2024年中考数学一轮复习提高讲义：有理数与数轴

有理数与数轴

知识梳理

1.数轴的三要素

数轴的三要素指的是正方向、原点、单位长度，且必须是一条直线.

2.正数与负数

(1)概念：正数就是带有正号“+”的数(正号可以省略不写)，是大于零的数；而负数是带有负号“一”的数(负数前

的“一”号不能省略)，是小于零的数.

(2)数轴上的表示：正数就是位于原点右侧的点，负数就是位于原点左侧的点.因此，0既不是正数也不是负数.

(3)非负数与非正数：非负数，根据字面意思理解为不是负数的数，因此应该为正数与0；同理，非正数应该

是负数与0.

3.有理数的分类

［正有理数

有理数0

［负有理数

［正整数

整数0

有理数I负整数

/正分数

分数I负分数

注意：⑴在初中数学学习中，小数也是分数的一部分;

(2)0既不是正有理数也不是负有理数；

⑶正整数与0的集合形成自然数.

4.数轴与有理数

(1)有理数与数轴的关系：所有的有理数都可以表示在数轴上.

(2)从数轴看有理数的大小：在同一数轴上，右边的数大于左边的数.若两数表示同一点，则两数相等.

5.数轴上的最值记忆点

最小的自然数为0；最大的负整数为-1；最小的正整数为1；最大的非正数为0.

没有最大的负数与最小的正数.

典型例题

例1

如果温度上升3℃记作+3℃,那么下降5℃记作—.

分析温度的上升和下降是一对具有相反意义的量，因此可以用正负数表示.在生活中，这些常见的相反意义量

还有：零上与零下、收入与支出、增加与减少、盈余与亏损等.

解-5℃(单位不可遗漏).

例2

把数-7,4.8,4,0,-9,—7.9,—12,—3*23,800%,士一1汾别填在相应的位置内.

正数:{);

负数:{);

整数:{};

正整数：{};

负分数：{};

非负数：{}.

分析根据有理数的分类，对大量数据进行分类是基本技能之一.在这里，需要注意的是所有的小数都是分数的

一部分和非负数的概念.

解正数：{484,23‘800%,目;

负数：{一7，一9，-79-12，-3$-1|};

整数:{-7,4,0,9-12,23,800%);

正整数:{4,23,800%};

负分数:{-7.9，-3|，-1|};非负数{4.8,4,23,800%,Q}.

例3

在数轴上表示•-2技口11,并根据数轴指出所有大于.-29而小于1争勺整数.

分析首先将数表示在数轴上，题目要求我们找出大于-2巳而小于1|的整数，其在数轴上即为在•-2苏口1|之

间的整数点.因此，我们可以结合数轴来解决这个问题，这种方法将在之后解决更多问题中起到重要作用.

解如图1-1所示，在-2和1|之间的整数点有2-1,01.

-5-4-3-2-10123456

图1-1

例4

数轴上有A,B两点，若点A对应的数是-2，且A,B两点的距离是3，则点B对应的数是—.

分析本题可以利用数轴来解决，且有两种理解方式.方法一：首先将点A表示在数轴上，并以此为圆心，以3

个单位长度为半径作圆，圆与数轴的交点即为所求.方法二：A,B两点的距离是3，则有左距离和右距离之分，利

用数轴得出点B所在位置.

解如图1-2所示,B点为-5或者1.

双基训练

1.下列说法中，不具有相反意义的一对量是（）.

A.向东3.5千米和向南2千米B.上升5米和下降1.8米

C.收入5000元和亏损1500元D.零上6℃和零下7℃

2.关于。有下列说法：①既不是正数，也不是负数；②是整数；③不是最小的整数，是最小的有理数；④不是

自然数，是有理数.正确的个数是（）.

A.lB.2C,3D.4

3.在0,1,-2,-3.5这四个数中，位于原点最左端的是（）.

A.—3.5B.-2C.lD.0

4.在同一数轴上表示数-0.5,0.2,-2,+2,其中表示0.2的点的左边的点有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如果+10%表示增加10%",那么‘减少90%”可以记为.

6.飞机上升-30米，实际上就是—.

7.在数轴上点A,B分别表示共口.一条则数轴上与A,B两点的距离相等的点表示的数是—.

8.在数轴上，与原点距离为3的点为—.

9.比较两个有理数之间的大小：

-2

（D-;.-0.76;

（2）---

''io-11

10.比5小的正整数有，•比-5大的负整数有.

11.比-3汰而比2沙的所有整数的和为

12.设a是最小的自然数，b是最小的正整数，c是最大的负整数，则a,b,c三数之和为L

13.把下列各数填入相应的横线内：

S124

-2.7,15,1,0.11,0,-21,+9.87,+69,+；,0.99

正整数：_____________________________________

负整数：；

正分数J_____________________________________；

非负数：；

正数:；

自然数：；

14.把下列数表示在数轴上，并用“〈”号连接.

1R

-2.2,-4,-0.5,----

4

15.如图1-3所示，有几滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值，写出墨迹盖住的所有整数.

16.画出数轴，仔细思考，回答下列问题.

⑴有没有最小的正整数?如果有，是什么?如果没有，说明理由；

⑵有没有最大的负整数?如果有，是什么?如果没有，说明理由；

(3)不超过3的自然数有哪些？

17.小马虎在做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一点A,其表示的数是-3,由于粗心，把数轴的原点标错

了位置，使点A正好落在-3的相反数的位置上，想一想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度?

18.某市公交公司在一条自西向东的道路旁边设置了人民公园、新华书店、实验学校、花园小区、科技馆五个

站点，相邻两个站点之间的距离依次为3.5千米、1.5千米、2千米、3.5千米.如果以实验学校为原点，规定向东为

正，设图上1厘米长的线段表示实际距离1千米.请画出数轴，并将五个站点在数轴上表示出来.

19.点A、B在数轴上的位置如图1-4所示：

AB

-4

图1-4

⑴若点A表示的数是-4,则点B表示的数是一；

⑵在上述条件下，在原图中分别标出表示+3的点C、表示-1.5的点D；

（3）在上述条件下，B、C两点间的距离是____A、C两点间的距离是—.

20.如图1-5所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分

别标上了数字0,1,2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，

使数轴上1,2,3,4,…所对应的点分别与圆周上1,2,0,1…所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周

上的数字建立了一种对应关系.

⑴圆周上的数字a与数轴上的数5对应，则a=；

（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是—

_（用含n的代数式表达）

能力提升

21在数轴上表示a,0,1,b四个数的点如图1-6所示，如果点O为AB的中点.那么\a+b\+|^|+|a+1

图1-6图1-7

22如图1-7所示，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位,在圆的4等分点处分别标

±0,1,2,3,先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆

周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合）,则数轴上表示-2014的点与圆周上表示数字—的点重合.

23.在数轴上任取一条长度为1999第勺线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是—.

24.如图1-8所示，数轴上M,N,P三点对应的数都是整数，且点M为线段NP的中点.若点M对应的整数是

a，点N对应的整数是b,且b=2a.则数轴上的原点是点—.

NMP

图1-8

25.数轴上有A,B两点，若点A对应的数是-3，且A,B两点的距离是3,则点B对应的数是—.

26.一个点从数轴上表示-2的点开始，向右移动4个单位长度，再向左移动5个单位长度，这时这个点表示的

数为一.

27.在数轴上，点A,B分别表示-和点则线段AB的中点所表示的数是」

28.点A,B分别是数-3,-3在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动，成为线段A'B',且线段AE的中

点对应的数是3,则点A，对应的数是_____点A移动的距离是.

29.已知数轴上有A,B两点，A,B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,求所有满足条件的点B与

原点O的距后的和.

30.一条直线流水线上依次有5个机器人，它们所处的位置在数轴上依次用点Ai,A2,A3,A44s表示，如图

1-9所示：

-5-4-3-2-1012345

图1-9

⑴怎样将点移动，使它先到达点处，再到达点处,请用文字语言说明.

A3A2A5

⑵若原点是零件供应点，那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？

⑶将零件的供应点设在何处，才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短？

拓展资源

31.等边△ABC在数轴上的位置如图1-10所示，点A,C对应的数分别是0和一1,,若三角形绕着顶点A,并

按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后，点B所对应的数是1,则翻转2014次后，点B所对应的数是多

少？

B

IC/\A.........................................r

-2-1012345

S1-10

32.一条马路同侧自西向东依次坐落着书店、学校、小红家和小明家，书店与学校相距100米，学校与小红家

相距400米，小红家与小明家相距100米.

(1)若以学校为原点，以向东方向为正方向，用一个单位长度来表示100米，请你在数轴上分别表示出书店、

学校、小红家、小明家的位置.

⑵小红、小明的步行速度都是80米/分，他们俩在同一所学校读书，中午11：30放学，下午1：30上课，小

红、小明中午吃饭都要用30分钟，中午吃完饭后小红要先去找小明，然后沿这条马路一起去书店买完书，再到学

校上课。如果已知买书时间为7分钟，小红在小明家停留了2分钟，请你帮小红设计一下什么时间出发，下午上

课才能不迟到？

33.小惠和小红在学校操场的旗杆前玩“石头、剪刀、布”的游戏，规则如下：在每一个回合中，若某一方赢了

对方，便可向右走2米，而输的一方则向右走-3米，平局的话就原地不动，最先向右走18米的便是胜方.假设游戏

开始时，两人均在旗杆处.

(1)若小惠在前四个回合中都输了，则她会站在什么位置？

(2)若小红在前三个回合中赢了两次输了一次，则她会站在什么位置？

⑶假设经过五个回合后，小红仍然站在旗杆处，且没有猜平局(即五个回合中没有出现平局的情况).问小惠此

时会站在什么位置？

34.如图1-11所示，数轴上有A,B,C三个点，它们可以沿着数轴左右移动，请回答：

⑴将点B向左移动三个单位长度后，三个点所表示的数中，最小的数是多少？

(2)怎样移动A,B,C中的一个点，才能使其中一点为连接另外两点之间的线段的中点?请写出所有的移动方

法.

(3)若A,B,C三个点移动后得到三个互不相等的有理数,既可以表示为1,a,a+b的形式，又可以表示为0,b,

b/a的形式,试求a,b的值.

ABC

1,1,1I11:1.

-4-3-2-101234

图1-11

35.(1)如图1-12所示，有一根木棒在数轴上沿水平方向移动，则当点A移动到点B时，点B所对应的数为2

0；当点B移动到点A时，点A所对应的数为5(单位：厘米)，由此可得这根木棒的长度为多少？

(A)(B)(A)(B)

IIIIIr

05/B20

图1-12

(2)一天，小红去问邻居爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年后才出生呢，你若是我

现在这么大，我已经是老寿星了，131岁了，哈哈！”小红纳闷了，邻居爷爷到底是多少岁呢?现在你能借助于“数

轴”这个工具解决这个问题吗？

第一讲

1.A2.B3.A4.B5.-90%6.下降30米7.08+39.>,<

10.4,3,2,1;4,-2,-3,-411.-312.0

13.正整数:15,+69;负整数:-21;正分数:0.11,+9.87,+：,0.99;

67

非负数：L0.11,0,+9.87,+69,+30.99;

正数:1151,0.11,+9.87,+69,+3099;自然数:15,0,+69

67

14.数轴图略,—4〈一/<-2.2<-0.5.

4

15.在-12.6至！］-7.4之间的整数有:-12,-11,-10,-9,-8;在10.5到17.2之间的整数有:11,12,13,14,15,16,17.

16.(1)有最小的正整数，是1；

⑵有最大的负整数，是-1；

(3)不超过3的自然数有0,1,2,3.

17.应向右移动6个单位

18.如答图1-1所示.

人民公园新华书店花园小区科技馆

,I11.1:1,I11.1.

-5-4-3-2-10123456

实验学校

答图1-1

19.(1)1;(2)如答图1-2所示.

ADBC

1J11,1______1.11111.

-5-4-3-2-1.5-10123456-

答图1-2

(3)2;7.

20.(1)2;(2)3n+l.

21,-a22.323.200024.P25.-6或0

1719

26.-327.——28.—29.12

1544

30.(1)先向左移2个单位，再向右移动6个单位；⑵总路程为12；⑶放在点A3处总路程最短.31.2014.

32.(1)如答图1-3所示：

------14------1------1-------1------1------i----，I----

-2-10I23456

书店学校小红家小明家

答图1-3

(2)小红所走的路程为800米；

小红走路所需要的时间为10分钟；

小红所需要的时间一共是：10+7+2=19(分钟)，

小红应在中午1点11分之前出发，下午上课才能不迟到.

33.(1)小惠站在旗杆左侧12米处；