2024年中考数学一轮复习提高讲义：反比例函数

反比例函数

知识梳理

1.反比例函数的定义

形如y=如是常数，厚0)的形式，那么y就称为x的反比例函数.

2.反比例函数的三种不同表达形式

⑴y=X-

(2)y=kx'1.

(3)xy=k.

反比例函数y=](k*0)的图像是由两支曲线组成的，这两支曲线常称为双曲线.

说明：⑴双曲线的两个分支不能够连接起来.

⑵两个分支无限靠近x轴和y轴，但是永远与它们不相交.

⑶图像既是轴对称图形，也是中心对称图形.

(4)画反比例函数图像时通常先画出一个分支，然后根据对称性画出另一个分支.

3.反比例函数的性质

(1)当k>0时，在每个象限内分别是y随x的增大而减小.

⑵当k<0时，在每个象限内分别是y随x的增大而增大.

典型例题

例1

如果反比例函数y=B的图像经过点(34),那么k的值是().

43

A.-12B.12C.--D.--

34

分析反比例函数中函数与自变量成反比例关系.

解A

例2

函数y=40)的图像过点(2,-2),则此函数的图像在平面直角坐标系中的().

A.第一、三象限B.第三、四象限

C.第一、二象限D.第二、四象限

分析k>0时图像在一、三象限，k<0时图像在二、四象限.

解因为k<0,所以图像在二、四象限，故选D.

例3

若M（—3%）,'（-［，刈）,「（?乃）三点都在函数y=：（k<0）的图像上，贝!!.以、小丫3的大小关系为（）.

472>73>yis.y2>yi>y3

c.y3>yi>y2D.y3>y2>yi

分析本题可利用反比例函数的性质也可由反比例函数的图像得出.

解B

例4

点P既在反比例函数y=-久久〉0）的图像上，又在一次函数y=-x-2的图像上，则点P的坐标是—.

分析交点坐标就是两函数解析式联立所得的解.

解（1,-3）

双基训练

1.下列函数中，图像经过点（1,-1）的反比例函数解析式是（）.

1—12—2

A.y=-XBX.y=—XC.y=-DX.y=—

2.已知反比例函数y=|,则这个函数的图像一定经过（）.

A.（2,l）B.（2,-l）C.（2,4）»（一注）

3.在反比例函数y=（图像的每一支曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是（）.

A.k>3B.k>0C.k<3D.k<0

4.某数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200平方厘米的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x厘米,

长为y厘米，那么这些同学所制作的矩形长y（厘米）与宽x（厘米）之间的函数关系的图像大致是（）.

5.对于反比例函数y=|,下列说法不正确的是（）.

A点（-2,-1）在它的图像上B.它的图像在第一、三象限

C.当x>0时,y随x的增大而增大D.当x<0时，y随x的增大而减小

6.函数y=x+m与y=/(TH。0)在同一坐标系内的图像可以是().

7.反比例函数y=(伏牛0)的图像经过点(2,5),若点(1,n)在反比例函数的图像上，则n等于().

1

A.10B.5C.2D.—

10

8.反比例函数y=其公0)在第一象限内的图像如图20-1所示，点M是图像上的一点，MP垂直x轴于点P,

如果△MOP的面积为1,那么k的值是().

A.1B.2

C.4D.V2

图20-1

9.已知反比例函数y=-g的图像经过点P(a+1,4)厕a=

10.反比例函数y=图像上一个点的坐标是.

11.请写出一个图像在第二、四象限的反比例函数关系式：—.

12.已知反比例函数y=其图像在第一、三象限内，则k的值可为(写出满足条件的一个k值即可).

13.在△ABC的三个顶点人(2,-3)取-4,-5),€：(-3,2)中,可能在反比例函数)7=久公0)的图像上的点是—.

14.已知点C为反比例函数y=-江的一点，过点C向坐标轴引垂线，垂足分别为A,B,那么四边形AOBC

的面积为.

15.已知点A是反比例函数y=图像上的一点.若AB垂直于y轴，垂足为B,贝必AOB的面积为一.

16.如图20-2所示，点A,B是双曲线y=:上的点，分别经过A,B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1,

17.如图20-3所示，反比例函数y=^(fc<0)的图像与经过原点的直线1相交于A,B两点,已知点A坐标为(-2,

1),那么点B的坐标为—.

18.已知正比例函数y=fcixCfci丰0)与反比例函数y=号也2手0)的图像交于A,B两点，点A的坐标为(2,1).

⑴求正比例函数、反比例函数的表达式.

⑵求点B的坐标.

19.如图20-4所示,直线.y=kx+b与反比例函数y=§Q<0）的图像相交于点A,B,与x轴交于点C,其

中点A的坐标为（（-2,4）,,点B的横坐标为-4.

⑴试确定反比例函数的关系式；

⑵求△40C的面积

20.如图20-5所示，已知直线y=jx与双曲线y=1（k）0）交于A,B两点，且点A的横坐标为4.

⑴求k的值.

（2）若双曲线y.（幻0）上一点C的纵坐标为8,求△40C的面积.

能力提升

21.若函数y=（m+2）问-3是反比例函数,则m的值是（）.

A.2B.-2C.±2D.0

22.已知点.4（—3,g）,B（-2-y2）,。（3,、3）都在反比例函数y=用勺图像上，则（）.

4yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<y1<y2D.y2<yi<乃

23.已知关于x的一次函数y=kx+l和反比例函数y=;的图像都经过点（2,m）,则一次函数的解析式是一

24.当x>0时，两个函数值y,一个随x增大而增大，另一个随x的增大而减小的是（）.

A.y=3x与y=§B.y=-3x与y=：

C.y=-2x+6与y=：D.y=3x-15与y=~~

25.如图20-6所示，已知反比例函数y=（的图像上有点P,过点P分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为

A,B,使四边形OAPB为正方形，又在反比例函数图像上有点P］，过点Pi分别作BP和y轴的垂线，垂足分别为

27.如图20-8所示，在平面直角坐标系中，一次函数.y="+1的图像与反比例函数y=（的图像在第一象限

相交于点A,过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B,C.如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系

式.

图20-8

28.如图20-9所示，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=丰0)的图像在第一象限内有两个不同的公共

点A,B.

(1)求实数k的取值范围.

⑵若AAOB的面积为24,求k的值.

29.如图20-10所示，反比例函数y=-:与一次函数y=-x+2的图像交于A,B两总求

(1)A,B两点的坐标.

⑵△AOB的面积.

图20-10

30.如图20-11所示,四边形ABCD是平行四边形,人(1,0)取3,1),(2(3,3).反比例函数y=?(盼0)的函数图像经过点

D,点P是一次函数.y=kx+3-3k(k*0)的图像与该反比例函数图像的一个公共点.

(1)求反比例函数的解析式.

(2)通过计算，说明一次函数y=kx+3-3k(k丰0)的图像一定过点C.

(3)对于一次函数.y=kx+3-3k(k丰0),当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围(不必写出

图20-11

拓展资源

31.正比例函数y=x与反比例函数y=:的图像相交于A,C两点AB_Lx轴于B,CD_Lx轴于D,如图20-12所示,

则四边形ABCD的面积为

020-12图20-13

32.如图20-13所示，P是反比例函数图像在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8,则反比例函数的表

达式是

33.在y=成勺图像中，阴影部分面积为1的有（）.

34.如图20-14所示,双曲线y=\⑻0）经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D,若梯形ODBC的面

图20-14

35.如图20-15所示，点A(m>m++3<m-1)都在反比例函数y=:的图像上.

(1)求m,k的值.

(2)若M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A,B,M,N为顶点的四边形为平行四边形，则这样的四边

形有几个?请直接写出此时平行四边形的四个顶点的坐标.

第20讲

1.B2.A3.A4.A5.C

6.B7.A8.B9.-310.(1,-6)(答案不唯一)

H.y=-：答案不唯一)(12.3(答案不唯一)

13.B14.615.116,417.(2,-1)

18.(l)y=py=：;(2)(_2，_1)

P

19.(l)y=-5;(2)12.

20.(1)8;(2)15.

21.A22.D23.y=x+l24.A25.(牛，雪)

26.(l)/c=4,y=(，所以m=2.

所以一次函数为y=2x-2.⑵x<-l或0<x<2时，反比例函数的值大于一次函数的值.

27.因为=OB?=9,

防松BAC

所以OB=AB=3,

所以点A的坐标为(3,3)

因为点A在一次函数y=kx+l的图像上,

所以3k+l=3,

所以k号

所以一次函数的关系式是y=|%+l.

28.(l)0<k<16;(2)k=7

29.(1)因为一/=-x+2

所以—=—x即x2~

X+2,2%—8=0.

解得x=4,x=-2

所以A(-2,4),B(4,-2)

(2)因为M(2,0)

如答图20-1所示连接OA和OB

所以^AOB=SMOM+SwM=2^2x4+-x2x2=6

30。)因为四