2025年新高考数学一轮复习：新情景、新定义下的立体几何问题（六大题型）（学生版+解析）

拔高点突破04新情景、新定义下的立体几何问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：曲率问题...............................................................2

题型二：斜坐标系与定义新运算...................................................3

题型三：定义新概念.............................................................4

题型四：空间平面方程与直线方程.................................................5

题型五：三面角问题.............................................................6

题型六：数学文化...............................................................8

03过关测试....................................................................10

亡法牯自与.柒年

//\\

面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确

解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在

解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间

直角坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化

求解对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未

来遇到类似问题时能够迅速应对。

题型一：曲率问题

【典例1-1]（2024•黑龙江大庆•模拟预测）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，

在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差（多

面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率

等于该多面体各项点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是所以正四面体

7r

在每个顶点的曲率为如-3x§=7t,故其总曲率为4兀.已知多面体的顶点数匕棱数E,面数尸满足

【典例1-2】阅读数学材料：“设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点尸处的离散曲率为

1一尸Q+NQPQ+NQ尸2+aP。），其中2。=1，2，，k,左23）为多面体/

的所有与点P相邻的顶点，且平面Q/Q,平面QP2，…，平面。1尸以和平面&尸。为多面体〃的所

有以尸为公共点的面已知在直四棱柱ABC。-ABG2中，底面A3。为菱形(角的运算均采

用弧度制)

(1)若AC=%>,求四棱柱ABCD-4瓦£2在顶点A处的离散曲率；

(2)若四棱柱ABC。-A4G2在顶点A处的离散曲率为:，求BC］与平面ACQ的夹角的正弦值；

、.7

⑶截取四面体4-A3。，若该四面体在点4处的离散曲率为五，AG与平面4友)交于点G,证明：

AG_1

而I

【变式1-1】设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点尸处的离散曲率为

l-^-(ZQlPQ^+ZQ2PQ3++ZQklPQk+ZQkPQl),其中。，(z=l,2,k,k>3)为多面体M的所

271

有与点尸相邻的顶点，且平面。|尸。2,平面。2尸。3，…，平面以T尸以和平面以尸。为多面体M的所有以尸

为公共点的面.已知在直四棱柱ABC。-ABG2中，底面ABCD为菱形，且A4,=AB=1.

(1)求直四棱柱ABC。-AACR在各个顶点的离散曲率之和；

(2)若直四棱柱ABC。-4汨2在点A处的离散曲率为无，直四棱柱ABCD-AB^D,体积为,求函数

y=〃”的解析式及单调区间.

题型二：斜坐标系与定义新运算

【典例2-1］(多选题)设。尤,Oy,Oz是空间中两两夹角均为的三条数轴，与e；,e；分别是与

x，y，z轴正方向同向的单位向量，若。尸=彳4+”;2+zq(x,y,zeR),则把有序数对(x,y,z)@叫作向量0尸在

坐标系。孙z中的坐标，则下列结论正确的是()

A.若向量4=(—1,3,—7%,向量4=(3,—2,4%,则£+1=(2,1,3%

B.若向量0=(2,6,-3%,向量6=(3,-1,0%,贝|］心6=0

22

TT

c.若向量a=(x,y,O)〃向量b=(l,2,0%,则当且仅当x：>=1：2时，0=-

o

D.若向量°A=(1，°，°)E，向量°3=(°，1，%,向量℃=(°，°，%,则二面角O-AB-C的余弦值为:

3333

【典例2-2】(2024•高三•上海徐汇•期末)已知。=(%,%,4),5=(x2,y?,z2),c=(x3,y3,z3),定义一

种运算：(。、6>。=无[乃23+尤2%Z1+X3ylz2-XJ3Z2-尤2ylz3-尤3%Z1,已知四棱锥尸一ABCD中，底面ABCD

是一个平行四边形，AB=(2,-1,4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,1)

(1)试计算(ABxAD).AP的绝对值的值，并求证PA_L面ABC。；

(2)求四棱锥P-ABCD的体积，说明(ABxADAAP的绝对值的值与四棱锥尸-ABCD体积的关系，并由

此猜想向量这一运算(ABxADYAP的绝对值的几何意义.

【变式2-1］已知a=a，M，zJ,b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算：

(ax6).c=X1%Z3+%为4+x3yxz2-xxy3z2-x2ytz3-x3y2z},在平行六面体ABCD-AqGR中，AB=(1,1,0),

AZ)=(0,2,2),知=(1,-1,1).

(1)证明：平行六面体ABCD-A与GR是直四棱柱；

(2)计算|(ABXAD)-AA|,并求该平行六面体的体积，说明|(ABXAO).AA|的值与平行六面体

ABCD-ASGR体积的关系.

题型三：定义新概念

【典例3-1](2024•全国•模拟预测)若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本

量”.已知长方体A8CZ)-A瓦GQ,下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是()

A.AB】,AC,Aj的长度

B.AC,B.D,的长度

C.gC,\D,BR的长度

D.AC,,BD,CG的长度

【典例3-2】(2024•河南•二模)等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方

体的体积为12,则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（）

A.3B.4C.6D.8

【变式3-1]（2024•青海•模拟预测）如图，在正方体ABC。-A4Goi中，£,F,M,N,G,"分

别为棱AB,BC,AD,CD,A耳，GA的中点，。为。”的中点，连接E”,FG.对于空间任意两点

I,J,若线段〃上不存在也在线段石〃，万G上的点，则称/,J两点“可视”，则与点与“可视”的点为

C.MD.N

【变式3-2]（2024•安徽合肥•三模）几何中常用表示图的测度，当乙为曲线、平面图形和空间几何体时,

|4分别对应其长度、面积和体积.在VABC中,AS=3,BC=4,AC=5,0为VA5C内部一动点（含边

界），在空间中，到点尸的距离为1的点的轨迹为L,则国等于（)

c22乃,C.争+12立各12

A.6万+12B.-----+6

3

题型四：空间平面方程与直线方程

【典例4-1】（1）在空间直角坐标系中，已知平面&的法向量&=（。,及c）（必cwO）,且平面a经过点

用（%,%,z。）,设点P（尤,y,z）是平面内a任意一点.求证：a（x-/）+b（y-y0）+c（z-z0）=0.

（2）我们称（1）中结论a（x-x（））+）（y-%）+c（z-Zo）=。为平面a的点法式方程，若平面a过点

（2,-1,4）,M2（-l,3,-2）,M3（0,2,3）,求平面a的点法式方程.

【典例4-2】空间直角坐标系。-孙z中，经过点P（%,%,Zo）,且法向量为加=（A,3,C）的平面方程为

A（x-xo）+fi（_y-yo）+C（z-zo）=O,经过点尸（%,为〜）且一个方向向量为〃=（〃,。,0）（〃口070）的直线/

的方程为三七=匕应=三为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面a的方程为

piVCO

3x-5y+z-7=0,经过（0,0,0）的直线/的方程为g,则直线/与平面。所成角的正弦值为（）

AVioRViorVionV5

A.-------B.-------C.-------U.

103557

【变式4-1］三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程.即过点P（%,%,z°）且一

个法向量为〃=（。力,c）的平面”的方程为a（x-Xo）+Ny-%）+c（z-Zo）=。，过点P（为,为/。）且方向向量为

尸（加祖）（相加NO）的直线/的方程为三”三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已

知平面a的方程为x-y+z+l=0,直线/是两个平面x-y+2=0与2x-z+l=0的交线，则直线/与平面a所

成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了.谁知“诸葛亮”很快就算出了答案.请问答案

是—.

【变式4-2］在空间直角坐标系中，定义：平面a的一般方程为

品+为+。2+。=0（4,8,。,£>€民42+32+。270）,点p（M，yo，Zo）到平面a的距离

I+By+Cz°+D\

d」/,n,,，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心。到侧面的距离等于—.

VA2+B2+C2

题型五：三面角问题

【典例5-1】类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1,由射线E4,PB,

PC构成的三面角「一ABC,ZAPC=a,NBPC=/3,ZAPB=y,二面角A-PC—3的大小为夕，贝ij

cosy=cosacos£+sinasin/3cos0.

（1）当a、/时，证明以上三面角余弦定理;

（2）如图2,平行六面体ABCO-ABC2中，平面44CCL平面A5C。，幺47=60。，4c=45。,

①求NAAB的余弦值；

②在直线CG上是否存在点P，使3尸〃平面D4tG?若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.

【典例5-21类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余

弦定理：如图1,由射线上4,PB,尸C构成的三面角P-ABC,记/APC=a,^BPC=p,NAPB=y,

二面角A—PC—3的大小为e,则cos/=cosacos£+sinesin尸cos。.如图2,四棱柱ABC£>-44Cq中,

ABCD为菱形，ZR4D=60°,AA±=2V3,AB=2,且A点在底面ABC。内的射影为AC的中点。.

⑴求cos/AAB的值；

TT7T

(2)直线AA与平面ABC。内任意一条直线夹角为。，证明：

(3)过点8作平面〃，使平面〃〃平面AG。，且与直线CG相交于点P,若C』=4GC,求几值.

【变式5-1](2024•高三•河北•期末)由空间一点。出发不共面的三条射线。4,OB,OC及相邻两射

线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为O-ABC.其中0叫做三面角的顶点，面AO3,BOC,COA

叫做三面角的面，ZAOB,ZBOC,NAOC叫做三面角的三个面角，分别记为夕，Y,二面角

A-OB-C,B-OA-C,A-OC-3叫做三面角的二面角，设二面角A-OC-3的平面角大小为x,则一

定成立的是()

COS6T-COS^COS/cosa+COS尸cos/

A.cosx=----------------------B.cosx二--------------

sin6sin/sin/?siny

sin6z-sin^sinysin6z+sin/?sin/

C.cosx=--------------------D.cosx=--------------------

cos尸cos/cos/?cos/

题型六：数学文化

【典例6-1】我国南北朝时期的著名数学家祖瞄原提出了祖眶原理：“幕势既同，则积不容异.”意思是，夹

在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这

两个几何体的体积相等.运用祖晅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，

与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底

面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个

1117

截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即万％=7R2.R-］万氏5/=§》&.现将椭圆

22

土+匕=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖啪原理可求得其体积

49

图1图2图3

A.32兀B.24万C.18〃D.16%

【典例6-2】胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰・泰勒孙/”,1781-1846）在其

《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例［上］5“L618,泰勒还引用了古

希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，若/=改,

则由勾股定理，as^s2-a2,ipf-T---l=O,因此可求得士为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856

\nJaa

英尺的正方形（2。=856）,顶点P的投影在底面中心0,H为3C中点，根据以上信息，P”的长度（单位:

英尺）约为（）.

p

A.611.6B.481.4C.692.5D.512.4

【变式6-1］球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题,

其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心

的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A,B,C,过任意两点的大圆

上的劣弧A3，BC，C4所组成的图形称为球面VA5C,记其面积为%面9BC.易知：球的任意两个大圆均

可交于一对对径点，如图1的A和A；若球面上A,B,C的对径点分别为A,e，C,则球面AB'C

与球面VABC全等.如图2,己知球。的半径为R,圆弧和AC所在平面交成的锐二面角3-AO-C的大

小为a,圆弧BA和BC所在平面、圆弧CA和所在平面交成的锐二面角的大小分别为夕，7.记

7171

(1)请写出S(i),S,S的值，并猜测函数5（a）的表达式;

(2)求S球面a.(用a,p,y,R表示).

【变式6-2】球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球。的半径为R.A、B、C

为球面上三点，劣弧BC的弧长记为。，设表示以。为圆心，且过3、C的圆，同理，圆。3,2的劣弧

AC、AB的弧长分别记为6,c,曲面48c（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角

C-OA-B,A-OB-C,B-OC-A^\^ja,p,y,则球面三角形的面积为S球面.弱0=（/+,+7一冷尺？.

（1）若平面。48、平面。AC、平面03c两两垂直，求球面三角形A8C的面积；

（2）若平面三角形A8C为直角三角形，AC±BC,设NAOC=%NBOC=a，/AOB=%.贝I：

①求证：COS0J+COS02-COS03=1；

②延长AO与球。交于点。，若直线ZM,DC与平面ABC所成的角分别为:5，BE=2BD,2e（O,l],S

为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为仇求sin8的最小值，及此时平面AEC截球

。的面积.

0

过关测试

1.设4、P八…、匕为平面a内的〃个点，在平面。内的所有点中，若点尸到片、P2...匕点的距离

之和最小，则称点尸为片、2.........2点的一个“中位点”，有下列命题：①A、B、C三个点共线，C在

线段A3上，则C是A、B、C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；

③若四个点A、8、C、。共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的

唯一中位点；其中的真命题是（）

A.②④B.①②C.①④D.①③④

2.（多选题）（2024•江西•三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球。

的半径为R,A,B,C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为。，设Q表示以。为圆心，且过8,C的圆，

同理，圆0”。0的劣弧AC,48的弧长分别记为瓦c,曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a=b=c,

则称其为曲面等边三角形，线段OB,OC与曲面VABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球

面。―ABC.设Z8OC=cr,NAOC=",NAaB=7,则下列结论正确的是（）

A.若平面VABC是面积为且火2的等边三角形，则，=〃=。=K

4

B.a2+b2=c2,贝!J/+尸2=,2

C.若a=b=c=3R,则球面O—ABC的体积v＞正R3

312

JT

D.若平面VABC为直角三角形，MZACB=p则/+加=/

3.（多选题）设尸为多面体/的一个顶点，定义多面体/在点尸处的离散曲率为

1一;（NQPQ2+NQ，P03++NQJ尸以+NQ/Q），其中Q,（i=l，2,一.,左次23）为多面体〃的所有与点

271

尸相邻的顶点，且平面QZ2,平面&尸0，，平面以一,2和平面以尸2为多面体/的所有以尸为公共

点的面.已知在直四棱柱ABC。-A4CB中，四边形ABC。为菱形，AAl=AB,则下列说法正确的是（）

A.四棱柱ABCD-AACR在其各顶点处的离散曲率都相等

B.若AC=3D,则四棱柱在顶点A处的离散曲率为:

7

c.若四面体AA5O在点4处的离散曲率为F，则AG，平面A3。

D.若四棱柱4BCD-A瓦G2在顶点A处的离散曲率为g,则直线BG与平面ACC1所成的角的正弦值

为叵

4

4.（多选题）所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四

边形，其体积是将上下底面面积、中截面（与上下底面距离相等的截面）面积的4倍都相加再乘以高（上下底

面的距离）的），在拟柱体A4G2-482G中，平面4与GR〃平面A,B2C2,E,F,G,H分别是

0

44,3也,。6，〃4的中点，。为四边形EFGHr内一点，设四边形A8CR的面积Sr.482G的面积为§2,面

EFGH截得拟柱体的截面积为S,平面481GA与平面482a的距离为/?,下列说法中正确的有（）

A.直线4A与巴瓦是异面直线

B.四边形4GB2G的面积是一员FG的面积的4倍

C.挖去四棱锥。-A用G2与三棱锥。-4约，2后，拟柱体剩余部分的体积为;2

D.拟柱体4耳C2-4B2c2的体积为:〃6+S2+S）

yvj

5.（多选题）如果一个凸〃面体共有机个面是直角三角形，那么我们称这个凸〃面体的直度为一，则

n

（）

A.三棱锥的直度的最大值为1

B.直度为一的三棱锥只有一种

4

C.四棱锥的直度的最大值为1

4

D.四棱锥的直度的最大值为方

6.（多选题）（2024•安徽滁州•模拟预测）阅读数学材料：“设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体

M在点P处的离散曲率为1一二（/。1尸。2十/。2尸。3+…+/2/以+/4P。1），其中21=1,2,…儿上23）

为多面体M的所有与点尸相邻的顶点，且平面平面2尸。3，…，平面Qi尸以和平面2尸2为多

面体”的所有以尸为公共点的面•”解答问题：已知在直四棱柱ABCD-中，底面ABC。为菱形，

AA=AB,则下列说法正确的是（）

A.四棱柱AG在其各顶点处的离散曲率都相等

B.若AC=3D,则四棱柱AG在顶点A处的离散曲率为:

C.若四面体AABD在点儿处的离散曲率为A，则平面45。

D.若四棱柱AG在顶点A处的离散曲率为则BG与平面ACG的夹角为1

7.（多选题）（2024•全国•模拟预测）设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率

为i--J-（ze,pa+ZQ2PQ3+…+NQk-FQk+/QkPQj，其中Q（i=L2,…/发23）为多面体”的所有与点

P相邻的顶点，且平面Q/2,平面&P03,…，平面尸以和平面QjQl为多面体M的所有以P为公共

点的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，AAI=AB,则下列结论正确的是（

A.直四棱柱A5CD-A瓦GR在其各顶点处的离散曲率都相等

B.若AC=9，则直四棱柱ABCD-A与G2在顶点A处的离散曲率为l

2

C.若AB=BD,则直四棱柱ABC。-A耳GR在顶点A处的离散曲率为：

7

D.若四面体AABD在点A处的离散曲率为石，则AG，平面48。

8.将（2〃+D（〃eN*）个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱

的中点重合.设最下方正方体的下底面A3CD的中心为0,过。的直线/与平面ABC。垂直，以0为顶点，/

为对称轴的抛物线y=tu2(OVy«〃+l)可以被完全放入立体图形中.若”=1,则。的最小值为；若。

有解，则〃的最大值为.

9.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体〃在点尸处的离散曲率为:

1一4(/。尸3+/。,尸。3++NQk.FQk+NQkPQ)，其中2(i=i，2,…，k,k>3)为多面体〃的所

171

有与点p相邻的顶点，且平面9尸&,平面。2尸。3,…，平面以-PQ*和平面以尸。1遍历多面体/的所有

以尸为公共点的面.

(1)任取正四面体的一个顶点，在该点处的离散曲率为—；

(2)已知长方体ABCR-ABCD,AB=BC=1,44]=走，点P为底面A4GR内的一个动点，则四

2

棱锥尸一ABC。在点P处的离散曲率的最小值为.

10.(2024•高三•云南保山•期末)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空

间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于27r与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多

面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的

曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是三，所以正四面体在每个顶点的曲率为

27T-3x|=7I,故其总曲率为47r.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为,四棱锥的总曲率

为.

11.18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体Q的统

一体积公式卜=J〃(L+4M+N)(其中分别为。的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，

我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为R,可得该球的体积为

23

V=-x2/?(0+4x7t/?+0)=-7r7?;已知正四棱锥的底面边长为。，高为/z,可得该正四棱锥的体积为

2

V=^xh0+4x^jj+a类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球。的表面积为36Tlem之，

若用距离球心。都为1cm的两个平行平面去截球0,则夹在这两个平行平面之间的几何体。的体积为

12.设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点尸处的离散曲率为

1（NQPQ?+ZQ2PQ3+ZQklPQk+N&PQJ,其中Q（i=1,2,•，左，左23,左eN）为多面体M的所有

与点尸相邻的顶点，且平面2/Q，平面QPQ”…，平面Qi尸以和平面以尸。为多面体M的所有以「

为公共点的面.已知在直四棱柱4BCD-A再G2中，底面ABC。为菱形，AAi=AB.

①直四棱柱ABC。-在其各顶点处的离散曲率都相等；

②若AC=BD,则直四棱柱ABCD-在顶点A处的离散曲率为:；

③若AB=BD,则直四棱柱ABCD-A耳G2在顶点A处的离散曲率为1;

④若四面体\ABD在点A处的离散曲率为点，贝IJAG1平面\BD.

上述说法正确的有—（填写序号）

13.（2024•江西南昌•三模）球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有

广泛的应用，如图，A,B,C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过

这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为由这三条劣弧围成的图形称为球面VABC.已知地

球半径为R,北极为点N,P,。是地球表面上的两点若P,。在赤道上，且|尸。=同，则球面△NPQ的

面积为—；若NP=PQ=QN=^R,则球面△NPQ的面积为一.

14.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内

容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差（多面体的

面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该

多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是:，所以正四面体在各顶

7T

点的曲率为271-3x1=71,故其总曲率为4兀，则四棱锥的总曲率为

15.（2024•山东日照•一模）若点M在平面。外，过点M作面a的垂线，则称垂足N为点M在平面。

内的正投影，记为N=L（M）.如图，在棱长为1的正方体A2CD-A5G2中，记平面ABC。为夕，平面

ABCD为7,点P是棱CG上一动点（与C,C不重合）弓=力［力（尸）］,2=力［力（尸）］.给出下列三个

结论：

①线段尸。2长度的取值范围是

②存在点p使得PQ//平面/;

③存在点尸使得尸QJP02；

其中正确结论的序号是—.

16.（2024•高三•浙江•开学考试）己知。是棱长为血的正四面体ABCD,设。的四个顶点到平面a的

距离所构成的集合为若河中元素的个数为％,则称a为。的上阶等距平面，M为。的左阶等距集.

（1）若a为。的1阶等距平面且1阶等距集为{a},求。的所有可能值以及相应的a的个数；

（2）已知£为。的4阶等距平面，且点A与点民C。分别位于p的两侧.若。的4阶等距集为也2b,3bAb},

其中点A到夕的距离为匕,求平面BCD与。夹角的余弦值.

17.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面a相

交，记交线为C,圆锥S的轴线/与平面a所成角。是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角。的一半,

为探究曲线C的形状，我们构建球T,使球T与圆锥S和平面a都相切，记球T与平面a的切点为F，直

线/与平面a交点为A,直线与圆锥S交点为。，圆锥S的母线OS与球T的切点为“卜a,

\MS\=b.

（1）求证：平面S04_L平面a,并指出a,b,。关系式;

⑵求证：曲线C是抛物线.

18.（2024•全国•模拟预测）峰房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截

去三个相等的三棱锥ABC,J-CDE,K-EFA,再分别以AC,CE,必为轴将AAC〃，ACE7,

AE4K分别向上翻转180。，使H,J,K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所

示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和,

而每一顶点的曲率规定等于2万减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内

角，用弧度制表示）.

图1

（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；

（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.

19.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为

1一工-（/。田。,+/。,尸。3++/0"巧2+/。"。|）,其中Qi（i=l,2,k,校3）为多面体M的所有

与点P相邻的顶点，且平面QPQ,平面Q2P0,…，平面Qk」PQk和平面QkPQi遍历多面体M的所有以

产为公共点的面.

图2

(1)如图1,已知长方体ABC。，AB=BC=\,AA.=^-,点尸为底面A/B/GG内的一个动

12

点，则求四棱锥P-ABC。在点尸处的离散曲率的最小值；

(2)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，

然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格.区域a和区域£中点的离散曲率的平均值更大

的是哪个区域？(确定“区域a”还是“区域£”)

20.(1)如图，对于任一给定的四面体A&A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面%,%,%,&4,

使得Aea,(z=l,2,3,4),且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

(2)给定依次排列的四个相互平行的平面%,%,%,«4,其中每相邻两个平面间的距离为1,若一个

正四面体A&A3A4的四个顶点满足：4eq(i=l,2,3,4),求该正四面体AAAA,的体积.

21.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离

散曲率为①，=](/QPQ,+NQ,PQ+••2。1尸2+/。*尸。3其中2。=1，2,…,仁％23)为多面体M的

2兀

所有与点尸相邻的顶点，且平面QZQ,平面Q/Q，…，平面以一/2和平面为多面体加的所有

以尸为公共点的面.

(1)求三棱锥p-ABC在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)如图，已知在三棱锥P-A5C中，R4,平面ABC,ACLBC,AC=BC,三棱锥尸-ABC在顶点C处

的离散曲率为;.

P

B

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；

②若点。在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值.

22.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设尸为多面体：T的一个顶点，定义多面体「在点尸处的离散

曲率为0户=1一1(/0/02+/。22。3++/&-/a+NQ/Q)，其中2G=1,2,•以女23)为多面体r的

Z71

所有与点尸相邻的顶点，且平面&尸2,平面&P03,…，平面以一丁以和平面以尸。为多面体：r的所有以

尸为公共点的面.

(1)求四棱锥S-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)如图，现已知四棱锥S-ABCD的底面A2CD是边长为2的菱形，且AC=2,顶点S在底面的射影。为

AC的中点.

①若OS=&+币,求该四棱锥在S处的离散曲率0s；

②若该四棱锥在S处的离散曲率0s=g，求直线OS与平面5AB所成角的正弦值.

s

拔高点突破04新情景、新定义下的立体几何问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：曲率问题...............................................................2

题型二：斜坐标系与定义新运算...................................................3

题型三：定义新概念.............................................................4

题型四：空间平面方程与直线方程.................................................5

题型五：三面角问题.............................................................6

题型六：数学文化...............................................................8

03过关测试....................................................................10

亡法牯自与.柒年

//\\

面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确

解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在

解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间

直角坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化

求解对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未

来遇到类似问题时能够迅速应对。

题型一：曲率问题

【典例1-1]（2024•黑龙江大庆•模拟预测）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，

在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差（多

面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率

等于该多面体各项点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是:，所以正四面体

7T

在每个顶点的曲率为271-3、鼻=兀，故其总曲率为4兀.己知多面体的顶点数V,棱数E,面数尸满足

【答案】C

【解析】设每个面记为“（左[1]]）边形,

则所有的面角和为Z(4—2)兀=兀Z4一2兀/二兀•2E-27iF=27i(E-F),

Z=1Z=1

根据定义可得该类多面体的总曲率2兀"2兀(石-尸)=27t(V-E+F)=4兀.

故选：C.

【典例1-2】阅读数学材料：“设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体/在点尸处的离散曲率为

1-(ZQPa+ZQ2PQ3+ZQ3PQ4++ZQk_lPQk+ZQkPQl),其中Q«=l,2,，k,左23)为多面体M

的所有与点p相邻的顶点，且平面QZQ,平面QP2,…，平面以一/2和平面2尸。为多面体M的所

有以尸为公共点的面己知在直四棱柱ABC。-A与G2中，底面ABCD为菱形.A4,=AB.(角的运算均采

用弧度制)

(1)若AC=3D,求四棱柱ABC。-在顶点A处的离散曲率；

(2)若四棱柱ABCD-A^QD,在顶点A处的离散曲率为g,求BQ与平面ACCt的夹角的正弦值；

⑶截取四面体A-A3。，若该四面体在点4处的离散曲率为，，AC1与平面交于点G,证明：

AG_1

而一§,

【解析】(1)若AC=5。，则菱形ABCD为正方形，即

因为明_L平面ABCD,AB,AOu平面ABC。，所以AA.1AD,

1I7T7T冗、I

所以直四棱柱ABCD-A与G2,在顶点A处的离散曲率为1-丁彳+7+彳=小

(2)因为明，平面A5cD,AB,ADu平面ABC。，所以明LABA^IAD,

直四棱柱ABCD-ABCQi在顶点A处的离散曲率为1-+W+=

2兀122)3

7T

则NDA8=§,即是等边三角形，

ABCD为菱形AC_L5D,又直四棱柱ABCD-AlBlClDl,

;.CG_L平面ABCD,50匚平面488,；9弓_13。，

又AC,CGu平面ACG,ACr>CCt=C:.BD1平面ACQ,

设ACBD=O,则/BC0即为DC与平面ACC1所成的角，

在iBCQ中，==BQ=^2BC=A/2AB,

sin/BCO=—=2丝=立,所以BC与平面ACC,的夹角的正弦值为叵.

'BQ及AB44

(3)在四面体A-A3。中AA.LAD,=AB=AD,

所以ZA41g=44。=（,AB=AO=及AB,

所以四面体4-48。在点4处的离散曲率为1-1（：+：+/网。

2兀144

所以N%O=g，所以，BAQ为等边三角形，所以及）=AO=0