2025年广东佛山高三一模高考数学试卷试题（答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024～2025学年佛山市普通高中教学质量检测（一）高三数学2025.1本试卷共4页，19小题．满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则（

）A． B． C． D．2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数在区间上的零点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．75．随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的旅游人数大约每年以的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参考数据：，）（

）A．6 B．7 C．8 D．96．在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（

）A． B． C． D．7．若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．28．已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（

）A．， B．，C．， D．，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．有一组成对样本数据，，，，设，，由这组数据得到新成对样本数据，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（

）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．相关系数．A．两组数据的相关系数相同 B．两组数据的残差平方和相同C．两条经验回归直线的斜率相同 D．两条经验回归直线的截距相同10．在中，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．在方向上的投影向量为 D．若，则11．已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（

）A．为偶函数 B．为周期函数C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数是．13．记的内角的对边分别为且，则．14．直线过双曲线的左焦点，交的渐近线于两点．若，且，则的离心率为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，直三棱柱的体积为，侧面是边长为1的正方形，，点分别在棱上．(1)若分别是的中点，求证：平面；(2)若，，求．16．ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”．(1)证明：；(2)若，，求和．17．已知函数，其中．(1)当时，讨论关于的方程的实根个数；(2)当时，证明：对于任意的实数，都有．18．已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若正三角形的三个顶点都在上，且直线的倾斜角为，求．19．将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．对于数列，将“洗牌”后得到的新数列中数字的位置定义为．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为，此时，，，，，．(1)写出数列经过3次“洗牌”后得到的新数列；(2)对于满足的任意整数，求经过一次“洗牌”后的解析式；(3)当（其中）时，数列经过若干次“洗牌”后能否还原为？如果能，请说明至少需要多少次“洗牌”；如果不能，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】利用复数的除法可求.【详解】因为，故，故选：B.2．D【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】当时，，满足，当时，，由，可知，综上所述，.故选：D3．C【分析】根据等比中项可判断两者之间的条件关系.【详解】因为为等比数列，故为等比数列，且三者同号，若，则由可得，故甲是乙的充分条件；若，则由及可得，故甲是乙的必要条件；故甲是乙的充要条件，故选：C.4．B【分析】利用二倍角公式可得或，故可求零点个数.【详解】令，则，故或，而，所以或或或或，故共有5个零点，故选：B.5．B【分析】根据已知条件列不等式，由此quiet正确答案.【详解】设经过年后，人数翻一倍，则，两边取以为底的对数得，所以，所以至少经过年后，该景区的旅游人数翻一倍.故选：B6．D【分析】根据圆与圆的位置关系来求得正确答案.【详解】依题意，，所以不等式组表示的区域是圆与圆公共的内部区域，画出图象如下图所示，，两圆半径都是，设两个圆相交于两点，则，由于，，所以是圆的切线，是圆的切线，同理是圆的切线，是圆的切线，，所以四边形是正方形，所以区域面积为.故选：D7．A【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值.【详解】设直线与曲线的切点为.对求导，根据，可得.因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知，在切点处，即.又因为切点既在直线上又在曲线上，所以且，即.将代入可得：，即.将代入可得：，所以当，时，取得最小值为.故选：A8．A【分析】把直线和平面放置在锥体中，然后利用异面直角夹角定义，结合三余弦定理及余弦函数的单调性得，根据二面角平面角的定义，结合最大角定理及正弦函数单调性得，即可得解.【详解】如图，设斜线为直线，平面为平面，且，由图可知，当恰为时，此时与的夹角为；当为时，，由于，知，故由在上单调递减得，知.综上可知；由于，故是二面角所成角，即，，由于，则，故由在上单调递增得，即，可知.故选：A9．ABC【分析】利用公式求相关系数，通过对公式的理解，可以作出判断.【详解】由于新成对样本数据，其平均数分别为，同理，这样根据公式，用样本数据减去平均数得与新成对数据，用样本数据减去平均数得与新成对数据，即它们每一个对应数据的差值都是一样的，这就说明两条经验回归直线的斜率相同，两组数据的相关系数相同，故A、C正确；由于回归直线经过样本数据的样本点为，而新数据的样本点为，即样本数据的回归直线方程为，而新数据的回归直线方程为，故两条经验回归直线的截距不相同，故D错误；由于样本数据回归直线和新数据回归直线是平行关系，所以实际值与估计值的差的平方和应该是相同的，即两组数据的残差平方和相同，故B正确；故选：ABC.10．AC【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解.【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，，即，即，由正弦定理，，即，则为锐角，由，解得，，A选项正确，B选项：由A选项和题干可知，，，故，B选项错误.C选项：在方向上的投影向量为，由B知，，，且，解得，由正弦定理，，则，C选项正确.D选项：由正弦定理，，即，解得，于是，，D选项错误.故选：AC11．ABD【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值等操作来分析函数的性质，并结合导数来判断各个选项的正确性，从而确定正确答案.【详解】令，代入可得：，即，所以，令，则，即，令得，以替换，则，以替换，则，所以函数是周期为的周期函数.令，则，即，所以是偶函数，A选项正确.因为是周期为的周期函数，对两边求导得：，即.替换，则.以替换，则，所以是周期为的周期函数，B选项正确.由的周期为，且，，，.，C选项错误.因为的周期为，，所以.又，两边求导得，即，所以.而，令，可得，即，.对两边求导得，令，得.对两边对求导，得，即令，可得，所以，则，D选项正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：对于抽象函数性质的研究，赋值法是一种重要手段，通过合理选取赋值，能够挖掘出函数的奇偶性、周期性等关键性质.函数与其导函数之间存在紧密联系，对函数等式两边求导，能从函数的性质推导出导函数的性质，反之亦然.12．【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，令，则的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，故的展开式中的系数为，故答案为：.13．【分析】切化弦后结合正余弦定理可得，故可求.【详解】因为，故，所以，整理得到：，故，故答案为：.14．【分析】先判断出直线的斜率，由此求得直线的方程，通过联立方程求得两点的坐标，再根据比例列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的左焦点F−c,0，到渐近线的距离为所以直线与渐近线垂直，所以直线的斜率为，直线的方程为，设Ax1,联立，消去并化简得点横坐标为.联立，消去并化简得点横坐标.因为，所以.即，，，.，，，，，，又因为，所以双曲线的离心率.故答案为：【点睛】方法点睛：利用双曲线焦点到渐近线的距离与已知条件建立联系，确定直线与渐近线的位置关系，进而得到直线方程，这是解决本题的关键之一.通过联立直线与渐近线方程求出交点坐标，再结合向量关系列出等式，最后利用双曲线的基本性质和离心率公式求解离心率，这是处理此类双曲线与直线、向量综合问题的常见方法.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定定理可证平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的垂直表示可求的坐标，从而可求.【详解】（1）如图，连接，则彼此平分，而为的中点，故为的中点，而为的中点，故，而平面，平面，故平面.（2）由直三棱柱的体积为可得，而，故，而为三角形内角，故，故即，结合直三棱柱可建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，则，而，由，可得，解得.故，故16．(1)证明见解析(2),【分析】（1）根据条件概率的意义可证明；（2）利用（1）中的结果可求，结合全概率公式可得，利用构造法可求.【详解】（1）若第次为甲发球的条件下第次还是甲发球，则第次甲没有发出ACE球，故此时，若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球，（1）乙发ACE球，则第次是甲发球；（2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球；故，故.（2），,故，所以即，所以，故而，故为等比数列，故即.17．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合图象确定正确答案.（2）将要证明的不等式进行转化，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.【详解】（1）当时，方程解的个数，转化为与y=fx有交点的个数，y=fx的定义域为，令f′x>0得，令f′故在上单调递减，在0,+∞上单调递增，当时，，当时，，且，当时，方程有0个解，当或时，方程有1个解，当时，方程有2个解.（2）要证，即证，由于，故只需证，不妨设，即证，两边同时除以并化简，即证，令，则，设，，由(1)知在0,+∞上单调递增，故，故在0,+∞上单调递增，所以，从而命题得证.18．(1)(2)【分析】（1）设，求得点的坐标，根据列方程，化简求得的方程；（2）设出直线的方程并与的方程联立，化简写出根与系数关系，利用弦长公式求得的表达式，根据是正三角形【详解】（1）设，，因为是的中点且在轴上，根据中点坐标公式，若为，则，所以，即，已知，且，根据两点间距离公式，，，因为，所以，两边平方可得，展开式子：，化简得，所以曲线的方程为.（2）设，，直线的方程为，由消去得，即，由韦达定理得，，，则，，根据弦长公式（这里），所以，因为是正三角形，设中点为，则，即，直线与直线垂直，直线斜率为，则直线斜率为，点在曲线上，设，则，又因为，根据两点间距离公式，，由，可得，由可得，即，，则，，，，由，，，两式相减得，，解得或，当时，，当时，(舍去)，所以.

【点睛】方法点睛：求轨迹方程时，常通过设动点坐标，结合已知条件找到动点坐标满足的等式关系，再进行化简,本题利用中点坐标关系确定点坐标，通过距离相等建立等式，是求轨迹方程的典型方法.对于直线与曲线相交的问题，联立直线与曲线方程，利用韦达定理得到交点坐标之间的关系，进而解决弦长等问题。在涉及三角形形状相关问题时，要充分利用三角形的性质，如正三角形三边相等、三线合一等，建立等式求解.19．(1)(2)(3)至少需要次＂洗牌＂．【分析】（1）直接写出三次洗牌后的数列；（2）分和讨论即可；（3）通过特殊情况猜想至少通过次＂洗牌＂，再利用数学归纳法证明即可.【详解】（1）数列经过一次＂洗牌＂变为，再经过一次＂洗牌＂变为，第三次＂洗牌＂后变为．（2）依题意，当时，；当时，．因此，（3）先观察简单的情形．当时，数列经过1次＂洗牌＂变为（＂倒序＂），再经过1次＂洗牌＂就还原为；当时，数列经过2次＂洗牌＂变为（＂倒序＂），再经过2次＂洗牌＂就还原为；当时，由（1）知数列经过3次＂洗牌＂变为（＂倒序＂），