专题09 全等三角形的判定与性质 带解析

2022-2023学年北师大七年级数学下册精选压轴题培优卷专题09全等三角形的判定与性质一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•亭湖区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为21，则△FAC与△BDE的面积之和是（）A．6 B．7 C．8 D．9解：∵∠1＝∠ABE+∠BAE，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE+∠BAE，∵∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠ABE＝∠FAC，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠CFA，在△ABE和△FAC中，，∴△ABE≌△FAC（AAS），∴S△ABE＝S△FAC，∴△ACF与△BDE的面积之和＝S△FAC+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD，∵CD＝2BD，△ABC的面积为21，∴．故选：B．2．（2分）（2022春•通川区期末）如图，AD​是△ABC​的中线，CE∥AB​交AD​的延长线于点E，AB＝5，AC＝7​，则AD​的取值可能是（）​A．3 B．6 C．8 D．12解：∵AD​是△ABC​的中线，∴CD＝BD，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠DBA，在△CDE和△BDA中，，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故选：A．3．（2分）（2022春•兰州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56° B．60° C．62° D．64°解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴∠BDC＝∠BAC＝56°，故选：A．4．（2分）（2022春•平阴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AD＝DE，则BD＝CE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°．其中正确的有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA．故①正确；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①知：∠DEC＝∠BDA．∵AD＝DE．∴△ABD≌△DCE．∴BD＝CE，故②正确；③∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故③正确；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，故④不正确．故选：C．5．（2分）（2022春•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F．若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（）A．49° B．59° C．41° D．51°解：在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BAE＝∠CBD，∵∠BAE＝21°，∠C＝28°，∴∠CBD＝21°，∴∠BDF＝∠CBD+∠C＝21°+28°＝49°，∵BF⊥AC，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠BDF＝90°﹣49°＝41°．故选：C．6．（2分）（2022春•泰安期末）如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，E在AC上，过E作EF⊥AB于F，且EF＝EC，连接BE交CD于G．结论：①∠CEB＝∠BEF②CG＝EF③∠BGC＝∠AEB④∠AEF＝2∠ABE以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵AC⊥BC，EF⊥AB，EF＝EC，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠EFB＝∠ECB＝90°，∴∠FEB＝∠CEB，故①正确；或者：在Rt△BEC和Rt△BEF中，，∴Rt△BEC≌Rt△BEF（HL），∴∠FEB＝∠CEB，故①正确；∵∠FEB＝∠CEB＝90°﹣∠EBF，∠BGD＝∠CGE＝90°﹣∠GBD，∴∠CEB＝∠CGE，∴CE＝CG，∵EF＝EC，∴CG＝EF，故②正确；∵∠BGC＝180°﹣∠CGE，∠AEB＝180°﹣∠CEG，∠CEG＝∠CGE，∴∠BGC＝∠AEB，故③正确；∵∠AEF＝90°﹣∠A，∠ABC＝90°﹣∠A，∴∠AEF＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠ABE，∴∠AEF＝2∠ABE，故④正确．综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，故选：D．7．（2分）（2022春•济南期中）如图，△ABC内有一点D，AD平分∠CAB，CD⊥AD于点D，连接DB，若△ADB的面积为3cm2，则△ABC的面积为（）A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2解：延长CD交AB于E，∵AD平分∠CAB，CD⊥AD于点D，∴∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADC与△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（ASA），∴CD＝DE，∴S△ACD＝S△ADE，S△BCD＝S△BDE，∴S△ABC＝2S△ADB，∵△ADB的面积为3cm2，∴△ABC的面积为6cm2，故选：B．8．（2分）（2021秋•濮阳期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（）个．A．1 B．2 C．3 D．4解：在△AEF和△ABC中，，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正确∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正确，∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正确，∵AE＝AB，∠EAB＝40°，∴∠AEB＝∠ABE＝70°，若∠EBC＝110°，则∠ABC＝40°＝∠EAB，∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，显然与题目条件不符，故③错误，若AD＝AC，则∠ADF＝∠AFD＝70°，∴∠DAF＝40°，这个显然与条件不符，故④错误．故选：C．9．（2分）（2022春•历城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，综上所述：其中正确的有①③④．故选：D．10．（2分）（2019秋•新洲区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝CD，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E．若AB＝2DE，则∠BAC的度数为（）A．45° B．30° C．22.5° D．15°解：连接AD，延长AC、DE交于M，∵∠ACB＝90°，AC＝CD，∴∠DAC＝∠ADC＝45°，∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠ACB＝∠DCM，∵∠ABC＝∠DBE，∴由三角形内角和定理得：∠CAB＝∠CDM，在△ACB和△DCM中∴△ACB≌△DCM（ASA），∴AB＝DM，∵AB＝2DE，∴DM＝2DE，∴DE＝EM，∵DE⊥AB，∴AD＝AM，∴∠BAC＝∠DAE＝∠DAC＝＝22.5°，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•北京期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于点H．若AB＝15，CE＝9，则CH＝3．解：∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，∴CE＝AE＝9，∵∠BCE+∠CHD＝90°，∠EAH+∠AHF＝90°，∠AHE＝∠CHD，∴∠BCE＝∠EAH，在△BCE和△HAE中，，∴△BCE≌△HAE（ASA），∴BE＝EH，∵BE+AE＝AB＝15，∴BE＝EH＝6，∴CH＝CE﹣HE＝9﹣6＝3，故答案为：3．12．（2分）（2022春•绿园区期末）如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠BAC的度数为80°．解：∵AD＝AE，∴∠ADC＝∠AEB，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴AC＝AB，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠B＝∠C，∵∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°，∴∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案为：80°．13．（2分）（2022春•锦州期末）如图，CA⊥AB于点A，AB＝4，AC＝2，射线BM⊥AB于点B，一动点D从点A出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，E为射线BM上一动点，随着点D的运动而运动，且始终保持ED＝BC，若点D运动t秒（t＞0），△EDB与△BCA全等，则t的值为1或3或4．解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，∴∠CAB＝∠DBE＝90°，又∵ED＝BC，∴△EDB与△BCA全等，分情况讨论：∵点D运动t秒（t＞0），当点D运动到点B时，可得2t＝4，解得t＝2，此时不能构成△BDE，故t≠2，①△ABC≌△BED，则BD＝AC，∵AB＝4，AC＝2，当0＜t＜2时，BD＝4﹣2t，∴4﹣2t＝2，解得t＝1，当t＞2时，BD＝2t﹣4，∴2t﹣4＝2，解得t＝3；②△ABC≌△BDE，则BD＝AB，当0＜t＜2时，4﹣2t＝4，解得t＝0（舍），当t＞2时，2t﹣4＝4，解得t＝4，综上，满足条件的t＝1或3或4，故答案为：1或3或4．14．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝110°，延长BC至点D使CD＝AB，过点C作CE∥AB且使CE＝BC，连接DE并延长DE交AC于点F，交AB于点H．若∠D＝20°，则∠CFE的度数为30度．解：∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△ABC与△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D＝20°，∵∠B＝110°，∴∠ACB＝180°﹣∠B+∠A＝50°，∴∠DEC＝∠ACB＝50°，∵CE∥AB，∴∠BHF＝∠DEC＝50°，∴∠CFE＝∠AFH＝∠BHF﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．故答案为：30．15．（2分）（2022春•鼓楼区校级期末）如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①AE＝DB；②∠APB＝2∠ADC；③当AC＝BC时，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正确的是①②③④．（把你认为正确结论的序号都填上）解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝DB，故①正确；∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD，∴∠ACD＝∠CAE+∠CBD，∵∠CAE+∠CBD+∠APB＝180°，∴∠ACD+∠APB＝180°，∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠ADC，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠ACD+2∠ADC＝180°，∴∠APB＝2∠ADC，故②正确；∵AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，∴AC＝BC＝DC＝EC，∴∠CAE＝∠CBD，∴PA＝PB，∵AC＝BC，∴PC⊥AB，故③正确；如图，连接PC，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，∴×AE×CG＝×DB×CH，∴CG＝CH，∵CG⊥AE，CH⊥BD，∴PC平分∠APB，故④正确，故答案为：①②③④．16．（2分）（2022春•市中区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．以下结论：①△ABC≌△EDC；②∠DHF＝60°；③若∠A＝60°，则AB∥CE；④若BE平分∠ABC中，则EB平分∠DEC．正确的有①②③④．（只填序号）解：∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝180°﹣∠ACB＝120°，∵CE平分∠ACM，∴∠ACE＝∠MCE＝∠ACM＝60°，∴∠ACB＝∠ACE．在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．∴①的结论正确；在△BCF和△DCG中，，∴△BCF≌△DCG（SAS）．∴∠CBF＝∠CDG．∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∴∠CDG+∠CEB＝60°．∵∠DCE+∠CDE+∠CED＝180°，∠DCE＝60°，∴∠CDE+∠CED＝120°，∴∠HDE+∠HED＝60°，∴∠DHF＝∠HDE+∠HED＝60°．∴②的结论正确；∵∠A＝60°，∠ACE＝60°，∴∠A＝∠ACE，∴AB∥CE，∴③的结论正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵△BCF≌△DCG，∴∠CBE＝∠CDG．∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE．∵△ABC≌△EDC，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE＝∠EDG．∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∠DHF＝∠EDG+∠DEB＝60°，∴∠CBF+∠BEC＝∠EDG+∠DEB，∴∠BEC＝∠DEB．即EB平分∠DEC．∴④的结论正确．综上，正确的结论有：①②③④，故答案为：①②③④．17．（2分）（2022春•香坊区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取点D，使BD＝CA，在射线CF上取点G，使CG＝BA，连接AD、AG，若∠DAE＝38°，∠EBC＝20°，则∠GAB＝58°．解：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠BEA＝∠CFA＝90°，∴∠ABE+∠BAC＝90°，∠ACF+∠BAC＝90°，∴∠ABE＝∠ACF，在△ABD和△GCA中，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴∠AGC＝∠BAD，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠EBC＝20°，∵∠AGF+∠GAF＝90°，∠ABE+∠BAD+∠DAE＝90°，∴∠GAF＝∠ABD+∠DAE＝20°+38°＝58°，即∠GAB＝58°，故答案为：58．18．（2分）如图，在△DCA与△DEB中，有以下四个等式①DE＝DC；②DA＝DB；③∠C＝∠E；④AC＝BE，请以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出一个正确判断①②④⇒③或①④③⇒②．（用ⓧⓧⓧ⇒ⓧ形式表示）解：如①②④⇒③．证明如下：∵DE＝DC，DA＝DB，AC＝BE∴△DCA≌△DEB（SSS）∴∠C＝∠E（全等三角形的对应角相等）答案不唯一．故填①②④⇒③，①④③⇒②．19．（2分）（2021•开福区校级开学）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的是①②③（填序号）．①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F；④若CD＝DF，则DE＝AF．解：∵AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，故①正确；∵AB∥CD，∴∠AFD+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝∠EDF，∴∠AFD+∠EDF＝180°，∴AF∥DE，故②正确；∴∠DAF＝∠ADE，∵DE平分∠ADC交BC于点E，∴∠ADE＝∠CDE，∵AF∥DE，∴∠F＝∠CDE，∴∠DAF＝∠F，故③正确；∵CD＝DF，无法得出DE＝AF，故④错误；∴结论正确的是①②③．故答案为：①②③．20．（2分）（2022秋•东西湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是①②⑤．（填序号）解：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，故①小题正确；如图，延长AE交BC延长线于F，∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，在△ABE与△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AB＝BF，AE＝FE，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠F，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AD＝CF，∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小题正确；∵△ADE≌△FCE，∴CE＝DE，即点E为CD的中点，∵BE与CE不一定相等∴BE与CD不一定相等，故③小题错误；若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，∵AD与BC不一定相等，∴BC与CE不一定相等，故④小题错误；∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确．综上所述，正确的有①②⑤．故答案为：①②⑤．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•北京期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，且满足AD＝AE．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）连接AO，试判断AO与BC的位置关系，并证明．（1）证明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD．（2）解：连接AO，AO⊥BC，证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABE＝∠ACD，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴∠BAO＝∠CAO，∴AO⊥BC．22．（8分）（2022秋•襄州区期末）已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．解：AP⊥AQ且AP＝AQ．理由如下：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠1+∠BAC＝90°，∠2+∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2．在△ABP与△QCA中，，∴△ABP≌△QCA（SAS），∴AP＝AQ，∠P＝∠QAC，又∵∠P+∠PAD＝90°，∴∠QAC+∠PAD＝90°，即AP⊥AQ，∴AP⊥AQ且AP＝AQ．23．（8分）（2022秋•江北区校级月考）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，DE⊥BC于点D，BE⊥AC于点F，且BC＝DE．（1）求证：AC＝BE；（2）如图2，连接AD交BE于点G，在CB的延长线上截取BH＝CD，连接HG，求证：∠H＝∠C．（1）证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，BE⊥AC，∴∠ABE+∠EBD＝90°，∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠BAC＝∠DBE，在△ABC与△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（ASA），∴AC＝BE；（2）证明：由（1）可知△ABC≌△BDE，∴∠ACB＝∠BED，∠BAC＝∠DBE，AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝45°，BH＝CD，∵∠H+∠HGB＝∠GBD，∴∠DAC+∠C＝∠ADB＝45°，∵∠DAC＝∠HGB，∠ADB＝∠GBD＝45°，∴∠H＝∠C．24．（8分）（2021秋•梁溪区校级期末）问题情境：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？请你给出证明；变式拓展：如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：①PE与PF还相等吗？为什么？②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．问题情境：证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；变式拓展：①解：结论：PE＝PF．理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；②解：结论：OE﹣OF＝OP．理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，∴OE﹣OF＝EN+ON﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，，∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP．25．（10分）（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；（2）求证：CF＝FG+CE．（1）解：方法一：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°；方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，∴∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，，∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．26．（10分）（2021秋•叙州区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．证明：（1）延长BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥