2025版高考数学总复习 第六章 数列

第六章数列

6.1数列的概念

课程标准有的放矢

通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图

象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.

必备知识温故知新

【教材梳理】

L数列的概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数称为数列

数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项

通项公式如果数列的第九项%i与它的序号2之间的对应关系可以用一个

式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

前律项和数列｛。工从第1项起到第律项止的各项之和，称为数列｛册｝的前n项

和，记作Sn

2.数列的分类

分类标类型含义

准

按项数有穷数列项数有限的数列_______________________________________

____无穷数列项数无限的数列_________________________________________

按项的递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有

变化趋a3>a,[.GN*)

势递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有

an+1<an(neN*)

____常数列各项都相等的数列，即恒有.+1=的meN*)__________

按其他周期数列一般地，对于数列｛%J，若存在一个固定的正整数T，使得

标准.+r=.恒成立，则称｛即｝是周期为T的周期数列

按其他有界(无任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即

标准界)数列mMeRMIWM,否则称为无界数列

摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一

项的数列

3.数列的表示法

表示法定义

列表法列出表格表示n与斯的对应关系

图象法把点伍^1画衽平面邕角坐标系中

公式法通项公式斯=/(n)

递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.如an+i=

fM，an=/（册_1，册+1）（九>2）等

4.%与%的关系

数列｛%｝的通项册与前般项和党之间的关系为

_p1；n=1,

an

-\Sn-Sn_r,n>2.

5.常见数列的通项

（1）1,2,3,4,…的一个通项公式为“=?i.

（2）2,4,6,8,-的一个通项公式为斯=2n.

（3）3,5,7,9,…的一个通项公式为斯=2律+1.

（4）2,4,8,16,…的一个通项公式为斯=2".

（5）-1,1-1,1,-的一个通项公式为即=（-l）n.

（6）1,0,1,0,…的一个通项公式为0n=i+（-；）"T.

____（7）9,99,999,-的一个通项公式为册=10"-1.

常用结论

L累加法与累乘法

a

（1）已知的且a兀一叫_1=/（般）（般22）,可以用“累加法"得:an=i+

/（2）+/（3）+-+/（n-l）+/（n）.

（2）已知的且旦=f（n）（n>2）,可以用“累乘法”得：册=%■/（2）•

an-l

/⑶・•…

注：以上两式要求｛/（九）｝易求和或积.

2.数列最值

⑴一般由「霁Ui32）求斯的最大值•

⑵一般由kJ：;：；芯2）求册的最小值・

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“，错误的画“X

（1）1,2,1,2是一个数列.（V）

（2）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（X）

（3）一个数列只能有一个通项公式.（X）

（4）任何一个数列，不是递增数列就是递减数列.（X）

（5）若数列的前律项和为无，则对任意MCN*,都有an=Sn-Sn_「

（X）

2.（教材题改编）已知数列｛斯｝的通项公式为与=品，那么专是它的（A）

A.第4项B.第5项C.第6项正.”D.第7项

解：由题意，知——=—,n2+n-20,解得九=4或ri=-5（舍去）.故选A.

n2+n10

3.在数列中，的=l,an=1+^-(n>2),则<25=(D)

an-l

A.-B.-C.-D.-

2353

2

解：=1+3=2,a3=1+3==1+应=3a5=1+*

a22a3°a43

故选D.

4.若数列｛斯｝的前n项和为%,且％=n2+n,则数列｛即｝的通项公式为=

2n.

2

解：Sn=n+n,则=(九一I/+(?i—1)=十—九(八之2),所以“九=

2

Sn—S九_i=2n(n>2).=Si=I+1=2,符合上式.故Q九=2n(nEN*).故

填2几

核心考点精准突破

考点一由前项归纳数列的通项公式

例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式.

(1)—1,7,-13,19,…；

解：偶数项为正，奇数项为负，故通项公式的正负性可用(-1)九调节，观察各

项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6.故数列的一个通项公

n

式为an=(-l)(6n—5).

/C、246810

315356399

［答案］这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为IX3,3x

5,5x7,7x9,9x11,-,每一项都是两个相邻奇数的乘积.故数列的一个

(3)5,55,555,5555,…；

［答案］将原数列改写为|x9,|x99,§x999,…，易知数列9,99,999,-

的通项为匕=10n-1.故数列的一个通项公式为册=|(10n-1).

(4)0,也，2,后,2V2,

［答案］原数列为优,7^,7^,巡,7^,….故数列的一个通项公式为a。=y/2(n—1).

【点拨】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑.①熟悉一些

常见数列的通项公式，如｛叫｛2九｝,｛(—1尸｝,｛2。｛彦｝,｛2/1-1｝等.②分式形式的数

列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系.③若第及项

和第n+1项正负交错，则用符号(-1严或(-1尸+1来适配.④对于较复杂数列的

通项公式，可使用变形、添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干

个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.⑤注意通项公式

的形式不一定是唯一的，如数列1,0,1,0,…的通项公式可写成与=

1,律是奇数，除

1+(：)—或an=|siny|,甚至分段形式a寺

0,律是偶数

变式1

(1)(教材题改编)根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一

个通项公式an-5n-4.

解：由a1=1=5x1—4,a2=6=5x2—4,a3=11=5x3—4,***,归纳得

an=5n—4.故填5几—4.

（2）（教材题改编）数列1,一1,：,一"白…的一个通项公式为a几=

4216

21__4_5

解：1=去，一13_2_呆・•，则Q九=―故

21'4—222—23,16

填（-1严1号.

考点二由每与右的关系求通项公式

例2

（1）已知数列｛。工的前般项和％=2几-2,则该数列的通项公式为（D）

nn-1

A.an=2B.an=2

C斯=匕或>2D.即=二2

n71

解：当nN2时，=Sn-Sn_r=（2-2）-（2"T-2）=2T.

当ri=1时，a】=Si=21-2=0,不符合上式.

所以数列的通项公式为册=黑二；2

故选D.

（2）已知数列｛即｝满足，1+^a2+^a?+…+曰a。=2TI+5,则数列｛斯｝

的通项公式为（B）

A.M=2田B.=

C-an^&'n>2D.%=2n+2

解：由题意,设％=+京。2+/。3+—:/an=2n+5①,

当n22时，=|«i+a2+a3H------2（n-1）+5②•

①一②，得爱=2律+5—2（71—1）-5=2，所以厮=2"+1.

当n=l时，的=14,不满足上式.

综上，an=）2.故选艮

（3）已知数列｛册｝前首项的=2,其前71项和为％.若%+i=2Sn+1,则%=

[2,71=1,

（3-2n-2,n>2：

解：由Sn+1=2Sn+1,得Sn=2Sn-i+l（n>2）,

两式相减，得的t+i=2an.

又S2=a】+。2=2al+1,a2=3,

所以数列｛&J从第二项开始成等比数列.

所以an=度禧故填次禧

【点拨】任何一个数列，它的前律项和%与通项厮都存在关系即=

&1';：1；/122若电适合%—5陞_1，则应把它们统一起来，否则就用分段函

数选示第卜个中快速判断技巧是利用So是否为0来判断：若S0=0,则由适合

Sn-Sn_v否则不符合，这在解小题时比较有用.

变式2

（1）若数列｛即｝的前几项和%=彦一10n+l（7ieN*）,则数列的通项公式为

=「8,律=1,

n-l2n-ll,n>2/

解：当n=l时，的=Si=仔-10x1+1=-8.

当？122时，CLn=Sn-Sn_]=71?—10?1+1—[(71—1)2—10(71—1)+1]=

2n-11.

又=-8不满足。九=2n—11.

所以册=展8，幻1，故填口8,幻1

nL2n—ll^n>2.L2n—ll,n>2.

(2)已知数列｛a九｝满足2+—+—-+…+——■=TL贝Ua九=2?1—1.

。2。3a?i9

解：因为三+&+$+…+吧=律①，

aa

仇1。213n

所以当n=l时，一=1,故的=1.

口1

当几之2时，—+—+—+,,,+2n—XL—1(2).

aia2a3an-i

①—②，得名二=1=>an=2n—l(n>2).

an

ar=1满足上式.

所以册=2n—1.故填2n—1.

(3)已知数列｛时｝的首项的=3,前几项和为先,an+1=2Sn+3,neN*,

则｛时｝的通项公式为册=3n.

解：因为册+i=2Sn+3,所以%=2Sn_1+3(n>2).所以Q九+1—an=2an,

n-2n

即出=3an,且g=2sl+3=9.所以a九=9,3=3(n>2),且当几=1

时，的=3符合.所以册=3".故填3。

考点三由递推关系求通项公式(累加法与累乘法)

例3写出下面各递推公式表示的数列的通项公式.

1

(1)(2-1=2,。九+1=。九7

171+171n(n+l)

解：当几之2时，a-ct-1=1=-―-

nn，n(n-l)n-1n

所以当几之2时，CLn=九—dn-1)+—dn-2)+…+(。2-。1)+=

(三一；)+(£一三)+“,+©―9+(1-9+2=3-；.当律=1时，适合.

故%1=3——.

(2)a1=1,。九+1=2九a九.

［答案］

因为％±1=2%所以当n22时，强=2］，也=22,…，4=2"T.

anala2an-l

将这律-1个等式叠乘，

n(n—l)n(n—1)

得创-21+2+…+(n-l)-2~2~,所以即=2-2~

n(n-i)

当n=l时，适合.故与二2~^~.

【点拨】已知数列的递推关系求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法

(构造法见本章专题突破)求解.当出现与=MT+/(元)时，一般用累加法求

通项；当出现且=/(n)时，一般用累乘法求通项.

an-l

变式3

(1)已知数列｛册｝满足的=2,an+1-an+n+1,贝宿冗=七笠

解：由题意，当n22时，即一an-i=凡

所以a九=a1+—@1)+(口3—。2)+…+("九一。九-1)=2+(2+3+…+

QoI5T)(2+九)n(n+l).

n)=zH---------=-------1-1.

722

又的=2=空产+1,适合上式，

所以即=丝且+1.故填Q右.

(2)［2023年全国甲卷节选］已知数列｛党中,a2=1,为｛斯｝的前律项和,

2Sn-71ali.求｛斯｝的通项公式.

解：因为2S"=nan,

当n=1时，2al-a1,即-0.

当n=3时，2(1+@3)=3a3，即a?=2.

当n>2时，2Sn_1-(n-l)an_1,

所以2(5葭—Sn_1)——nan—(n-l)an_［——2an,

化简得(n-2)(1Tl-(n-1)味1.

则当nA3时，&="=•..=血=1,即即=7i—1.

TI-171-22

当n=1,2,3时，都满足上式，所以册—n—l(nEN*).

考点四数列的单调性与最值

例4已知数列｛即｝中，a?=1+@+2：二)(nCN*,aER,且aH0).

(1)若a=-7,求数列｛a。｝中的最大项和最小项的值；

解：因为a=-7,所以册=1+丁=.

112n-9

结合函数/(%)=1+上的单调性，

可知1>>a2>a3>a4,a5>a6>a7>•••>an>l(nGN*).

所以数列｛an｝中的最大项为=2，最小项为。4=。.

(2)若对任意的neN*,都有即工。6成立，求a的取值范围.

因为对任意的neN*,都有时工06成立，所以结合函数/(%)=1+工邑的单

调性，知5<辞<6.所以一10<a<—8.故a的取值范围为(—10,—8).

【点拨】数列总特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用.解

决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，

求最大项可通过列不等式组求.

变式4已知数列｛册｝的通项公式为斯=-n2+5n+32.

(1)数列的第几项最大，最大项为多少？

2

解：因为即=一(71-|)+詈(neN*),所以当n=2或n=3时，血最大.

又。2=。3=38,故数列｛即｝的第2,3项最大，最大项为38.

(2)若为„<0,求正整数m的最小值.

［答案］

因为函数/(%)=—/+5%+32的图象开口向下，且对称轴方程为％=|,所以

数列｛a"从第3项起单调递减.

又牝=36>0,g=%=38>0,a8=8>0,a9=—4<0,所以若a7n<

0,则TH>9.

即正整数TH的最小值是9.

考点五数列的周期性

例5已知数列｛a“｝的首项为2,且数列｛册｝满足斯+1=&U，数列｛册｝的前建项

a九+1

（）

和为Sn,则S10O8=C

A.504B.294C.-294D.-504

解：因为的=2,册+i=久1,所以。2=工，a=1—=-a=—=—3.

134

〃十■*'an+l'3>-+12---+1

♦nT1

又与+2-,:…二=an^-1~=一《，所以即+4=--7~=•所以数列｛斯｝的一个

an+l+±——rr+1anan+2

an+1

7

周期为4,且由+g+。3+。4=—

因为1008+4=252,所以Sioo8=252x（—§=一294.故选C.

［点拨］几种常见周期数列：6

递推形式周期

an+an+1-m（常数）2

3

4

an+2=an+l—an6

变式5【多选题】已知无是｛斯｝的前般项和，的=2,即=1一二一,则下列结论

an-l

正确的是（ABD）

A.（22023=2B.S2023=1013

C.a3na3n+1a3n+2=1D.｛册｝是以3为周期的周期数列

解：因为QI=2,所以（22=1—13=1—屋=-1，［4=1一屋=2，

1111

…，an+3=1----1-：―L=1-：——二1-*~--°陞.所以｛<2陞｝是以

an+2一不.一「即

an

3为周期的周期数列，故D正确.

。2023=“3X674+1=al=2,故A正确.

S2023=674（。］+g+。3）+=674X（2+——1）+2=1013,故B正确.

@3?1。371+1。3九+2==（1）X2X—-1,故C错7天.故选ABD.

课时作始知能提升

【巩固强化】

1.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式与=（B）

A.2nB.2n+1C.2"TD.2n+1

解：由数列3,5,9,17,33,…的前5项，可知每一项都满足2"+1.故选B.

2.已知数列｛册｝的首项为的=L且满足与+1=2册+2%则此数列的第3项

是（B）

A.4B.12C.24D.32

2

解：由题意，得a2—2al+21=4,a3-2a2+2-12.故选B.

2

3.已知数列｛a。｝的前n项和%-n-2n,则a2+a18=（C）

A.36B.35C.34D.33

解：当n22时，an=Sn—Snr=2九一3；当九=1时，a1—S1—-1,满足h

式.所以的j—2n—3（nEN*）,所以a2+a18-34.故选C.

4.在数列｛斯｝中，4=2,2an+1-2an+凡则=(A)

A.20B.30C.36D.28

+n,i＜29=(a—a)+

解：因为的=2,2an+1—2an所以册+—ctn—；.所以98

r\.r\_87.1.Q_1+24F7+8Q_1

(。8-a7)"I-----H(@2.al)+al=金+万+--^5+2=------2-------2=-X

(i+?x8+2=20.故选A.

5.已知在数列｛册｝中，的=1,黑=誓则=n-2吁1.

解：当n22时，册=2.".必.•…也.血.由・….

a-ian-2«n-3«2n-1n-2n-3

2X32X2.n

一X-X1=2n1•几

21

又当几=1时，的=1也适合上式.

所以册=n-271T.故填展271T.

6.已知正项数列｛an｝中，阿+四+…+同=呼，则数列｛册｝的通项公式即=

解：因为+V^2+…+JG九=双？1),

所以M+M+…+河==亭2(九之2).两式相减，得回=也户一

1)=n(n＞2),所以a九=n2(n＞2).又当几=1时,y［a［==1,则的=1,

符合上式.所以Q九二九2.故填九2.

1+171V3

。九则。2024=2・

(一。九一2，九24,

解：由题意，知@2=1+不=2，◎3=1+屋=万，

。4—1+—15~~。2—2，

35

“6=­。3=_29。7=-。4=­］，

c3

CLQ—CI5=2,CLg=***

观察可得数列｛%J从第2项开始是以6为周期的数列，故。2024=。2=2.故填

2.

8.(教材题改编)已知函数/(%)=等，设数列｛斯｝的通项公式为斯=/0),

其中nGN*.

(1)求。2的值；

解：由题意，得斯=平=2-，

所以=2-1=|.

(2)求证：1W。九＜2；

证明：由(1),知册=2—；.因为n为正整数，所以n21,则0＜：工1,即1W

2三＜2,所以1＜册＜2.""

(3)判断｛册｝是递增数列还是递减数列，并说明理由.

［答案］

｛%｝是递增数列.

证明：因为%=2_1&+1_册=\_W=n(：+i)〉3所以｛。打｝是递增数列.

【综合运用】

9.若数列｛斯｝的通项公式为an=遥彘⑺GN*）,则这个数列中的最大项是

（c）n

A.第12项B.第13项C.第14项D.第15项

解：册=—=_；范,而n+卅-2,.远=28,当且仅当律=14时，等

号成立.所以当71=14时，』取得最大值工，即最大项是第14项.故选C.

n+——28

10.九连环是我国从古到今广殳流传的一种益智游戏.它用九个圆环相连成串，

以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关摒，解

之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用与表示解下"5工9,九6%*）个圆环

所需的移动量的最少次数，｛斯｝满足的_=1,且当7122时，=

[2即_1-1,九为偶数，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（A）

（2册_1+2,71为奇数，

A.7B.10C.12D.22

解：根据题意，a2=2al-1=1；a3=2a2+2=4;a4=2a3—1=7,即解

下4个圆环最少移动7次.故选A.

11.写出一个符合下列要求的数列｛即｝的通项公式：诙=一2+；（答案不唯

一）.

①｛a联｝是无穷数列；②｛斯｝是单调递减数列；③一2<an<0.

解：因为函数册=—2+｝的定义域为N*,且在N*上单调递减，—2<—2+：<

0,所以满足3个条件的数列的通项公式可以是斯=一2+*故填—2+；（答案

不唯一）.

12.已知数列｛斯｝中，的=1,前n项和%=等。小

（1）求。2，。3；

解：由52=得3（%+a2）-4a2,解得a2=3al=3.

由S3=|。3,得3（的+a2+a3）=5a3,解得。3=|（。2+的）=6.

（2）求的通项公式.

[答案]

当n>1时,有斯=S"—S"_i=勺一等1斯_1，整理得斯=詈1%-].

工曰_1_3_4_n_n+1

于=1,@2=7^1^3=彳。2,…，。九一1=an-2^an=~~

±Z71—Z71—1

将以上等式两端分别相乘，整理得M=也罗.

<21=1满足上式.

所以｛册｝的通项公式为“=等2.

【拓广探索】

13.[2022年全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，

成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕

日周期的比值，用到数列｛“｝：b1=1+―,b2-----=，b3-1+

ai的+石

—一，…，依此类推，其中以eN*(/c=l,2,…).则(D)

«i+--------r

Q+布

A.瓦<既B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7

解：(方法一)因为(1卜eN*(k=12…)，所以的<的+工，—>——p,得

a%+一

2a2

111

到•同理，H------->H.................—•)可得/)2V人3，瓦>•又一>

仇2戊2+^-戊2

111

9

j，a]H~〈仇1"I1以Z?2<64，万3>^4,

依此类推，可得儿>b3>bs>b7>…，b7>bs,故A错误.

b3>b7>b8,故B错误.

->—:一，得厉<b6,故C错误.

«2a2+----r

°3+…丽

-1-1

01H--------------i—>a-\-------------------i—,得/<b,故正确.

ra7D

仇2H-------Y2^----T

叼+西曲+西

(方法二)令%=l(k=1,2,…)，则瓦=2,b-|力3=初4=觊=葛生=

2ZD□O

||"=|>=靠得九<b7.

故选D.

6.2等差数列

课程标准有的放矢

1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.探索并掌握等差数列的前71项和公式，理解等差数列的通项公式与前般项

和公式的关系.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.

4.体会等差数列与一元一次函数的关系.

必备知识温故知新

【教材梳理】

I等差数列的概念

(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的

前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做

等差数列的公差,公差通常用字母d表示，即=^n=d(neN*,且n22)

或(2n+i—即=d(nEN*).

(2)等差中项：由三个数a,2力组成的等差数列可以看成是最简单的等差

数列.这时,2叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，22=a+b.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)通项公式：册=%,+("—l)d.该式又可以写成册=nd+(%_—d),

这表明dA0时，即是卖于几的一次函数，且d>0时是增函薮，d<0时是减函

数.

（2）前律项和公式：Sn="5丁"）=外+若2d.该式又可以写成国=

gn2+（电_§律，这表明dH0时，Sn是关于71的二次函数，且d>0时图象开

口向上，d<0时图象开口向下.

3.等差数列的性质

（1）与项有关的性质.

①等差数列｛斯｝中，若公差为d,贝bn=<2m+（九一瓶加，当律HTH时，d-

n-m•

②在等差数列｛即｝中，若TH+n=p+q（m,n,p,qeN*）,则“+a”=

%+ciq.特别地,若m+n—2p,则+a-=2。芦.

③若数列｛时｝是公差为d的等差数列，则数列口册+匕｝（4,6为常数）是公

差为9的等差数列.

④若数列｛斯｝,｛牖｝是公差分别为由,电的等差数列，则数列｛及即+小垢｝

（乙,入2为常数）也是等差数列，且公差为及询+的42.

⑤数列｛册｝是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项以,ak+m,ak+2m,

…，组成的数列仍是等差数列，公差为磔必

（2）与和有关的性质.

①等差数列中依次k项之和品,S2k-Sk,S3k-S2k,-组成公差为吠的等差数

列.

②记S■为所有偶数项的和，S,为所有奇数项的和.若等差数列的项数为

2n（nGN*）,则S如=n（an+an+1）,S,s-S,=nd用丰0）;若等差数列的

项数为2n-1（九eN*）,则S2rl_i=（2九一1）即（册是数列的中间项）=

畸=f6"。）.

③｛册｝为等差数列=｛学｝为等差数列.

④两个等差数列｛aj,｝的前几项和无,心之间的关系为詈=

常用结论

1.关于斯的结论

（1）在等差数列｛。兀｝中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除

外）都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为册+1=叱产，等价于册+

a—a

n+2~2斯+1，以及a^+i—dn—%1+2n+l-

（2）若an=pn+q（p,q为常数），则｛即｝一定是公差为P的等差数列.

2.关于无的结论

（1）等差数列前般项和的最值与｛。"的单调性有关.

①若的>0,d<0,则数列的前面若干项为正项（或0）,所以将这些项

相加即得％的最大值.

②若的<0,d>0,则数列的前面若干项为负项（或0）,所以将这些项

相加即得％的最小值.

③若的>0,d>0,则｛S"是递增数列，S1是｛S"的最小值；若的<0,

d<0,则｛Sn｝是递减数列，S1是｛Sn｝的最大值.

（2）｛册｝是等差数列QSn=4/+Bn（2,B是常数）.若Sn=4/+Bn+

C,且C中0,则从第2项起成等差数列.

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“，错误的画“X”.

（1）若数列｛斯｝满足-的,则｛册｝是等差数列.（X）

（2）已知数列｛册｝为等差数列，且公差d>0,则｛“｝是递增数列.（V）

（3）数列｛册｝是等差数列，若m+n=2p,m,n,pCN*,贝必加+册=

a2p.（X）

（4）若数列｛斯｝是等差数列，则数列｛册+2即+1｝也是等差数列.（V）

（5）Sn=4/+BM4B为常数，4关0,nCN*）是｛即｝为等差数列的充要条件.

（X）

2.（教材题改编）已知｛%｝为等差数列,ai+a3=100,则a2=（B）

A.25B.50C.100D.200

解：2a2—^+a3-100a2—50.故选B.

3.【多选题】已知数列｛册｝,｛“｝均为无穷等差数列，则下列说法正确的是

（ACD）

A.数列｛-a”｝是等差数列B.数列｛4｝是等差数列

an

C.｛an-0｝是等差数列D.若旧71丰0,则｛/ca陞+m垢｝为等差数

列

解：由等差数列的概念，知A,C,D正确，B错误.故选ACD.

4.[2020年全国II卷]记立为等差数列｛a尺的前n项和.若的=-2,a2+a6=2,

则Si。=空

解：因为在等差数列｛a"中，的=-2,a2+a6-2a4—2）所以@4=1,3d=

。4—%=3,即d—1.

则Si。=10%+等d=25.故填25.

核心考点精准突破

考点一等差数列基本量的计算

例1

（1）设等差数列｛册｝的前n项和为%,若cu+S5=2,57=14,则a1。=

（C）

A.18B.16C.14D.12

解：设｛册｝的公差为d.

(a1+3d+5alH-----d—2,

依题意，得—J

I7%H——d—14,

6al+13d=2［的=-4,

即%+3d=2,解仔Id=2.

所以a1。=—4+9x2=14.故选C.

（2）在等差数列｛。教中,已知。2=5,。加=7,〃+3=10,则数列｛%t｝的前m项

和为（B）

A.12B.22C.23D.25

解：数列｛斯｝是等差数列，设公差为d,则.+3=%„+3d=7+3d=10,解得

d=1.又a2=5,所以的=4.所以a.=4+(m-l)xl=7,解得TH=4.所以数列

的前T71项和为S4="al；。。_4义(：+7)=22.故选B.

【点拨】①在等差数列五个基本量为,d,%a“Sn中，已知其中三个量，可以

根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程

(组)来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想

的应用.②有些问题，需要先判断数列是否为等差数列，再进行计算.

变式1

(1)[2023年全国甲卷]记端为等差数列｛&J的前几项和.若+。6=10.

a4a8=45,贝!JS5=(C)

A.25B.22C.20D.15

解：设等差数列的公差为改

(方)a2+=2=10,a4a8-45,下斤以=5,CIQ—9.从而d—

a8

~—=1.于是CI3=。4-d=5—1=4,所以S5=5a3=20.

8—4

(方法二)依题意，得电+。6=+d+"1+5d=10,即%+3d=5.

1x4

a

则由a4a8—(i+3d)(ai+7d)-45,解得d=l,ax=2.所以S5=5al+x

d=5x2+10=20.故选C.

(2)已知%是数列｛册｝的前几项和，且Sn+1=Sn+a陞+3,a4+a5=23,则

Sg=(C)

A.72B.88C.92D.98

解：因为无+i=+an+3,所以Sn+i—SJJ=册+3=册+1•所以a?i+i-=

3.所以是公差为d=3的等差数列.又(Z4+05=2al+7d=23,所以的=1.

所以S&-8alH——d.=92.故选C.

2考点二等差数列的性质

命题角度1项的性质

例2记等差数列｛斯｝的前n项和为％,若=0,a4+05=3，则公差

d=33.

解：由CZ3-0,03+。6=。4+&5=3,得。6=3,则公差d=詈=1.所以

々6—3

S11==lla6=33.故填1;33.

【点成】利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，

应用时常将册+am=2ap(m+n-2p,m,n,pEN*)与+an-ap+

aq(m+n=p+q,m,n,p,qEN*)相结合，可减少运算量.

变式2

(1)在等差数列｛册｝中，已知@3+。5+。7=15,则3a4+。8=22.

解:因为数列｛册｝是等差数列，且+。5+。7=15，

所以3a5=15,a5=5.

所以3a4+他=2a4+a4+aQ=2a4+2a6=2(a4+a6)=4a5=20.故填20.

(2)若｛6｝是等差数列，且敢以2022是方程％2-列+3=0的两个根,贝吃的x

2a2x2a3X…X2a2023=(C)

A.4046B.4044C.24046D.24044

解：由题意，得电+。2022=4，

白启山ccc_2O23(a+ao23)_2023(a+a2022)_4八/二

所以+。2+。3+-----1-。2023=-----------1-----2-------=-----------2--4046.

att

所以2alX2a2X2a3X…X2a2。23=2i+2+^3+-+«2023=2的46.故选C.

命题角度2和的性质

例3

（1）设等差数列｛a"的前律项和为％,已知前6项和为36,最后6项的和为

180,Sn=324（n>6）,则n=18；a9+a10=36.

解：由题意，知a1+0,2+…+&=36①，

ct+ci_±+a九一2+**,+。九-5=180（2）.

（Dn+dn）,得

（%+a九）+（g+%1-1）+…+（。6+"九-5）=6（&+a九）=216,所以的+

an=36.

又％=当詈2=324,

所以18Tl=324,所以n=18.

因为（21+0^=36,n=18,所以。1+。18=36,

从而的+。10=%.+%8=36.故填18；36.

（2）（教材题改编）S九为等差数列的前几项和，若Si。=2021520=2023,则

S30=6.

解：因为地—也=法—包

20103020

空空一些=包—%=6.故填6.

20103020J。

【点拨】在等差数列｛斯｝中，依据题意应用其前n项和的性质解题常可以比

较简便地求出结果.

变式3

（1）一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为

32:27,则公差d为5

解：设偶数项和为32/c,贝U奇数项和为27k.由32/c+27k=59k=354,解得/c=

6.

故公差d=32227k=叱=5.故填5.

66

（2）已知等差数列｛册｝的前般项和为%,S=-5S。0,则詈=（D）

63%

A.18B.13C.-13D.-18

解：由$6=—5S3W0,可设$6=—5a（a。0）,则S3=a.因为｛a九｝为等差数

列，所以S3,S6-S3,S9—S6为等差数列,即a,-6a,S9-$6成等差数列,所以S9—

S6=-13a,即S9=-18a,所以包=一18.故选D.

S3

命题角度3最值问题

例4等差数列｛时｝的首项的>0,设其前n项和为％,且S5=Si2，则当律为何值

时，S0有最大值？

解：（方法一）由题意，知d<0.5n=?/+（的一§凡设/（%）=+

》,如图.

由S5=Si2,知抛物线的对称轴为“=春=*

由图，知当1《72W8时，Sn单调递增；当n29时，Sn单调递减，且S8=S9.

又nCN*,所以当n=8或9时，Sn有最大值.

（方法二）设等差数列｛册｝的公差为d,由S5=S",得5al+10d=12al+

1

66d,d=­a】<0.

8-1■

Sn=na1+爪,）d=nar+以；°•（—g%）

=——a（n2—17n）=——（n——）+—a.

16r16\2/64r

因为的>0,71cN*,所以当n=8或9时，Sn有最大值.

（方法三）由方法二，得4=一；的<0.

O

设此数列的前n项和最大，则

a九=+（ri—1）（―：的）>0,

即,1、

C1n+1=Q]+71（——<0,

解得忆徇8WnW9.

又neN*,所以当n=8或9时，Sn有最大值.

（方法四）由方法二，得4=一；的<0.

又S5—S]?，所以。6+。7++。9+^io+a】i+a]？=0.

所以7a9=0，所以=0.

所以当72=8或9时，Sn有最大值.

【点拨】求等差数列前n项和最值的主要方法如下.①利用等差数列的基本

性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和的最值.②将等差数列的前n项和

2

Sn=An+Bn（4B为常数）看作关于九的二次函数（当4A0时），根据二

次函数的性质求最值.无论用哪种方法，都要注意与=0的情形.

变式4等差数列｛an｝的前律项和为%,且满足的+a19>0,a10+a11<0,则

使％取得最大值的n为生;试写出一个符合要求的册=10.2-n（答案不唯一）.

解：因为的+a”=2的0>0,ciio+O-n<0,所以aio>O,的1<0.所以使如

取得最大值的律为10.即=10.2一n,则％=丛号型,S19>O,S2o<0,符合要求.故

填10；10.2-n（答案不唯一）.

考点三等差数列的判定

例5【多选题】设｛斯｝是无穷数列，71n=an+an+1（n=1,2,-）,则下列给出

的四个判断中，正确的有（ACD）

A.若｛即｝是等差数列，则｛4工是等差数列

B.若｛4J是等差数列,则｛