正态分布高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

§7.5正态分布第七章随机变量及其分布学习目标1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.导语一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？课时对点练一、正态曲线及其特征二、利用正态分布的性质求概率三、正态分布的应用随堂演练内容索引正态曲线及其特征

一问题1下列随机变量哪个是离散型随机变量：(1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；(2)白炽灯的使用时间.提示(1)是，(2)不是.问题2教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？提示

存在.知识梳理1.我们称f(x)＝________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为_____________，称它的图象为正态密度曲线，简称_________.2.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为______________.特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从______________.3.若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.正态密度函数正态曲线X～N(μ，σ2)标准正态分布4.正态曲线的特点：(1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的_____.(2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为____.(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线______对称.(4)最大值：曲线在______处达到峰值.(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近____轴.上方1x＝μx＝μx(6)当____一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着____的变化而沿x轴平移，如图①.(7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.σμ5.正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.

(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝

，方差σ2＝

.例1202(2)某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，)，Y～N(μ2，

)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是A.甲生产线产品的稳定性高于乙

生产线产品的稳定性B.甲生产线产品的稳定性低于乙

生产线产品的稳定性C.甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值D.甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值√由图知甲、乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.利用正态曲线的特点求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值

，由此特点结合图象可求出σ.反思感悟跟踪训练1

(1)(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散.√√√跟踪训练1

(2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，

)，N(μ2，)，其正态分布的密度曲线f(x)＝，x∈R，如图所示，则下列说法正确的是A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99√√√由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正确；因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，利用正态分布的性质求概率

二知识梳理正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________.0.68270.95450.9973尽管随机变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.注意点：设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；例2∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.(2)P(3≤ξ≤5).∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，延伸探究若本例条件不变，求P(ξ>5).利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解.反思感悟跟踪训练2

(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<2)等于A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P(ξ<2)＝0.6，所以P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝0.4，故P(0<ξ<2)＝1－0.4－0.4＝0.2.√(2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ等于A.3 B.4 C.5 D.6∵P(ξ<2)＝0,2，P(2<ξ<6)＝0.6，∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2，√正态分布的应用

三

(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差，Xn

～N

，则为使|Xn|≥的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为(附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A.32 B.64 C.128 D.256例3√(2)某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？由于外直径X～N(4,0.52)，则X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之内取值的概率为0.9973，在[2.5,5.5]之外取值的概率为0.0027，而5.7∉[2.5,5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.反思感悟跟踪训练3

“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600,10000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为(附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A.16 B.18 C.20 D.25√∵小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600,10000)，∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.02275×800＝18.2≈18.课堂小结1.知识清单：(1)正态曲线及其特点.(2)正态分布的应用，3σ原则.2.方法归纳：转化化归、数形结合.3.常见误区：概率区间转化不等价.随堂演练

1.设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝

，则这个正态总体的均值与标准差分别是A.10与8 B.10与2C.8与10 D.2与10√1234由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为A.1 B.2 C.3 D.41234随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于直线x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.√3.已知随机变量X服从正态分布N(10,22)，则D(3X－1)等于A.6 B.11 C.12 D.36√1234因为随机变量X服从正态分布N(10,22)，所以D(X)＝22＝4，所以D(3X－1)＝32D(X)＝9×4＝36.4.如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝

.1234因为ξ～N(μ，σ2)，故正态密度曲线关于直线x＝μ对称，又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)，2课时对点练

12345678910111213141516基础巩固1.已知随机变量X～N(6,1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，则P(7<X≤8)为A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.2718√由题设可得P(5≤X≤7)≈0.6827，P(4≤X≤8)≈0.9545，123456789101112131415162.某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是A.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)内与落在(10,10.3)内的概率相等√12345678910111213141516因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，所以测量的结果的概率分布关于直线x＝10对称，且方差σ2越小，则分布越集中，对于A，σ越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故选项A正确；对于B，不管σ取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确；对于C，由于概率分布关于直线x＝10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；12345678910111213141516对于D，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项D错误.12345678910111213141516√12345678910111213141516因为随机变量X～B(6，p)，所以E(X)＝6p，即E(Y)＝2，123456789101112131415164.某中学抽取了1600名同学进行身高调查，已知样本的身高(单位：cm)服从正态分布N(170，σ2).若身高在165cm到175cm的人数占样本总数的

，则样本中不高于165cm的同学数目约为A.80

B.160

C.240

D.320√123456789101112131415165.(多选)已知三个正态密度函数fi(x)＝(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是A.σ1＝σ2 B.μ1>μ3C.μ2＝μ3 D.σ2<σ3√根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠近右边，所以μ1<μ2＝μ3，故B错误，C正确；又σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，所以σ1＝σ2<σ3，A，D正确.√√123456789101112131415166.(多选)如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等B.三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小

依次为甲、乙、丙C.三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好√√√12345678910111213141516由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越瘦高，故三种手表日走时误差的标准差(或方差σ2)从小到大依次为甲、乙、丙，甲品牌的质量最好.123456789101112131415167.设随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，若P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，则实数a＝

.由题意，随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，可得μ＝4，σ2＝3，又由P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，可得x＝a－5和x＝a＋1关于直线x＝4对称，所以a－5＋a＋1＝8，解得a＝6.6123456789101112131415168.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为

.因为正态分布的均值为1，所以P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，所以P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8.0.8123456789101112131415169.若X～N(μ，σ2)，根据P(μ≤X≤μ＋σ)≈0.34135，P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)≈0.1359，写出下列各概率值：(1)P(μ－σ≤X≤μ)；根据对称性，P(μ－σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)≈0.34135.12345678910111213141516(2)P(μ－2σ≤X≤μ).P(μ－2σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)＋P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)≈0.34135＋0.1359＝0.47725.1234567891011121314151610.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？还有7分钟时：若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)因为P1<P2，所以应选第二条路线.同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线.1234567891011121314151612345678910111213141516综合运用11.已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(60，σ2)，且P(X<62)＝0.8，从中随机取一个零件，其长度落在区间(58,60)内的概率为A.0.3

B.0.4

C.0.5

D.0.6√由题意知X～N(60，σ2)，所以μ＝60，所以P(X<62)＝0.8＝P(X<60)＋P(60<X<62)，又P(X<60)＝0.5，所以P(60<X<62)＝0.3，由正态密度曲线的对称性可得P(58<X<60)＝0.3.1234567891011121314151612.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1).现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.根据行业标准，概率低于0.0027视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为√1234567891011121314151610个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97,103]内，1234567891011121314151613.一批电阻的阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011Ω和982Ω，则下列结论正确的是A.甲、乙两箱电阻均可出厂B.甲、乙两箱电阻均不可出厂C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂√12345678910111213141516依题意N(1000,52)，μ－3σ＝1000－15＝985，μ＋3σ＝1000＋15＝1015，[μ－3σ，μ＋3σ]＝[985,1015]，1011∈[985,1015]，982∉[985,1015]，所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂.1234567891011121314151614.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为

，则μ＝

.412345678910111213141516拓广探究15.(多选)若随机变量ξ～N(0,2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的有A.φ(－x)＝1－φ(x)B.φ(2x)＝2φ(x)C.P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D.P(|ξ|>x)＝2－2φ(x)√√√12345678910111213141516因为ξ～N(0,2)，所以其正态曲线关于直线x＝0对称，因为φ