北师大版八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第08讲二次根式(8种题型)(原卷版+解析)

第08讲二次根式（8种题型）【知识梳理】一．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．二．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．三．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．四．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．五．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．六．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．七．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．八．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．九．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．【考点剖析】一．二次根式的定义（共4小题）1．（2023春•庐阳区校级期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2023春•大石桥市期中）下列各式是二次根式的有（）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2022秋•门头沟区期末）下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．x B．3.14﹣π C．x2+1 D．x2﹣14．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是．二．二次根式有意义的条件（共3小题）5．（2023春•江夏区校级期末）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤36．（2022秋•宝山区期末）如果y＝，则x+y的值为（）A． B．1 C． D．07．（2023春•东港区校级月考）已知x，y为实数，且，则x﹣y＝（）A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7三．二次根式的性质与化简（共4小题）8．（2023春•合川区期末）实数m对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（）A．2m﹣9 B．﹣5 C．5 D．9﹣2m9．（2023春•泰山区校级期中）把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（）A． B． C． D．10．（2023•娄底二模）如果＝2﹣x，那么x取值范围是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞211．（2023春•莘县期末）若2＜a＜3，则等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1四．最简二次根式（共2小题）12．（2022秋•平度市期末）下列各式：①，②，③，④，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2023春•南京期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．五．二次根式的乘除法（共6小题）14．（2023春•仙游县期中）下列运算正确的是（）A．•＝ B．9×＝ C．×＝12 D．•＝615．（2021秋•古冶区期末）计算：（1）；（2）．16．（2023春•兴县期中）若成立，则（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜617．（2023春•蓬莱区期中）已知＝a，＝b，则＝（）A． B． C． D．18．（2023春•密云区期末）计算：2．19．（2022春•湟中区校级月考）3×2．六．二次根式的加减法（共5小题）20．（2022秋•道外区期末）下列计算正确的是（）A． B． C． D．21．（2022秋•渠县校级期末）计算的结果是（）A． B．﹣1 C． D．22．（2022秋•南关区校级期末）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此规定[7﹣]的值为．23．（2023•松北区三模）计算﹣3的结果是．24．（2023春•涪城区期中）已知实数m、n、p满足等式•＝+，则p＝．七．二次根式的混合运算（共3小题）25．（2023春•宿城区期末）计算：．26．（2023春•金川区校级期中）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．27．（2023春•潘集区期末）计算：（1）；（2）．八．二次根式的化简求值（共4小题）28．（2023春•福清市期中）已知x＝+，y＝﹣，求x2+xy+y2的值．29．（2023春•泰安期中）（1）当时，求代数式的值．（2）当，，求代数式a2﹣3ab+b2的值．30．（2023春•虹口区期末）已知：a+b＝﹣2，ab＝1，求：的值．31．（2022秋•罗湖区校级期末）小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a＝．∴a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）计算：＝；（2）计算：+…+；（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．

【过关检测】一、单选题1．（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第十五中学校考期中）若根式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）下列二次根式为最简二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（）A．2 B．4 C．5 D．204．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．5．（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）若，则p的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）下列二次根式中，与能合并的是（）A． B． C． D．7．（2023·上海·八年级假期作业）已知，则的值为（

）A． B．4 C． D．8．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）若最简二次根式与能够合并，则a的值是（）A． B．0 C．1 D．29．（2023春·广东惠州·八年级统考期末）下列根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·八年级假期作业）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．二、填空题11．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_________．12．（2023春·江西赣州·八年级统考期中）计算：_____．13．（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）当时，二次根式的值为______．14．（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期末）计算：______．15．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）计算：________．16．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）计算：___________．三、解答题17．（2023春·北京东城·八年级期末）已知，求代数式的值．18．（2023春·广东江门·八年级统考期末）如图，从正方形中载去两个面积分别为和的正方形和，求留下部分的总面积．

19．（2023·全国·八年级假期作业）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式==（）．运用以上方法解决问题：(1)将分母有理化；(2)比较大小：（在横线上填“”、“”或“”）①__________；②__________（，且为整数）；(3)化简：．20．（2023春·北京西城·八年级校考期中）已知，，求的值．21．（2023春·广东惠州·八年级统考期末）计算：．22．（2023春·北京东城·八年级期末）计算：(1)；(2)．23．（2023春·福建福州·八年级统考期末）计算：．24．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）计算：．25．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）计算：．26．（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)请你尝试化简：①______；②______．(2)若，且，，为正整数，求的值．27．（2023春·河南许昌·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是高，，，．

(1)求的周长；(2)求的长度．28．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）把根式进行化简，若能找到两个数、，使且，则把变成，然后开方，从而使得化简．例如：化简．解：∵，∴．利用上述方法完成下列各题（结果要化为最简形式）：(1)___________；(2)___________；(3)当时，化简．

第08讲二次根式（8种题型）【知识梳理】一．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．二．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．三．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．四．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．五．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．六．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．七．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．八．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．九．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．【考点剖析】一．二次根式的定义（共4小题）1．（2023春•庐阳区校级期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】形如（a≥0）的式子即为二次根式，据此进行判断即可．【解答】解：不符合二次根式定义，则A不符合题意；＝2，符合二次根式的定义，则B符合题意；不符合二次根式定义，则C不符合题意；当a＜0时，不符合二次根式定义，则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查二次根式的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．（2023春•大石桥市期中）下列各式是二次根式的有（）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据形如（a≥0）的式子是二次根式，可得答案．【解答】解：二次根式有（1），（3），故选：C．【点评】本题考查了二次根式，二次根式的被开方数是非负数．3．（2022秋•门头沟区期末）下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．x B．3.14﹣π C．x2+1 D．x2﹣1【分析】根据二次根式的定义解答即可．【解答】解：∵x2+1＞0，∴x2+1能作为二次根式被开方数．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的定义，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键．4．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是45．【分析】由，结合b是正整数，是大于1的整数，可得b是15的倍数，从而可得答案．【解答】解：∵，又∵b是正整数且是大于1的整数，∴当b＝15时，的整数值最大为4，此时b的值最小，当b＝60时，的整数值最小为2，此时b的值最大，∴b的最大值与最小值的差是60﹣15＝45．故答案为：45．【点评】本题考查的是算术平方根的含义与估算，理解题意是解本题的关键．二．二次根式有意义的条件（共3小题）5．（2023春•江夏区校级期末）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤3【分析】直接利用二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，进而得出答案．【解答】解：若使二次根式在实数范围内有意义，则﹣3+x≥0，解得：x≥3．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．6．（2022秋•宝山区期末）如果y＝，则x+y的值为（）A． B．1 C． D．0【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵3﹣2x≥0，2x﹣3≥0，则x≥，x≤，解得：x＝，故y＝0，则x+y＝+0＝．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．7．（2023春•东港区校级月考）已知x，y为实数，且，则x﹣y＝（）A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．【解答】解：∵．∴x2＝9，y＝4，∴x＝±3，当x＝3，y＝4时，x﹣y＝3﹣4＝﹣1；当x＝﹣3，y＝4时，x﹣y＝﹣3﹣4＝﹣7；∴x﹣y＝﹣1或﹣7．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．三．二次根式的性质与化简（共4小题）8．（2023春•合川区期末）实数m对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（）A．2m﹣9 B．﹣5 C．5 D．9﹣2m【分析】由数轴可得3＜m＜4，然后根据＝|a|＝进行化简即可．【解答】解：由数轴可得3＜m＜4，那么m﹣2＞0，m﹣7＜0，原式＝|m﹣2|+|m﹣7|＝m﹣2+7﹣m＝5，故选：C．【点评】本题考查实数与数轴的关系，二次根式的性质，利用数轴判断出m﹣2＞0，m﹣7＜0是解题的关键．9．（2023春•泰山区校级期中）把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（）A． B． C． D．【分析】由于被开方数为非负数，可确定x﹣1的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．【解答】解：由已知可得，x﹣1＜0，即1﹣x＞0，所以，＝﹣＝﹣．故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，由已知得出x﹣1的取值范围是解答此题的关键．10．（2023•娄底二模）如果＝2﹣x，那么x取值范围是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【分析】根据二次根式的被开方数是一个≥0的数，可得不等式，解即可．【解答】解：∵＝2﹣x，∴x﹣2≤0，解得x≤2．故选：A．【点评】本题考查了二次根式的化简与性质．解题的关键是要注意被开方数的取值范围．11．（2023春•莘县期末）若2＜a＜3，则等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1【分析】先根据2＜a＜3把二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果即可．【解答】解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．四．最简二次根式（共2小题）12．（2022秋•平度市期末）下列各式：①，②，③，④，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：①＝，不是最简二次根式；②，是最简二次根式；③＝3，不是最简二次根式；④＝，不是最简二次根式，最简二次根式有②；故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．13．（2023春•南京期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；B、是最简二次根式，故B符合题意；C、＝x，故C不符合题意；D、＝，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．五．二次根式的乘除法（共6小题）14．（2023春•仙游县期中）下列运算正确的是（）A．•＝ B．9×＝ C．×＝12 D．•＝6【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、•＝，故此选项错误；B、9×＝9＝9×＝3，故此选项错误；C、×＝2，故此选项错误；D、•＝＝6，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．15．（2021秋•古冶区期末）计算：（1）；（2）．【分析】（1）根据二次根式的乘法运算即可求得；（2）根据二次根式的乘法运算即可求得．【解答】解：（1）原式＝＝＝6；（2）原式＝＝＝3．【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，化简二次根式，熟练运用运算法则是解决本题的关键．16．（2023春•兴县期中）若成立，则（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：要使成立，则，解得：0≤x＜6，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0．17．（2023春•蓬莱区期中）已知＝a，＝b，则＝（）A． B． C． D．【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式．【解答】解：＝＝＝∵＝a，＝b，∴原式＝．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的化简及积的算术平方根的性质．积的算术平方根的性质：＝•（a≥0，b≥0）18．（2023春•密云区期末）计算：2．【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．【解答】解：原式＝2××＝××＝6．【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．19．（2022春•湟中区校级月考）3×2．【分析】根据二次根式的乘法法则求解．【解答】解：原式＝6＝30．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．六．二次根式的加减法（共5小题）20．（2022秋•道外区期末）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的运算法则，依次计算各个选项，即可进行解答．【解答】解：A、，故A不正确，不符合题意；B、，故B不正确，不符合题意；C、，故C不正确，不符合题意；D、，故D正确，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．21．（2022秋•渠县校级期末）计算的结果是（）A． B．﹣1 C． D．【分析】直接化简二次根式，进而合并二次根式得出答案．【解答】解：原式＝2﹣3＝﹣．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．22．（2022秋•南关区校级期末）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此规定[7﹣]的值为4．【分析】直接估算的取值范围，进而结合符号[m]表示一个实数m的整数部分，进而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴[7﹣]＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确估算无理数的大小是解题关键．23．（2023•松北区三模）计算﹣3的结果是2．【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．【解答】解：原式＝3﹣＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．24．（2023春•涪城区期中）已知实数m、n、p满足等式•＝+，则p＝5．【分析】根据被开方数大于等于0列式求出m+n的值，再根据非负数的性质列出方程组，然后求解即可．【解答】解：由题意得，m﹣3+n≥0且3﹣m﹣n≥0，解得m+n≥3且m+n≤3，所以m+n＝3，所以，等式可化为＝0，由非负数的性质得，，解得，故p的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，二元一次方程组的解法，难点在于求出m+n＝3并整理等式．七．二次根式的混合运算（共3小题）25．（2023春•宿城区期末）计算：．【分析】先进行乘法的运算，化简运算，再进行加减运算即可．【解答】解：＝2+﹣4×＝4+﹣2＝4﹣．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．26．（2023春•金川区校级期中）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）（2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；（3）根据二次根式的混合计算法则求解即可；（4）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝；（3）原式＝＝＝；（4）原式＝＝＝．【点评】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，完全平方公式和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．27．（2023春•潘集区期末）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可；（2）先利用平方差公式和完全平方公式化简二次根式，再合并即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣4+×＝3﹣4+2＝；（2）原式＝（2）2﹣（5）2﹣（）2+2××﹣（）2＝20﹣50﹣5+2﹣2；＝2﹣37．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．八．二次根式的化简求值（共4小题）28．（2023春•福清市期中）已知x＝+，y＝﹣，求x2+xy+y2的值．【分析】根据二次根式的加法法则、乘方法则分别求出x+y、xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．【解答】解：∵x＝+，y＝﹣，∴x+y＝（+）+（﹣）＝2，xy＝（+）（﹣）＝5﹣3＝2，∴x2+xy+y2＝x2+2xy+y2﹣xy＝（x+y）2﹣xy＝（2）2﹣2＝20﹣2＝18．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘方法则、完全平方公式是解题的关键．29．（2023春•泰安期中）（1）当时，求代数式的值．（2）当，，求代数式a2﹣3ab+b2的值．【分析】（1）先判断出a﹣3的符号，再把二次根式进行化简即可；（2）把原式化为（a﹣b）2﹣ab的形式，再把a，b的值代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵a＝3﹣2，∴a﹣3＝3﹣2﹣3＝﹣2＜0，∴＝a+2＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a，＝6﹣（3﹣2）＝6﹣3+2＝3+2；（2）∵，，∴a﹣b＝3+2﹣3+2＝4，ab＝（3+2）（3﹣2）＝1∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝（4）2﹣1＝32﹣1＝31．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．30．（2023春•虹口区期末）已知：a+b＝﹣2，ab＝1，求：的值．【分析】根据a+b＝﹣2，ab＝1可知a，b互为倒数，且a＜0，b＜0，再把代数式进行化简，进而可得出结论．【解答】解：∵a+b＝﹣2，ab＝1，∴a，b互为倒数，且a＜0，b＜0，∴原式＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣b2﹣a2＝﹣（a2+b2）＝﹣（a+b）2﹣2ab＝﹣4﹣2＝﹣6．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，根据题意得出a＜0，b＜0是解题的关键．31．（2022秋•罗湖区校级期末）小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a＝．∴a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）计算：＝﹣1；（2）计算：+…+；（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．【解答】解：（1）＝＝﹣1，故答案为：；（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1＝；（3）∵a＝+2，∴a﹣2＝．∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3．答：2a2﹣8a+1的值为3．【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出a的值和正确变形是解此题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第十五中学校考期中）若根式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，解得．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）下列二次根式为最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据最简二次根式的概念判断．【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不合题意；B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、，被开方数含能开得尽方的数，不是最简二次根式，不合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键．3．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（）A．2 B．4 C．5 D．20【答案】C【分析】将化简为，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答．【详解】解：，是整数，满足条件的最小正整数为5，故选：C．【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键．4．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的加法，乘法法则依次判断即可．【详解】解：A、不能再计算，错误，故不符合题意；B、，错误，故不符合题意；C、，正确，符合题意；D、，错误，故不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了二次根式的计算，正确掌握二次根式的加法和乘法法则是解题的关键．5．（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）若，则p的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次根式的混合运算法则可进行求解．【详解】解：，∵，∴；故选A．【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘除运算是解题的关键．6．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）下列二次根式中，与能合并的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简二次根式，找出与是同类二次根式的即可．【详解】解：A、，不能与合并，则此项不符合题意；B、，不能与合并，则此项不符合题意；C、，不能与合并，则此项不符合题意；D、，能与合并，则此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．7．（2023·上海·八年级假期作业）已知，则的值为（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，故选：B．【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键．8．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）若最简二次根式与能够合并，则a的值是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据最简同类二次根式可以合并，即被开方数相同即可求解．【详解】解：∵最简二次根式与能够合并，∴，解得：．故选C．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的定义．解题的关键是熟知同类最简二次根式的被开方数相同．9．（2023春·广东惠州·八年级统考期末）下列根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．【详解】解：A、，不是二次根式，故本选项不符合题意；B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的定义．10．（2023·全国·八年级假期作业）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的概念进行判断即可．【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意；B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；D、是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键．二、填空题11．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_________．【答案】3【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出答案．【详解】解：∵，∴n的最小正整数值是：3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与定义，正确化简二次根式是解题关键．12．（2023春·江西赣州·八年级统考期中）计算：_____．【答案】【分析】根据二次根式的性质化简，加减运算方法即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质进行二次根式的加减运算法则是解题的关键．13．（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）当时，二次根式的值为______．【答案】1【分析】直接把代入中进行求解即可．【详解】解：把代入中得：，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了求代数式的值，求算术平方根，正确计算是解题的关键．14．（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期末）计算：______．【答案】/【分析】先利用二次根式的性质化简，再合并即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的减法，二次根式的性质化简，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．15．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）计算：________．【答案】【分析】根据二次根式有意义求出，再代入求值即可．【详解】∵，∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义，解题的关键是根据二次根式被开方数非负这一隐藏条件求出．16．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）计算：___________．【答案】【分析】根据乘法公式、实数的运算法则进行求解即可．【详解】原式故答案为：．【点睛】本题考查实数的运算；灵活对运算式变形，采用合适的乘法公式进行巧算是解题的关键．三、解答题17．（2023春·北京东城·八年级期末）已知，求代数式的值．【答案】5【分析】利用完全平方公式，将变式为，再代入数值解题．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、二次根式的性质，是重要考点，掌握完全平方公式是解题关键．18．（2023春·广东江门·八年级统考期末）如图，从正方形中载去两个面积分别为和的正方形和，求留下部分的总面积．

【答案】【分析】先得出小正方形的边长，从而求出大正方形的边长，从而计算面积．【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，∴两个小正方形的边长分别为和，∴大正方形的边长是，∴留下部分的总面积为．【点睛】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是得出大正方形的边长．19．（2023·全国·八年级假期作业）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式==（）．运用以上方法解决问题：