2024年中考数学一轮复习提高讲义：因式分解(二)

因式分解(2)

知识梳理

1.十字相乘法

1)二次项系数为1的二次三项式，直接利用公式一x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)——进行因式分解.

特点：(1)二次项系数是1；

⑵常数项是两个数的乘积；

(3)一次项系数是常数项的两因数之和.

2)对二次项系数不为1的二次三项式--a/+版+c——进行分解.

右;两足条件：(l)a=a1ct2

(2)c=CiC2

(3)6=ag+a2cl

2

则分解结果：ax+bx+c-(ajx+Ci)(a2K+c2)

2.因式分解的应用

因式分解在解决数学问题时应用得非常广泛，例如在多项式恒等变形中、在代数证明题中、在方程求解中、

在不等式求解中以及很多几何学中的应用都非常广泛，它能把高次转化为低次，起到化难为易的效果.

典型例题

例1

不解方程组Z3求代数式((2%+y)(2x_3y)+3x(2%+y)的值.

分析不要求解方程组，我们可以把2x+y和5x-3y看成整体，它们的值分别是3和-2,观察代数式，发现每一

项都含有2x+y,利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2久+y和5x-3y的式子,即可求出结果.

解(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)=(2x+y)(2x-3y+3x)=(2x+y)(5x-3y)

把2x+y和5x-3y分别为3和-2代入上式，求得代数式的值是6

例2

两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.

分析先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论.

解设这两个连续奇数分别为2n+l,2n+3(n为整数)，

则(2n+3)2-(2n+I)2

=(2n+3+2n+l)(2n+3-2n-l)

=2(4n+4)

=8(n+l)

由此可见，(2n+3)2-(2n+l)2一定是8的倍数.

例3

已知0<aW5,且a为整数.若2%2+3%+a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.分析凡是能十字相乘的二

次三项式ax2+bx+c,都要求△=配-4ac>0,而且是一^完全平方数.

解由已知彳导△=9-8a为完全平方数，所以a=l.

例4

已知长方形的长、宽分别为x,y,周长为16厘米，且满足x-y-x2+2xy-y2+2=0,求长方形的面积.

分析要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽.

解因为x—y-x2+2xy-y2+2=0

所以(%2-2xy+y2)-(x-y)-2=0

所以(%-y)2-(%-y)-2=0

所以(x-y-2)(x-y+1)=0

所以x-y-2=0或x-y+l=0

又因为x+y=8

所以或仁

解得卷二测

所以长方形的面积为15平方厘米或号平方厘米・

例5

求方程x-y=xy的整数解.

分析这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y,故可考虑借助因式分

解求解.

解因为x-y=xy

所以xy-x+y=0

所以xy-x+y-1=-1,即x(y-l)+(y-l)=-l

所以(y-l)(x+l)=-l

又x,y是整数.

所以1=—1或匕―1=1，

解得已;或「〉2

双基训练

1.若Y—必+MX+5y-6能分解为两个一次因式的积，则m的值为().

A.lB.-1C.±lD.2

2.已知a,b,c是小ABC的三边长,且满足a3+ab2+be2=b3+a2b+四2贝必ABC的形状是().

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

3.对于任何整数m,多项式(4m+5)2-9都能().

A.被8整除B.被m整除

C.被(m-1)整除D.被(2m-1)整除

4.把4/必-5/y2-9必分解因式的结果是.

5.如果一个数的各位数字之积加上各位数字之和，恰好等于这个数，我们就称这个数为“巧数”，那么在所有两

位数中，最大的“巧数”是—.

6.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码记忆方法.原理是：如对于多项

式/-yM因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+V),若取x=9,y=9时，则各个因式的值是：(*-y)=0,(x

+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2^x=20,y=10,用

上述方法产生的密码不可能是().

A.201010B.203010C.301020D.201030

7.利用十字相乘法进行因式分解.

(l)x2+3x+2(2)x2—x—6(3)(x2—5x)2—36

+力2+2etc——29

8.已知正实数a,b,c满足方程组b+c2+2ab=18,求a+b+c的值.

-c+cz2+2bc=25

9.如果%4-%3+mx2-2mx-2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解

因式.

10.四边形的四边顺次为a,b,c,d,且满足a2+b2+c2+d2=2gb+cd),请判断这个四边形的形状.

11.证明：对于任意自然数n,3n+2—2n+2+3n-2n一定是10的倍数.

12.将+3+1)2+④+a)2分解因式,并用分解结果计算62+72+422.

13.给出三个整式a2,b2和2ab.

(1)当a=3,b=4时，求a2+b2+2ab的值；

⑵在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解.请写出你所选

的式子及因式分解的过程.

14.若a,b,c是三角形的三条边,求证:a2-b2-c2-2bc<0.

15.水压机内有4根相同的圆柱形空心圆钢立柱，每根的高度为h=18米，外径D=1米，内径d=0.4米，每立方

米钢的质量为7.8吨，求这4根钢立柱的总质量(兀取3.14,结果保留两个有效数字).

16矩形的周长是28厘米，其长、宽分别为x,y,且使炉+丹—孙2_y3=0,求矩形的面积.

17.如图20-1所示，用一张边长为a的正方形纸片、两张边长为b的正方形纸片、三张长、宽分别为b,a的长

方形纸片拼成新的长方形(无缝隙),通过不同的方法计算面积，探求相应的等式.

(1)你得到的等式是:.

⑵利用因式分解说明：367-6或能被140整除.

19.已知有理数a,b,c满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2〃,试判断a,b,c之间的关系,并说明你的理由.

20.已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x厘米、y厘米，且炉+—4孙2—4y3=0,求长方形的面

积.

能力提升

21.若多项式33/一17%-26可因式分解成(ax+b)(cx+d),其中a,b,c,d均为整数，则|a+b+c+d|之值为().

A.3B.10C.25D.29

22.若4x2+3x-16除以一多项式，得商式为x+2,余式为-6,则此多项式是().

A.4x-5B.4x-ll

C.4x3+llx2-10%-26DAx3+llx2-10%-38

23.已知a+6+c=3,a?+〃+©2=3则a2005+b2005+©2。。5的值是().

A.OB.3C.22°05D.3-22005

24.任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=sxt(s,t是正整数，且s&t),如果pxq在n的所有这种分解中

两因数之差的绝对值最小，我们就称pxq(pSq)是n的最佳分解，并规定：F(n)=，列如18可以分解成1x18,2x9,3

x6这三种，这时就有F(18)=|=今给出下列关于F(n)的说法：⑴尸⑵=(2)9(24)=(3)F(27)=3;⑷若n是

一个完全平方数，则F(n)=l.其中正确说法的个数是()个.

A.lB.2C.3D.4

25.分解因式：

(1)2005/-(20052__2005

(2)(x+l)(x+2)(x+3)(x+6)+x2

26证明:若4x-y是7的倍数.其中x,y都是整数.则8x2+10xy-3y?是49的倍数.

27.利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.

28.如图20-2所示△ABC是某小区的一块空地，现要加以绿化，其中点O是空地内安装喷泉的位置，它到三

边的距离相等，即。D=OE=OF=现测得m=8.48米，三条边长分别为：a=41米b=34米c=25米.利

用因式分解求这块空地的面积.

(1)这块空地的面积用含a,b,c,m的代数式表示为；

(2)利用因式分解求这块空地的面积.

图20-2

29.求证不论a,b,c取什么有理数,a2+b2+c2-ab-ac-be一定是非负数.

30.已知：a,b,c为互不相等的数，且满足(a-c)2=4(6-a)(c-b).

求证:a-b=b-c.

拓展资源

31.阅读下列方法：为了找出序列3,8,15,24,35,48,…的规律，我们有一种“因式分解法”(见表20-1).

项123456

值3815243548

分解因式：

1X31X81X151X241X351X48

2X4||3X5|2X125X7|2X24

4义63X16

4X12

6X8

因此，我们得到这组序列的第n项是n(n+2).那么，有一组新的序列0,5,12,21,32,45,…(见表20-2),请你利用上述

方法，说出这组新序列的第n项是.

表20-2

项123456

值0512213245

32.已知4=。+2,8=。2—。+5,。=出+5。—19其中a>2.

⑴求证:B-A>0,并指出A与B的大小关系；

⑵指出A与C哪个大?说明理由.

33.已知a,b,c是不全相等的实数，且abc0,a3+b3+c3=3abe，试求：

(l)a+b+c的值;

⑵。弓+》+坨+5+。&+辨值

34.为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金

会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校.奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工

作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金b/n元，然后再将余额除以n发

给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校.

⑴请用n,b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；

⑵设第k所民办学校所得到的奖金为a□元(iWkWn),试用k,n和b表示a□(不必证明)；

(3)比较a□和。ak+1的大小((k=l,2,…,n-1),并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义.

35.按下面规则扩充新数：已有两数a,b,可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a,b,c三个数中任取

两数，按规则又可扩充一个新数……每扩充一个新数叫作一次操作.现有数1和4.

⑴求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；

(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999,并说明理由.

1.C2.C3.A4.y2(x2+l)(2x+3)(2x-3)

5.假设'巧数”是ab,那么ab+a+b=10a+b,所以可得到b等于9,“巧数'是19,29,39,49,59,69,79,89,99；那么在所有

两位数中，最大的“巧数”是99.

6.A

7.(I)%2+3%+2=(%+1)(%+2);

(2)x2—%—6=(%—3)(%+2);

(3)(x2-5x)2-36=(x2-5x-6)(x2-5x+6)=(x-6)(x+l)(x-2)(x-3).

8.三式相加，得:(a+b+c)+(出+/++2ab+2bc+2ca)=72,

所以((a+b+c)2+(a+b+c)—72=0,

所以[(a+b+c)+9][(a+b+c)-8]=0,

因为a,b,c都是正实数，

所以a+b+c>0,

所以a+b+c=8.

9。)设原式分解为(%2+ax-l)(x2+.+2),其中a,b为整数，去括号，得:

%4+(a+b)x3+必+(2a—b)x—2,

将它与原式的各项系数进行对比，得：

a+b=-l,m=1,2a-b=-2m,

解得a=-l,b=0,m=l.此时，原式:=(%2+2)(%2-x-1).

(2)设原式分解为(%2+cx-2)(x2+dx+1),其中c,d为整数,去括号，得:

%4+(c+d)x3—%2+(c-2d)%—2,

将它与原式的各项系数进行对比，得：

c+d=-1,m=-l,c-2d=-2m,

解得:c=0,d=-1

此时，原式：=(x2-2)(%2-%+1).

10.因为a2+b2+c2+d2=2ab+2cd,

所以a2+b2+c2+d2—2ab—2cd=0,

所以(a-b}2+(c-dp=0,

所以a-b=0且c-d=0,

所以a二b且c=d.

所以四边形是对角线互相垂直的四边形(筝形).

11.3n+2-2n+2+3n-2n=3n+2+3n-2n+2-2,

=3n(32+1)-2n(22+1)

=10x3n-5x2n

因为对任意自然数n,10x3”和5x2”都是10的倍数.

所以3n+2_2n+2+3n-2〃一)定是10的倍数.

12.因为a2+(a+l)2+(a2+a)2=(a2+a+l)2

所以62+72+422=(36+6+I)2=432=1849.

13.(1)当a=3,b=4时,a2+62+2ab=(a+b)2=49.

(2)答案不唯一，过程略.

14.因为a,b,c是三角形的三条边

所以a+b+c>0且a<b+c,

所以(a+b+c)(a-b-c)<0,

即a2—b2—c2—2bc<0.

15.这4根钢立柱的总质量为3.7x102吨.

16.矩形的面积是49平方厘米.

17.(l)(a+2&)(a+b)=a2+3ab+2b2;

(2)a2+5ab+4b2=(a+b)(a+4b).

18.(1).+3-2xm+2y+xm+1y2=xm+1(x2-2xy+y2)=xm+1(x-y)2;

10

(2)因为为367—6,2=6M—6,2=6,2<36—1)=35X6,2=35X6X6X6,O=140X9X6，所以367—6篮能被140整除.

19.a=b=c.

理由:因为a2+c2=2ab+2bc—2b2,

所以a2+2b2+c2—2ab—2bc=0,

a2—2ab+b2+b2-2bc+c2=0,即((a—b)2+(b—c)2=0,

所以a-b=0,且b-c=0,即a=b,且b=c,

所以a=b=c.

20.因为x3+x2y—4xy2—4y3=0,所以%2(%+y)—4y2(x+y)=0.

因为((%+y)(x+2y)(x-2y)=0,,所以x=2y(符合题意),x=-y和x=-2y(不合题意，舍去).

又由题意可得x+y=150,

解方程组(得:x=100,y=50.

所以长方形的面积=100x50=5000平方厘米.

21.A22.A23.B24.C

25.(1)设2005=a，则原式=ax2-(a2-l)x-a

=(ax+l)(x-a)

=(2005x+l)(x-2005).

⑵类似abcd+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.

原式=(x2+7%+6)(x2+5%+6)+%2

设/+5x+6=4则x2+7x+6=X+2%

所以原式：=(A+2x)A+x2=A2+2Ax+x2=(A+x)2=(x2+6x+6)2.

26.因为4x-y是7的倍数设4x-y=7m(m是整数)，则y=4x-7m.

又因为8/+10xy—3y2=(2x+3y)(4x—y)

所以((2x+12x-21m)(4x-4x+7m)=7m(14x-21m)=49m(2x-3m),

因为x,m是整数，所以m(2x-3m)也是整数，

所以，8%2+10xy-3y2是49的倍数.

27.设两个连续偶数为2n,2n+2,贝有(2n+2P(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)x2=4(2n+l),因为n为整数.所以4(2

n+1)中的2n+l是正奇数，所以4(2n+l)是4的倍数，故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除.

28.(1)空地的面积为：SAB0+SBXO+SACO=+~mb+|mc.

(2)原式=|m(a+b+c),当m=8.48,a=41,b=34,c=25时，

原式=|x8.48X(41+34+25)=|x8.48x100=424空地的面积为424平方米.

29.a2+b2+c2—ab—ac—be=(2a2+2b2+2c2—2ab—2ac—2bc)

=|[(a2-2ab+62)+(h2—2bc+c2)+(a2—2ac+c2)]

=|[(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2]>。所以a2+b2c2—ab—ac—be一定是非负数.

30.因为(a—c)2=4(b—a)(c—b)

所以(a-c)2_4(b一a)(c-b)=0

所以a2—2ac+c2—4bc+4ac-4ab+4b2=0

所以(a+c)2-4b(a+c)+4b2=0

所以((a+c-2b)2=0

所以a+c-2b=0

所以a-b=b-c.

31.根据题意,分析可得：

0=(l-l)x(l+3)=0x4,

5=(2-l)x(2+3)=lx5,

12=(3-l)x(3+3)=2x6,

故其第n项是(n-l)(n+3).

32.(1)8—Z=(a—1)2+2>0,所以B>A.

(2)C—4=a?+5a—19—a—2=ci2+4a—21=(a+7)(a-,3).

因为a>2,所以a+7>0,从而当2<a<3时,A>C;当a=3时,A二C;当a>3时,A<C.

33.(1)由因式分解可知

a+b3+c3—3abc=(a+b+c)•(a2+b2+c2—ab—be—ca)

所以(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—be—ca)=|(a+6+c)[(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2]=。又因a,b,c不

全相等，所以a+b+c=0.

⑵所求代数式较复杂，考虑恒等变形.

因为