2025年高考数学复习专项训练：计数原理与概率（原卷版）

2025二轮复习专项训练21

计数原理与概率

［考情分析］1.高考中主要考查两个计数原理、排列与组合的应用，对二项式定理的考查以

求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，常以选择题、填空题的形式出现，

难度中等偏下2高考中对此概率内容多以实际材料为背景，主要考查随机事件的概率及古典

概型、条件概率的计算，也考查概率与统计的综合应用，选择题、填空题或解答题中均有出

现，难度中等偏下.

【练前疑难讲解】

一、排列与组合问题

1.两个计数原理

(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能

用到分类加法计数原理.

(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直

观化.

2.解排列组合问题要遵循两个原则：

一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列

组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).

二、二项式定理

1.二项式定理的常用结论

(l)(a-b)n=C%"-_|------p(_1)仁初"-----P(—1

(2)(1+无)”=c9+chH-----PCwH------l-c；^.

2.求解二项式有关问题时，一定要注意“二项式系数”与“项的系数”之间的区别与联系.

三、概率

1.古典概型的概率公式

叫m事件A中所含的样本点

尸(A)一〃一试验的样本点总数.

2.条件概率

在A发生的条件下B发生的概率：％8以)=与黑.

3.相互独立事件同时发生的概率：若A,8相互独立，则尸(AB)=P(A)P(8).

4.若事件A,B互斥,则尸(AUB)=P(A)+P(3),P(T)=1一尸(A).

5.全概率公式

一般地，设4,42，…，4是一组两两互斥的事件，A,UA2U-UA„=f2,且尸(A)>0,，=

1,2,n,则对任意的事件BQO,有P(B)=£P(A)P(8A).

尸i

一、单选题

1.（22-23高三下•湖北•阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活

动，现有A3,C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一

名志愿者，且甲不在A小区的概率为（）

19310025

A.---B.C.—D.一

24324339

2.（23-24高三上•河北•期末）第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬"奉献，友爱，互助，

进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作.若要求每个

场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆8仅有2名志愿者的概率为（）

32163

A.-B.—C.—D.一

550114

3.（2024•辽宁丹东•一模）的展开式中常数项为（）

x

A.24B.25C.48D.49

4.（2024・北京•三模）已知彳-X的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为

（）

A.-240B.240C.60D.-60

二、多选题

5.（2024・广东广州•一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球

（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件

A和4表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件8表示从

乙箱中取出的两球都是红球，则（）

3

A.P(4)=-B.P(B)=—

50

C爪).D.尸(右忸)=：

6.（23-24高三上•湖北•阶段练习）投掷一枚质地不均匀的硬币，己知出现正面向上的概率

为P，记4表示事件"在〃次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是

（）

A.4与人是互斥事件B.尸(4)=广

C.P（A«）=（i-2p）p⑷+pD.P（4”）＞P（4“+2）

三、填空题

7.（21-22高三上•山东•开学考试）设"C9+C；97+C*72++C；；7%则。除以9所得的

余数为.

8.（2024•广东江苏•高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的

卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮

比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字

的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的

卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.

【基础保分训练】

一、单选题

1.（2023・全国•高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4

名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

.1112

A.-B.-C.-D.一

6323

2.（23-24高二下,重庆•阶段练习）从0,1,2,3,4中选出3个数组成各位数字不重复的

三位偶数，这样的数有（）个.

A.24B.30C.36D.60

3.（2024・山东日照•一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了

电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选

择共有（）

A.9种B.36种C.38种D.45种

4.（2024・辽宁大连•一模）将MCDER六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，

其中A3分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）

A.12种B.18种C.36种D.54种

5.（2024・广东•模拟预测）若f=%+4］（*-6）+%（%-6）~++%（x-6）6,则氏=

（）

A.6B.16C.26D.36

6.（2024•贵州黔南,二模）我国农历用"鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、

猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的

（13M+1）年后是（）

A.虎年B.马年C.龙年D.羊年

7.（2024・海南海口•模拟预测）在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教

育"，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲、乙

、丙、丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至

少安排1名专家的概率为（）

1418

A.-B.—C.-D.—

99327

8.（2024•北京石景山•一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地

取球2次，每次任取1个球，记"第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件

B,则P（同A）=（）

4234

A.—B.—C.—D.一

15555

9.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率

分别为5%,2%,4%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数的比为

4:5:11,现任取一个零件，记事件4="零件为第z•台车床加工"（i=L2,3）,事件3="零

件为次品"，则尸（4忸）=（）

510

A.0.2B.0.05C.—D.——

3737

10.（2024•辽宁•二模）某公司的员工中，有15%是行政人员，有35%是技术人员，有50%

是研发人员，其中60%的行政人员具有博士学历，40%的技术人员具有博士学历，80%的

研发人员具有博士学历，从具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的

概率为（）

2124

A.—B.—C.-D.一

5599

二、多选题

11.（2024・江苏•模拟预测）若“3〃为正整数且则（）

A.C；=C；B.&号

1

C.mCXn-DC：；D.A：+mAr=A：+1

12.（23-24高二上•辽宁辽阳•期末）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节

课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（）

A.若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法

B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法

C.若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法

D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法

13.（2024•江西•二模）在（2尤-口的展开式中（）

A.二项式系数之和为32B.第3项的系数最大

C.所有项系数之和为-1D.不含常数项

14.（2024•山东青岛•三模）某新能源车厂家2015-2023年新能源电车的产量和销量数据

如下表所示

年份201520162017201820192020202120222023

产量（万台）3.37.213.114.818.723.736.644.343.0

销量（万台）2.35.713.614.915.015.627.129.731.6

记"产销率”=宜言x100%,2015-2023年新能源电车产量的中位数为机，则（）

产量

A.机=18.7

B.2015-2023年该厂新能源电车的产销率与年份正相关

2

C.从2015-2023年中随机取1年，新能源电车产销率大于100%的概率为§

D.从2015-2023年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于机的条

件下，这2年中新能源电车的产销率都大于70%的概率为5

15.（2024・浙江•二模）某中学的48两个班级有相同的语文、数学、英语教师，现对此2个

班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的

2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有种不同的排课方式用数字

作答）

16.（2024・浙江•三模）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2

人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

种.（用数字作答）

17.（23-24高三上•湖南张家界•阶段练习）为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志

愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有

种分配方法（用数字作答）；

2

18.（2023•全国•模拟预测）己知（ox-2）（x+—下的展开式中的常数项为240,则。=.

X

【能力提升训练】

一、单选题

1.（2024・浙江•模拟预测）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一

场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安

排方法有（）

A.2025种B.4050种C.8100种D.16200种

2.（22-23高三上•全国•阶段练习）将编号为1,2,3,4,5的小球放入编号为1,2,3,

4,5的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为

（）

1111

A.—B.—C.—D.—

861224

3.（23-24高三上•黑龙江牡丹江•期末）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙

两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式.

A.672B.864C.936D.1056

4.（2023・广东茂名•二模）从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该

三位数能被3整除的概率为（）

.1132

A.—B.—C.—D.一

105105

5.（2024•浙江嘉兴,二模）6位学生在游乐场游玩A,B,C三个项目，每个人都只游玩一个项

目，每个项目都有人游玩，若A项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（）

A.180种B.210种C.240种D.360种

6.（2024・辽宁大连•一模）（）

3°313233343536

646411

A.-------B.-----C.--------D.-----

729729729729

7.（2024・重庆•三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.

设"，6,根（m>0）为整数，若。和6被，”除得余数相同，则称a和。对模机同余.记为

〃三Z?(modm)^Q=C；4+C；4+C；4+C；4+…+喘，tz=Z;(modl7),则b的值可以是()

A.14B.15C.16D.17

8.（2024•辽宁抚顺•一模）若“+£|（1+力"的展开式中含x项的系数为10,则〃的值是

（）

A.3B.4C.5D.6

1Q

9.（22-23高二下•江苏南通期中）已知随机事件A,3满足P（A）=§,P（A|B）=-,

P（B\A=-,则P（3）=（）

\7lo

13941

A."B.—C.—D.—

4161648

10.（2024・湖南常德•三模）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为

90%,乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在

该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（）

56717

A.-B.—C.—D.—

67820

二、多选题

11.（23-24高二下,宁夏石嘴山,期中）"杨辉三角"是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出

现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系

数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角"的结论正确的是

（）

杨辉三角

第

0一

丁

第

1一1

丁

一

第211

丁

一

第3121

丁

一

第41331

丁

第14641

5一

丁

第

6一15101051

丁

第

7一1615201561

丁

第

8一172135352171

丁18285670562881

A.C；+C；+C"+或=165.

B.由"第"行所有数之和为2»"猜想：C：+C；+C；+.+C：=2".

C.第20行中，第11个数最大.

D.第15行中，第7个数与第8个数之比为7回9.

12.（2024•广东佛山•一模）有一组样本数据0,1,2,3,4,添加一个数X形成一组新的数据，

且尸（X=k）=*（丘｛0,1,2,3,4,5｝）,则新的样本数据（）

3

A.第25百分位数不变的概率是7

16

31

B.极差不变的概率是三

32

C.平均值变大的概率是二

2

7

D.方差变大的概率是七

13.（2024・云南•模拟预测）现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个

红色球，1个黄色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内

装有3个红色球，2个黄色球.若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放

入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同色的这个箱子中任取一个球，则下列说

法正确的是（）

A.若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为J

4

3

B.第二次抽到蓝色球的概率为白

16

C.如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子

D.如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放

法共有150种

14.（2024・全国•模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的

研究，设a,b,m（m>0）为整数，若。和6被根除得的余数相同，则称。和6对模机同

余，记为。斗（mod.如9和21除以6所得的余数都是3,则记为9三21（mod6）.若

2

a=C°2+C^-2+C^-2++C*222,°多（mod10）,则6的值可以是（）.

A.2019B.2023C.2029