2025年高考数学一轮复习专练：幂函数与二次函数（解析版）

第04讲幕函数与二次函数

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：塞函数的定义........................................3

角度1：求哥函数的值..........................................3

角度2：求塞函数的解析式......................................4

角度3：由幕函数求参数........................................4

高频考点二：塞函数的值域........................................6

高频考点三：幕函数图象..........................................8

角度1：判断褰函数图象........................................8

角度2：然函数图象过定点问题..................................10

高频考点四：塞函数单调性........................................13

角度1：判断幕函数的单调性....................................13

角度2：由事函数单调性求参数.................................14

角度3：由嘉函数单调性解不等式...............................15

高频考点五：塞函数的奇偶性......................................18

高频考点六：二次函数...........................................20

角度1：二次函数值域问题.....................................20

角度2：求二次函数解析式.....................................21

角度3：由二次函数单调性（区间）求参数.......................22

角度4：根据二次函数最值(值域)求参数.......................23

角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题.....................24

第四部分：新定义题(解答题)......................................29

第一部分：基础知识

1、塞函数

(1)幕函数定义

一般地，形如/(x)=x"的函数称为塞函数，其中X是自变量，a是常数.

(2)五种常见暴函数

2-1

函数y二xy=xy=/y=卢y=%

小VVJL

图象7T

定义域RRR{x\x>0]{x\x^0}

值域R{yly>0)Rbly>0)3"。}

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

性在(-8,0］上

在(-8,0)和

质在尺上单单调递减；在在R上单调在［0,+8)上单

单调性(0,+8)上单

调递增(0,+8)上单递增调递增

调递减

调递增

公共点(1,1)

(3)嘉函数性质(高频考点)

哥函数/(幻="，在xe(O,”)

①当a>0时，/(%)=/在(0,+8)单调递增；

②当。<0时，/(%)=%”在(0,+8)单调递减；

2、二次函数

形如/(x)=ax2+bx+c(a丰0)的函数叫做二次函数.

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•天津・统考高考真题）=1.0105,Z>=1.01°-6,c=O.605,则。，瓦c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【详解】由y=L01'在R上递增，则a=1.01°5<6=1.01°6,

由y=在［0,+网上递增，贝U.=1,01。5>c=O.60-5.

所以6>a>c.

故选：D

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：塞函数的定义

角度1：求募函数的值

典型例题

例题L（2024下•河南•高一信阳高中校联考开学考试）已知/'（》）=（上?+2左+2）/1+九一3是幕函数，则

f（m）=（）

r21

A.3B.-C.6D.-

33

【答案】D

【分析】由幕函数的性质得出结果即可.

【详解】由题知《2+2左+2=1,解得％=—1,且加一3=0,解得机=3,.=/⑶=；.

故选：D

例题2.（2024上•河北承德•高一统考期末）已知事函数的图象过点（3,8）,则返卜.

【答案】16

【分析】由题意可求出幕函数的解析式，再代入求值，即可求得答案

【详解】设〃尤）=x"，因为募函数外力的图象过点（0,8）,故（近）。=8,

(2A6

所以a=6,/(x)=冗6,.二=23=2，=16,

故答案为：16

角度2：求募函数的解析式

典型例题

例题1.(2024上•安徽芜湖•高一统考期末)若事函数/(x)=a?S，bcR)的图象经过点(3,6),则

f(x)=-

【答案】石

【分析】根据幕函数的定义和过点，求解解析式.

【详解】根据塞函数/(x)=依〃，则。=1,

又由〃力=湛过点(3,若)，所以3"=相，

故6=g,所以=

故答案为：y/x.

(2\

例题2.(2024上•河北保定•高一统考期末)已知累函数的图象过点(2,8),则/2^=.

I)

【答案】4

【分析】利用待定系数法求得函数解析式，进一步计算即可.

【详解】设〃X)=X"，因为2a=8,所以a=3,

(2、/2A3

贝lj/(x)=%3,/=V=4,

\)\)

故答案为：4.

角度3：由塞函数求参数

典型例题

例题L(2024上•山东威海•高一统考期末)已知幕函数/(x)=(公一2014)/在(0,+“)上单调递增，则人

()

A.-3B.3C.-5D.5

【答案】D

【分析】由基函数的定义即可得解.

【详解】由题意得幕函数/（X）=a2-2k-14）/在（0,+8）上单调递增,

所以％2—2左一14=1次＞0,解得左=5或左=一3（舍）.

故选：D.

例题2.（2024上•安徽阜阳•高一阜阳市第三中学校考期末）已知暴函数y=（疗-m-1卜”（meR）的图象不

经过第二象限，则机=（）

A.2B.-2或1C.-1或2D.-1

【答案】D

【分析】根据幕函数的概念求出小，再由函数图象不经过第二象限得出即可.

【详解】解：因为〉=（1-根-1卜'"是黑函数，所以苏_机_1=1,解得〃=?T或m=2,

当机=7时，＞=无一=工，显然其图象不经过第二象限，满足题意；

当机=2时，y=Y,其图象经过第二象限，不满足题意；

综上，m=—l.

故选：D.

练透核心考点

1.（2024上•河南商丘•高一校考期末）若〃元）=（疗-3卜”是定义域为R的幕函数，则加=.

【答案】2

【分析】由幕函数的性质求解即可.

【详解】解：因为〃x）=（疗-3）/为塞函数，

则有m2-3=1,解得m=±2,

又因为函数尤）=/的定义域为R,所以加=2.

故答案为：2

2.（2024上•安徽淮南,高一深圳市高级中学校联考期末）若事函数〃x）=（苏-2加-2卜公”"+|在区间（0,+。）

上单调递减，则加=.

【答案】3

【分析】根据嘉函数的定义求出加值，再根据在（0,+e）上单调递减求值即可.

【详解】因为/（力=（加—2加一2）/f+i为募函数，所以加一2〃一2=1；解得9=-1或〃2=3,

又因为“X）在（。,+8）上递减，所以加2-4〃7+1＜0,故m=3.

故答案为：3

3.（2024下•湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知累函数/（*）=（加+根-5）廿M在

（0,+8）上单调递减，则机=.

【答案】-3

【分析】根据嘉函数的定义求出加值，再根据在（0,+。）上单调递减求得机值.

【详解】因为“尤）=（加+机-5b"'+1为募函数，所以疗+〃-5=1；解得加=一3或m=2,

又因为“X）在（0,+8）上递减，所以〃2+1<0,故根=-3.

故答案为：-3

4.（2024上•安徽亳州・高一亳州二中校考期末）已知事函数/（x）的图象过点尸（2,0）,则/（4）等

于.

【答案】2

【分析】首先求暴函数的解析式，再代入求值.

【详解】设〃引=j，〃2）=2"=0,得1=

1,、

即〃元）=/，所以"4）=2.

故答案为：2

高频考点二：然函数的值域

典型例题

例题1.（2024•全国•高一假期作业）下列函数中，值域为（0,+8）的是（）

A.于（"=&B./（^）=.x+—（x>0）

C.D-'（x）=l-：（x>l）

【答案】C

【分析】根据函数的定义域、幕函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即

可.

【详解】由已知/（尤）=正值域为［0,+8）,故A错误；

x>0,f（x］=x+—>2.xx—=2,尤=1时，等号成立，所以〃x）=JVH■—（x>0）的值域是［2,+co）,B错误；

XVXX

/（尤）=/^因为定义域为xe（T,+e）,Jx+1>0,函数值域为（。,+°°）,故C正确；

/（x）=l--（x>l）,-e（O,l）,--e（-l,0）,所以〃x）e（0,l）,故D错误.

故选：c.

例题2.（2024・全国•高一假期作业）已知幕函数〃同=铲?”6（加€2）在区间（0,+8）上是减函数.

⑴求函数“X）的解析式；

⑵讨论函数〃尤）的奇偶性和单调性；

⑶求函数〃尤）的值域.

【答案】⑴"X）=尸或"力='或=X-5

（2）答案见解析

⑶答案见解析

【分析】（1）依题意可得2〃/一机一6<0,求出机的取值范围，再根据meZ,即可得到加，再代入求出函

数解析式；

（2）根据（1）中的解析式及累函数的性质得出结论；

（3）根据（1）中的解析式及幕函数的性质得出结论；

【详解】（1）解：依题意_〃?_6<0,即（2m+3）（机—2）<。，解得—5<加<2,因为帆eZ,所以机=-1

或〃7=0或租=1,所以〃力=尸或”工六"6或

（2）解：若/（x）=M定义域为（_8,0）U（0,4w）,则/（%）=小为奇函数，且在（一,0）和（0,+8）上单调递

减；

若〃力=一定义域为（-力,0）U（0,+s）,则〃彳）=/为偶函数，且在（-8,0）上单调递增，在（0,+功上单

调递减；

若〃力=一定义域为（_e,o）u（O,+8）,则/（x）=x-5为奇函数，且在（0,0）和（0,+力上单调递减；

⑶若〃%）=/，则”X）为奇函数，当x>0时〃x）e（0,+8）,所以x<0时〃x）e（F，0）,所以函数的

值域为（-°o,o）u（o,+00）；

若〃x）=—,则为偶函数，当尤>0时/（x）e（O,+e）,所以x<0时/⑺«0,+。），所以函数的值域

为（0,+8）；

若〃力=/，则/⑺为奇函数，当彳>0时〃x）e（O,+8）,所以无<0时〃x）e（y）,0）,所以函数的值域为

（-oo,0）U（0,+oo）；

练透核心考点

1.（2024•全国•高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（）

l2[x-2,x<0

Av=—xD、，——/vr、，一_n、，一1

【答案】D

【分析】根据一次函数、反比例函数、幕函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.

【详解】对于A：函数y=-x+2的定义域为R,值域也为R,不符合题意；

对于B：函数y=&的定义域和值域都为［0,+e）,不符合题意；

对于C：>=：的定义域和值域都为卜卜片。｝,不符合题意；

fx-2,x<0

对于D：y=\）八的定义域为R；

［工+2,兀〉0

当时，y=x-2<-2；当x>0时，y=x+2>2；

所以值域为（-8,-2］=（2,+8）,定义域和值域不相同，符合题意；

故选：D.

"2

x^,-l<x<0

2.（2024下•河北承德•高二承德县第一中学校联考开学考试）函数y=,八工的值域为

【答案】（o,i）/（y（ov”i））

【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可

2

【详解】当TWxWO时，y=/在上单调递减，

所以OV”1；

当o<xwi时，y=在（。』上单调递减,

2

所以y4y<l；

尤3,-14尤<0

所以函数〉="｛（八工的值域为［0,1］，

§，。<1

故答案为：［0』

高频考点三：嘉函数图象

角度1:判断塞函数图象

典型例题

例题L（2024・江苏•高一假期作业）函数=与g（x）=g（依?+1）+尤在同一平面直角坐标系中的图

象不可能为（）

【答案】B

【分析】对B选项，根据/（力确定.<0,二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幕函数和二次函数

性质，得到答案.

【详解】g（无）=|■（依2+1）+*=；依2+》+1.,当°力0时，二次函数对称轴为x=-：,

对选项A：根据〃尤）确定a<0,二次函数开口向下，对称轴在y轴右边，满足；

对选项B：根据/（x）确定a<0,二次函数开口向下，不满足；

对选项C：根据“X）确定二次函数开口向上，对称轴在y轴左边，满足；

对选项D：取。=2,则=g尤2,g（x）=/+x+；,满足图像；

故选：B

例题2.（2024・全国•高三专题练习）给定一组函数解析式：

（5）y=；（2）y=；（3）y=X5；（§）y=尤5；y=1万；y=%§；（J）y=1号.

如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是（）

(1)⑵(3)

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【分析】根据幕函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.

【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故y=满足；

图象（2）关于y轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故y=满足；

图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故y=满足；

图象（4）关于y轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故＞=苫9满足；

图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故y满足；

3

图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随X增大递减，故满足;

3

图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随X增大递增，故y=q满足;

故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.

故选：C

角度2：然函数图象过定点问题

典型例题

例题L（2024上•上海•高一上海市吴淞中学校考期末）下列命题中正确的是（）

A.当加=0时，函数y=x”的图象是一条直线

B.募函数的图象都经过（0,0）,（LD两点

C.累函数＞"图象不可能在第四象限内

D.若累函数、=/为奇函数，则y=x"是定义域内的严格增函数

【答案】C

【分析】由幕函数的图象与性质判断即可.

【详解】对A,当机=0时，函数y=/的图象是一条直线除去点（0,1）,所以A项不正确;

对B,塞函数的幕指数小于。时，图象不经过（0,0）,所以B项不正确；

对C,幕函数y=/的图象不可能在第四象限内，所以C项正确；

对D,当机=-1时，幕函数y=/为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确；

故选：C.

例题2.（2024•全国•高一专题练习）已知函数丁=/，"。＜0）的图象恒过定点A,若点A在一次函数

y=的图象上，其中n＞0,则—I—的最小值为（）

mn

A.1B.0C.2D.4

【答案】D

【分析】求出定点A的坐标，并求出小，〃的关系，再利用基本不等式"1"的妙用求解即得.

【详解】依题意，Ad』），则+〃=因止匕工+!=（%+力（L+3=2+二+'\2+2、口^=4,

mnmnmn\mn

当且仅当〃?="=1时取等号，

所以当时，'取得最小值4.

2mn

故选：D

练透核心考点

1.（2024,全国•高三专题练习）已知事函数、且。,夕互质）的图象关于y轴对称，如图所示,

则（）

A.p,4均为奇数，且:＞。

B.q为偶数,p为奇数，且‘＜0

q

C.q为奇数，p为偶数，且“＞。

q

D.q为奇数，p为偶数，且“＜。

q

【答案】D

【分析】根据函数的单调性可判断出“<0；根据函数的奇偶性及〃，夕互质可判断出〃为偶数，q为奇数.

q

【详解】因为函数、，一4的定义域为(-8,0)(0,+8),且在(0,+8)上单调递减，

所以“<o,

q

因为函数v_/的图象关于y轴对称，

所以函数、为偶函数，即P为偶数，

又p、q互质，所以q为奇数，

所以选项D正确，

故选：D.

2.(多选)(2024上•重庆北轿高一统考期末)函数/("=依2-2X+1与8(力=无。在同一直角坐标系中的

图象不可能为()

【分析】结合二次函数与幕函数的性质，逐一分析各选项即可得解.

【详解】因为-2x+l,g(x)=x",

对于A,当。=-1时，f^x)--jC-2x+\,其图象开口向下，对称轴为彳=一1,

g(x)=k=L其图象关于原点对称，且在(0,+8)上单调递减，故A满足要求;

X

对于B,当/(%)=加-2尤+1开口向上时，〃>0,

此时g(x)=£在(0,+功上单调递增，故B不满足要求；

11

对于C,当〃=5时，/(X)=-X2-2X+1,其图象开口向上，对称轴为％=2,

1r、

屋外二/，其图象在［。,+8）上单调递增，且越来越缓，故c满足要求；

对于D,当/（九）=办2-2尤+1开口向上时，a>0,

-22

此时其对称轴为1=-丁=—>0,故D不满足要求.

2aa

故选：BD.

3.（多选）（2024•全国•高一专题练习）已知事函数〃*）=«的图象经过函数g（x）=/2一：（。>0且“i）

的图象所过的定点，则嘉函数〃x）具有的特性是（）

A.在定义域内单调递减B.图象过点。,1）

C.是奇函数D.定义域是R

【答案】BC

【分析】求出函数g（x）的图象所过定点的坐标，代入函数“X）的解析式，求出。的值，再利用事函数的基

本性质逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】由x-2=0,即x=2,可得g⑵=1一g=

故函数g（x）=a2一;（°>0且awl）的图象过定点

则/⑵=2〃=；,解得匕=-1,则〃无）=}定义域为{尤卜20},且为奇函数，

函数/（X）在（一双0）上单调递减，在（0,+8）上单调递减，但在定义域内不单调递减.

因为『（1）=1,所以函数/（无）的图象经过点（1,1）,所以选项B、C正确.

故选：BC.

高频考点四：塞函数单调性

角度1：判断事函数的单调性

典型例题

例题L（2023上•北京海淀•高一统考期末）下列函数中，既是奇函数，又在（。,+⑹上单调递减的是（）

A./（x）=4xB.f（x）=-x\x\

C.=D./（x）="

【答案】B

【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D

判断

【详解】对A、C：由〃x）=«,定义域为[0,+8）,所以〃力=石不是奇函数，故A错误；

“无）=’7定义域为R,〃­）=：=2=〃尤）,所以“工人丁二是偶函数，故C错误；

对B、D：f（x）=-x\^,定义域为R,/（-X）=-（-x）|-^|=x|x|=-f（x）,所以/（X）为奇函数，

当x>0时，〃x）=f2,且〃力=-/在（0,+向上单调递减，故B正确；

〃x）=d，定义域为R,且〃T）=（r）3=_*3=_/（天），所以〃力=尤3为奇函数，且在定义域上为增函

数，故D错误；

故选：B.

1

例题2.（2023上•湖南常德・高一湖南省桃源县第一中学校考期中）函数/（同=（_/+2》+3）-5的单调递减

区间为（）

A.[―1,1]B.（—8,1]C.（—1,1]D.（1,3）

【答案】C

【分析】令--/+2了+3,“一5,利用复合函数的单调性求解.

【详解】解：由—d+2x+3>0,得/一2》一3<0,BP（x+l）（x-3）<0,

m-l<x<3,所以〃无）的定义域为{x|—l<x<3},

令/=-/+2了+3,在（TH上递增，在口,3）上递减，又“=谷，在（0,+8）上递减，

所以〃力在（-M]上递减，

所以函数〃尤）的单调递减区间为（T1],

故选：C

角度2：由塞函数单调性求参数

典型例题

例题1.（2023上,江苏镇江•高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若y=（，〃2-2机-2卜是幕函数，

且在（0,+8）上单调递增，则机的值为（）

A.-1或3B.1或-3C.-1D.3

【答案】D

【分析】根据塞函数的性质即可求解.

【详解】因为y=（*-2吁2）”+帆是塞函数,

贝IIm2—2m—2=1,则加=—1或m=3,

当根=-1,y=x0=1,不符合题意，

当机=3,/（x）=x12,则〃龙）在区间（。,+8）上是单调递增函数，符合题意，则根=3；

故选：D.

例题2.（2023上•广东佛山•高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）已知累函数》=（忆2-3卜"2+%3单调

递减，则实数机=.

【答案】-2

【分析】由累函数的定义及性质列方程求解.

【详解】因为幕函数y=（布-3卜两*3单调递减，

2-3=1

所以＜m2cc，解得m=-2.

m+m-3＜0

故答案为：-2

角度3：由塞函数单调性解不等式

典型例题

例题L（2023上•高一课时练习）已知哥函数y=x?-3（peN+）的图象关于y轴对称，且在（0,+8）上单调递

减，求满足+＜（3—2°,的°的取值范围.

【答案】（-8,（）

【分析】利用事函数的性质求得P=l,利用幕函数的单调性解不等式即可.

【详解】因为函数y=在（0,+8）上单调递减，所以。-3＜0,即。＜3.

又？eN+，所以0=1或p=2.

又函数y=-3的图象关于y轴对称，所以p-3是偶数，所以P=l,即y=x-2.

则原不等式可化为（a+1）；＜（3-2a）5.

i2

因为函数＞=/在R上是增函数，所以a+l＜3-2a,解得a＜§.

2

故实数”的取值范围是（-8彳）.

例题2.（2023上•广西钦州•高一校考期中）已知＞=（机2+2"2_2）・%口1+2〃_3是属函数.

⑴求加、”的值；

（2）若〃2a+l）＜/（3-4a）,求实数。的取值范围.

m=-3

【答案】⑴3

n=—

[2

「11、

【分析】（1）根据幕函数的定义列出关于刑〃的方程组，由此求解出〃7,的值；

（2）分析/（X）的定义域和单调性，然后列出关于。的不等式组，由此求解出结果.

]

【详解】（1）因为y=（病+2zn-2）・工/-1+2〃-3是累函数，

m2+2m-2=1m=-3

所以2〃-3=0解得3

n=—

m2-102

i「、1

（2）由（1）可知〃力=小,定乂域为[0,+8）,>->0,

所以“力=£是[0,+。）上的单调递增函数，

又因为/（2a+l）v〃3—4a）,

2tz+1>0

所以，3-4aZ0,解得

2〃+1<3—4〃

所以0的取值范围是-ggj.

练透核心考点

1.（多选）（2024•全国•模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（）

A./（x）=-3x5B./（x）=2x

c-:D-〃x）=-2/

【答案】AD

【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.

【详解】对于A,/（同=-3丁是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确；

对于B,/（》）=2"是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误；

对于C,f（-1）=-1,/（1）=1,故=：在其定义域上不单调递减，故C错误；

1

对于D,〃同=_23是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误•

故选：AD.

2.（2023上•河北沧州•高一统考期中）若幕函数〃尤）=（疝-9加+19）尤"I在（0,+向上单调递增，则实数

m=.

【答案】6

【分析】根据基函数定义及性质求解即可.

【详解】由函数为幕函数可知,m2-9w+19=1,

解得根=3或m=6,

因为塞函数〃X）=（4-97"+19bI在（0,+8）上单调递增，

所以m—4>0,即机〉4,

所以加=6.

故答案为：6

3.（2023•全国•高三专题练习）已知暴函数〃尤）=（2疗+加一2）V在（0,+8）上是增函数.

⑴求“X）的解析式；

⑵若/（万可求实数。的取值范围.

【答案】（1）〃X）=X3

【分析】（1）利用幕函数的定义与单调性可得出关于实数〃2的等式与不等式，解出加的值，即可得出函数

“X）的解析式；

（2）分析函数/（X）的定义域与单调性，根据可得出关于实数a的不等式组，由此可解

得实数。的取值范围.

【详解】⑴因为函数〃尤）=（2疗+〃-2）之M为幕函数，则2疗+吁2=1,

即2n?+m一3=0,即（2根+3）（加-1）=0,解得根=1或相=—万，

又因为函数〃无）=（2■+加-2）钟包在（0,+“）上是增函数，贝|］2利+1>0,解得加>-；，

所以，根=1,故/（x）=a

（2）由（1）可知，=该函数的定义域为R,

对任意的xeR,/（-x）=（-x）3=-x3=-/（x）,则函数为R上的奇函数，

因为函数〃x）=x3在［0,+8）上为增函数，则该函数在（ro,0］上也为增函数，

所以，函数/（X）在R上为增函数，

，2-〃<-1

由a）</（Ja-1）可得，2-a2。,解得一<。工2,

（2-1>0

因此，实数a的取值范围是（12.

4.（2023上•湖南长沙•高一长沙一中校考期中）已知暴函数〃x）=（2疗-在定义域内单调递增.

⑴求1。）的解析式;

（2）求关于尤的不等式〃*+1）<-2x+3）的解集.

【答案】①/（尤）=尤5

⑵[-LD（2,+8）

【分析】（1）取2疗-机-2=1,再验证单调性得到答案.

（2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案.

【详解】⑴幕函数〃x）=（2那一根-2卜"I在定义域内单调递增，

,3

故2m°-m-2=L解得=-1或机=万，

当根=-1时，”力=/在（0,+8）上单调递减，在（-8,0）上单调递增，不满足；

当m=|时，/（_¥）=%在[0,+8）上单调递增，满足；

故/（%）=在,

（2）/⑺:/在2十动上单调递增，/（X+1）</（X2-2X+3）,

x+l>0

故<%2_2X+3N0,解得一IV犬vl或1>2,gp%e[-l,l）u（2,+oo）.

x+1<—2x+3

高频考点五：嘉函数的奇偶性

典型例题

例题1.（2024•全国,高一假期作业）"幕函数〃元）=（毋+加-1）/在（0,+8）上为增函数”是“函数

g（x）=2,-疗2”为奇函数〃的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】要使函数〃X)=(病+机-1卜”是幕函数，且在(0,+8)上为增函数，求出m=1,可得函数g(x)为

奇函数，即充分性成立；函数g(x)=2-疗2”为奇函数，求出相=±1,故必要性不成立，可得答案.

【详解】要使函数〃尤)=(加+机-1)廿是幕函数，且在(0,+8)上为增函数，

fyTp'+IJ7—1——1

-，解得：m=l,当机=1时，g(x)=T-Tx,xeR,

Im>0

则g(-x)=2f-2，=-(2「2T)=-g(x),所以函数g(尤)为奇函数，即充分性成立；

"函数g⑺=2X-m2-2T为奇函数",

X

贝ijg(x)=-g(-x),即2、一而-2T=,2*)=后-2-2r,

解得：m=±l,故必要性不成立，

故选：A.

例题2.(2024上•上海虹口•高一统考期末)设ae>2,-；彳,3，，若幕函数y=x”的图像关于>轴对称，

且在区间(。,+8)上是严格增函数，则实数。=.

【答案】|

【分析】利用暴函数的性质来解答即可.

【详解】

若幕函数y=x"的图像关于y轴对称，则ae,

2

又幕函数y=%。在区间(0,+8)上是严格增函数，贝IJ0=§.

故答案为：—.

练透核心考点

1.(多选)(2024上广东深圳•高一统考期末)已知函数f(x)=(2加一叫尤3m为幕函数，则下列结论正确

的为()

A.m=lB./(x)为偶函数

C./(X)为单调递增函数D.7(无)的值域为[0,+“)

【答案】AC

【分析】根据幕函数的性质可得〃7=1,进而可得了(耳=丁，由基函数的性质即可结合选项逐一求解.

【详解】由/(x)=(2〃?-病卜3",为幕函数可得2%疝=],解得〃7=1,

所以/(x)=V,故A正确，C正确；

由于〃T)=(_X)3=T3=_〃X),故为奇函数，故B错误；

/a)=x3的值域为R,D错误，

故选：AC.

2.(2024上•福建南平•高一统考期末)已知幕函数f(x)H疗一3加+1)产2.若人无)是奇函数，则加的值为

【答案】3

【分析】由幕函数的定义结合奇函数的定义即可求解.

【详解】由题意加2-3加+1=1,解得m=0或租=3,又/(x)是奇函数，

当机=。时，/(-X)=》一°=—^不满足题意；当〃?=3时，/(x)=x满足题意.

故答案为：3.

高频考点六：二次函数

角度1:二次函数值域问题

典型例题

例题1.(2024上•江西•高一校联考期末)己知函数f(x)=f-2x+3,则/(x)在区间[0,4]的值域为()

A.[3,6]B.[2,6]

C.[2,11]D.[3,11]

【答案】C

【分析】由二次函数的单调性计算即可得.

【详解】/(X)=X2-2X+3=(X-1)2+2,

则Ax)在(0,1)上单调递减，在(1,4)单调递增，

又/⑴=2,/(0)=3,"4)=11,

故f(x)在区间[0,4]的值域为[2,11].

故选：C.

例题2.(2024上•河南新乡•高一统考期末)已知函数〃尤)满足log3"x)=〃凡且“力的图象经过点(1,3).

⑴求/(X)的解析式;

(2)求函数g(x)="(x)f-4〃x)+5在,1]上的值域.

【答案】(1)〃力=3，

(2)[1,5)

【分析】(1)利用指数和对数的互化公式，代入点的坐标即可求解;

(2)利用换元法直接求解函数值域即可.

【详解】(1)因为log3/(x)=mx,所以/(x)=3*

又因为的图象经过点(1,3),所以3m=3,

解得m=l,

故的解析式为/(力=3二

(2)当时，0<3x<3,令f=/(x),/e(O,3］,

则"(切2-4/(无)+5=/一4+5=("2)2+1,

函数y=(52)2+1在fe(0,2］上单调递减，在r42,3］上单调递增，

则当7=2时，g(x)取得最小值1,

X(r-2)2+l<(0-2)2+l=5,

所以g(x)的值域为［L5).

角度2：求二次函数解析式

典型例题

25

例题L(2024•全国•高三专题练习)已知二次函数y=♦+"+。的图象过点(0,0),(5,0),且最小值为一］.

⑴求函数的解析式；

【答案】⑴--10x

(2)1或3

【分析】(1)先根据题意设出二次函数的两点式形式，再由条件得到其顶点坐标，代入即可得解；

33S5

(2)根据二次函数的图象性质，分类讨论区：、与三种情况下y=2--10x在上J+1］的单

调情况，从而得到关于f的方程，解之即可.

【详解】(1)由题意设函数的解析式为y=«x(x-5)(a>0),

由已知可得二次函数的顶点坐标为(g,-

代入得--^-=ax/x(一］］,解得a=2,

所以二次函数解析式为V=2x(%-5)，即y=2X2-10X.

例题2.(2024上•青海西宁・高一统考期末)设/(力=/加2+7a+6,己知函数过点(1,3),且函数的对称轴

为x=2.

⑴求函数的表达式；

⑵若无q-1,3],函数的最大值为最小值为N,求M+N的值.

【答案】(1)/(%)=--4》+6

(2)13

【分析】根据函数过点(1,3)及二次函数的对称轴，得到方程组，解得加、〃即可求出函数解析式;

(2)将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.

机+"+6=3'7

【详解】(1)解：依题意nc,解得।，所以/(尤)=/-4%+6；

----=2\m=l

、2m

(2)解：由(1)=x2-4x+6=(x-2)2+2,

所以/(力在[-1,2]上单调递减，在(2,3]上单调递增，

又"-1)=11,43)=3,"2)=2,

所以A%、="