2025年中考数学一轮复习：线段与角（解析版）

考点一线段与角

知识点整合

一、直线、射线、线段

1.直线的性质

(1)两条直线相交，只有一个交点；

(2)经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；

(3)直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线.

2.线段的性质

两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离.

3.线段的中点性质

若C是线段中点，贝!]AC=8C=LA&AB=2AC=2.BC.

2

4.两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交.

5.垂线的性质

(1)两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一

条直线叫做另一条直线的垂线；

(2)①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的

所有线段中，垂线段最短.

6.点到直线的距离

从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离.

二、角

1.角

有公共端点的两条射线组成的图形.

2.角平分线

(1)定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线

(2)性质：若。C是NAOB的平分线，则=ZA0B=2ZA0C

2

=2ZB0C.

3.度、分、秒的运算方法

1°=60\1'=60",1°=3600\

1周角=2平角=4直角=360°.

4.余角和补角

（1）余角：/1+/2=90。。/1与/2互为余角；

（2）补角：/1+/2=180。=/1与N2互为补角.

（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.

5.方向角和方位角

在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）

多少度或西偏北（南）多少度.当方向角在45。方向上时，又常常说成东南、东北、西南、

西北方向.

考向一直线、射线、线段

在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确

解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的

问题可设未知数，利用方程解决.

典例引领

1.直线A8,8C,C4的位置关系如图所示，则下列语句不正确的是（）

A.点A在直线AC上B.直线AB,5C,CA两两相交

C.点A是直线钻,AC的交点D.直线BC经过点A

【答案】D

【分析】本题主要考查点与直线的位置关系，根据直线与点的位置关系即可求解.

【详解】解：A.点A在直线AC上是正确的，故选项A不符合题意；

B.直线AB,8C,CA两两相交是正确的，故选项B不符合题意；

C.点A是直线AC,A3的交点，故选项C不符合题意；

D.直线BC不经过点A,故选项D符合题意，

故答选：D.

2.已知点A、B、C、。是同一条直线上依次排列的四个不同的点，那么到点A、B、C、D

的距离之和最小的点（）

A.只有线段AZ）的中点B.只有点8或点C

C.是直线AD外一点D.有无数个

【答案】D

【分析】本题考查点到直线的距离，具体到本题则为线段的性质，即两点之间线段距离最

短即可求解，根据题意可知，点到四个点的距离的和最小的点有无数多个.

【详解】解：由两点之间线段最短可知，到4B、C、。的距离之和最小的点有无数多

个，但此点在直线上.

故选：D.

3.如图，点C为线段上一点，若山?=7,BC=3,则AC=（）

।।I

ACB

A.10B.7C.5D.4

【答案】D

【分析】本题主要考查了线段的和差.熟练掌握线段的和差计算，是解决问题的关键.

根据线段A8是由AC与BC组成求解即可.

【详解】回点C在线段上，AB=7,BC=3,

故选：D.

变式拓展

4.如图，线段AB=3a,点尸是线段A3上一点，且=。是线段AB上一点，且

AQ-PQ=BQ,则PQ-.AB的值是.

III

APB

【答案】I

【分析】本题考查线段的〃等分点的有关计算，线段的和与差.利用数形结合思想是解题

的关键.由题意求得AP=2a,3P.根据线段的和与差，计算出PQ的长，作比即可.

【详解】AB=3a,AP=2BP,AP+BP=AB=3a,

AP=7.a,BP=a,

如图所示，

IIII

AQPB

AQ-PQ=BQ,AQ=AP-PQ,BQ=BP+PQ,

:.AP-PQ-PQ=BP+PQ,gp3PQ=AP-BP=a,

团PQ——ci,

PQ:AB=-a:3a=L

39

故答案为：--

三、解答题

5.请根据要求作图:

⑴在图中作线段3GCD；

（2）在图中作射线ZM；

⑶在图中取一点P,使点P到AB,C,D四个点的距离之和最小.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

⑶见解析

【分析】本题考查了直线，射线，线段的作图，以及两点之间线段最短，熟练掌握线段的

性质是解答本题的关键.

（1）根据线段的特征作图即可；

（2）根据射线的特征作图即可；

（2）根据两点之间线段最短解答即可.

【详解】(1)如图，线段8C,CD为所作;

(2)如图，射线DA为所作；

(3)如图，点P为所作.

6.【问题探究】

(1)如图，点C,。均在线段A8上且点C在点O左侧，^AC=BD,CD=6cm,

AB=9cm,则线段AC的长为_cm.

I______I__________________________I_______I

ACDB

【方法迁移】

(2)已知点C,。均在线段AB上，^AC=BD,CD=acm,AB^bcm(b>a),则线段

AC的长为_cm.(用含a,6的代数式表示)

【学以致用】

(3)已知七年级某班共有〃?人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数

有〃人(〃<机)，其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女

生是女生总人数的：，求机与〃的数量关系.小聪同学在思考这个问题时联想到了上面的

几何问题，并将这个实际问题转化为几何模型来解决，请你建立这个几何模型并求解.

(建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义)

【答案】(1)1.5；(2)-；(3)画出线段图见解析，m=|«.

22

【分析】此题考查了线段和差，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键.

(1)利用线段和差即可求解；

(2)利用线段和差即可求解；

(3)根据题意画出线段图即可求解；

【详解】(1)解：0AB=9cm,CD-6cm,AC=BD,

EAC=BD=1.5cm,

故答案为：1.5；

(2)0AC=BD,CD=acm,AB=bcm,

0AC=BD=———cm,

2

故答案为：b；■

(3)如图，

।।।।i

ACDEB

AB表示七年级某班人数，

AD表示七年级某班男生人数，

8。表示七年级某班女生人数，

AC表示参加围棋课的男生，

CO表示未参加围棋课的男生，

£>E表示未参加围棋课的女生，

BE表示参加围棋课的女生，

设CD=x,DE=y,则AC=2x,BE=2y,

团选择围棋课的人数有“人，

YI

团AC+3£=〃，BP2x+2y=n,角犁得：x+y=—,

团AB=AC+CD+DE+BE=3(%+y),

3

回机=一〃.

2

考向二角

1.角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已

知角平分.

2.类似地，也有角的〃等分线，如三等分线，如图，N1=N2=N3=JNAO。或NA0Q=3N

3

1=3Z2=3Z3.

典例引领

1.如图，甲从A点出发向北偏西55。方向走到点8,乙从点A出发向南偏西25。方向走到

点C,则NBAC的度数是()

北

【答案】C

【分析】本题主要考查了方位角，根据方位角的描述进行求解即可.

【详解】解：回甲从A点出发向北偏西55。方向走到点8,乙从点A出发向南偏西25。方向

走到点C,

团ZBAC=180°-55°-25°=100°,

故选：C.

2.M,N,P,Q,。五点在平面上的位置如图所示，则位于点。南偏西10。方向上的点是

()

北

M

30y

I40°\、

!。

。南

A.点、MB.点NC.点尸D.点。

【答案】C

【分析】本题主要考查了方位角.根据方向角的定义解答即可.

【详解】解：A、点M在点。北偏东30。方向上，故本选项不符合题意；

B、点N在点。北偏西65。方向上，故本选项不符合题意；

C、点P在点。南偏西90。-80。=10。方向上，故本选项符合题意；

D、点。在点。南偏东40。方向上，故本选项不符合题意；

故选：C

3.某人下午6点多外出时，看手表两指针的夹角为110。，下午7点前回家发现两指针的

夹角仍为110°，则他外出的时间为()

A.30ininB.35minC.40minD.45min

【答案】C

【分析】本题考查钟面角，一元一次方程的实际应用.根据分针每分钟走6度，时针每分

钟走0.5度；设他外出的时间为尤分钟，则这段时间分针走的角度是6x,时针走的角度是

0.5x；由于外出时，根据题意，得到分针走的角度=110度+110度+时针走的角度.列出方

程进行求解即可.

【详解】解：设他外出的时间为尤分钟，由题意，得：6x=110+110+0.5x,

解得：x=40.

答；他外出的时间是40分钟.

故选：C.

4.将一副三角尺按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中N1的大小为

()

A.100°B.105°C.110°D.120°

【答案】B

【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得N3=N2=30。，根据

Zl=180°-Z3-450即可求解.

【详解】解：如图所示：

由题意得：/3=/2=30。

0Z1=18O°-Z3-45°=105°

故选：B

5.一副三角板按如图所示的方式摆放，则N1的补角的度数为（）

A.135°B.145°C.155°D.165°

【答案】D

【分析】本题主要考查利用三角板求度数、补角的定义等知识点，熟记各个三角板的角的

度数是解题的关键.

先根据直角三角板的度数求得4=15。，然后再求N1补角即可.

【详解】解：由图形可得：4=60。-45。=15。，

回N1的补角的度数为：180°-15°=165°.

故选：D.

变式拓展

6.比较大小：3.15°3015,（填"或"="）

【答案】＜

【分析】本题主要考查角度的大小比较，熟练掌握度分秒的换算是解题的关键.

将3.15。换算成度分秒的形式，即可比较大小.

【详解】解：3.15。=3。9',

.•.3.15°=3°9'＜3°15'.

故答案为：＜.

7.已知一个角的补角为148。36'26",则这个角的余角为.

【答案】58。36'26〃

【分析】本题考查余角和补角的概念以及角的运算，互余的两个角和为90度，互补的两个

角和为180度，由此可解.

【详解】解：一个角的补角为148。36'26〃，

这个角为：180°-148°36'26"=31°23'34",

这个角的余角为：90°-31°23'34"=28。36'26〃,

故答案为：58。36'26".

8.如图，/403是一个平角，/30。=41。43',0£平分一99。，则NAOE=.

【答案】159。8'30"

【分析】本题考查平角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，先根据平角为180度计

算出/AOC,再根据角平分线的定义求出NCOE,最后根据NAOE=4OC+NCOE计算

即可得出答案.

【详解】解：403是一个平角，ZBOC=41°43,,

ZAOC=ZAOB-NBOC=180°—41。43'=138°17',

OE平分/BOC,

ZCOE=-NBOC」x41。43,=20°5V30",

22

NAOE=NAOC+NCOE=138°17'+20°51'30"=159°8'30",

故答案为：159。8'30".

三、解答题

9.如图1,点。为直线AB上一点，过点。作射线OC,OM,ON,ON始终在O河的右

番用图

(1)如图1,当媛=70。，平分/3OC时，求NNO3的度数；

⑵如图2,当OM与OB边重合，QV在的下方时，47=80°,将NMON绕。点按每秒4。

的速度沿逆时针方向旋转〃(。°<n<180°),使射线ON与NBOC的角平分线形成夹角为

30。，求此时旋转一共用了多少秒；

⑶当NMON在直线AB上方时，若&=90。，点F在射线上，射线O尸绕点。顺时针旋

转”度(0。<“<180。)，恰好使得NFQ4=2NAOM,OH平分NNOC,NFOH=124。,请

直接写出此时"的值.

【答案】①14。

(2)26.5s或41.5s

⑶54.4°或144。

【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射

线QV的位置不确定，进行分类讨论是解题关键.

(1)由角平分线的性质可得NMO3的度数，再根据NNOB=NMON-可得结论；

(2)需要分两种情况进行讨论，①当点N'在O"的右侧时；②当点N'在砥的左侧时，

画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可；

(3)根据题意分两种情况，当0°<“<90°和90°<〃<180°时，画出图形，根据角度的和

差运算进行计算即可.

【详解】(1)解：ZBOC=112°,3/平分/3OC,

ZMOB=-ZBOC=56°,

2

ZMON=q0。，

ZNOB=ZMON-ZMOB=14°；

(2)解：由(1)知，ZHOB=-ZCOB=56°,设旋转时间为、，

2

①当点N'在OH的右侧时，NHON'=30°,

ZN'OB=56°-30°=26°,

ZNON'=ZN'OB+ZBON=26°+80°=106°；

.」=106°+4°=26.5；

V

cII

Nf

②当点N'在OH的左侧时，N"ON〃=30。，

:"N'OB=56°-30°=26°,ZNONn=ANnOH+/HOB+/BON=30°+56°+80。=166°

/.r=166°-4°=41.5；

综上，旋转一共用了26.5s或41.5s；

(3)解：〃为54.4。或144。.

.\ZAOF=180o-n,

ZFOA=2ZAOM,

ZAOM=-ZAOF=90。」〃,

22

/MON=90。,

/.ZAOM+ZBON=90°,

/.ZBON=-n,

2

31

/HON=ZHOF-/BON-ZBOF=124°一一n,ZCON=ZBOC-/BON=112°--n,

22

OH平分/CON,

:"CON=2/HON,

•••112°-r=<124°-r

解得〃=54.4。；

.\ZAOF=1800-nf

ZFOA=2ZAOM,

ZAOM=-ZAOF=90°--n,

22

NMON=90°,

ZAOM+ZBON=90°,

/.ZBON=-n,

2

13

:"HON=360°-/HOF-ZBON-ZBOF=360°-124°——n-n=236°一一n,

22

/CON=ZBOC-/BON=112°--n,

2

OH平分/CON,

:"CON=2/HON,

H2。—/=21236。—,

解得〃=144。；

综上，〃为54.4。或144。.

10.已知NCOD在/AQ3的内部，ZAOB=150°fZCOD=20°.

⑴如图1,求NAOD+N30c的度数；

(2)如图2,平分/3OC,ON平分ZAOD,求NMON的大小；

⑶如图3,若NAOC=30。，射线0C绕点。以每秒10。的速度顺时针旋转，与射线03重

合后停止；同时射线0。以每秒30。的速度绕点。顺时针旋转并与射线OC同时停止.设射

线。O,OC运动的时间是r秒，当NCOD=120。时，求出f的值.

【答案】⑴170。

(2)65°

⑶当/=5或/=11时，ZCOZ)=120°.

【分析】此题考查了角的动态定义，角平分线的计算，解题的关键是掌握相关概念，能用

含/的代数式表示旋转角的度数.

(1)由NAOD+NBOC可化为ZAOB+NCOZ),计算即可；

(2)根据角平分线的定义得到NAON=g/AOD,ZBOM=-ZBOC,进而得到

22

ZMON=ZAOB-(ZAON+NBOM),计算可得；

(3)先求解0VCW12,再根据射线的运动可知，需要分两种情况；分别画出图形列方程解

答.

【详解】(1)解：aZAOB=150°,ZCOD=20°,

EZAOD+NBOC=ZAOD+(ZCOD+ZBOD)

=ZAOB+ZCOD

=150°+20°

=170°；

(2)EIQV平分NAOD,OU平分/BOC,

11

EZAON=-ZAOD,NBOM=-NBOC,

22

E乙AON+ZBOM=1(ZAOD+ZBOC),

=1x170°=85°,

2

团ZMON=ZAOB-(ZAON+ZBOM)=150°-85°=65°；

(3)0ZAOB=15O°,ZAOC=30°,

0NBOC=150°-30°=120°,

EI0</<12；

①如图：

SZDOD'=30t°,ZCOC'=10t°,而NC'OZ)'=120°,

El30/+20-10/=120,

解得：/=5；

②如图:

回NCOC'=10产，ZDOD'=360°-30t°,而NC'OD'=120°,

E1360-30r+10r-20=120,

解得：”11；

综上：当f=5或f=11时，ZCOD=120°.

11.已知NAOB=120。，射线OC在NAO3的内部，射线。河是NAOC靠近Q4的三等分

线，射线ON是NBOC靠近的三等分线.

(1)若OC平分NAOB,求AMON的度数；

⑵小明说：当射线OC绕点。在/A03的内部旋转时，NMON的度数始终保持不变，你

认为小明的说法是否正确？说明理由；

⑶若。M、ON、OA、08中有两条直线互相垂直，请直接写出NAOC所有可能的值.

【答案】(1)80。

⑵正确，理由见解析

⑶30。或90。

【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差.

(1)根据角平分线得到ZAOC=ZBOC=60。，再根据三等分线可得/MOC和NNOC的度

数，最后利用NMON=/MOC+NNOC可得答案；

(2)正确，按照(1)的思路计算即可；

(3)分Q4LON和两种情况，再利用角的和差计算即可.

【详解】(1)回乙4。层120°,0C平分，A。？，

EZAOC=ZBOC=-ZAOB=-xl20°=60°,

22

回射线OM是ZXOC靠近OA的三等分线，射线ON是NBOC靠近0B的三等分线，

22

团ZMOC=-ZAOC=-x60。=40°,

33

22

ZNOC=-ZBOC=-x60°=40°,

33

团ZMON=ZMOC+ZNOC=40°+40°=80°；

(2)小明是说法正确，

团射线OM是ZAOC靠近OA的三等分线，射线ON是NBOC靠近OB的三等分线，

2