE'的最小值.

6.如图1,在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A和C分别在x轴和y轴正半轴上,

点B坐标为(3,3),抛物线y=-x?+bx+c过点A、C,交x轴负半轴于点D,与BC边的

另一个交点为E,抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)点P在直线MN上，求当PE+PA的值最小时点P的坐标；

(3)如图2,探索在x轴是否存在一点F,使NCFONCDO-NCAO?若存在，求点F的

坐标；不存在，说明理由；

(4)将抛物线沿y轴方向平移m个单位后，顶点为Q,若Q0平分NCQN,求点Q的坐标.

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7.如图，抛物线y=<xv2_2x+c(aw0)与无轴交于4、8(3,0)两点，与y轴交于点C(0,-3),

抛物线的顶点为D

(1)求抛物线的解析式；

⑵已知点〃是无轴上的动点,过点〃作x轴的垂线交抛物线于点G,是否存在这样的点M,

使得以点A、M.G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

(3)在直线BC下方抛物线上一点P,作PQ垂直3c于点。连接CP,当JSPQ中有一个角

等于NACO时，求点P的坐标.

8.小明在学习时发现一个有趣的现象：对于关于了的多项式尤2-2x+3,由于

X2-2X+3=(X-1)2+2,所以当尤-1取任意一对互为相反数的数时，多项式尤2一2彳+3的值

是相等的.例如，当％-1=士1,即x=2或。时/一2彳+3的值均为3；当x-l=±2.即x=3

或-1时，f-2x+3的值均为6.于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当XT取

任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于＞=r对称.倒如

f-2尤+3关于x=l对称.

请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：

⑴多项式d+4x+3关于％=对称；

⑵若关于x的多项式炉-2法+3关于x=3对称，则6=,此时二次函数

y=x2-2bx+3有最______值为；

(3)若关于x的多项式，+8X+16乂尤2-2工+1)关于对称，写出关于龙的方程

x2+2mx+2=0的解为.

9.小康的父母在扶贫工作组的大力支持下，利用当地资源，生产并销售优质黑木耳，每斤

这种黑木耳成本价为40元.经市场调研，当该黑木耳每斤的销售价为50元时，每天可销售

200斤；当每斤的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10斤.设销售价为尤元时的

销售量为y斤.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)当每斤的销售价x为多少时，销售该黑木耳每天获得的利润w最大？并求出最大利润.

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10.如图，抛物线)=依2+陵+。(<7工0)与无轴交于4(-2,0),8(4,0)两点，与y轴交于点

C(0,2),连接BC.

⑴求抛物线y=加+bx+c的解析式和顶点坐标；

⑵设线段03上的一个动点P的横坐标为3过点P作直线尸轴，交抛物线于点M是

否存在点尸，使得以。、P、N三点为顶点的三角形与△COB相似？若存在，请求出点尸的

横坐标六若不存在，请说明理由.

11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+法+。的图象经过点4(0,2),点3(-1,0).

⑵当-2VxV2时，求二次函数y=-元2+6x+c的最大值和最小值；

⑶点尸为此函数图象上任意一点，其横坐标为相，过点P作尸Q〃x轴，点。的横坐标为

-2m—1.已知点P与点。不重合，且线段尸。的长度随机的增大而增大，求机的取值范

围.

12.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为20元，试销过程中发现，年销售

量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，=-2X+120.

（1）若销售单价为50元时，则一年可销售多少万件？年利润为多少万元？

⑵写出年利润w（万元）与销售单价无（元）之间的函数关系式；

（3）当销售单价为多少元时，厂商获得的年利润最多？

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13.已知抛物线y=/-ax+b-a的图象过点A(l,l).

(1)求b与a的关系式；

⑵当。>0时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1,求。的值；

(3)将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点点A的对应点为点A。-私-2。+1),

当"72-1时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值.

14.当x取何值时,代数式「Sx.7取得最小值，这个最小值是多少?

15.如图，抛物线>="2_法一3与x轴交于A,B两点，且03=304,与>轴交于点C,

连接AC,抛物线对称轴为直线x=-l,。为第三象限内抛物线上一动点，过点