2024年中考数学一轮复习提高讲义：配方法

配方法

知识梳理

L配方法的概念

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目

的，这种解题方法叫配方法.

2.二次三项式进行配方的两种类型

(1)二次项系数是1的类型：x2+px+q;

(2)二次项系数不是1的类型：ax2++c(a力0,a力1).

尤其当针对第⑵种类型配方时，一般需要先提取二次项系数(一元二次方程则通过除以二次项系数将方程化为

二次项系数为⑴的类型)，然后再加上一次项系数一半的平方来配成完全平方，最后不要忘记减掉所增加的项.

3酒己方法的重要性

配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段酒己方法的实质在于改变式子的非负性，是

挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等式等方面有广泛的应用.

典型例题

例1

将多项式4产+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方.则添加单项式的方法共有多少种?请写

出所有的式子及演示过程.

分析因为整式包括单项式和多项式两种情况，所以根据4x2是平方项、是乘积二倍项的情况利用完全平方公式

添加，以及完全平方式是单项式的平方的情况添加一个单项式消去其中的一项即可.

解添加的方法有5种，其演示的过程分别是：

添加4x4号4x2+1+4x=(2x+l)2;

添加-4x,得4x2+1—4%=(2x-I)2;

添加4x4彳导4久2+1+4久4=(2x2+l)2;

添加-4%2得4x2+1-4x2=I2;

添加」得4/+1-1=(2久产

例2

对于二次三项式3%2-6%+5,小聪同学做出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不会小于2(最小值是

2)，你是否同意他的说法，并说明你的理由.

分析此题涉及二次三项式，它的基本形式是：aY+bx+c.:可以根据配方的方法，把它整理成一个完全平方

加或减一个数字的形式.

解由于原二次三项式的二次项系数不为1,所以化系数为1并配方：

原式=3(/-2x)+5

=3(/-2x+I2)+5-3xI2

=3(%-I)2+2,

所以无论x取何值时，((久-20,所以一6久+5N2.因止匕，小聪的说法是正确的.

例3

若x为任意实数，求好+4x+7的最小值.

分析求/+©+7的最小值，可以先将它化成((x+2)2+3,根据(x+2)2>0,求得它的最小值为3.

解/+4x+7=(x2+4x+4)+3=(x+2)2+3

因为(%+2)2>0,所以(x+2)2+3>3,

因此“%2+4%+7的最小值是3.

例4

已知a2+b2+c2=ab+bc+ac,又知a,b,c为三角形的三条边，求证：该三角形为等边三角形.

分析利用配方法解题.先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质计算.

解因为a2+b2+c2—ab—be—ca=0.

所以两边都乘以2得:2a2+2b2+2c2-2ab—2bc-2ca=0,

所以(a2-2ab+b2)+(62—2bc+c2)+(c2—2ca+a2)=0,

所以(a—b)?+(b—c)2+(c—a)2=0,

根据非负数的性质得(a-b)2—)2=0,(c-a)2=0,

可知a=b=c,这个三角形是等边三角形.

双基训练

1.用一些硬纸片拼成的图形面积可以解释一些代数恒等式.如图21-1所示，图27(a)可以用来解释(a+b)2-

(a-bY=4必那么通过图21-l(b湎积的计算，验证了一个恒等式，此等式是().

(a)(b)

图21-1

A.a2—b2=(a+b)(a—b)B.(a—6)(a+2b)=a2+ab-b2

C.(a—by—a2—2ab+b2D.(a+Z))2=a2+2ab+b2

2.下列二次三项式是完全平方式的是().

A.x2—8x—16B.X2+8X+16C.X2—4x—16D.x2+4x+16

3.计算((x+2)2的结果为X2+DX+4,,则“口”中的数为().

A.-2B.2C.-4D.4

4.多项式4r+1加上一个单项式后，使它能成为一个二项整式的完全平方，则满足条件的单项式有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如果二次三项式%2-2(m+l)x+16是一Is•完全平方式，那么m的值是().

A.3或-5B.lC.-3D.无法确定

6.若a,b,c为公ABC的三边，且关于x的二次三项式x?+2(a+b+c)x+3(ab+bc+ca)为完全平方式厕小ABC是().

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.只有两边相等的等腰三角形

7.填上适当的数，使等式成立：XX2—4x+=(x—_)2.

8.当整数k=—时，多项式.x2+kx+4恰好是另一个多项式的平方.

9.若%2-2(fc+l)x+fc2+5是一个完全平方式，则k等于.

10.多项式x2+y2-6x+8y+7的最小值为.

11.已知a=2002,b=2003,c=2004,求a2+b2+c2—ab—ac—6c的值.

12.不管x取什么实数，+2x-3的值一定是个负数，请说明理由.

13.利用配方法证明代数式-10久2+7x_4的值恒小于0.由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大

于0,且二次项系数分别是1,2,3?

14.已知n为正整数，且4,+4+小998是一个完全平方数，求n的一个值.

15.不管x取什么实数，x2+2x+5的值一定是正数，请说明理由.

16.若x为任意实数，求-2/+4%+7的最大值.

17.求证:a(a+l)(a+2)(a+3)+l是完全平方式.

18.若久2—4久+\3x—y\=-4,求y*的值.

19.某学生在学习公式(a+b=a2+2ab+〃时记得快，忘得也快，应用时始终容易出错，请帮助他解决

这一难题.

⑴你猜测该学生在应用这个公式时会出现什么错误，列举出来；

(2)如图21-2所示，请运用图中所给的图片，解释这一公式；

(3)如果a-b=3,ab=2,求a2+△的值.

20.一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数.如(64=82,64就是一个完全

平方数.若a=2992?+29922x29932+2993Z,求证：a是一个完全平方数.

能力提升

21.若。2+2接+2〃一b+；=0,则a,b的值分别为().

A,--,-B.-,-C.--,--

22222222

22.设x为正整数，若x+1是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是().

A.xB.x-2y[x+1

C.x—2-久+1+1D.x—2、x+1+2

23.如果((x-l)(x+3)(x-4)(x-8)+m是一个完全平方式.则m是().

A.-196B.196C+196D.以上都不对

24.已知a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2008+b2008+。2。。8的值是().

A.OB.3C.22008D.3x22008

25.若—6x+1=0,则x2+^-1=一.

26.已知|a-6+2|+(a—2b)2=0,求(—2a)2b的值是__；二次三项式x2-kx+9是一个完全

平方式，则k的值是.

27.如果多项式(%+1)(*+2)(%+3)(%+4)+k是一/完全平方式，则常数k=.

28.已知代数式-/+6%-10.

⑴用配方法证明：不论x为何值，代数式的值总为负数.

(2)当x为何值时，代数式的值最大?最大值是多少？

29.用配方法证明，多项式2%4-4/一1的值总大于x4-2/一4的值

30.两个正整数的和与积的和恰好为2005,并且其中一个是完全平方数.求这两个数中较大数与较小数的差.

拓展资源

31.一个四位数具有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数字是

0,就只用个位数字去除)，且这个完全平方数正好是前两位数加1的平方，则具有上述性质的四位数共有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

32.设a,b,c为实数,4=a2-26+(8=^2—2c+；,C=02—2a+g

⑴判断A+B+C的符号并说明理由；

(2)证明：A,B,C中至少有一个值大于零.

33若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数,则整数a的值是.

34.试求出所有整数n，使得代数式2n2+n-29的值是某两个连续自然数的平方和.

35.(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：

x2—6x+9=25x2+10x+1=4x2+12x+9=;

(2)观察上述三个多项式的系数，有((―6)2=4xlx9,102=4x25x1,122=4x4x9于是小明猜测：若多

项式ax2+bx+c(a>0)是完全平方式，那么系数a,b,c之间一定存在某种关系.请你用数学式子表示小明的猜

想：(说明：如果你没能猜出结果，就请你再写出一个与(1)中不同的完全平方式，并写出这个式中各系数之

间的关系).

(3)若多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，利用(2)中的规律求ac的值

1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.4,28+49.210.-18

11.因为2(a?+b?+c?—ab—etc—be)=(a—b)?+(a—c)2+(b—c)2

=(2002-2003)2+(2002-2004)2+(2003-2004)2=1+4+1=6,

所以a2+b2+c2—ab—ac—be=3.

12.-x2+2%-3=-(x2-2x+l)+l-3=-(x2-2%+1)+1-3=-(%-I)2-2.

因为-(x-l)2<0,所以-(久-l)2-2<0.所以不管x取什么实数，-K2+2x-3的值一定是个负数

22

13.因为-10/+7x—4=—5)一詈又一[一£)三°，一詈<°，

所以一10卜一劫2-答<。，即：一10久2+7%-4<0,所以代数式-IO%2+7x-4的值恒小于0.举例：①/

+2久+2,(2^)2x2-4,x+8,(^)3久2+6x+8

7n72n-819982

14.先分情况讨论:(1)4+4+4.98=(27)2+2x2x2+(2)

7n

因为4+4+炉998是一个完全平方数,所以22-8=2/8即2n-8=1998.

所以当n=1003时,47+4n+41998是完全平方数；

(2)47+4n+41"8=47+41998+绡=(27)2+2X2,X23988+(2,2,

7n

因为4+4+41998是一个完全平方数,所以23988=2",所以n=3988.

综上得n=1003或n=3988.

15.x2+2x+5=(x2+2%+1)+4=(x+l)2+4.因为(x+I)2>0,所以(x—l)2+4>。.所以不管x取什么

实数。/+2刀+5的值一定是个正数.

16.-2x2+4x+7=-2(x2-2x)+7=-2(x2-2x+l)+2+7=-2(x-l)2+9,@^-2(x-l)2<0,所以-2(x-l)2+9<9.

因此，2/+4%+7的最大值是9.

17.因为a(a+l)(a+2)(a+3)+1=(a2+3a)[(a2+3a)+2]+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+-1

=(a2+3a+I)2,

所以a(a+l)(a+2)(a+3)+l是完全平方式.

18.因为x2—4x+|3x—y\=-4,所以x2—4x+4+\3x—y\=0,即(x—2)2+|3x—y|=0.

所以K_j：力解得x=2,y=6.所以yx=62=36.

19.⑴可能出现的错误有(a+bp=a2+b2,(2x+3y)2=2x2+12xy+3y?等；

(2)如答图21-1所示.

(3)由a-b=3得((a—b)2=9,即a2—2ab+b2=9又ab=2,所以a2+b2=13.

20.令2992=m,则2993=m+l,于是a=/+/・(m+l)2+(m+l)2

—m4+2m3+3m2+2m+1=m4+2m3+2m2+m2+2m+

=(m2)2+2-m2-(m+1)+(m+I)2

=(m2+m+I)?,所以是a一个完全平方数.

答图21-1

21.A22.D23.B24.B25.3326.-128,6

27.(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+k=(x+l)(x+4)[(x+2)(x+3)]+k=(x2+5x+4)(%2+5K+6)+k=(x2+5x)2+10(%2

+5%)+24+k要使上式是一个完全平方式，只要24+k=52即可，解得k=l.

28.(1)原式:=—%2+6%—10=—(%2—6x)—10=—(%2-6%+32—32)—10

=-(%-3)2-1<0;

(2)因为原式=-(%-3)2-1,所以当x=3时，原式取得最大值，最大值为-1.

424242424222

29.据题意得(2x4-4X2-1)-(X-2X-4)=2X-4X-1-X+2X+4=X-2X+3=x-2x+1-1+3=(%-l)+2>

2>0所以多项式2%1-4%2-1的值总大于%4-2Y-4的值

30.设这两个正整数为a,b,则a+b+ab=2005,即ab+a+b+l=2006,所以(a+l)(b+l)=2006=2><17x59.因为其中一个是

完全平方数,有a+l=2和a+l=17成立.当a+l=2时2=15=1003-1=1002,1)出=100：1;当a+l=17时,a=16,b=118-l=117,b-a=

101.

31.D.设这样的四位数为100a+b(gW99,lWbW99),由已知有((100a+b)b=(.a+I)2=a2+2a+1,则100a

+b=(a+lYb=a2b+2ab+瓦可得:100=b(a+2),于是b=翳,a+2=詈，而10SaW99,可求得当a=18,23,48,98时,

b=5,4,2,1.故这样的四位数有四个,分别是:1805,2304,4802,9801.

32.(1)4+B+C=a?-2b+—+(b2-2c+—+(c2-2a+—

=a2+b2+c2-2a—2b—2c+n

=Q2-2a+1+(b?—2b+1)+(c2—2c+1)-3+TT,

=(a—l)2+(6—I)2+(c—I)2+7i—3,

因为((a—I)?>0,(/?—l)2>0,(c—I)2>0,7T—3>0,

所以.A+B+C=(a—I)?+(b—l)2+(c—l)2+7T-3>0

故A+B+OO;

(2)因为A+B+OO,

所以A,B,C中至少有一个值大于零.

33.设100a+64=一①,201a+64="②，则m,n均为正整数，目.32W爪<100,32<n<100.由式②-

①彳导101a—n2-m2—(ji+m)(n-zn),因为101是质数，且0<n--m<101,所以n+m=101,故a=n-m=2n-101.把a=2n-

2

101代入:201a+64=",整理得n-402n+20237=0,,解得n=59,或n=343(舍去).所以a=2n-101=17.

34.设两个连续自然数是x和x+1,则根据题意知2n2+n-29=x2+(x+I)2,

化简得2/+2%+3。-2"