2025年新高考数学一轮复习：圆的方程（八大题型）（练习）（学生版+解析）

第03讲圆的方程

目豪

01模拟基础练..................................................................2

题型一：求圆多种方程的形式.....................................................2

题型二：直线系方程和圆系方程...................................................2

题型三：与圆有关的轨迹问题.....................................................2

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件...............................3

题型五：点与圆的位置关系判断...................................................3

题型六：数形结合思想的应用.....................................................4

题型七：与圆有关的对称问题.....................................................4

题型八：圆过定点问题...........................................................5

02重难创新练..................................................................5

03真题实战练..................................................................7

题型一：求圆多种方程的形式

1.（2024•陕西榆林•二模）圆心在x轴的正半轴上，半径为8,且与直线4*-3、=。相切的圆的方程为.

2.（2024•全国•模拟预测）与直线x-y-1=0相切于点（2,1）的圆的方程为.（写出一个即可）

3.（2024•北京西城•二模）已知圆C经过点（-1,0）和（3,0）,且与直线y=2相切，则圆C的方程为.

4.（2024・四川成都•高三成都七中校考开学考试）已知4（-"。）,3（"0）（（0,3）,则ABC外接圆的方程

为（）

A.（x-l）2+y2=2B.（x-l）2+y2=4C.无？=2D.x2+（y-l）2=4

题型二：直线系方程和圆系方程

5.圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆尤2+丁+6工一4=0和彳2+丁+6、-28=0的交点的圆的方程为（）

A.x?+y2-x+7y-32=0B.x2+y2-%+7^-16=0

C.x2+y1—4x+4）?-9=0D.x2+y2-4x+4y-8=0

6.过圆d+y2-2y-4=0与尤2+丁-4》+2»=0的交点，且圆心在直线/：2x+4y-l=0上的圆的方程

是.

7.过两圆Y+y2-x-y-2=0与/+;/+好-4丫-8=0的交点和点（3,1）的圆的方程是.

题型三：与圆有关的轨迹问题

8.（2024.湖南长沙•一模）已知圆M:（x-4）2+y2=16,过点N（2,0）的直线/与圆/交于A,3两点，3是A3

的中点，则。点的轨迹方程为.

9.长为2a的线段A8的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则的中点P的轨迹方程为.

10.已知等腰三角形A8C的底边3c对应的顶点是4口,2）,底边的一个端点是3（3,5）,则底边另一个端点C

的轨迹方程是

11.由圆/+/=9外一点P（5/2）引圆的割线交圆于A8两点，求弦AB的中点比的轨迹方程.

12.已知RtABC的斜边为45,且4(-1,0),仅3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边8c的中点Af的轨迹方程.

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

13.(2024・高三•福建龙岩•期中)“方程£+/一4》+6丫+。=0表示的图形是圆”是“/_14440”的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.(2024.广东广州•三模)设甲：实数。＜3；乙：方程x2+y2-x+3y+a=0是圆，则甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.已知“〃区产是"/+»2+百工-6y+;〃=O”表示圆的必要不充分条件，则实数7的取值范围是(

A.(-l,+oo)B.[1,+co)C.D.(-co,-l)

题型五：点与圆的位置关系判断

16.若点4(0,1)在圆O：£+y2-2x+42y+2〃/-l=0外，则实数根的取值范围为()

A.B.(-2,0)

C.(-oo,-l)u^-1-,+coJD.(^O,-2)U(0,-KO)

17.(2024.甘肃定西.统考模拟预测)若点(2,1)在圆/+丫2-彳+丫+〃=0的外部，则。的取值范围是(

18.若点在圆.代+丁_2殴_4=0的内部，则。的取值范围是().

A.a>lB.O<6Z<1C.-l<a<—D.a<1

5

19.(多选题)(2024.广西模拟预测)若点尸(1,0)在圆。：/+丁+2尤-”+加=0的外部，则加的取值可

能为()

A.-3B.1C.4D.7

题型六：数形结合思想的应用

20.若直线/：履-y+2-2%=。与曲线C：>=曰二百有两个不同的交点，则实数上的取值范围是.

21.直线y=x+b与曲线y=l有两个不同的交点，则实数b的取值范围是()

A.^1—2-\/2,1+2-72)B.(1-2^\—1]

C.b1,1+2夜)D.[3,1+2A/2)

22.(2024.吉林白山.统考二模)若过点P(2,4)且斜率为左的直线/与曲线>=在二/有且只有一个交点，

则实数上的值不可能是()

344

A.-B.-C.-D.2

453

题型七：与圆有关的对称问题

23.若曲线(％-iy+(y-2)2=4上相异两点尸、。关于直线"7-2=0对称，则Z的值为()

A.1B.2C.3D.4

24.已知圆Af：d+(y+ij=i与圆N：(%-2/+(y-3『=1关于直线/对称，则/的方程为()

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.x+2y-3=0D.2x+y-3=0

25.已知圆f+y2+2x—4y+l=0关于直线x—y+/=0对称，则实数/=()

A.-3B.1C.-1D.3

26.圆M:(犬-2)2+(y-1>=1与圆N关于直线x-y=0对称，则圆N的方程为()

A.(x+l)2+(y+2)2=lB.(x-2)2+(j+l)2=l

C.(x+2)2+(y+1)2=]D.(x—I)2+(y—2)2=1

题型八：圆过定点问题

27.对任意实数加，圆了2+、2一3小一6叫；+9切-2=0恒过定点，则定点坐标为

28.点尸（x,y）是直线2x+y-5=0上任意一点，O是坐标原点，则以。尸为直径的圆经过定点（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

29.已知二次函数/（x）=x2+2x+6（xeR）的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C,

则圆。经过定点的坐标为（其坐标与b无关）

1.（2024・广东珠海•一模）已知点4（-1,0）,8（0,3）,点尸是圆（x-3y+y2=i上任意一点，贝|面积

的最小值为（）

A.6B.-C,-D.6--

222

2.（2024•山东济南三模）圆（尤-l）2+（y+l）2=4上的点到直线3x+4y-14=0的距离的最大值为（）

A.3B.4C.5D.9

3.（2024•广东佛山•模拟预测）已知点尸在圆C:（x-2）2+（y-3）2=l上运动，点A（-2,0）,则AC2P的取

值范围为（）

A.[20,30]B.（20,30）C.[20,25]D.（20,25）

4.（2024•陕西商洛三模汨知尸（%,%）是圆C：/+V-2x-2y+1=0上任意一点，则注的最大值为（）

A.-2B.--C.-4一币D.-4+4

233

5.（2024・四川雅安・三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通

径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆（x-2）z+（y+l）2=4的一条直径

与抛物线f=2py（p>0）的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则。=（）

A.-B.1C.2D.4

2

6.（2024・陕西榆林•模拟预测）己知3（-2,0）,C（6,-2）,点尸是圆+V=i上的一点，则

0+陷「十忸的最小值为（）

A.3近+37B.49-673

C.3省+37D.49-6收

7.（2024•山西晋中•模拟预测）已知直线/：V=x与圆「：（％-2左y+（丫-左+1）2=1,下列说法正确的是（）

A.所有圆「均不经过点（1,1）B.若「关于/对称，则后=-2

C.若/与「相交于A3且|A3|=&,贝殊=-2D.存在与％轴和y轴均相切的圆「

8.（2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测）己知抛物线G：/=2px（p>0）,其焦点厂到准线的距离为2,过焦点P

且斜率大于0的直线/交抛物线于A3两点，以为直径的圆C?与准线相切于点。（-1,2）,则圆购的标准

方程为（）

A.（x-3）2+（y-2）2=16B.（x-2）2+（y-3）2=16

C.（x-3）2+（y-2）2=8D.（x-2）2+（y-3）2=8

9.（多选题）（2024•河南.模拟预测）己知复数z=4+3i,z?=-4-3i,则下列说法正确的是（）

A.Z[N=_7

B.若|z—a=3,则24同48

C.^\z-z,\=\z-z2\,则|z-l|的最小值为q

D.若|z-Z|+3i|+|z-z「3i|=16,则复数z在复平面内所对应的点的轨迹方程为三+二=1

6448

10.（多选题）（2024•江西宜春•三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼

斯圆的定义：在平面内，已知两定点A,8之间的距离为。（非零常数），动点〃到A,8的距离之比为常

数几（2>0,且"1）,则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知A（T,0）,3（2,0）,

点/满足|肱4|=2|九机|,则下列说法正确的是（）

A.AA/B面积的最大值为12B.MA.MB的最大值为72

C.若。（8,8）,贝”加川+2也。]的最小值为10D.当点M不在x轴上时，M。始终平分NAAZB

11.（多选题）（2024.贵州遵义•二模）已知平面内曲线C：2（/+V）=|x|+|y|+l,下列结论正确的是（）

A.曲线C关于原点对称

B.曲线C所围成图形的面积为。兀

O

C.曲线C上任意两点同距离的最大值为巫业1

2

D.若直线好履-祁>0）与曲线C交于不同的四点，则

12.（2024・陕西榆林•三模）在VABC中，BC=3,AC=2AB,则VABC面积的最大值为.

13.（2024•内蒙古呼和浩特.二模）点2（1,-。）关于直线了-y=0的对称点在圆（》-2）2+（丫-4）2=13内，则

实数。的取值范围是.

14.（2024.上海.模拟预测）平面点集｛（尤,V）I（x-cos0）2+（y-sin。）？=9超eR）所构成区域的面积为.

15.（2024・湖南邵阳•三模）写出满足“点（3,-2）在圆V+f-2x+4y+m=0外部”的一个加的值：加=.

16.（2024.辽宁沈阳•模拟预测）设A,3是半径为3的球体O表面上两定点，且ZAOB=60。，球体。表

面上动点尸满足|R4|=2|PB|,则点尸的轨迹长度为.

1.（2023年高考全国乙卷数学真题）设。为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（%"）|14尤2+：/44｝内随机

取一点，记该点为4则直线的倾斜角不大于J的概率为（）

4

A.—B.—C.-D.一

8642

2.（2007年普通高等学校招生考试数学试题（福建卷））以双曲线――产=2的右焦点为圆心，且与其右

准线相切的圆的方程是（）

A.M+y2-4%-3=0B.兀2+y2-4x+3=0

C.x2+y?+4x—5=0D.x2++4-x+5=0

3.（2004年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷ni））圆（x-2『+y2=4过点P（l,g）的切线方程是

（）

A.x+'j3y—2=0B.x+\/3y—4=0

C.x—\/3y+4=0D.x—y/3y+2=0

4.（2001年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷））过点A（l,T）,3（-1,1）,且圆心在直线x+y-2=0

上的圆的方程是（）

A.（%-l）2+（y-l）2=4B.（x+3）2+（y-l）2=4

C.（x-3）2+（y+l）2=4D.（x+l）2+（y+l）2=4

5.（2006年普通高等学校招生考试数学试题（重庆卷））以点（2,-1）为圆心且与直线3尤-4y+5=0相切的

圆的方程是

A.(x-2)2+(y+l)2=3B.(x+2)2+(j-l)2=3

C.(x-2)2+(y+l)2=9D.(x+2)2+(y-l)2=9

6.(2004年普通高等学校招生考试数学试题(全国卷IV))已知圆C的半径为2,圆心在工轴的正半轴上，

直线3x+4y+4=0与圆c相切，则圆C的方程为

A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0

C.X2+/+2X-3=0D.x2+y2-4x=0

7.(2004年普通高等学校招生考试数学试题(北京卷))圆必+(y+1)2=1的圆心坐标是,如

果直线x+〉+a=0与该圆有公共点，那么实数。的取值范围是.

8.(2004年普通高等学校招生考试数学试题(上海卷))圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于

40,T),8(0,-2)两点，则圆C的一般方程为.

9.(2019年浙江省高考数学试卷)已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2x-y+3=。与圆相

切于点4(一2,-1),则加=，r=

第03讲圆的方程

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：求圆多种方程的形式.....................................................2

题型二：直线系方程和圆系方程...................................................2

题型三：与圆有关的轨迹问题.....................................................2

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件...............................3

题型五：点与圆的位置关系判断...................................................3

题型六：数形结合思想的应用.....................................................4

题型七：与圆有关的对称问题.....................................................4

题型八：圆过定点问题...........................................................5

02重难创新练..................................................................5

03真题实战练..................................................................7

题型一：求圆多种方程的形式

1.（2024.陕西榆林.二模）圆心在龙轴的正半轴上，半径为8,且与直线以-3»=0相切的圆的方程为.

【答案】（x-10）2+y2=64

【解析】根据题意，设圆心为坐标为（4,0）（。＞0）

因为圆的半径为8,且与直线4x-3y=0相切，

14al।I

则圆心到直线4x-3y=0的距离，=8n4G=40,

A/42+32

解得。=10或。=一10（舍），则圆的坐标为（10,。），

所求圆的方程为（x-10）2+V=64

故答案为：（X-10）2+/=64

2.（2024・全国.模拟预测）与直线无相切于点（2,1）的圆的方程为.（写出一个即可）

【答案】（X-1）2+（J-2）2=2（答案不唯一，只要满足（＞%）2+（丫+%一3）2=2（/-2）2即可，其中方为圆

心的横坐标，且无0中2）

【解析】设所求圆的圆心坐标为■，%）（%N2）,

贝1]^~4=T，即%=一与+3，

玉）一,

所以满足条件的圆的方程为+（y+%-3）2=2&-2）2,

故只要满足（尤一%）2+（y+尤。-3）2=2（%—2）2（无。关2）即可,

取马=1,可得圆的方程为（x-1）?+（y-2）2=2.

故答案为：（x-iy+（y-2）2=2（答案不唯一）

3.（2024•北京西城・二模）已知圆C经过点（-1,0）和（3,0）,且与直线y=2相切，则圆C的方程为.

【答案】（x-l）2+V=4

【解析】设圆C的方程为（x-4+（y-b）2=/什＞0）,

(-l-a)2+(O-Z))2=r2卜=1

则由题意可得(3-。)2+(0-»2=产,解得，b=0,

|2-/>|=rr=2

所以圆C的方程为(x-l)2+y2=4

故答案为：(X—1)2+/=4

4.(2024四川成都•高三成都七中校考开学考试)己知A(-g,0),8(&0),C(0,3),则ABC外接圆的方程

为()

A.(X-1)2+/=2B.(x-l)2+y2=4C.x2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4

【答案】A

【解析】设BBC外接圆的方程为(尤-4+(y-b)-=r2

(―—+(。-6)=f2a=0

则有(6-。)2+(0-5)2=产,解之得6=1

(0-a)2+(3-6『=产[r=2

则—ABC外接圆的方程为V+(y-以=4

故选：D

题型二：直线系方程和圆系方程

5.圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆尤2+丁+6工一4二=0和炉+/+6、-28=0的交点的圆的方程为(

A.x2+y—x+1y—32=0B.x2+y2-九+7y-16=0

C.x2+y2-4x+4y-9=0D.x2+y2-4x+4y-8=0

【答案】A

【解析】由题可先设出圆系方程：X2+/+6X-4+/(X2+y2+6y-28)=0,

则圆心坐标为；[,

11+/L1+A/

□3夕

又圆心在直线_4=0上，可得_+_4=0,解得A=-7,

1+21+2

所以圆的方程为：+,2_X+7,-32=0,故A正确.

故选：A.

6.过圆兀2+>2—2y—4=0与+>2-4x+2y=0的交点,且圆心在直线/：2x+4y-1=0上的圆的方程

是

【答案】x2+y2-3x+y-l=0

【解析】设圆的方程为d+丁—4x+2y+〃d+y2-2y—4）=0（2H—1）,

贝1」(1+小2一4%+(1+小2+(2—2》-44=0,

即+y2+7=0,所以圆心坐标为,

1+A1+A1+A<1+41+2J

把圆心坐标代入2x+4y-l=0,可得2=；,

所以所求圆的方程为f+产一3%+>-1=0.

故答案为：x2+y2-3x+y-l=0.

7.过两圆》2+丁-苫-丫-2=0与/+｝；2+4；(;一4>-8=0的交点和点(3,1)的圆的方程是.

1Q

【答案】X2+y2一~—x+y+2=0

【解析】设所求圆的方程为：(Y+9—%—y—2)+4(尤2+/+4尤—4)—8)=0

9

将(3,1)代入得：^=-1

13

二所求圆的方程为：Y+y2_^_x+y+2=0

13

本题正确结果：x2+y2-y^+y+2=0

题型三：与圆有关的轨迹问题

8.(2024.湖南长沙.一模)已知圆M:(x-4)2+y2=i6,过点N(2,0)的直线/与圆加交于A,8两点,。是A8

的中点，则。点的轨迹方程为.

【答案】(x-3,+y2=l

【解析】圆A7:(x-4)2+y2=16,

所以圆心为M(4,0),半径为4,设。(x,y),

由线段A8的中点为。，可得MDLDN,

即有MD-ND=(x_4,y>(x_2,y)=(x_4)(x_2)+yy=0,

即(X—3)2+y2=],

所以点。的轨迹是以(3,0)为圆心，1为半径的圆；

故答案为：(x-3y+y2=L

9.长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点尸的轨迹方程为.

【答案】%2+/=«2

【解析】由题意，可知CMJLO3,P为力B的中点，

得0P为定值。，则点P的轨迹方程为炉+>2=/,

故答案为：x1+y2=a2.

10.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A（4,2）,底边的一个端点是3（3,5）,则底边另一个端点

C的轨迹方程是

【答案】（苫-4）2+（k2）2=10（去掉（3,5）,（5,-1）两点）

【解析】设c（尤,y）,由题意知，|AB|=J（3_4『+（5-2）2=血,

因VA3C是以3c为底边的等腰三角形，于是有|CA|=|AB|=M，即点C的轨迹是以A为圆心，M为半

径的圆，

又点A,3,C构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点2（3,5）及点B关于点A对称的点（5,-1）,

所以点C的轨迹方程为（X-4）2+（y-2?=10（去掉（3,5）,（5,-1）两点）.

故答案为：（x-4）2+（y-2）2=10（去掉（3,5）,（5,-1）两点）

11.由圆尤2+y=9外一点p（5,12）引圆的割线交圆于AB两点，求弦A3的中点M的轨迹方程.

【解析】［方法一］:【通性通法】【最优解】直接法

设弦A8的中点/的坐标为“（X,y），连接OP、OM厕OM±AB.

在，OMP中,由勾股定理有/+V+a_5）2+（y-12）2=169,而M（x,y）在圆内，

所以弦AB的中点M的轨迹方程为/+y2-5x-12y=0（-3<x<3）.

［方法2］：定义法

因为M是AB的中点，所以，4?,所以点M的轨迹是以OP为直径的圆,圆心为l|,6；半径为卓=y,

所以该圆的方程为:Q-gj+⑶一6『=j,化简得V+V一5x-12y=0（-3<x<3）

［方法3］；交轨法

易知过P点的割线的斜率必然存在，设过P点的割线的斜率为k,

则过P点的割线方程为:y-12=左(尤-5).

1

・.•OM±AB且过原点,・•・OM的方程为y=-尸

K.

这两条直线的交点就是M点的轨迹.两方程相乘消去左，化简，得：/+/-5x-12y=0,

其中-3<x<3.

［方法4］：参数法

设过尸点的割线方程为:y-12=左(X-5),它与圆x2+y=9的两个交点为A、B,

A3的中点为Af,设M(x,y),A(%,%),8(%,%).

2k

由可得，（1+公）无2+24（12-5人口+（12-5々）2-9=0,所以，Xi+X2=-^~^,即有

k（12-5人）n-5k

X=-----------z--,尸7^，消去3

1+左2

可求得M点的轨迹方程为：x2+y2-5x-12y=0,-3<x<3.

［方法5］：点差法

设M（x,y）,A（Xj,%）,B（X2,%），则%+%=2尤,%+%=2y.

，•W+W=9,考+y；=9.两式相减，整理，得（马-1）（/+%）一（%-%）（%+%）=。.

所以之二&=-工±三=-2,即为AB的斜率，

%-网%+%y

而AB的斜率又可表示为^^工.32=--，化简并整理，得x2+y2-5x-12y=0.

5-x5-xy

其中-3<x<3.

12.已知RtABC的斜边为AB,且A(-L0),3(3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边8C的中点〃的轨迹方程.

【解析】(1)设C(x,y),因为A氏C三点不共线，所以y*0,

因为AC，3C,所以&c•原c=T，

又因为廉=告,噎=七'所以信.号=T，

整理得x2+y2-2x-3=0,即(X-1)2+V=4,

所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)?+/=4(yw0).

(2)设M(x,y),C(x(),%),

因为8(3,0),M是线段BC的中点，

由中点坐标公式得了=三川=%，，所以x°=2x-3,%=2y,

由(1)知，点C的轨迹方程为(x-l)2+y2=4(yw0),

将尤0=2尤一3,%=2y代入得(2元一4)2+(2"=4,即。/了+产=1

所以动点"的轨迹方程为(x-2y+y2=i(yW0).

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

13.(2024.高三.福建龙岩.期中)“方程Y+y2-4x+6y+a=0表示的图形是圆”是“/..VO”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由方程f+)/-4x+6y+a=0表示的图形是圆，

可得16+36—4。>0,

即a<13；

由/-144W0，

得一124aV12,

显然[-12,12]

所以“方程尤2+丫2_以+6尹4=0表示的图形是圆”是“/_14440”的必要不充分条件.

故选：B.

14.(2024・广东广州•三模)设甲：实数。<3；乙：方程/+>2一》+3、+。=0是圆，则甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

,5

【解析】若方程/+9一x+3y+a=0表示圆，贝！](-1)~+3。一4。=10-4°>0,解得：。</；

■.-a<3^,a<|=>a<3,,，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B.

15.已知“相孕”是“炉+)?+&-诟,+%=()”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围是()

A.(-1,4-00)B.[l,+oo)C.(-00,1)D.(-00,-1)

【答案】A

【解析】若表示圆，则(代产+(-诟)2-4加>0,

解得m<l.

“m<t”是“f+9+氐一而y+m=0”表示圆的必要不充分条件，

所以实数f的取值范围是口,口).

故选：B

题型五：点与圆的位置关系判断

16.若点4(0,1)在圆O：一+丁-21+4〃7y+2苏-1=0外，则实数机的取值范围为()

A.口T)B.(-2,0)

C.(一<»,T)u1-g,+oojD.(-co,-2)u(0,+co)

【答案】A

【解析】圆。化成标准方程为(x-11+(y+2㈤2=2/+2,

点4(0,1)在圆。外，则有(o-iy+(1+2m)2>2疗+2,

即2m2+4m>0>解得机<-2或/”>0.

故选：D.

17.(2024・甘肃定西•统考模拟预测)若点(2,1)在圆尤2+y2-x+y+a=。的外部，则。的取值范围是()

A.B.1一C.D.(-»,-4)UQ,+CO^

【答案】B

【角星析】依题意，方程+>2—%+)+。=0可以表示圆，贝|J(一])2+]2—4。>0,得〃<5；

由点(2,1)在圆％2+y2—x+y+〃=o的外部可知：22+12-2+1+«>0,得a>T.

故4一4/<a<一1.

2

故选：C

18.若点（。+1,。一1）在圆f+丁2一2”一4=0的内部，则。的取值范围是（）.

A.6Z>1B.0<<7<1C.—1<Q<—D.av1

5

【答案】A

【解析】由题可知，半径厂=J”?+4，所以aeR，把点1）代入方程，

贝1|（4+1）2+（。-1）2-2°（4-1）一4<0,解得a<1,所以故。的取值范围是a<1.

故选：D

19.（多选题）（2024广西模拟预测）若点P（l,0）在圆C:x2+V+2x-4y+%=0的外部，则加的取值可

能为（）

A.-3B.1C.4D.7

【答案】AC

【解析】由题设C:（x+l）2+（y-2）2=5-m,P（l,0）在圆外，

„.（1+1）+（0—2）->5—fllM，0r-

5-m>0

故选：BC

题型六：数形结合思想的应用

20.若直线/：丘->+2-2左=0与曲线C：>=有两个不同的交点，则实数上的取值范围是.

【答案】恒

【解析】由题意可得直线/："-y+2-2左=0即y=-2）+2,所以直线/恒过定点A（2,2）,曲线C：

—4"图象为以（。,0）为圆心,2为半径的上半圆（包含x轴部分），

它们的图象如图所示:

当直线/过点(-2,0)时，它们有两个交点，此时A=2_(_2)=5,

当直线/与上半部分圆相切时，有一个交点，此时左=0,

由图象可知，若直线/与曲线C有两个不同的交点，则。

即实数％的取值范围是.

故答案为：

21.直线y=x+8与曲线y=i一"Z?有两个不同的交点，则实数人的取值范围是()

A.^1—2-\/2,1+2-\/2)B.(1-2应1]

C.[-1,1+20)D.[3,1+2四)

【答案】A

【解析】由y=l-"^41可得y—1=-6^，整理可得Y+(y-l)2=4,其中y41,

所以，曲线y=l一”―/表示圆Y+(y_l『=4的下半圆,如下图所示：

当直线》=尤+6与曲线y=i_j4-d相切时,由图可知，b<0,

且有上皆=2,解得6=1-2四，

当直线y=x+6过点(0,T)时，则有6=-1,

由图可知，当1-2应＜64-1时，直线y=x+b与曲线y=l_j4_f有两个公共点,

故选：B.

22.(2024•吉林白山•统考二模)若过点P(2,4)且斜率为左的直线/与曲线yna3,有且只有一个交点，

则实数々的值不可能是()

344

A.—B.—C.—D.2

453

【答案】A

【解析】如图，

曲线y=7?二百即/+寸=4仃20)表示以。为圆心，2为半径的上半圆，

|-2左+4|33

因为直线1：y=k(x-2)+4即爪_y_2左+4=0与半圆相切，所以j"=2,解得左=疝.

因为P(2,4),A(-2,0),所以kPA=2%)=1,

又直线/与曲线y=6?有且只有一个交点，所以左＞原4或左=

所以实数上的取值范围是(L+勾。I;，

故选：B

题型七：与圆有关的对称问题

23.若曲线"-以+仃-2)2=4上相异两点尸、。关于直线近-〉-2=0对称，则上的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】若曲线(彳-1)2+(丁-2)2=4上相异两点尸、。关于直线"-y-2=0对称，

则圆心(L2)在直线射-y-2=0上，故代入解得上=4,

故选：D.

24.已知圆M：/+(,+1)2=i与圆N：(%-2『+(,-3『=1关于直线/对称，贝!J/的方程为(

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.x+2y-3=0D.2x+y—3=0

【答案】B

【解析】由题意得M(O,-1),N(2,3),则MN的中点的坐标为(U),

_3+1

=2.

直线MN的斜率-2^0

J

由圆Af与圆N关于/对称，得/的斜率勺—

^MN2,

因为肱V的中点在/上，所以>-1=-；(彳-1),即x+2y-3=0.

故选：C.

25.已知圆》2+_/+2*-4、+1=。关于直线x-y+f=O对称，则实数/=()

A.-3B.1C.-1D.3

【答案】A

【解析】由/+/+2x-4y+l=0得(x+l)2+(>-2)2=4,

则圆心坐标为(—1,2),又因为圆/+/+2工-4〉=0关于直线工一>+/=。对称，

故由圆的对称性可知：圆心(-1,2)在直线x-y+r=0上，

贝旷=y-x=2-(-1)=3.

故选：D.

26.圆M:(x-2)2+(y-l)2=l与圆N关于直线x-y=0对称，则圆N的方程为()

A.(尤+1)2+(>+2)2=1B.(x-2)2+(y+l)2=l

C.(x+2)2+(y+l)2=lD.(^-l)2+(y-2)2=1

【答案】A

【解析】圆M：(x-2>+(y_l)2=l的圆心为(2,1),半径为1,

(2,1)关于直线x-y=0的对称点是(1,2),

所以圆N的圆心是(1,2),半径是1,

所以圆N的方程为(x-l)2+(y-2)2=1.

故选:D

题型八：圆过定点问题

27.对任意实数机，圆V+_/-3”?x-6切+9MI-2=0恒过定点，则定点坐标为

£7

【答案】（1,1）或

5,5

【解析】无2+-3/HX-6"沙+9〃z-2=0,BPx2+y2-1-（3x+6y-9）m=0,

7

令4

解得j日，或-I

所以定点的坐标是（LI）或14•

故答案为：（L1）或

28.点P（x,y）是直线2x+y-5=0上任意一点,。是坐标原点，则以0P为直径的圆经过定点（）

A.（0,0）和（1』）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【答案】A

,则线段。尸的中点为等

【解析】设点尸。,5-2。

圆M的半径为=『+（：-2/）2=&-一”+25

2

所以，以OP为直径为圆的方程为卜-£|+［一三）=5t-20t+25

即尤2+,2_优+（2/•—5））=0,gp（x2+y2_5y）+，（2y-x）=0,

[2y-x=0x=2

解得。或

[x2+y1-5y=0ky=i

因此，以OP为直径的圆经过定点坐标为（0,0）、（2,1）.

故选：D.

29.已知二次函数/（犬）=*2+2犬+6（尤eR）的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C,

则圆C经过定点的坐标为（其坐标与人无关）

【答案】（0,1）和（一2,1）

【解析】二次函数〃尤）=*2+2彳+优彳€氏）的图像与坐标轴有三个不同的交点,记为加（孤