2024-2025学年高中数学第六章立体几何初步3.2刻画空间点线面位置关系的公理二课后习题含解析北师大版必修第二册

PAGE3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)课后篇巩固提升基础达标练1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定解析因为E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,所以EF∥A1B1∥AB,FG∥BC1,所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行,一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,故∠EFG与∠ABC1互补.答案B2.(多选)下列命题中错误的是()A.空间三点可以确定一个平面B.三角形肯定是平面图形C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合D.四条边都相等的四边形是平面图形解析共线的三点不能确定一个平面,故A错误;当A,B,C,D四点共线时,这两个平面可以是相交的,故C错误;四边都相等的四边形可以是空间四边形,故D错误.答案ACD3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是()A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直解析如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,故选C.答案C4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是.(填序号)

解析依据异面直线的定义可得.答案③5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是.

解析连接GB1,B1F,则GB1∥A1E,故∠B1GF或其补角即为A1E与GF所成的角,B1G=C1B12+C1G2=12+12=2,B1F=B1B2+BF2答案90°6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.解在△PAB中,因为E,F分别是PA,PB的中点,所以EF∥AB,EF=12AB,同理GH∥DC,GH=12因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AB=CD.所以EF∥GH,EF=GH.所以四边形EFGH是平行四边形.实力提升练1.设P是直线l外肯定点,过点P且与l成30°角的异面直线()A.有多数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条解析如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的全部母线都与l成30°角.答案A2.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A.MN≥12(AC+BDB.MN≤12(AC+BDC.MN=12(AC+BDD.MN<12(AC+BD解析如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE,则ME=12AC,NE=12所以ME+NE=12(AC+BD)在△MNE中,有ME+NE>MN,所以MN<12(AC+BD)答案D3.一个正方体纸盒绽开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论正确的为.(填序号)

解析把正方体的平面绽开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.答案①③4.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:(1)D1E∥BF;(2)∠B1BF=∠D1EA1.证明(1)取BB1的中点M,连接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EM=A1B1,EM∥A1B1.因为A1B1=C1D1,且A1B1∥C1D1,所以EM=C1D1,且EM∥C1D1.所以四边形EMC1D1为平行四边形.所以D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中,易得MB=C1F,且MB∥C1F.所以BF∥C1M,所以D1E∥BF.(2)由(1)知,ED1∥BF,BB1∥EA1.因为∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同,所以∠B1BF=∠D1EA1.素养培优练(2024安徽合肥期中)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'有12条棱,选取其中6条棱,每条棱上取一点,使这6个点正好成为正八面体的6个顶点(注:正八面体共有6个顶点).比如从点A动身,来进行构建.在与点A相邻的三条棱上分别取一点,使其到点A的距离都为棱长的四分之三,得到3个点:E,F,G.同理,对与点A相对的点C'进行类似的操作,得到另外3个点:E',F',G'.如图所示,明显,位于正方体界面上的6条线段相等,即EF=FG=GE=E'F'=F'G'=G'E'.从正方体内部穿过的线段也有六条:EF',EG',FE',FG',GE',GF'.这样一共得到12条线段,它们就是所要构建的正八面体的12条棱.通过计算它们的长度全都相等,即构建的是正八面体.在此正八面体中EF'与FG'所成角的余弦值是.

解析因为EF'∥FE',所以∠E'FG'是此正八面体中EF'与FG'所成角(或所成角的补角),