2025年中考数学复习：面积等量关系

面积等量关系

一阶方法突破练

L如图，在平面直角坐标系中，△a8C三个顶点的坐标分别为4(l，0),8(-3,0),C(-2,5)..点P是y轴上一动

点/右SABP=5S4BG求点P的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，已知△48c的顶点坐标分别为A(-2,0),B(2,4),C(3,0),若过点C的一条直线平分.

△ABC的面积，求出这条直线的解析式.

3.如图，抛物线y=-Y+2无+3与x轴交于A,B两点，与y轴正半轴交于点C,其顶点为E,抛物线的对

称轴与BC交于点M,在抛物线上是否存在一点Q,使得SQMB=SEMB?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在,

请说明理由.

第3题图

二阶设问进阶练

例如图，抛物线y=-必+4x+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点，抛物线

的对称轴与x轴交于点E.

⑴在x轴上是否存在点F，使得SA0C=[Sc”?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

例题图①

(2)如图②，在抛物线上是否存在点H，使得"的=?SBCE?若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理

由；

例题图②

⑶如图③，在线段BC上方的抛物线上，是否存在点M(不与点D重合)，使得SBCD=SBCM?若存在，求出点

M的坐标；若不存在，请说明理由；

例题图③

⑷如图④，是否存在过点A的直线1与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分?若存在，求

直线1的解析式；若不存在，请说明理由；

例题困④

⑸如图⑤，若点P为线段BC上方抛物线上一动点（不与B,C重合），过点P作x轴的垂线交BC于点Q.若线

段PQ将△PBC分成面积比为1：3的两部分，求点P的坐标.

例题图⑤

综合强化练

1.如图，已知抛物线y=-久2一2刀+c与x轴交于A,B两点与y轴交于点C(0,3).

⑴求抛物线的解析式及A,B两点的坐标；

⑵若点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴下方，将△力BD沿BD翻折得到.AABD,若点A'

恰好落在抛物线的对称轴上，求点4和点D的坐标；

(3)(面积平分问题)点P为抛物线上一点，且直线BP把四边形ABCP分成面积相等的两部

分，求点P的坐标.

作图区答题区

备用图①

公田明②

2.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c分别与x,y轴交于A,B两点，直线y=x+3经过点A,B,抛物线

的顶点为P.

(1)求抛物线的解析式；

(2)现将抛物线向右平移个单位，若平移后的抛物线与△4BP有且只有一个公共点时，求m的值；

(3)(面积倍数问题)在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q,使得SABQ=2S.P?若存在,求出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由.

作图区答题区

备用图②

3如图，抛物线y=a/+版-号与x轴交于A(-5,O),B(1,O)两点与y轴交于点C,以AB为斜边在x轴的下方

构造等腰RtAABD,,点P是抛物线上的一个动点，作直线PD交x轴于点E.

⑴求抛物线的解析式；

(2)若点P在直线AC的下方，当PD=2PE时，求点P的坐标；

(3)(面积比例问题)若点P在直线AC的上方，是否存在这样的点P,使得对角线PD将四边形PADC分为面积

比为1：3的两部分?若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

备用图①

备用图②

考向2面积等量关系

一阶方法突破练

1.解:•.A(L0),B(-3,0),C(-2,5),，AB=4,设点P的坐标为(0,m)(设出动点的坐标),如解图，

则SABP=|x4|m|=2|m](表示出动三角形的面积).

由题意可得»BC=[x4x5=10.

2|m|=|X10,A\m\=|(根据两个三角形面积的等量关系求动点坐标)，第1期解国

m=-1或m=|.

.,点P的坐标为(0，-1)或(0,|

2.解：如解图，取AB的中点D,作直线CD(三角形的任何一条中线都平分该三角形的面积),

•••MCD与△BCD是等底等高的两个三角形，则直线CD平分AABC的面积,

•.A(-2,0),B(2,4),

•.D(0,2),

设直线CD的解析式为y=kx+b,将C(3,0),D(0,2)代入得I0，解得f二”.•过点C且

vZ)—2

平分AABC面积的直线CD的解析式为y=-|%+2.

3.解:存在,第2题解图

抛物线y=-%2+2x+3与x轴交于A,B两点与y轴交于点C,顶点为E,，B(3,0),C(0,3),E(l,4),，直线BC的

表达式为y=-x+3,，M(l,2),EM=2,如解图，设抛物线对称轴与x轴交于点G,过点E与BC平行的直线与抛物线

的交点为Q(同底等高的两个三角形面积相等),

此时SQMB=SEMB，

设直线EQ的表达式为y=-x+m,

将E(l,4)代入彳导4=-l+m,解得m=5,

二直线EQ的表达式为y=-x+5,

直线y=-x+5与抛物线y--x2+2x+3交于点Q,

••联立｛/。端3,解得我;舍去)｛屋,

二点Q的坐标为(2,3),

-，EG=4,EM=2,

，GM=EM=2,

设过点G与BC平行的直线与抛物线的交点为Qt,Q2,此时SQMB=SEMB,

则设直线GQi(Qz)的表达式为y=-x+n,将G(l,0)代入得0=-l+n,

解得n=l,.•.直线GQi(Qz)的表达式为y=-x+l(求出与直线BC平行的直线解析式).

2第题解图

,.直线y=-x+l与抛物线y=-x+2x+3交于点QI,Q2,3

二联立fFL

(y=—x+2%+3

C3+V17

解得yI=—上汽，

-1+V17

...Qi呼三斗2呼，咛)

综上所述，点Q的坐标为(2,3)或(第，三巨)或(亨，芍叵).

二阶设问进阶练

例解:(1)存在，

抛物线y=-无？+4x+5与x轴交于A,B两点，

.■.A(-1,O),B(5,O),

AAOC和，CAF等同)，且S40c=

.•.<AF的底是AAOC底的2倍，

•.MOC的底为AO=1,/.ACAF的底AF=2,

二当点F在A点左侧时,F(-3,0),当点F在A点右侧时,F(l,0).

综上所述，点F的坐标为(-3,0)或(1,0);

⑵存在，

由题意可知,AE=BE,

■:抛物线y=-运+4%+5与y轴交于点C,

..C(0,5),

•••SHAE=2CE，且ABCE的底边BE上的高为5,.”HAE的底边AE上的高为3,

①当y=3时，一久2+4%+5=3,

解得X1=2+V6,X2=2-赤，此时H(2+V6<3)或H(2-V6-3);

②当y=-3|时，-*+4%+5=-3,

解得.久1=2—2V3,久2=2+2日，此时H(2-2g，—3)或H(2+2旧，—3),

综上所述，点H的坐标为((2+否3)或(2-伤，3)或(2-2圾-3)或(2+2相「3)；

(3)存在，

如解图①，过点D作BC的平行线交抛物线于点M,连接BM,CMMSBCD=SBCM,

•.D(2,9),B(5,0),C(0,5),f।

'-ID

，直线BC的解析式为y=-x+5,淤、

，设直线DM的解析式为y=-x+b,'々N'、

将D(2⑼代入解析式得9=-2+b,解得b=ll,/N、'

Al0\E\Bx

「•直线DM的解析式为y=-x+ll/枷期解困①

•••M是直线DM与抛物线的交点，

.,.令—x+11=—x2+4x+5,解得x7=2(舍去),X2—3,

.-.M(3,8)；

⑷存在，

­.B(5,0),D(2,9),

直线BD的解析式为y=-3x+15,

设直线I的解析式为y=ax+c,且直线I与直线BD的交点为F(m,n),直线AF即为所求,如解图

②，由点中不易"(导S㈣边物=SA“0c+S横jgocuE+SAB£°=lx5x-+(5+9)x2x-+3x9x-=30,

使即尸=六四边形ABDC,

例题解图②

即^AB-n=15,.-.n=5,

；F(m,5)在y=-3x+15上，

，5=-3m+15,解得小=£,

得'5)，

将A(-1,O),F(35)代入Y=ax+c,解得a=g,c=g,

.•直线I的解析式为y=*+H；'1

⑸.•线段PQ将APBC分成面积比为1:3的两部分，

...迎£=域加£=3.

SpQB3SpQB

设点P坐标为(xp,yp),

若SPQC_i.:PQ%P_i

SpQB3'|PQ-(XB-XP)3'

即上==J,解得Xp=1

Xp—Xp35—Xp34

此时点p的坐标为(I，爱)；

②若警=3,1广3,

SPQB^PQ\XB-Xp)

即六=3,含=3,解得和=*

此时点p的坐标为四噜).

综上所述，点P的坐标为弓芍)或r

三阶综合强化练

1.解:⑴A(-3,O),B(1,O)；

⑵由⑴得,A(-3,O),B(1,O),

，AB=4,抛物线的对称轴为直线x=-l,

如解图①，设抛物线的对称轴与x轴交于点H,则点H的坐标为(-1,0),

..AH=BH=2,

由翻折的性质得A，B=AB=4,

..在RfA'BH中，

AH=]A'B2-BH2=2V3,

1,点D在x轴下方，

第1题解图①

.•・4(­1，-2何

•••tanZABA=—BH=V3,

.•.zABA'=60°z

由翻折的性质得NABD=ZABD=^ZABA=30。，

.：DH=BH.^ABD=2^=^,

•••点D的坐标为(_"第；

(3)【思路点拨】观察发现分割后的两个三角形共底，想到利用高相等，进而作垂线构造全等

三角形.

如解图②，连接AC,BP交于点Q过点A作AELBP于点E,过点C作CDBP于点F.连接AP,P

C,BC.

BP平分四边形ABCP的面积，

SABP=SBCP，

ii

：.-BP-AE=-BP-CF

22t

.•.AE=CFZ

且NEQA=NFQC,

zAEQ=zCFQ=90°,

.“AEQ学CFQ(AAS),「.AQ=CQ,

二点Q为线段AC的中点,..•・Q(-1，|).

又「BQ,。),.•.直线BQ的解析式为y=-|x+|.

1•点P为直线BQ与抛物线的交点，

，令|x+|=-x2-2x+3,解得=苫，久2=1(舍去).

:.点P的坐标为Y,H).

2.解：(1)抛物线的解析式为y=2久+3；

⑵由⑴得y=-%2-2x+3=-(x+1)2+4,将抛物线向右平移m个单位，

.­■平移后的抛物线解析式为y=-(x+l-m)^+4,

••・平移后的抛物线与AABP只有一个公共点，

二平移后的抛物线经过点B,

把B(0,3)代入彳导3=-(l-my+4,

解得=2,m2=0(舍去)，

•.m的值为2；

(3)【思路点拨】设出点Q的坐标，可以先计算出AABP的面积，由SABQ=2S.P，结合所设点Q的坐标利用三

角形面积公式列方程求解.

存在.设点Q的坐标为(a--a2-2a+3),

分两种情况：①如解图①，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD±x轴于点D,过点Q作QElly轴交直线AB

于点E,

E(a)a+3),QE=a+3—(—a/—2a+3^=a2+3a,

=XAX-

••・SABP=SAP。+S^B~SAOB2

PDO

(-3)]+—x(3+4)x1——x3x3=3,

^ABQ=2SABP=6,

SABQ=SBEQ—SAEQ--QE0(%-4)—£QE.

222

(xA—xE)=|(a+3a)X(—a)—|(a+3a)X(—3-a)=|(a+3a)x3=6,

解得观=-4,a2=1(舍去),.0(-4,-5);

图①图②

第2题解图

②如解图②，当Q在对称轴右侧，连接BQ,过点P作PD，x轴于点D,过点Q作QElly轴交直线AB于点

E,同理可得Q(l,0).

综上所述，点Q的坐标为(-4,-5)或(1,0).

3.解：(1)抛物线的解析式为y=：/+?久一g；

⑵「AABD为等腰直角三角形，如解图①，过点D作DG±x轴于点G,则DG=AG=GB,

二点D的坐标为(-2,-3),

过点P作PM_Lx轴交于点M,

.“EPMSAEDG,

PM_EP

"DG~ED'

•.PD=2PE,

.■.PM=1,

，点P的纵坐标为-L

代入二次函数解析式可得次+£%—§=T，解得x=芍农，

又•••点P在直线AC的下方，

二点P的坐标为(专包一1);

⑶存在，

设点P的坐标为(放孤2+蓑根一番，

•.A(-5,0),D(-2,-3),C(0,-2g

可得直线AD的解析式为y=-x-5,

直线CD的解析式为y=—芸，

ioy

如解图②，③，过点P作PH±x轴,交直线AD于点H,交直线CD于点N,连接PA,PC,

二点H的坐标为(m,-m-5),点N的坐标为(.看