2024年中考数学一轮复习提高讲义：相交线与平行线的判定

相交线与平行线的判定

知识梳理

1.对顶角

(1)两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫作对顶角.

(2)性质：对顶角相等；相邻的两角互补；相邻两角的平分线互相垂直.

2.垂直

(1)两直线相交所得的角中有一个角为直角时，这两条直线互相垂直.

⑵过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

(3)垂线段最短.

3.平行线

(1)定义：在同一个平面中，不相交的两条直线叫作平行线.

(2)表示方法:用符号“〃”表示.如直线AB和CD平行，记作AB〃CD(或CD〃AB),读作“AB平行于CD”(或者CD

平行于AB).

(3)平行的传递性：如在同一平面内，两条直线分别与同一条直线平行，则这两条直线也互相平行.

4.平行线的判定(区别平行线与相交线)

⑴由角证明：证明两直线平行时，常通过添加辅助线，将已知图形转化为“三线八角”的基本图形再利用以下

角的关系，来判断是否平行：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直

线平行.

⑵由两直线位置关系的确定：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

典型例题

例1

如图14-1所示，直线/1,以13交于点o,图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢?分析识别图中的对顶角

应从这个较复杂的图形中分解出三个基本图形(即定义图形),如图14-2所示,即直线AB,CD相交于点O;直线AB,E

F相交于点O;直线CD,EF相交于点O.由于两条直线相交组成对顶角，所以上述图中共有6对对顶角.

解如图14-2所示.图中共有6对对顶角，它们是:/AOC和/BOD,NAOD和NBOC,/AOF和/BOE,/AOE

和ZBOF,ZCOF和ZDOE,ZCOE和ZDOF.

因为两条直线相交于一点，会出现2x(2-1)=2对对顶角，

三条直线相交于一点，会出现3x(3-l)=6对对顶角，

四条直线相交于一点，会出现4x(4-l)=12对对顶角，

所以依此类推，n条直线相交于一点有nx(n-l)对对顶角.

例2

如图14-3所示,ACLBC于点C,CD±AB于点D,DE，BC于点E,试比较四条线段DE,DC,AC,AB的大小.

分析分别根据垂线段最短依次进行判断，然后按照从小到大的顺序排列即可.

解因为AC±BC,

所以AC<AB,

因为CDXAB,

所以DC<AC,

因为DE_LBC,

所以DE<DC,

所以DE<DC<AC<AB.

例3

如图14-4所示，直线AB,CD被直线EF所截，请添加一个条件，使AB〃CD.

分析根据平行线的判定定理：当满足同位角相等或内错角相等或同旁内角互补的条件时两直线平行，可得答

案，故此题答案不唯一.

解Zl=Z2;Z4=Z3;Z4+Z2=180°

图14-4

例4

如图14-5所示,已知:/ABE+/BED+/EDC=360。,求证:AB〃CD.

分析要证明两条直线平行，就要寻找第三条直线与这两条相交，如果没有就添加辅助线.

方法一利用角的关系确定：

如图14-6所示，连接BD.寻找/ABD与/BDC之间的关系.

方法二利用直线位置关系确定：

图14-6图14-7

如图14-7所示，作EF〃AB,寻找EF与DC之间的关系.

解方法一连接BD,

由三角形内角和可得/EBD+/BED+NEDB=180。，

因为ZABE+ZBED+ZEDC=360°

所以NABD+/BDC=180°

所以AB//CD.

方法二作EF〃AB

由EF〃AB彳导,NABE+NBEF=180。，

又因为/ABE+/BED+/EDC=360。，

所以NFED+/EDC=180。，

所以EF〃DC

所以DC〃AB

双基训练

1.两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）.

A.一定有一个锐角B.一定有一个钝角

C.一定有一个直角D.一定有一个不是钝角

2.平面内三条直线的交点个数可能有（）.

A.1个，或3个B.2个，或3个

C.1个或2个或3个D.0个，或1个，或2个，或3个

3.如图14-8所示，下列判断中错误的是（）.

A.^A+/-ADC=180°=>XB||CDB.N1=N2今AD〃BC

C.ZABC+ZC=180°=>AB/7CDD.N3=/43AD〃BC

图14-8图14-9

4.如图14-9所示，直线AB与直线CD相交于点0,点E是/AOD内一点，已知OE，AB,/BOD=45oW/COE

的度数是（）.

A.125°B.135°C.145°D.1550

5.如图14-10所示,NA=135o,NB=45。在下面的说法中，一定正确的是（）.

A.AD〃BCB.AB〃CD

C.ZC=135°,ZD=45°D.ZC=45°,ZD=135°

图14-10

6.如图14-11所示CALBE于点A,AD±BF于点D,下列说法正确的是（）.

A.a的余角只有/BB.a的邻补角是/DAC

C./ACF是a的余角D.a与/ACF互补

7.下列说法正确的个数有（）.

①AB=BC则点B是线段AC的中点；

②过两点有且只有一条直线；

③同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；

④连接两点的线段叫作这两点之间的距离.

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图14-12所示，点E是AB上一点，点F是DC上一点点G是BC延长线上一点若/AEF=NEFC,/A=/BC

D,则可得到的平行结论是（）.

A.AD〃EF,AB〃CD

B.AB〃CD,EF〃BG

C.AD〃EF,BC〃EF

D.AD〃BG,AB〃CD

图

9.平面内，如果ABL,ACL,且点A在直线1上.则下列结论成立的是（）.14-12

A.AC〃ABB.点B,C在1同侧

C.点B,C在1两侧D.点B,C在同一直线上

10.如图14-13所示点P在直线1外点A,B,C,D在直线1上,PCL于点C,则点P到直线1的距离为（）.

A.线段PA的长B.线段PB的长

C.线段PC的长D.线段PD的长

1L如图14-14所示，直线AB,CD,EF交于点O.

⑴ZCOE的对顶角是____.

(2)ZAOF的对顶角是.

(3)ZBOF的邻补角是.

(4)ZBOE的邻补角是.

12.如图14-15所示:

(1)如果已知/1=/E,那么可判断AC〃理由是

⑵如果已知/2=/A,那么可判断AB〃，理由是一

⑶如果已知/B=N3.那么可判断—//—，理由是—

13.如图14-16所示，已知AB,CD,EF相交于点O,EF，AB,OG为/COF的平分线QH为NDOG的平分线，若/A

OC:/COG=4:7厕/GOH=.

图14-15图14-17

14.如图14-17所示，点E在直线DF上点B在直线AC上若NEHF=/AGB,/DBC=NDEH,则/A=/F,请

说明理由.

解:因为/EFH=/AGB(.

ZAGB=Z(对顶角相等)，

所以NEFH=NDGF,

所以BD//CE,

所以/DBC+/C=180。两直线平行，同旁内角互补.

又因为/DBC=NDEH(已知)，

所以NDEH+/=180。，

所以//—(同旁内角互补，两直线平行),

所以NA=NF.

15.如图14-18所示AD〃BC,NBAD=/BCD,那么直线AB与CD平行吗？请说明理由.

图14-18

16.如图14-19所示,/1=47。,/2=47。,/口=47。,那么BC与DE平行吗？AB与CD呢?为什么?

图14-19

17.如图14-20所示,AB〃CD,NB+/D=180。厕BC与DE平行吗？为什么?

18.如图14-21所示,△ABC中,AB=4C,点D是CA延长线上的一点，且乙B=/DAM.求证:AM〃BC.

图14-21

19如图14-22所示,/1=NC,N2+ND=90°,BE±FD于点G.试证明:|CD

图14-22

20.如图14-23所示，观察图并回答问题：若使AD〃:BC,需添加什么条件(要求：至少找5个条件).

能力提升

21.下列说法正确的有().

(1)两直线被第三直线所截，若同位角相等，则同旁内角相等

⑵两直线被第三直线所截，若内错角的角平分线平行，则这两直线平行

(3)两直线被第三直线所截，若同旁内角不互补，则内错角也不相等

(4)在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直

A.1个B.2个C.3个D.4个

22点P为互相垂直的直线a,b外一点，过点P分别画直线城,使c〃a,dJ_a，那么下列判断中正确的是().

A.c〃bB.c〃dC.bXcD.b±d

23.如图14-24所示点D在AC上点E在AB上，且BDLCE,垂足为点M.下列说法:①BM的长是点B到CE的

距离;②CE的长是点C到AB的距离;③BD的长是点B到AC的距离；④CM的长是点C到BD的距离.其中正确

的是—（填序号）.

24.如图14-25所示,NABC=13（F,AB，MN于点F,Na=40。..请你判断直线MN与1的位置关系并证明你的结

论.直线MN与1的位置关系是—.

25.如图14-26所示若Z1:Z2:Z3=2:3:4,zXFF=60°,ABDE=120。厕图中平行的直线有.

26.如图14-27所示,AB〃CD,/l=/2,/3=N4,试说明.4D||BE.

图14-27

27.如图14-28所示，已知zl+N2=180°,Z.B=NDEF,,求证:DE\\BC.

图14-28

28.如图14-29所示，已知DF\\AC,乙C=KD,判断CE与BD的位置关系并说明理由.

图14-29

29.如图14-30所示AB〃CD,N1=/2,BE与CF平行吗？为什么?

图14-30

30.如图14-31所示,已知点A,D,B在同一直线上,Nl=42,N3=NE,求证：DE〃BC.

图14-31

拓展资源

31.如图14-32所示，点D在AC上点F.G分别在AC,BC的延长线上,CE平分乙ACB交BD于点O,且乙E0D+

乙OBF=180。,NF=NG.DG;和CE平行吗?请说明理由.

图14-32

32.如图14-33所示，在书写艺术字时，常常运用画平行线段这种基本作图方法，此图是在书写字母“M”：

(1)请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来.

(2)EF与4夕有何位置关系？CC'与DH有何位置关系？

图14-33

33.(1)如图14-34(a)所示，如果zS+zF+ZD=360。,,那么AB,CD有怎样的关系?为什么?

(a)(b)

图14-34

解:过点E作EF//AB①，如图14-34(b)所示，

贝!!/ABE+/BEF=18(F,()

因为乙ABE4-乙BED+乙EDC=360°()

所以NFED+NEDC=(等式的性质)

所以FE〃CD(2)()

由①，②得AB//CD().

⑵如图14-35⑹所示当满足条件时，有AB〃CD.

⑶如图14-35(d)所示，当NB,NE,/F,ND满足条件___时有AB〃CD.

图14-35

34.四边形ABCD中,/B=/D=9(T,AE,CF分别是/BAD和4CB的内角平分线和外角平分线，

(1)如图14-36(a),(b),(c)所示,请分别写出各图中的AE与CF的位置关系；

图14-36

⑵选择其中一个图形，证明你得出的结论.

35.实践与操作：在课堂上，李老师和同学们探究了与三角形面积相关的问题.如图14-37所示，已知点A,B

同在直线a上，点G,在直线a的同一侧.

(1)过点Q画GM128,垂足为点M,过点金画C2N148,,垂足为点N;

(2)用圆规比较QM,C?N的大小；

(3)试问三角形GAB面积和三角形C2aB面积是否相等?为什么？

(4)连接C42,问AB与是否互相平行?(用直尺和三角板画平行线的方法加以校验)

(5)在与点Ci,C?的同一侧，画三角形的人民三角形C1&B,并使三角形。34艮三角形C4AB面积都与三角形

CMB面积相等；通过以上画图，问点。3,同在直线QC2上吗？

(6)当三角形有一个顶点在直线的。2上运动时，它和点A,B一起构成的三角形面积是否有变化？

图14-37

1.D2.D3.D4.B5.A6.D7.B8.D9.D10.C

11.ZDOF,ZBOE,ZAOF和NBOE,NAOE和NBOF.

12.（1）DE,同位角相等,两直线平行；

（2）CD,内错角相等，两直线平行；

（3）AB//CD,同位角相等.两直线平行.

13.72.5°

14.已知条件；ZDGF；同位角相等，两直线平行；C；DF；AC；两直线平行,内错角相等.

15.直线AB与CD平行.理曲因为AD〃BC,所以NBAD=NEBC,因为/BAD=NBCD,所以NEBC=/BCD,所以

AB/7CD.

16.BC〃DE,AB〃CD.理曲因为Nl=47。,/2=47。,/D=47。,所以Nl=z2,z2=乙D,,所以BC〃DE,AB〃CD.

17.BC与DE能平行.理曲因为AB〃CD,所以/B=/C（两直线平行，内错角相等）.

又因为NB+/D=180。（已知），所以/C+ND=180。（等量代换），所以BC〃DE（同旁内角互补，两直线平行）.

18.因为AB=AC,所以/B=NC,因为NB=NDAM,所以NC=/DAM,所以AM\\BC.

19.因为BEXFD于点G,所以Nl+ND=90。,因为N1=NC,所以/C+ND=90。,因为N2+/D=90。,所以NC=N2,

所以AB//CD.

20./ADB=/DBG,理由:内错角相等,两直线平行；

/HCB=NHDA,理由:同位角相等两直线平行；

/DAC=/ACB,理由:内错角相等,两直线平行；

NEAD=NEBC,理由:同位角相等,两直线平行；

NADG+NBCD=180。,理由:同旁内角互补.两直线平行.

21.B22.C23.①④24.平行

25.AB〃DE,EF〃CB.

26.因为AB〃CD,所以/1=/6,因为/1=/2,/3=/4,所以/3+/6=/4+/2,因为/4=/5,所以N3+/6=/2+

N5,因为N2+N5+ND=180。,所以/3+N6+ND=180。,即/BCD+ND=180。,所以AD/7BE.

27.因为/2与/3是对顶角，所以N2=N3,因为/1+/2=180。,所以/1+/3=180。,所以BD〃EF,所以NB=NEFC,

因为/B=/DEF,所以NEFC=/DEF,所以DE〃BC.

28.CE〃:BD.理由:因为DF〃AC,所以/C=/CEF,因为/C=/D,所以/D=/CEF,所以CE/7BD.

29.平行.理由:因为AB〃CD（已知），所以/ABC=/BCD（两直线平行，内错角相等）:又/1=/2,所以NABC-/1=

NBCD-/2.即/EBC=NBCF,所以BE〃CF（内错角相等，两直线平行）.

30.因为/l=/2,/AOE=/COD（对顶角相等），所以在^AOE和小COD中,/CDO=/E（三角形内角和定理）;因

为/3=NE,所以/CDO=/3,所以DE〃:BC（内错角相等，两直线平行）.

31.DG和CE平行理由:因为NEOD=NBOC,NEOD+/OBF=180。,所以N80C+乙OBF=180。,所以EC〃BF,

所以NECD=NF.又因为CE平分/ACB,所以NECD=NECB.又因为/F=NG,所以NG=NECB.所以DG〃CE,即DG

和CE平行.

32.⑴正面:AB〃EF;上面:A'B'〃AB;右侧:DD〃:HR.

(2)EF〃A，B',CC'_LDH.

33.(1)两直线平行，同旁内角互补；已知；180。；同旁内角互补，两直线平行；平行线的传递性.

(2)/l+N3=N2.(3)/B+/E+/F+/D=540°.

34.(1)如答图14-l(a)所示，图中AE//FC;

如答图14-I(b)所示，图中AE〃FC;

如答图14-I(c)所示，图中AE1FC.

答图14-1

⑵如答图141(a)所示:

因为NBAD+NBCD=Nl+N2+N3+N4=360O—(NB+ND)=360O—180o=180。,又因为AE,CF分别是/BAD和

ZDCB的内角平分线，

所以.Nl+N3=+亚8(70=[(NBAD+NBCD)=Tx180。=90°

又因为NB