2022年北京市初三一模数学试题汇编：点和圆、直线和圆的位置关系

第1页/共1页2022北京初三一模数学汇编点和圆、直线和圆的位置关系一、填空题1．（2022·北京朝阳·一模）如图，是的弦，是的切线，若，则_________．2．（2022·北京石景山·一模）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．3．（2022·北京海淀·一模）如图，PA，PB是的切线，A，B为切点．若，则的大小为______．4．（2022·北京通州·一模）如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果，那么∠P的度数为______．二、解答题5．（2022·北京房山·一模）已知：如图，点M为锐角∠APB的边PA上一点．求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD＝2∠P．作法：①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；②作射线MD．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵P、C、D都在⊙M上，∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，∴∠P＝∠CMD（

）（填推理依据）．∴∠AMD＝2∠P．6．（2022·北京平谷·一模）有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D；②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆；③大⊙O即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成如下证明：证明：连接CA、CB在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点，∴CO⊥AB（）（填推理的依据）设小O半径长为r∵OB＝OD，∠DOB＝90°∴BD＝r∴S大⊙O＝π（r）2＝S小⊙O．7．（2022·北京顺义·一模）已知：如图，和射线PN．求作：射线PM，使得．作法：①在射线OB上任取一点C，以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交OA于点D；②以点P为圆心，OC的长为半径画圆，交射线PN的反向延长线于点E；③以点E为圆心，OD的长为半径画弧，在射线PN上方，交OP于点M；④作射线PM．所以射线PM就是所求作的射线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接CD，EM．∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，∴（_________）（填推理依据）．∴．又∵（________）（填推理依据）．∴．8．（2022·北京通州·一模）如图1，AB是的直径，点C是上不同于A，B的点，过点C作的切线为BA的延长线交于点D，连接AC，BC．(1)求证：；(2)如图2，过点C作于点E，交于点F，FO的延长线交CB于点G．若的直径为4，，求线段FG的长．9．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．10．（2022·北京顺义·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，对角线AC，BD交于点E，的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．(1)求证：AE=AF；(2)若AF=6，BF=10，求BE的长．11．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值．12．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与有两个交点时，则称MN是的“双关联直线”，与有一个交点P时，则称MN是的“单关联直线”，AP是的“单关联线段”．(1)如图1，，当MN与y轴重合时，设MN与交于C，D两点．则MN是的“______关联直线”（填“双”或“单”）；的值为______；(2)如图2，点A为直线上一动点，AP是的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．13．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．14．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．(1)如图，⊙O的半径为1，点．△AOC为⊙O的“点A关联三角形”．①在，这两个点中，点A可以与点______重合；②点A的横坐标的最小值为_______；(2)⊙O的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；(3)⊙O的半径为r，直线与⊙O在第一象限的交点为A，点．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．

参考答案1．60【分析】因为是的切线，由切线的性质得出PA⊥OA，PB⊥OB，得出∠PAO=∠PBO=90°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120º．，再由四边形内角和等于360°，即可得出结果．【详解】解：如图，连接OA，OB，∵是的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB∴∠PAO=∠PBO=90°∵，∴∠AOB=2∠C=120º，∵四边形内角和等于360º．∴在四边形AOBP中，∠P=360º-90º-90º-120º=60º．故答案为：60．【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形内角和定理；解题的关键是利用切线的性质和圆周角定理结合四边形内角和等于360º求角．2．50【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，根据圆周角定理即可求得到∠CAD．【详解】解：连接OC、OD，如图，∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，∴OC⊥CP，OD⊥DP，∵OP=OP，OC=OD，∴△POC≌△POD(HL)，∴∠CPO=∠DPO，∵∠CPA=40°，∴∠CPD=80°，∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，∵∠CAD=∠COD=50°，故答案为：50．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．3．60°##60度【分析】先由切线的性质及切线长定理求出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】PA，PB是的切线，A，B为切点故答案为：60°．【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．4．40°【分析】由PA与PB都为圆O的切线得OB⊥BP，PA=PB，从而求得∠ABP=70°，再根据内角和定理即可求出∠P的度数．【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OB⊥BP，PA=PB，∴∠OBP=90°，∵，∴∠ABP=70°，∵PA=PB，，∴∠BAP=∠ABP=70°，∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-70°-70°=40°，故答案为：40°【点睛】此题考查了切线长定理及等腰三角形的性质，熟练运用性质及定理是解本题的关键．5．（1）见详解；（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.【分析】（1）由题意根据题干中要求的作法进行作图即可补全图形；（2）由题意根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半即可完成证明．【详解】解：（1）如图，即为补全的图形，（2）证明：∵P、C、D都在⊙M上，∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，∴∠P=∠CMD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半），∴∠AMD=2∠P．故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．6．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO⊥AB，然后证明BD＝r即可得到S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O．（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：连接CA、CB在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点，∴CO⊥AB（三线合一定理）（填推理的依据）设小O半径长为r∵OB＝OD，∠DOB＝90°∴BD＝r∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．7．(1)见解析(2)SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据作图过程可得PM=PE=CD=CO，EM=OD，即可证明，可得，再根据圆周角定理进而可以完成证明．（1）如图所示，（2）证明：连接CD，EM．∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，∴（__SSS__）．∴．又∵（同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍）．∴．故答案为：SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆周角定理，灵活掌握圆周角定理是本题的关键．8．(1)见解析(2)3【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角，即可求解；（2）根据垂径定理和圆的切线，可证∠OGC=90°，根据角平分线的性质可知OG=OE，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可求OG，即可求解．（1）解：连接OC，∵CD是圆的切线∴∠OCD=90°∴∠DCA+∠ACO=90°∵AB是圆的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠CAO=90°∵∠CAO=∠ACO∴∠DCA=∠B．（2）解：连接OC，∵CD是圆的切线∴∠OCD=90°∵∠D=30°∴∠COD=60°∴∠B=∠BCO=∵CE⊥AB，OC=OF∴∠EOF=∠COE=60°，∠OCE=30°∴∠COG=60°∴∠OGC=90°∴OE=OG=∴FG=OF+OG=3．【点睛】本题考查圆的切线的性质、垂径定理、直角三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握这性质定理是解题的关键．9．(1)①；②或(2)【分析】（1）由⊙O友好点的定义可判段出结果；点P应在半径为的圆环内．（2）根据定义可列出不等式组，解出可得到结果．（1）①由题意知：当时，P为⊙O的友好点．∴⊙O的友好点是．②根据友好点的定义，只要点在半径圆环内都是⊙O的友好点，或．（2）∵M（0，3），N（3，0），∴圆心O到线段MN的距离为∴在x轴上点N到⊙O最左侧的距离为∴根据题意可列不等式组得解得∴不等式组解集为：∴r的取值范围为：【点睛】本题考查圆综合题，中心对称，列不等式组等知识，解题的关键是学会利用特殊点，特殊位置解决问题．10．(1)见详解(2)【分析】（1）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，最后根据等角对等边即可得证；（2）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，利用ASA证明，根据全等三角形的性质及勾股定理得出，根据三角形的面积公式及勾股定理得出BE的值．（1）证明：∵点D为弧的中点∴，∵为的直径，为的切线∴，∴，∴；（2）∵是的直径，∴，由（1），在中，，∴，∵，∴，∴∴【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的判定及性质定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质定理．11．(1)A、B、D(2)【分析】（1）根据坐标的特点及“等直三角形”的定义作图即可判断；（2）根据题意作图，设Q（x，y），求出P点坐标，进而求出CP、OQ，故可求解．（1）如图，△AQ1T，△BQ2T，△DQ3T是等腰直角三角形，Q1Q2Q3在⊙O上，故为等直点”故答案为：A、B、D；（2）如图，依题意作⊙O的“等直三角形”△TQP∴TQ=PQ，∠TQP=90°过Q点作MHx轴，交y轴于M点，过点P作PH⊥MH于H点∴∠TMQ=∠QHP=90°∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°∴∠MTQ=∠HQP∴△TMQ≌△QHP（AAS）∴TM=QH，MQ=HP设Q（x，y）∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y，PH=MQ=x∴P（x-y+3，x+y）∵C（3，0）∴PC=∵OQ=∴=．【点睛】此题主要考查直角坐标系、圆与全等三角形综合，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用．12．(1)双，或(2)①；②【分析】（1）根据“双关联直线”定义即可判断，需要利用分类讨论的思想求解；（2）①过作直线的垂线交于点，明白此时的为最小值，利用等面积法求解；②当与直线垂直时，AP是的“单关联线段”即AP是的切线时，面积最小，因为有条直角边为1，当斜边最短时，面积最小．（1）解：当与轴重合时，与有两个交点，由“双关联直线”定义知，是的“双关联直线”，设MN与交于C，D两点，当点在轴正半轴时，，，当点在轴负半轴时，，，故答案为：双，或；（2）解：①过作直线的垂线交于点，即可得到的最小值；当，当，，由勾股定理得：，解得：；②当与直线垂直时，AP是的“单关联线段”即AP是的切线时，面积最小，因为有条直角边为1，当斜边最短时，面积最小，如下图：，．【点睛】本题考查了新定义问题，垂线段距离最短、一次函数与几何问题、切线的性质、勾股定理，解题的关键是掌握相应的知识，利用分类讨论及数形结合的思想进行求解．13．(1)4(2)0<m≤4(3)0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°【分析】（1）根据“关联三角形”的定义求得A1(1，-2)，A2(-1，2)，利用三角形的面积公式求解即可；（2）找到四边形OADC是⊙T的外接四边形，且D(2，2)，画出图形，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解；（3）分两种情况，当PP2与⊙O相切时，PP1与⊙O相切时，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解．（1）解：∵点A(1，2)关于x轴的对称点为A1(1，-2)，点A关于y轴的对称点为A2(-1，2)，∴S△AA1A2的面积=×2×4=4；（2）解：∵⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．∴四边形OADC是⊙T的外接四边形，∴D(2，2)，∵点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，且点B(m，n)，∴0<m≤4；（3）解：当PP2与⊙O相切于点E时，如图：∵OE=r，OP=2r，∴∠OPE=30°，∴∠OPP1=∠OP1P=60°，∴当60°<∠OP1P<90°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点；当PP1与⊙O相切于点F时，如图：∵OF=r，OP=2r，∴∠OPE=∠OP1P=30°，∴当0°<∠OP1P<30°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点；综上，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，∠PP1P2的取值范围为：0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，切线的性质，数形结合是解题的关键．14．(1)①，②(2)m的取值范围为1≤m＜；(3)<r≤或r>4．【分析】（1）根据“点A的关联三角形”的定义，只有除OC与⊙O有一个交点外，线段AC与⊙O也只有一个交点，所以当过点C作⊙O的切线时，点A应在弧MN上，求出M点的坐标，即可知点A的横坐标为，即可判断点A应与重合，点A的横坐标的最小值为；（2）先求出B'C'=，过点C'作C'G⊥y轴于G，构造直角三角形，表示出GM=B'G，BM=2B'G，进而用勾股定理求出B'G，即可求出答案；（3）符合△ABC等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，r=，此时仍不满足题意，当r>时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合，此时r==，分①r>，②<r≤4，③r>4，进行讨论，即可求解．【详解】（1）解：①当点A与点重合时，连接与圆相交，而OC也与圆相交，这样△AOC就与圆有三个交点，所以不符合“点A关联三角形”的定义；过C作⊙O的切线CM，交⊙O于M，连接OM，如图，∴OC=2，OM=1，∴设M（x，y），则解得或当时，线段CM与⊙O有唯一交点，∵∴当点A与重合时，△AOC与⊙O是“点A的关联三角形”；②由①得，∴点A的横坐标的最小值为；（2）解：如图，∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，∴线段AC和AB除过点A外，不能与⊙O有交点，当线段AC除点A外不与⊙O有交点，当AC与⊙O相切时，∴AC⊥x轴，此时，点A的横坐标为1，∴点C的横坐标为1，即m=1，∴时，线段AC除点A外不与⊙O有交点，当线段AB除点A外不与⊙O有交点，即点B在（-1，0）处，记作点B'，∴OB'=1，∵A（1，0），∴OA=1，∴OA=OB'，∴∠OB'A=45°，∵△ABC为等边三角形，∴B'C'=AB'，∠AB'C'=60°，在Rt△A'OB'中，AB'=，∴B'C'=，过点C'作C'G⊥y轴于G，∴∠B'GC'=90°，∠C'B'G=180°-45°-60°=75°，∴∠B'C'G=15°，在C'G上取一点M，连接B'M，使B'M=C'M，∴∠B'MG=