空间向量及运算

空间向量基础知识1．空间向量运算的运算律：（1）加法交换律：；（2）加法结合律：；（3）数乘分配律：.2．（1）共线向量定理：对空间任意两个向量、，∥存在实数λ使=λ.判断三点共线：P、A、B三点共线∥=x（x+y=1）。（2）共面向量定理：向量与不共线向量、共面.推论：①空间一点P位于平面MAB内，（平面外一点O）.②A、B、C、D四点共面与、共面，（平面ABC）.（3）空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组、、，使.dBA3．数量积公式：.夹角公式：，范围.dBA射影长公式：向量在向量上的投射影长d：(即在方向上投影的绝对值).4．向量的直角坐标运算：设，，则：（1）；（2）；（3）（∈R）；（4）；（5）∥=λ或；（6）⊥.5．向量的坐标（两点间的距离公式）：设A，B，则；.6．向量的模、夹角公式：设，，则：；cos.7．三个向量和的平方公式：.8．用向量方法证垂直：⑴线线垂直：直线AB⊥直线CD⑵线面垂直：直线AB⊥平面MNP9．用向量方法证平行：⑴线线平行：直线AB∥直线CD∥⑵线面平行：直线AB∥平面α（平面α的法向量为）⑶面面平行：平面α∥β∥（平面α的法向量为，平面β的法向量为）10．用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角⑵求线面角：设是斜线的方向向量,是平面的法向量,则斜线与平面所成的角.⑶求二面角(法一)在内,在内,其方向如图(略),则二面角的平面角.(法二)设,是二面角的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面角.11．用向量方法求距离：①点B到直线距离：，（点在直线上，直线的方向向量）②异面直线间的距离：（、是两异面直线，其公垂向量为，C、D分别是、上任一点，为、间的距离）③点B到平面的距离：(即在方向上投影的绝对值).APBdDCAB（为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，）.APBdDCAB

空间向量及运算练习题一、选择题：1、设向量、、不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）A{+，－，} B{+，－，}C{+，－，}D{++，+，}2、在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，向量、、是A有相同起点的向量 B等长的向量C共面向量 D不共面向量3、已知+3与7－5垂直，且－4与7－2垂直，则〈，〉=_______4、在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）A3 B2 C1 D05、已知向量=（1，1，0），=（－1，0，2），且k＋与2－互相垂直，则k值是A1 B C D6、设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为（A）A（，，）B（，，） C（，，） D（，，）7、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为（D）Aarccos Barccos Carccos Darccos8、已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________9、设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，求a的值二题解答题：1．如图，点A是△ABD所在平面外一点，G是△BCD的重心，，λ=2．在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离【变式】A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，试求MN的长3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：（1）BD1⊥平面ACB1；（2）BE=ED14．在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=（1）求证：SC⊥BC；（2）求SC与AB所成角的余弦值5．如图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点（1）求的长；（2）求cos〈，〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M6．棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E、F分别是C1C和D1A7．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：平面BCD； （II）求异面直线A