2025年高考数学一轮复习考点突破：集合的概念4题型分类（原卷版）

专题01集合4题型分类

彩题如工总

题型4：集合新定义问题题型1:集合的含义与表示

专题01集合4题型分类

题型3：集合的运算题型2：集合间的基本关系

彩先渡宝库

1.集合与元素

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号©或W表示.

（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

（4）常见数集的记法.

非负整数集

集合正整数集整数集有理数集实数集

（或自然数集）

符号NN*（或N+）ZQR

2.集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合4B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,

就称集合4为集合B的子集，记作AGB（或B24

（2）真子集：如果集合但存在元素xGB,且x生4就称集合A是集合B的真子集，记

作AuB（或

（3）相等：若且则4=8.

（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.空集是任何集合的子集，是任何非空集合

的真子集.

3.集合的基本运算

\表示

拿分五一

运薪、朱口出口图形语言记法

并集{x\x^A,或x©3}11AUB

交集[x\x^A,且工£团()

补集{小且依A}LUA

彩健题淞籍

(一)

集合的含义与表示

1.元素与集合关系的判断

(1)元素与集合的关系：

①一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集.

②元素一般用小写字母。，。，c表示，集合一般用大写字母A,B,C表示，两者之间的关系

是属于与不属于关系，符号表示如：aGA或aWA.

(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性

2.解决集合含义问题的关键有三点.

(1)确定构成集合的元素.

(2)确定元素的限制条件.

(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.

题型1：集合的含义与表示

1-1.(2024高三•全国•专题练习)用列举法写出集合A={y|y=，-2,尤eZ,|x|<3}=.

12(2024高三•全国•专题练习)用适当的符号填空：

(1)n—Q；(2)72—Z；(3)3.5—N；(4)0—{0}；(5){0,1}—R.

1-3.(2024•北京海淀•模拟预测)设集合M={2»7-1,加-3},若-则实数相=()

A.0B.-1C.0或TD.0或1

彩偏题淞籍

（二）

集合间的基本关系

1.集合的相等

（1）若集合A与集合8的元素相同，则称集合A等于集合艮

（2）对集合A和集合B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是

集合A的元素，那么集合A等于集合8,记作4=8.就是如果同时那么就说这两个集合相

等，记作4=2.

2.集合的包含关系判断及应用

（1）如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；AUB；如果集合

A是集合8的子集，并且B中至少有一个元素不属于4那么集合A叫做集合3的真子集，即A:B.

（2）如果集合A的每一个元素都是集合2的元素，反过来，集合2的每一个元素也都是集合A的元素，

那么我们就说集合A等于集合B,即A=B.

3.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.

4.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转

化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

题型2：集合间的基本关系

2-1.（2024・江苏•一模）设=左wZ；,N=[尤卜=左+：水eZ,,则（）

A.MNB.NMC.M=ND.McN=0

2-2.（2024高三•全国・专题练习）已知集合M={y|y=«},N={y\y=4x+a],若M口N,则实数。的

取值范围是.

2-3.（2024高一下•重庆万州•开学考试）已知集合A={1,3,2根-1},集合8={3,疗}.若则实数

m-.

2-4.（2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中考试数学试卷（带解析））已知集合

A={x\x2=l}.B={x\ax=\},若B=则实数。的值为.

2-5.（2024高一上•江苏宿迁•阶段练习）已知集合4=卜|-2<%<5},B={.r|m+l<x<2m-l},若B=A,

则实数加的取值范围为.

26(重庆市育才中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题)满足{1,2}=A={1,2,3,4,5}的集合A的个

数是.

(=)

集合的运算

1.交集及其运算

(1)由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做八与B的交集,记作AAB.符

号语言：AC\B={x\xEA,且xCB}.

(2)运算形状：①408=804②400=0.③404=4@ADBQA,AHBQB.⑤AA

B=A<^AQB.@/\ns=0,两个集合没有相同元素.⑦AH(Cu/O=0.⑧Cu(APB)=(CM)

U(CuS).

2.交、并、补集的混合运算

(1)集合交换律：4ne=sn/\,AUB=BUA.

(2)集合结合律：(AAB)nc=/\n(snc),(/\ue)UC=AU(sue).

(3)集合分配律：An(sue)=(AAB)u(zinc),4U(sne)=(AUB)n(八

uc).

(4)集合的摩根律：Cu(AAB)=CuA^CuB,Cu(AUB)=CuAHCuB.

(5)集合吸收律：4U(APB)=4AH(AUB)=4

(6)集合求补律：AUCuA=U,AClCuA=0.

3.利用集合的运算求参数的值(范围).

(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示.

(2)如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

题型3:集合的运算

3-1.(2024•黑龙江齐齐哈尔•一模)设全集〃=卜€冈尤口-5)40},集合A={1,2,3},3={2,4},则台0®A)

=()

A.{1,3}B.{2,4,5}C.{1,3,5}D.{0,2,4,5}

3-2.（2024高三•全国•专题练习）已知全集。={丫1y=bg2X,x>l},A={y|y=4,尤>2},则即A=；

X

3-3.（2024高三・全国•专题练习）已知尤,yeR,集合A={（x,y）|/+;/=1},B={（x,y）|—+-^=1},若AcB

ab

只有一个元素，则满足的关系为.

34（2024高三•全国•专题练习）已知0>0,集合M={x|04ax+143},N={x|-14尤<4},若MuN=N,

则实数。的取值范围是.

35（2024高三上.全国,阶段练习）已知集合4={#2-5x+4W0},B=[x\k+l<x<2k\.若（6RA）C3=0,

则实数k的取值范围是.

3-6.（2024高一上•吉林白城■阶段练习）已知集合4={》|无2-3X-1OVO},B={X|〃2+1VXV27〃-1},若

A^>B=A,则实数机的取值范围是

彩健题海籍

（四）

集合新定义问题

1.（1）解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义.

（2）结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

2.新定义问题.

（1）看清集合中的元素.

（2）对集合进行化简使问题变得简单明了.

（3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图.

题型4：集合新定义问题

4-1.（2024•全国•模拟预测）已知集合A,B满足AB={1,2,3},若AwB,且[A&3],[B&A]表示两个不

同的"AB互衬对"，则满足题意的"AB互衬对"个数为（）

A.9B.4C.27D.8

4-2.（2024高三・江苏•学业考试）对于两个非空实数集合A和8,我们把集合{x[x=a+"ae记作

A*3.若集合人={0,1},3={0,-1},则A*Z?中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4-3.（2024•浙江温州三模）设集合乂={%,如。3，。4}。印，定义：集合y={q+a，q,%eX,i,

集合S={xRx,yey,xwy},集合7=《卜,"丫,"y],分别用|S|,IC表示集合S,T中元素的个数,

则下列结论可能成立的是（）

A.|S|=6B.|S|=16C.|T|=9D.|T|=16

4-4.（2024,全国•三模）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A区3为阴影部分表示的集合.若

A={x|尤=2〃+L"eN,〃44},8={2,3,4,5,6,7},贝1]4（8）_8=（）

A.{2,4,6』}B.{2,4,6,9}C.{2,3,4,5,6,7}D.{1,2,4,6,9}

4-5.（2024・全国•模拟预测）对于集合A,B,定义集合=付了eA且了任用，已知集合

U={x|-3<x<7,xeZ},E={-1,0,2,4,6},F={0,3,4,5},则电（E—B）=（）

A.{-2,0,1,3,4,5}B.{0,1,3,4,5}C.{-1,2,6}D.{-2,0,1,3,4}

法习与置升

一、单选题

2

1.（2024・广东江门•一模）已知集合A={T,0,l},B={m|m-leA,m-UA},则集合2中所有元素之和为

A.0B.1C.-1D.&

2.（2024•陕西西安•一模）定义集合A+B={x+小eA且yeB}.已知集合4={2,4,6},5={-1,1},则A+B

中元素的个数为（）

A.6B.5C.4D.7

3.（江西省五市九校协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知集合4={1,。,切,3=,

若4=5,贝1]4。23+62。22=（）

A.-1B.0C.1D.2

4.（2024•北京东城•一模）已知集合A={#2一2v0},且"A,则〃可以为（）

3厂

A.-2B.-1C.-D.V2

5.（2024・河南•模拟预测）已知A={R%2—依+1<0},若2£4且3eA,则。的取值范围是（）

（5\（510]「510\（10-

A.->+00B.|不二C.-'TTD.

【2）（23J[23）I3J

6.（2024高一上•河南商丘•阶段练习）已知集合4={可依2_3彳+2=0}的元素只有一个，则实数a的值为（）

99

A.-B.0C.一或0D.无解

88

7.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知集合A=]（x,y）[+[41,xeZ,yez},则A中元素的个数为（）

A.9B.10C.11D.12

8.（2024高二下・湖南・阶段练习）已知集合4=卜|尤2-%-12W0},3={幻./一3〃a+2疗+租-1<0},若"彳©4"

是“xe8"的必要不充分条件，则实数优的取值范围为（）

A.b3,2]B.[—1,3]C.-1]D.2,—

9.（2024广东茂名二模）已知集合4=国尤归1},8=付2》-“<。},若4右2,则实数。的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.[2,+oo）C.（-Q0,2）D.

10.（2024•广东广州•二模）已知集合A=kk=3〃-2,*N*},5={6,7,10,11},则集合AcB的元素个数为

（）

A.1B.2C.3D.4

11.（2024•河北张家口,二模）已知集合A=卜|（尤-2）（4-x）>0},8="'>oj,贝可帆）□（拉）=（）

A.（2,3）B.[3,4]C.（一8,2]U[3,+8）D.（一8,3卜[4,+8）

12.（2024•广东•模拟预测）已知集合"={九|x（x—2）vO},N={Nx—1<0},则下列Venn图中阴影部分可以

表示集合{刈工冗<2}的是（）

13.(2024•北京海淀•模拟预测)已知集合A满足：①A=N,②必有|x-yp2,③集合

A中所有元素之和为100,则集合A中元素个数最多为()

A.11B.10C.9D.8

14.(2024•全国•模拟预测)对于集合定义=且了已码.若A={x|x=2k+1/eN},

B=[x\x=3k+l,k^N),将集合A—3中的元素从小到大排列得到数列{%},则为+%>=()

A.55B.76C.110D.113

15.(2024,全国)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},8={2,3,4},则A倒町=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

16.(2024•全国)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},8={x|/一4》+3=0},则用(AuB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

17.(2024•全国)已知集合4={(方洌8={(x,刈x+y=8},则Ac3中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.6

18.(2024・甘肃张掖模拟预测)设全集。={-2,-1,0,2,3},若集合4={-2,-1,3},3={-2,-1,0},则用(4B)=

()

A.{-2,0,2,3}B.{-2,2,3}C.{0,2,3}D.{-2,-1}

19.(2024•内蒙古包头,二模)设集合巾2_4<O},B={-3,-1,2,3},则AB=()

A.{-3,-1}B.{-1,3}C.{-1,2}D.{-3,3}

20.(2024内蒙古包头二模)设集合4={//_420},3={媪0<2工46},且48={x|2V无44},则人=()

A.-6B.-8C.8D.6

21.（2024•天津河东一模）已知集合A={1,3,/},8={l,a+2},A^B=A,则实数”的值为（）

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}D.{0,2）

22.（2024・河北张家口.一模）已知集合U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={xeN|log2（x-2）<2},B={0,2,4,5,7,8},

则2（AuB）=（）

A.{0,12,3,6,7,8,9}B.{1,9}C.{0,2,3,4,5,7,8}D.{4,5}

23.（2024•江苏南通•模拟预测）已知P,。为R的两个非空真子集，若需。,则下列结论正确的是（）

A.Vxeg,XGPB.3X0,飞£为。

C.3x0g,x0GPD.VXG^P,

24.（2024•广西南宁•二模）已知集合4=卜5=，2-f卜B={x|-l<x<2）,贝l]Ac&3）=（）

A.|^—>/2,lJB.|^—s/2,—1JC.A/2,5/2JD.卜1）

25.（2024•广西南宁•二模）已知集合4={-2,1,2,3},B={x|-l<x<2},则Ac低5）=（）

A.{1,2}B.{-2,3}C.{-2,1,2}D.{-2,2,3}

26.（2024•辽宁鞍山•模拟预测）设全集U={2,4,4，，集合A={4,a+2},^A={a},则实数。的值为（）

A.0B.-1C.2D.0或2

27.（2024,湖北武汉•模拟预测）已知集合4={小*1},B={x||x-l|<a）,若中有且仅有三个整数，

则正数a的取值范围是（）

A.0<«<1B.0<dz<1C.a>lD.a>2

28.（2024•湖南怀化二模）已知集合”={—1,1,2,3,4,5},N={L2,4},P=MCN,则尸的真子集共有（）

A.3个B.6个C.7个D.8个

29.（2024•北京）已知集合加={31+220}4={3兀-1<0},则McN=（）

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<l}

C.{x\x>-2}D.{x\x<l}

30.（2024•全国）设集合U=R,集合/={乂％<1},N={%|-lv%<2},则{x|x22}二（）

A.N）B.N\\^M

C.D.Mu即N

31.（2024•全国）设全集U=Z，集合M={xlx=3k+1,左wZ},N={）|==3左+2,左wZ},金（MDN）=（）

A.{x\x=3k,k^7j}B.{x\x=3k-\,k^Z}

C.{x|x=3k-2,keZ}D.0

32.（2024•全国）已知集合加={-2,-1,0,1,2},?/=（x|x2-x-6>o},则A/cN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

33.（2024•天津）已知集合"={1,2,3,4,5},A={1,3},3={1,2,4},则用8A=（）

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

34.（2024•全国）设集合A={0,-。},B={l,a-2,2a-2\,若AgB,则。=（）.

2

A.2B.1C.—D.—1

35.（2024高一上•湖南长沙•阶段练习）已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|xeP,xe。},则河=（）

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3}

36.（2024•天津）设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={0,l,2},B={-1,2},则/僦）=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}

37.（2024•全国）若集合知={尤|6<4},N=[x\3x>l],则McN=（）

A.{x[0<x<2}B.<x<2!C.{尤|3Wx<16}D.

38.（2024•全国）设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足用M={1,3},则（）

A.2GMB.3&MC.4eMD.5^M

39.（2024•全国）已知集合4={-1,1,2,4},8=国尤-10},则AB=（）

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

40.（2024・重庆•一模）已知集合。=｛大€2|/+2%-8＜。｝,8=｛%2|不刊,则B中元素个数为

A.4B.5C.6D.7

41.（2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一理科数学试卷（带解析））已知集合4=

卜IxwZ,且则集合A中的元素个数为（）

A.2B.3

C.4D.5

42.（2024高三上•河北衡水•阶段练习）已知集合人=卜£^^<工<1。82左}，集合A中至少有3个元素，则

A.k>8B.k>8C.左>16D.^>16

43.（2024高一下广西•阶段练习）若集合A={%£H|4_3x+2=0}中只有一个元素，贝（］〃=（）

99、9

A.—B.—C.0D.0或一

288

h

44.（2007・山西）设％加R,集合{l,a+4a}={0,—力},贝!!」一〃=（）

a

A.1B.-1C.2D.-2

45.（2024高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）集合〃=1x|x=：+Z：,N=卜尤=：+1,〃eZ：,则下列关

系正确的是（）

A.M<^NB.McN=0

C.NjMD.MDN=Z

46.（2024高一•全国•专题练习）已知集合4={疝Z|/—2x—3W0},3={y|y=2，},则Acg子集的个数为（）

A.10B.16C.8D.7

47.（2024高三•河南南阳•阶段练习）已知全集。=氏4=卜卜2一3无一4"},2={x|-2W尤<2},则如图所示

的阴影部分所表示的集合为

A.{.V|-2<x<4}B,{x|无<2或无24}C.{x|-2<x<-l}D.[x\-l<x<2]

48.（2024高三•湖南郴州•阶段练习）已知A={1,2,3,4},B=[a+l,2a],若AcB={4},则。=

A.3B.2C.3或2D.3或1

49.（2024・吉林•三模）设全集U=凡集合A={x|x>l},集合2=何尤）。},若（品A）cB=0,则P应该满足

的条件是

A.p>TB.P>1C.p<iD.P<\

50.（2024•全国•模拟预测）已知M,N均为R的子集，且则（）

A.0B.MC.ND.R

51.（2024高一上•河北石家庄•期中）已知MN为集合团的非空真子集，且MN不相等，若Nc（«M）=0,

则（）

A.MB.NC.ID.0

二、多选题

52.（2024•山东潍坊•一模）若非空集合M,N,尸满足：McN=N,M5=P,贝I]（）

A.P=MB.MIP=M

C.N5=PD.McQN=0

53.（河南省安阳市第一中学2023届高三第四次全真模拟数学试题）由无理数引发的数学危机一直延续到

19世纪•直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的"分割"来定义无理数（史称戴德

金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为"无理"的时代,也结束了持续2000

多年的数学史上的第一次大危机•所谓戴德金分割，是指将有理数集。划分为两个非空的子集M与M且满

足MuN=Q,McN=0,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴德金分割•试

判断下列选项中，可能成立的是（）

A.M={x|x<O},N={xk>。}是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，N也没有最小元素

54.（2024高三•全国•专题练习）若集合A={x|0<x<2},且AB=B,则集合B可能是（）

A.0B.{1}C.[0,2]D.（0,2）

55.（2024・山东烟台•模拟预测）若非空集合G和G上的二元运算"㊉"满足：①V4,6eG,a㊉beG；②卫eG,

对VaeG,a&I=I®a=a：（3）3/eG,使VaeG,Bb^G,有。㊉b=/=Z?㊉a；（4）Va,b,ceG,

（a㊉份㊉c=a㊉S㊉c）,则称（G,㊉）构成一个群.下列选项对应的（G,㊉）构成一个群的是（）

A.集合G为自然数集，"㊉"为整数的加法运算

B.集合G为正有理数集，"㊉”为有理数的乘法运算

C.集合G=为虚数单位），"㊉"为复数的乘法运算

D.集合G={0,1,2,3,4,5,6},"㊉"为求两整数之和被7除的余数

三、填空题

56.（2024•江西•模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”

系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开

国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23

人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建

党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看

了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为.

57.（2024•湖北•二模）已知X为包含v个元素的集合（yeN*,v>3）.设A为由X的一些三元子集（含有

三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集

中，则称（X,A）组成一个v阶的Steiner三元系.若（X,A）为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的

个数为•

58.（2024•甘肃•二模）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月

底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市

民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看

了《革命者》的有50人，数据如图，则图中；b=；。=.

59.（2024高三•全国・专题练习）集合A={lj}中实数f的取值范围是.

60.（2024高三・全国・专题练习）设集合4=12,3,/-3。,〃+，+71,B={|a-2|,3）,已知4eA且4e3,则

a的取值集合为.

61.（2024高三•全国•专题练习）用适当的符号填空，使之成为正确的集合关系式：

①0A；

②NC0A；