北师大版八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第4章一次函数全章复习与测试(原卷版+解析)

第4章一次函数全章复习与测试【知识梳理】一．常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．二．函数的概念函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．三．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．四．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．五．函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．六．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．七．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．八．函数的表示方法函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．九．一次函数的定义（1）一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．（2）注意：①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．十．正比例函数的定义（1）正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．（2）正比例函数图象的性质正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．十一．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．十二．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．十三．一次函数图象与系数的关系由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．十四．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．十五．一次函数图象与几何变换直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）十六．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．十七．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．十八．两条直线相交或平行问题直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．十九．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．二十．一次函数与二元一次方程（组）（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．二十一．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．【考点剖析】一．常量与变量（共1小题）1．（2023春•香洲区校级期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长C＝2πr．下列判断正确的是（）A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量二．函数的概念（共1小题）2．（2023春•江津区期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．三．函数关系式（共1小题）3．（2022秋•高新区校级期末）西安市出租车起步价8.5元（路程小于或等于3公里），超过3公里每增加1公里加收2元，出租车费y（元）与行程x（公里）（x＞3）之间的函数关系．四．函数自变量的取值范围（共1小题）4．（2023春•晋江市期末）函数中自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞0 C．x＜0 D．x≤0五．函数值（共2小题）5．（2022秋•宣州区期末）若a0+a1x+a2x2+a3x3＝（1+x）3，则a1+a2+a3＝．6．（2022秋•徐汇区期末）已知函数f（x）＝，那么f（1）＝．六．函数的图象（共2小题）7．（2023•耿马县模拟）碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大 D．要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40℃～80℃8．（2022秋•金东区期末）A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲出发4h后被乙追上；③甲比乙晚到h；④甲车行驶8h或9h，甲，乙两车相距80km；其中错误的（）A．序号① B．序号② C．序号③ D．序号④七．函数的表示方法（共1小题）9．（2022秋•温州期末）某种气体的体积y（L）与气体的温度x（℃）对应值如表，若要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于℃．x（℃）…0123…10…y（L）…100100.3100.6100.9…103…八．一次函数的定义（共1小题）10．（2022秋•宁明县期末）下列函数中，是一次函数的是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝kx+b C．y＝ D．y＝﹣2x2+1九．正比例函数的定义（共2小题）11．（2023春•永春县期末）若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．任意实数12．（2023春•江津区期末）已知函数y＝|m+1|是正比例函数，则m的值是．一十．一次函数的图象（共1小题）13．（2022秋•高碑店市期末）已知函数y＝kx﹣1，y随x的增大而增大，则它的图象可能是下图中的（）A． B． C． D．一十一．正比例函数的图象（共1小题）14．（2022秋•鸡泽县期末）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（）A． B． C． D．一十二．一次函数的性质（共2小题）15．（2023春•平桥区期末）已知点（﹣2，m），（3，n）都在直线y＝﹣3x+b上，则m与n的大小关系是（）A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．无法确定16．（2023•吴兴区一模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限一十三．正比例函数的性质（共2小题）17．（2023•碑林区校级二模）已知正比例函数y＝kx中，y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的图象所经过的象限是（）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四18．（2023•丹徒区二模）正比例函数y＝kx（k＜0），当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝．一十四．一次函数图象与系数的关系（共2小题）19．（2023春•和平区校级期末）已知一次函数y＝kx+（2﹣k）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜0 B．0＜k＜2 C．k＞0 D．k＜220．（2023春•重庆期末）一次函数y＝x﹣m（m为常数），当y＞0时，在x的取值范围内有且仅有三个负整数，则m的取值范围是．一十五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题）21．（2022秋•义乌市校级期末）若一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥322．（2022秋•龙泉驿区期末）函数y＝2x+1的图象过点（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（1，1）一十六．一次函数图象与几何变换（共2小题）23．（2023春•邕宁区期末）把函数y＝x向上平移2个单位，下列在该平移后的直线上的点是（）A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）24．（2023•淮阳区三模）写出一个可以由直线y＝﹣3x+4平移得到的直线的解析式．一十七．待定系数法求一次函数解析式（共2小题）25．（2023•合肥模拟）已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是．26．（2022秋•金牛区校级期末）已知y和x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝﹣4，则y与x的函数关系式为．一十八．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）27．（2022秋•宁波期末）已知正比例函数y＝kx经过点（﹣2，1），则k的值是．28．（2022秋•城关区期末）已知点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．一十九．一次函数与一元一次方程（共3小题）29．（2022秋•城关区校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（）A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝430．（2023春•武汉期末）一次函数y＝ax+b与两坐标轴的交点为（2，0）、（0，3），则关于x的方程ax+b＝0的解是x＝．31．（2022秋•平遥县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b和正比例函数y＝mx的图象交于点P（1，3），则关于x的一元一次方程kx+b＝mx的解是．二十．根据实际问题列一次函数关系式（共2小题）32．（2022秋•徐汇区校级期末）某产品原价每件价格为x元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，均为30%，现在每件售价为y元，那么y与x之间的函数关系式为．33．（2022秋•阳曲县校级期末）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（单位：cm）与燃烧时间t（单位：h）（0≤t≤4）之间的关系是．二十一．一次函数的应用（共2小题）34．（2022秋•佛山校级期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个35．（2023春•东港区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？二十二．一次函数综合题（共2小题）36．（2023春•渝北区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C为BO中点．​（1）求线段AC的长；（2）点D在x轴负半轴上，直线CD与AB交于点E，若△COD≌△AOB，求点E的坐标及△BEC的面积；（3）若点F在直线CD上，点G在y轴上，当以点A，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求出点F坐标．37．（2022秋•南海区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线CD与直线AB交于点C（a，6），与x轴交于点D（3，0），点P是直线CD上一点（不与点C重合）．（1）求a的值．（2）当△APC的面积为18时，求点P的坐标．（3）若直线MN在平面直角坐标系内运动，且MN始终与AB平行，直线MN交直线CD于点M，交y轴于点N，当∠BMN＝90°时，求△BMN的面积．

【过关检测】一、单选题1．已知，点（﹣2，y1）和点（﹣3，y2）在直线y＝﹣3x+4图象上，则y1和y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定2．下列各图像中，y不是x的函数的是（

）．A． B．C． D．3．某学生早上为赶时间匀速小跑赶往学校；到校后，便在教室里上课；放学后因时间充足，便以相对较慢的速度匀速走回家，下列图象能大致反映这一过程的是（）A． B．C． D．4．函数中自变量的取值范围是

（

）A． B． C． D．5．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（

）A．B．C． D．6．若正比例函数的图象经过点，则此图象也必定经过点（）A． B． C． D．7．如图是良马与驽马从甲地出发行走路程（单位：里）关于行走时间（单位：日）的函数图象，其中良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，则良马行走了日时距驽马（

）里．A． B． C． D．8．下列函数中，y是x的一次函数的是（）A．y＝ B．y＝﹣x2+3 C．y＝ D．y＝2（1﹣x）+2x9．关于正比例函数y＝﹣2x，下列结论中正确的是（）A．函数图象不经过原点 B．y随x的增大而减小C．函数图象经过第一、三象限 D．不论x取何值，总有y＜010．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题11．一次函数y＝kx+b与y＝2x+1平行，且经过点（﹣3，4），则表达式为：_____．12．若函数y=-2xm+2是正比例函数，则m的值是___________13．若将直线的图象向下平移1个单位长度后经过点（1，5），则平移后直线的解析式为________．14．如图，长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点P从点A出发，沿长方形ABCD的边逆时针运动，设点P运动的距离为x；△APC的面积为y，如果5<x<8，那么y关于x的函数关系式为__________．15．如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x=_____．16．一次函数y=-2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是_____．17．某影剧院观众席的座位数按下列方式设置：排数（x）1234……座位数（y）30333639……根据表格中两个变量之间的关系，当时，座位数___________．18．已知一次函数y=kx+b是正比例函数y=-x向上平移3个单位所得，则k=___；b=__三、解答题19．画出一次函数的图象，求此直线与x轴、y轴的交点坐标.20．已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）．（1）求点A的坐标；（2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值．21．小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）．(1)图像表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)10时和13时，他分别离家多远？(3)他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(4)他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？22．已知矩形的周长为，AB的长为，的长为．（1）写出关于的函数解析式（为自变量）；（2）当时，求的值．23．如图，已知直线m的解析式为y=﹣x+1，与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．(1)求△ABC的面积；(2)求点P的坐标．24．如图，直线l1与l2相交于点P，点P横坐标为－1，l1的表达式为y＝x＋3，且l1与y轴交于点A，l2与y轴交于点B，点A与点B恰好关于x轴对称．(1)求点B的坐标；(2)求直线l2的表达式；(3)若点M为直线l2上一点，求出使△MAB的面积是△PAB的面积的的点M的坐标．25．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0，2)和点B(－a，3)，且点B在正比例函数y＝－3x的图象上．(1)求a的值；(2)求一次函数的表达式并画出它的图象；(3)若P(m，y1)，Q(m－1，y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．26．某商场促销期间规定，如果购买不超过50元的商品，则按全额收费，如果购买超过50元的商品，则超过50元的部分按九折收费．设商品全额为x元，交费为y元．(1)写出y与x之间的函数表达式；(2)某顾客在一次消费中，向售货员交纳了212元，那么在这次消费中，该顾客购买的商品全额为多少元？

第4章一次函数全章复习与测试【知识梳理】一．常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．二．函数的概念函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．三．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．四．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．五．函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．六．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．七．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．八．函数的表示方法函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．九．一次函数的定义（1）一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．（2）注意：①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．十．正比例函数的定义（1）正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．（2）正比例函数图象的性质正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．十一．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．十二．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．十三．一次函数图象与系数的关系由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．十四．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．十五．一次函数图象与几何变换直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）十六．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．十七．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．十八．两条直线相交或平行问题直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．十九．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．二十．一次函数与二元一次方程（组）（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．二十一．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．【考点剖析】一．常量与变量（共1小题）1．（2023春•香洲区校级期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长C＝2πr．下列判断正确的是（）A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量【分析】根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，在C＝2πr中，2，π为常量，r是自变量，C是因变量．故选：C．【点评】本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义进行求解是解决本题的关键．二．函数的概念（共1小题）2．（2023春•江津区期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．【解答】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，选项A、B、D中的图象，表示y是x的函数，故A、B、D不符合题意；选项C中的图象，不表示y是x的函数，故C符合题意．故选：C．【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．三．函数关系式（共1小题）3．（2022秋•高新区校级期末）西安市出租车起步价8.5元（路程小于或等于3公里），超过3公里每增加1公里加收2元，出租车费y（元）与行程x（公里）（x＞3）之间的函数关系y＝2x+2.5．【分析】首先设乘出租车xkm，应付y元车费，根据题意即可得一次函数：y＝8.5+2（x﹣3），进而得出即可．【解答】解：设乘出租车xkm，应付y元车费．∵每增加1公里加收2元，∴根据题意得：当x＞3时，y＝8.5+2（x﹣3）＝2x+2.5．故答案为：y＝2x+2.5．【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式．四．函数自变量的取值范围（共1小题）4．（2023春•晋江市期末）函数中自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞0 C．x＜0 D．x≤0【分析】根据分母不为0可得x≠0，即可解答．【解答】解：由题意得：x≠0，故选：A．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．五．函数值（共2小题）5．（2022秋•宣州区期末）若a0+a1x+a2x2+a3x3＝（1+x）3，则a1+a2+a3＝7．【分析】令x＝1求出a0+a1+a2+a3的值，令x＝0，求出a0的值，然后两式相减即可得解．【解答】解：令x＝1，则a0+a1+a2+a3＝（1+1）3＝8①，令x＝0，则a0＝（1+0）3＝1②，①﹣②得，a1+a2+a3＝8﹣1＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了求函数值，根据系数的特点，令x取特殊值是解题的关键，本题难度不大，灵活性较强．6．（2022秋•徐汇区期末）已知函数f（x）＝，那么f（1）＝﹣．【分析】根据所给的函数关系式求解即可．【解答】解：由题意，，故答案为：．【点评】本题考查求函数值，理解题中函数关系式是解答的关键．六．函数的图象（共2小题）7．（2023•耿马县模拟）碳酸钠的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度为49g B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大 D．要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度只能控制在40℃～80℃【分析】根据函数图象解答即可．【解答】解：由图象可知：当温度为60℃时，碳酸钠的溶解度小于49g，故选项A说法错误，不符合题意；0°C至40°C时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，40°C至80°C时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而减少，故选项B说法错误，不符合题意；当温度为40℃时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意；要使碳酸钠的溶解度大于43.6g，温度可控制在接近40℃至80℃，故选项D说法错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．8．（2022秋•金东区期末）A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲出发4h后被乙追上；③甲比乙晚到h；④甲车行驶8h或9h，甲，乙两车相距80km；其中错误的（）A．序号① B．序号② C．序号③ D．序号④【分析】根据函数图象即可得到甲车行驶的速度以及乙车行驶的速度；根据函数图象即可得到乙出发4h后追上甲；根据图象，当乙到达B地时，甲乙相距100km，据此可得甲比乙晚到h；根据甲，乙两车相距80km，列出方程进行求解即可．【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度是60÷1＝60（km/h），∵甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，∴3（v乙﹣60）＝60，∴v乙＝80（km/h），即乙车行驶的速度是80km/h，故①正确；②∵当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲，∴甲出发4h后被乙追上，故②正确；③由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km，∴甲比乙晚到100÷60＝（h），故③正确；④由图可得，当60t+80＝80（t﹣1）时，解得t＝8；当60t+80＝640时，解得t＝9，∴甲车行驶8h或9h，甲，乙两车相距80km，故④错误；故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是根据函数图象获得关键的信息，利用行程问题的数量关系列式计算．七．函数的表示方法（共1小题）9．（2022秋•温州期末）某种气体的体积y（L）与气体的温度x（℃）对应值如表，若要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于20℃．x（℃）…0123…10…y（L）…100100.3100.6100.9…103…【分析】设出一次函数关系式，代入两点解方程组即可．【解答】解：设y＝kx+b，把（0，100）（1，100.6）代入得，，∴，∴y＝0.3x+100，把y＝106代入得，106＝0.3x+100，∴x＝20，∴当气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于20℃．故答案为：20．【点评】本题考查了函数的表达方式，熟练运用待定系数法是解题关键．八．一次函数的定义（共1小题）10．（2022秋•宁明县期末）下列函数中，是一次函数的是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝kx+b C．y＝ D．y＝﹣2x2+1【分析】根据一次函数的定义即可即可．【解答】解：A、此函数是一次函数，故此选项符合题意；B、当k＝0时不是一次函数，故此选项不符合题意；C、此函数是反比例函数，故此选项不符合题意；D、y＝﹣2x2+1是二次函数，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．九．正比例函数的定义（共2小题）11．（2023春•永春县期末）若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．任意实数【分析】根据正比例函数的定义解答即可．【解答】解：∵y＝x+b是正比例函数，∴b＝0．故选：A．【点评】本题考查的是正比例函数，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解题的关键．12．（2023春•江津区期末）已知函数y＝|m+1|是正比例函数，则m的值是1．【分析】根据正比例函数比例系数和指数的知识列出方程与不等式，即可求出m的值．【解答】解：根据题意可得：，解得：m＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，根据正比例函数系数不为零，自变量指数为1列出方程组是解答的关键．一十．一次函数的图象（共1小题）13．（2022秋•高碑店市期末）已知函数y＝kx﹣1，y随x的增大而增大，则它的图象可能是下图中的（）A． B． C． D．【分析】y随x的增大而增大，则k＞0，图象经过一、三象限；常数项﹣1＜0，则直线与y轴的交点在负半轴上，图象还经过第四象限．【解答】解：∵函数y＝kx﹣1，y随x的增大而增大，∴k＞0，图象经过一、三象限；又∵﹣1＜0，∴图象还经过第四象限．即图象经过一、三、四象限．故选：D．【点评】本题是一道一次函数试题，考查了一次函数的图象特征，函数的升降性，一次函数的各个系数的作用．如：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．一十一．正比例函数的图象（共1小题）14．（2022秋•鸡泽县期末）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】分别利用一次函数和正比例函数的图象性质，分析得出即可．【解答】解：A、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于负半轴，则﹣k＜0，则k＞0，故此选项错误；B、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项正确；C、由y＝kx经过第一、三象限，则k＞0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项错误；D、由y＝kx没经过原点，图象不合题意，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数与正比例函数图象的性质，正确得出k的符号是解题关键．一十二．一次函数的性质（共2小题）15．（2023春•平桥区期末）已知点（﹣2，m），（3，n）都在直线y＝﹣3x+b上，则m与n的大小关系是（）A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．无法确定【分析】由一次函数性质可得y随x增大而减小，进而求解．【解答】解：∵y＝﹣3x+b中﹣＜＞0，∴y随x增大而减小，∵﹣2＜3，∴m＞n，故选：B．【点评】本题考查一次函数性质，解题关键是掌握一次函数性质．16．（2023•吴兴区一模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0，∴一次函数y＝2x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．一十三．正比例函数的性质（共2小题）17．（2023•碑林区校级二模）已知正比例函数y＝kx中，y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的图象所经过的象限是（）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，∴k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、二、四象限．故选：B．【点评】本题考查了正比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限．18．（2023•丹徒区二模）正比例函数y＝kx（k＜0），当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝﹣2．【分析】先根据k＜0判断出函数的增减性，再把x＝1与x＝3代入一次函数，由函数y的最大值和最小值之差为4求出k的值即可．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k＜0），∴y随x的增大而减小，∵当x＝1时，y＝k；当x＝3时，y＝3k，∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，∴k﹣3k＝4，解得k＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解题的关键．一十四．一次函数图象与系数的关系（共2小题）19．（2023春•和平区校级期末）已知一次函数y＝kx+（2﹣k）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜0 B．0＜k＜2 C．k＞0 D．k＜2【分析】根据一次函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx+（2﹣k）的图象经过第一、二、三象限，∴k＞0，2﹣k＞0，解得0＜k＜2．故选：B．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时函数图象经过第一、二、三象限是解答此题的关键．20．（2023春•重庆期末）一次函数y＝x﹣m（m为常数），当y＞0时，在x的取值范围内有且仅有三个负整数，则m的取值范围是﹣4≤m＜﹣3．【分析】由题意可知直线经过第一，二、三象限，与x轴的的交点在﹣4和﹣3（包括﹣4）之间．【解答】解：令y＝0，则x＝m，∴一次函数y＝x﹣m（m为常数）图象与x轴的交点为（m，0），∵一次函数y＝x﹣m（m为常数）中k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，∵当y＞0时，在x的取值范围内有且仅有三个负整数，∴直线经过第一，二、三象限，交x轴的负半轴，∴﹣4≤m＜﹣3，故答案为：﹣4≤m＜﹣3．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，能够理解题意，得出直线经过第一，二、三象限，与x轴的的交点在﹣4和﹣3（包括﹣4）之间是解题的关键．一十五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题）21．（2022秋•义乌市校级期末）若一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3【分析】由当x1＞x2时y1＞y2可以知道，y随x的增大而增大，则由一次函数性质可以知道应有：m﹣3＞0．【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＞x2时y1＞y2，∴一次函数y＝（m﹣3）x﹣4的图象是y随x的增大而增大，∴m﹣3＞0，∴m＞3．故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，准确理解一次函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键．22．（2022秋•龙泉驿区期末）函数y＝2x+1的图象过点（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（1，1）【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征解决此题．【解答】解：A．当x＝﹣1，y＝2×（﹣1）+1＝﹣1≠1，故函数y＝2x+1的图象不经过（﹣1，1），那么A不符合题意．B．当x＝﹣1，y＝2×（﹣1）+1＝﹣1≠2，故函数y＝2x+1的图象不经过（﹣1，2），那么B不符合题意．C．当x＝0，y＝2×0+1＝1，故函数y＝2x+1的图象经过（0，1），那么C符合题意．D．当x＝1，y＝2×1+1＝3≠1，故函数y＝2x+1的图象不经过（1，1），那么D不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解决本题的关键．一十六．一次函数图象与几何变换（共2小题）23．（2023春•邕宁区期末）把函数y＝x向上平移2个单位，下列在该平移后的直线上的点是（）A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）【分析】根据平移的性质得出解析式，进而解答即可．【解答】解：∵该直线向上平移2的单位，∴平移后所得直线的解析式为：y＝x+2；把x＝2代入解析式y＝x+2＝4，∴点（2，4）在直线上．故选：C．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数图象平移的法则是解答此题的关键．24．（2023•淮阳区三模）写出一个可以由直线y＝﹣3x+4平移得到的直线的解析式y＝﹣3x+2（答案不唯一）．【分析】根据平移法则上加下减可得出解析式．【解答】解：直线y＝﹣3x+4向下平移2个单位，得到的直线解析式为：y＝﹣3x+4﹣2＝﹣3x+2．故答案为：y＝﹣3x+2（答案不唯一）．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左减右加、上加下减”的原则是解答此题的关键．一十七．待定系数法求一次函数解析式（共2小题）25．（2023•合肥模拟）已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是y＝x+2或y＝﹣x+2．【分析】设直线解析式为y＝kx+b，先把（0，2）代入得b＝2，再确定直线与x轴的交点坐标为（﹣，0），然后根据三角形的面积公式得到×2×|﹣|＝2，解方程得k的值，可得所求的直线解析式．【解答】解：设直线解析式为y＝kx+b，把（0，2）代入得b＝2，所以y＝kx+2，把y＝0代入得x＝﹣，所以×2×|﹣|＝2，解得：k＝1或﹣1，所以所求的直线解析式为y＝x+2或y＝﹣x+2．故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．26．（2022秋•金牛区校级期末）已知y和x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝﹣4，则y与x的函数关系式为y＝﹣4x+8．【分析】设正比例函数的解析式为y＝k（x﹣2），再把当x＝3时，y＝﹣4代入求出k的值即可得出结论．【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝k（x﹣2），∵当x＝3时，y＝﹣4，∴﹣4＝k（3﹣2），∴k＝﹣4，∴y＝﹣4（x﹣2）＝﹣4x+8．故答案为：y＝﹣4x+8．【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．一十八．待定系数法求正比例函数解析式（共2小题）27．（2022秋•宁波期末）已知正比例函数y＝kx经过点（﹣2，1），则k的值是．【分析】将点（﹣2，1）代入正比例函数y＝kx中，即可求出k的值．【解答】解：∵正比例函数y＝kx经过点（﹣2，1），∴1＝﹣2k，∴k＝．故答案为：．【点评】本题主要考查用待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握用待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题关键．28．（2022秋•城关区期末）已知点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【分析】（1）根据图象上点的坐标性质，将点（，1）代入正比例函数y＝（3m﹣1）x，求得m值即可；（2）根据m的值，即可得出这个函数的解析式；【解答】（1）解：∵点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，∴将点（，1）代入正比例函数y＝（3m﹣1）x，即：1＝（3m﹣1）×，整理得：3m＝3，解得：m＝1；∴m的值为1；（2）解：∵m的值为1；∴代入y＝（3m﹣1）x，即可求出，y＝（3×1﹣1）x＝2x，∴这个函数的解析式为：y＝2x．【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数的解析式以及正比例函数图象上点的坐标都满足该函数的解析式，此题比较简单作题时一定要认真仔细不要犯错．一十九．一次函数与一元一次方程（共3小题）29．（2022秋•城关区校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（）A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），∴2＝2m，∴m＝1，∴P（1，2），∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．30．（2023春•武汉期末）一次函数y＝ax+b与两坐标轴的交点为（2，0）、（0，3），则关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2．【分析】一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b＝0的解．【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），∴关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．31．（2022秋•平遥县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b和正比例函数y＝mx的图象交于点P（1，3），则关于x的一元一次方程kx+b＝mx的解是x＝1．【分析】当x＝1时，y＝mx的函数图象与函数y＝kx+b的图象相交，从而可得到方程的解．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝mx的图象交于点P（3，﹣1），∴当x＝1时，kx+b＝mx，方程kx+b＝mx的解是x＝1，故答案为：x＝1．【点评】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过图象求解，解题的关键是数形结合起来．二十．根据实际问题列一次函数关系式（共2小题）32．（2022秋•徐汇区校级期末）某产品原价每件价格为x元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，均为30%，现在每件售价为y元，那么y与x之间的函数关系式为y＝0.49x．【分析】根据两次降价百分率相同可得：原价×（1﹣降价率）＝现价，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：y＝（1﹣30%）2x＝0.49x．故答案为：y＝0.49x．【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，正确表示出降价后价格是解题关键．33．（2022秋•阳曲县校级期末）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（单位：cm）与燃烧时间t（单位：h）（0≤t≤4）之间的关系是h＝﹣5t+20．【分析】根据题意可得等量关系：燃烧的高度+剩余的高度＝20cm，根据等量关系列出函数关系式即可．【解答】解：由题意得：5t+h＝20，整理得：h＝﹣5t+20，故答案为：h＝﹣5t+20．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．二十一．一次函数的应用（共2小题）34．（2022秋•佛山校级期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得：甲步行速度＝＝60（米/分）；故①结论正确；设乙的速度为：x米/分，由题意可得：16×60＝（16﹣4）x，解得x＝80，∴乙的速度为80米/分；∴乙走完全程的时间＝＝30（分），故②结论错误；由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4＝12（分）；故③结论错误；乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360（米），故④结论错误；故正确的结论有①共1个．故选：A．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．35．（2023春•东港区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；（3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可．【解答】解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，∴y甲＝20x；设y乙＝k2x+80，根据题意得：12k2+80＝200，解得k2＝10，∴y乙＝10x+80；（2）解方程组解得：，∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，∴x＝12；当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，解得x＝16；∵12＜16，∴选择乙种更合算．【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键．二十二．一次函数综合题（共2小题）36．（2023春•渝北区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C为BO中点．​（1）求线段AC的长；（2）点D在x轴负半轴上，直线CD与AB交于点E，若△COD≌△AOB，求点E的坐标及△BEC的面积；（3）若点F在直线CD上，点G在y轴上，当以点A，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求出点F坐标．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AC的长；（2）由全等三角形的性质可求点D（﹣4，0），可求直线CD的解析式为y＝x+2，联立方程组可求点E坐标，即可求解；（3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，∴点A（2，0），点B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵点C为BO中点，∴OC＝BC＝2，点C（0，2），∴AC＝＝＝2；（2）∵△COD≌△AOB，∴DO＝OB＝4，∴点D（﹣4，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x+2，联立方程组可得：，∴，∴点E（，），∴△BEC的面积＝×2×＝；（3）设点G坐标为（0，n），点F（m，m+2），当AC为对角线时，∵四边形AFCG是平行四边形，∴AC与FG互相平分，∴2+0＝0+m，∴m＝2，∴点F（2，3）；当AF为对角线时，∵四边形ACFG是平行四边形，∴AF与CG互相平分，∴2+m＝0+0，∴m＝﹣2，∴点F（﹣2，1）；当AG为对角线时，∵四边形ACGF是平行四边形，∴AG与CF是平行四边形，∴2+0＝0+m，∴m＝2，∴点F（2，3）；综上所述：点F的坐标为（2，3）或（﹣2，1）．【点评】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的性质，待定系数法可求解析式，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．37．（2022秋•南海区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线CD与直线AB交于点C（a，6），与x轴交于点D（3，0），点P是直线CD上一点（不与点C重合）．（1）求a的值．（2）当△APC的面积为18时，求点P的坐标．（3）若直线MN在平面直角坐标系内运动，且MN始终与AB平行，直线MN交直线CD于点M，交y轴于点N，当∠BMN＝90°时，求△BMN的面积．【分析】（1）将C（a，6）代入y＝x+1可得a的值是5；（2）用待定系数法求出直线CD解析式为y＝3x﹣9，再求出S△ACD＝AD•|yC|＝12，即知P不能在线段CD上，设P（m，3m﹣9），当P在D下面时，有S△ADP＝18﹣12＝6，即×4×（9﹣3m）＝6，当P在C上方时，S△ADP＝18+12＝30，即×4×（3m﹣9）＝30，分别解方程可得答案；（3）过M作MH⊥BN于H，设M（n，3n﹣9），先求出△AOB是等腰直角三角形，由MN∥AB，可得△BMN是等腰直角三角形，故BH＝NH＝MH＝n，即可得1+（9﹣3n）＝n，从而可解得答案．【解答】解：（1）将C（a，6）代入y＝x+1得：6＝a+1，解得a＝5，∴a的值是5；（2）设直线CD解析式为y＝kx+b，将C（5，6），D（3，0）代入得：，解得，∴直线CD解析式为y＝3x﹣9，在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴AD＝3﹣（﹣1）＝4，∴S△ACD＝AD•|yC|＝×4×6＝12，∴P不能在线段CD上，设P（m，3m﹣9），当P在D下面时，如图：∵S△ACP＝18，S△ACD＝12，∴S△ADP＝18﹣12＝6，∴×4×（9﹣3m）＝6，解得m＝2，∴P（2，﹣3）；当P在C上方时，如图：∵S△ACP＝18，S△ACD＝12，∴S△ADP＝18+12＝30，∴×4×（3m﹣9）＝30，解得m＝8，∴P（8，15）；综上所述，P的坐标为（2，﹣3）或（8，15）；（3）过M作MH⊥BN于H，如图：设M（n，3n﹣9），在y＝x+1中，令x＝0得y＝1，∴B（0，1），∵A（﹣1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵MN∥AB，∴∠BNM＝∠ABO＝45°，∵∠BMN＝90°，∴∠MBN＝45°＝∠BNM，∴△BMN是等腰直角三角形，∵MH⊥BN，∴BH＝NH＝MH＝n，∵OB＝1，OH＝﹣（3n﹣9）＝9﹣3n，∴1+（9﹣3n）＝n，解得n＝，∴MH＝，BN＝5，∴S△BMH＝BN•MH＝．【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．【过关检测】一、单选题1．已知，点（﹣2，y1）和点（﹣3，y2）在直线y＝﹣3x+4图象上，则y1和y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定【答案】A【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．【详解】解：当x＝﹣2时，y1＝﹣3×（﹣2）+4＝10；当x＝﹣3时，y2＝﹣3×（﹣3）+4＝13．∵10＜13，∴y1＜y2．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．2．下列各图像中，y不是x的函数的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的概念，观察图像，如果给的一个值，都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数．【详解】选项A，当时出现对应两个值，y不是x的函数，符合题意；选项B、C、D给出一个都对应唯一值，y是x的函数，不符合题意．故选A【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题关键．3．某学生早上为赶时间匀速小跑赶往学校；到校后，便在教室里上课；放学后因时间充足，便以相对较慢的速度匀速走回家，下列图象能大致反映这一过程的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】小明以一个较快的速度匀速赶往学校，离家的距离和