2025年新高考数学一轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系（八大题型）（讲义）（学生版+解析）

第08讲直线与圆锥曲线的位置关系

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：直线与圆锥曲线的位置判断..............................................4

知识点2：弦长公式..............................................................4

知识点3:点差法................................................................5

题型一：直线与圆锥曲线的位置关系...............................................6

题型二：求中点弦所在直线方程问题...............................................7

题型三：求弦中点的轨迹方程问题.................................................7

题型四：利用点差法解决对称问题.................................................8

题型五：利用点差法解决斜率之积问题............................................10

题型六：弦长问题..............................................................11

题型七：三角形面积问题........................................................13

题型八：四边形面积问题........................................................16

04真题练习•命题洞见............................................................18

05课本典例高考素材............................................................19

06易错分析•答题模板............................................................21

答题模板：求直线与圆锥曲线相交的弦长..........................................21

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

从近五年的全国卷的考查情况来看，本

2024年北京卷第13题,5分

节是高考的热点，特别是解答题中，更是经

2024年甲卷（理）第20题，12分

（1）直线与圆锥曲线的常出现.直线与圆锥曲线综合问题是高考的

2023年I卷第22题，12分

位置关系热点，涉及直线与圆锥曲线关系中的求弦

2023年H卷第21题，12分

（2）弦长问题长、面积及弦中点、定点、定值'参数取值

2023年甲卷（理）第20题，12分

（3）中点弦问题范围和最值等问题.多属于解答中的综合问

2022年I卷第21题，12分

题.近两年难度上有上升的趋势，但更趋于

2022年H卷第21题，12分

灵活.

复习目标：

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义'标准方程及简单几何性质.

（3）了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.

（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

直线与圆锥曲线

老占突曲・题理探密

-----H-H-c

知识JJ

知识点1:直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去M或y),得到关于y(或x)的一元二次方程，则

(1)直线与圆锥曲线相交QA>0；

(2)直线与圆锥曲线相切=A=0；

(3)直线与圆锥曲线相离=A<0.

【诊断自测】3.已知椭圆C：1^+q_=l,直线/:(〃z+2)x—(,〃+4)y+2-〃z=O(〃zeR),则直线/与椭圆

C的位置关系为()

A.相交B.相切C.相离D.不确定

知识点2：弦长公式

设M(玉，％),N(X[,%)根据两点距禺公式|肱V|=-々)-+(另一切)一-

(1)若M、N在直线、=衣+加上，代入化简，得|肱7|=，1+周飞_々|.

(2)若M、N所在直线方程为》=3+加，代入化简，得|MN|=7n不乂-刃

(3)构造直角三角形求解弦长，|MN|.其中女为直线A/N斜率，a为直线倾斜

|cosa||sina|

角.

【诊断自测】已知椭圆C：，/=lS>6>0)的离心率为e,且过点(Le)和与与.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C上有两个不同点A,B关于直线y=x+g对称，求|AB|.

知识点3：点差法

22b?x

（1）AB是椭圆3+方=l（a>6.0）的一条弦,中点“（“0，%），则舶的斜率为--二二

a%

运用点差法求AB的斜率；设A（p,y），笈（%2，、2）（玉工/），A，B都在椭圆上,

所以\b2，两式相减得式W+支？£=0

二五“b

L2廿一

所以（为+%）&-七）+（“+%）（%-%）=0

a2b2~

2

b（石+九2）Z?2x,b\

——n，故kAB

/（%+%）a%a2%

22

（2）运用类似的方法可以推出；若都是双曲线1r—齐=1（〃>反0）的弦，中点以沁,右）,则

kAB=~一；若曲线是抛物线必=2px（0>0）,贝!）的5=上_.

a%为

【诊断自测】以两条坐标轴为对称轴的椭圆C过点尸（0,1）和。（0，-啦），直线/与椭圆C相交于A8两点,

M为线段AB的中点.

⑴求椭圆C的方程；

（2）若点M的坐标为卜求直线/的方程;

题型一：直线与圆锥曲线的位置关系

【典例1-1]直线3x-2y+6=0与曲线T一型=1的公共点的个数是().

94

A.1B.2C.3D.4

22

【典例1-2】直线奴-y+l=O(左eR)与椭圆二+2L=1恒有公共点，则实数机的取值范围()

4m

A.(1,4]B.[1,4)C.[1,4)o(4,-HX.)D.(4,-HX))

【方法技巧】

(1)直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元

后得到一元二次方程，其中△>()；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通

过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.

(2)直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴

平行，或直线与圆锥曲线相切.

【变式1-1】已知抛物线方程产=4无，过点尸(0,2)的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有

()条

A.0B.1C.2D.3

【变式1-2]若直线人=依+2与曲线C：Y-黄=6(x>0)交于不同的两点，则上的取值范围是()

V15715^1r岳1

A.C.D.丁T

【变式1-3】已知直线/：>=-1+加与曲线C：y=；而二门恰有三个不同交点，则实数小的取值范围

是（）

A.（-A/2,0）U（0,>/2）B.[1,V2）C.（0,V2）D.（1,72）

22

【变式P(2。24广东肇庆.模拟预测)已知双曲线E：十》l,

公共点的直线共有()

A.4条B.3条C.2条D.1条

题型二：求中点弦所在直线方程问题

22

【典例2-1］若椭圆匕+土=1的弦AB恰好被点弦(1,1)平分，则A8的直线方程为______.

43

【典例2-2】己知玳2,1)为椭圆工+.=1内一点，经过户作一条弦，使此弦被尸点平分，则此弦所在

1612

的直线方程为.

【方法技巧】

点差法

【变式2-1】已知双曲线方程是一一二=1,过定点尸(2,1)作直线交双曲线于＜上两点，并使户为耳鸟

2

的中点，则此直线方程是.

【变式2-2】过点尸(2,2)作抛物线V=4x的弦A8,恰好被尸平分，则弦所在的直线方程是

【变式2-3】抛物线丁=2无的一条弦被A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是.

题型三：求弦中点的轨迹方程问题

【典例3-1】已知椭圆一+4y=16内有一点4(1,1),弦尸。过点A,则弦PQ中点M的轨迹方程是.

【典例3-2］斜率为2的平行直线截双曲线/-V=1所得弦的中点的轨迹方程是—.

【方法技巧］

点差法

【变式3-1】直线八5-y-(。+5)=0(。是参数)与抛物线/:y=(x+l?的相交弦是加，则弦AB的

中点轨迹方程是.

【变式3-2】已知椭圆亍+V=i.

(1)求过点尸且被P点平分的弦所在直线的方程；

(2)过点A/(2,l)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.

【变式3-3］已知椭圆彳+丁=1.

(1)过椭圆的左焦点F引椭圆的割线，求截得的弦的中点户的轨迹方程;

(2)求斜率为2的平行弦的中点。的轨迹方程；

⑶求过点M且被M平分的弦所在直线的方程.

【变式3-4】已知/为抛物线V=x的焦点，点A,3在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA.OB=2(其

中0为坐标原点).直线48在绕着定点转动的过程中，求弦48中点M的轨迹方程.

题型四：利用点差法解决对称问题

【典例4-1】已知”ZUR,在抛物线歹=4元上存在两个不同的点关于直线y=x+加对称，则”z的取值

范围是.

【典例4-2】已知双曲线C：—-^=1.

94

(1)若直线y=依与双曲线c有公共点，求实数上的取值范围;

(2)若直线/与双曲线C交于A,B两点，且A,8关于点。(一M)对称，求直线/的方程.

【方法技巧】

点差法

【变式4-1］(2024•江西南昌•模拟预测)已知点7(2,-2)在抛物线。：/=2内上，也在斜率为1的直

线/上.

(1)求抛物线C和直线/的方程；

(2)若点在抛物线C上，且关于直线/对称，求直线的方程.

22

【变式4-2］已知椭圆E:一+2=1(。>6>0)的焦距为2c,左右焦点分别为©、F2,圆

ab

E：(x+c)2+y2=i与圆片：(x_c)2+y2=9相交，且交点在椭圆E上，直线/：y=x+机与椭圆E交于A、B

两点，且线段的中点为直线。加的斜率为

⑴求椭圆E的方程；

(2)若加=1,试问E上是否存在P、。两点关于/对称，若存在，求出直线尸。的方程，若不存在，请说明

理由.

【变式4-3】已知O为坐标原点，点［半］在椭圆C：f1”>0)上，直线/：尸+根与C

交于A,8两点，且线段AB的中点为直线的斜率为-L

2

⑴求C的方程；

(2)若切=1,试问C上是否存在P,。两点关于/对称，若存在，求出P,。的坐标，若不存在，请说明理

由.

【变式4-4】双曲线C的离心率为好，且与椭圆1+亡=1有公共焦点.

294

(1)求双曲线C的方程.

(2)双曲线C上是否存在两点A,B关于点(4,1)对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，说

明理由.

题型五：利用点差法解决斜率之积问题

22

【典例5-1】（2024.陕西安康.模拟预测）己知椭圆C:=+==l（a>6>0）,过点时（如外）作倾斜角为

ab

ji]

7的直线与C交于A,B两点，当M为线段配的中点时，直线（0为坐标原点）的斜率为-屋则C的

离心率为（）

A.正B.-C.6D.逅

3333

【典例5-2】（2024•甘肃张掖・模拟预测）已知倾斜角为:的直线/与椭圆C:二+产=1交于两点，

44

户为加中点，0为坐标原点，则直线0P的斜率为（）

【方法技巧】

点差法

【变式5-1】椭圆的2+"=1与直线y=i_x交于M,N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的

斜率为"，则竺的值是（）

2n

A6R2A/3-9&N2A/3

23227

22

【变式5-2】已知点AB,C是离心率为2的双曲线「3-2=1（0>0,6>0）上的三点，直线

ab

A5,AC,5c的斜率分别是匕，七，七，点2E,尸分别是线段A3,AC,BC的中点，0为坐标原点，直线

111=

尸的斜率分别是片，自，勺，若厂+厂+7=5,则%+七+/=_.

。42I

【变式5-3］抛物线歹=2加（〃>0）的焦点为齐，过厂的直线与该抛物线交于不同的两点M、N,

若1MM=3",则线段MN的中点与原点连线的斜率为

22

【变式5-4】已知椭圆C:=+［=l（a>b>0）,。为坐标原点，直线/交椭圆于A,B两点，M为

ab

的中点.若直线/与0M的斜率之积为则C的离心率为（）

A,-B.立C.3D.逅

2233

题型六：弦长问题

【典例6-1］（2024•海南•模拟预测）已知双曲线=8>。）的实轴长为2正，点

ab

?（2,、后）在双曲线C上.

⑴求双曲线C的标准方程；

（2）过点P且斜率为2#的直线与双曲线C的另一个交点为0,求I尸Q|.

【典例6-2】（云南省2024届高三9月名校联考数学卷）动圆M经过原点，且与直线才=-2相切，记

圆心M的轨迹为C,直线y=与C交于A,3两点，则|"|=.

【方法技巧】

在弦长有关的问题中，一般有三类问题：

12

（1）弦长公式：|AB|=71+k|x；-x21=71+ky-|-

（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；

（3）涉及到面积的计算问题.

【变式6-1】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为歹卜6,0),长轴长为4.

⑴求椭圆C的方程；

⑵直线/：y=x-l与椭圆C交于不同两点P、Q,求弦长|尸2|.

【变式6-2］在平面直角坐标系xOy中，已知点耳卜百,0),乙=动点M的轨

迹为C.

⑴求C的方程；

⑵若直线/：y=-x+f交C于A3两点，且|朋=2而，求直线/的方程.

【变式6-3】已知抛物线y2=6x,过点A(4,l)作一条直线交抛物线于B,c两点，且点A为线段BC的

中点.

(1)求线段BC所在的直线方程.

⑵求线段BC的长.

【变式6-4］已知椭圆C：1+r=1(“>6>0)的离心率为6=2且椭圆经过点(2,—0).

(1)求椭圆C的方程；

⑵过椭圆C的左焦点与作斜率为1的直线/交椭圆于A、B两点，求|AB|.

【变式6-5］(2024•四川德阳•二模)已知直线〃z与椭圆C:工+2=1相切于点乂舟，直线㈤的斜率

43<2；

为;，设直线〃与椭圆分别交于点A、B(异于点P),与直线，”交于点Q.

(1)求直线机的方程：

(2)证明：|AQI,|PQI,|BQ|成等比数列

22

【变式6-6](2024•河南开封•二模)已知椭圆C:会+g=l(a>b>0)的左，右焦点分别为月，

上顶点为A,且近•五或=0.

(1)求C的离心率；

Q

(2)射线A片与C交于点3,且|阴=三，求叫的周长.

【变式6-7](2024•陕西宝鸡•二模)已知点8是圆C:(x-l>+y2=i6上的任意一点，点尸(-1,0),线

段BF的垂直平分线交3C于点P.

(1)求动点尸的轨迹E的方程；

(2)直线/：y=2x+m与E交于点M,N,且|MN卜丝渭，求根的值.

题型七：三角形面积问题

22

【典例7-1】(2024.高三.河南焦作・开学考试)已知椭圆C：下方=1(〃>0>0)的焦距为20，离心

率为孝.

(I)求C的标准方程；

⑵若A，|，。]，直线/：x="+|("0)交椭圆c于区尸两点，且△码的面积为半，求f的值.

【典例7-2】(2024.陕西渭南•模拟预测)已知抛物线C:y2=2px(2>0)的顶点在原点O,焦点坐标为

(1)求抛物线。的方程;

(2)若直线l-.x=ty+l与抛物线C交于尸,Q两点，求△OP。面积的最小值.

【方法技巧】

三角形的面积处理方法：sA=L底•高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高)

【变式7-1](2024•福建泉州•二模)已知椭圆C：4+/=im>6>0),离心率为当，点尸(T,正)在

ab22

椭圆c上.

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)若耳(-1,0),E(l,0),过工直线/交椭圆C于M、N两点，且直线/倾斜角为45。，求的面

积.

【变式7-2](2024•辽宁•模拟预测)点N(%,%)是曲线「:加+切2=1上任一点，已知曲线「在点

N(x(),%)处的切线方程为"°x+6%y=l.如图，点尸是椭圆C:£+y2=l上的动点，过点尸作椭圆C的切

线/交圆O:Y+y2=4于点A、B,过A、8作圆。的切线交于点

(1)求点M的轨迹方程；

(2)求QPM面积的最大值.

2

【变式7-3](2024・上海.二模)已知双曲线C:/一2r=

b

(I)若双曲线c的一条渐近线方程为y=2无，求双曲线c的标准方程；

(2)设双曲线C的左、右焦点分别为耳工，点P在双曲线C上，若尸乙，且AP招尸的面积为9,求

b的值.

【变式7-4](2024.全国•模拟预测)已知抛物线。：>2=2°联°>0)的焦点为尸，直线/：x=my+〃与C

交于A,8两点，且当切=2,〃=一1时，|AB|=4^后.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若AF工BF,求zXAB尸面积的最小值.

【变式7-5](2024.河南.三模)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在'轴的正半轴上，圆

尤2+(y-I)?=1经过抛物线C的焦点.

(1)求C的方程；

(2)若直线/:座+y-4=0与抛物线C相交于A,8两点，过A,8两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交

于点尸，求AABP面积的最小值.

题型八：四边形面积问题

【典例8-1】己知4(一2,0),在椭圆C：5+《=1(°>6>0)上，%用分别为C的左、右焦

k)ab

点.

(1)求a,6的值及C的离心率；

(2)若动点P,。均在C上，且P,。在x轴的两侧，求四边形P£。鸟的面积的取值范围.

【典例8-2】已知抛物线。：丁=2。%(。>0)的焦点为尸，抛物线C上的点A的横坐标为1,且|AF|=；

(1)求抛物线C的方程；

(2)过焦点/作两条相互垂直的直线(斜率均存在)，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形

MPNQ面积的最小值.

【方法技巧】

四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点(尤其是

有平行条件的时候)，可将面积的关系转化，降低计算量.特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角

线长度乘积的一半.

22

【变式8-1](2024•湖南.三模)已知椭圆工+匕=1,A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线

169

/:丫=丘+。(左>0)与椭圆交于口N两点，且M点位于第一象限.

(1)若人=0,证明：直线4〃和4N的斜率之积为定值；

3

(2)若k七,求四边形4WBN的面积的最大值.

4

一

【变式8-2](2024•江苏镇江•三模)如图,椭圆C：KF=1(。＞万＞0)的中心在原点O,右焦点尸,

椭圆与,轴交于两点、，椭圆离心率为咚,直线跖与椭圆C交于点闻

(1)求椭圆C的方程;

(2)尸是椭圆C弧加上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标.

【变式8-3]已知定点尸(6,0)，圆。：5+6)2+/=16,N为圆Q上的动点，线段NP的垂直平分线

和半径NQ相交于点M.

(1)求点M的轨迹「的方程；

⑵过尸的直线/与轨迹「交于A3两点，若点。满足诙=返+诬，求四边形面积的最大值.

【变式8-4］已知椭圆W：—+^-=1的长轴长为4,左、右顶点分别为A,B,经过点P(LO)的动

4mm

直线与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,2重合).

(1)求椭圆W的方程及离心率；

(2)求四边形ACBD面积的最大值；

【变式8-5】己知点尸(0,1),点3为直线y=-l上的动点，过点8作直线，=-1的垂线/,且线段FB

的中垂线与/交于点P.

(1)求点P的轨迹「的方程；

⑵设FB与x轴交于点V,直线P厂与「交于点G(异于P),求四边形31尸G面积的最小值.

2

1.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设A,B为双曲线--三=1上两点，下列四个点中，可为线段

中点的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1)

2.(2023年新课标全国II卷数学真题)已知椭圆C:1+y2=i的左、右焦点分别为匕，F2,直线

y=x+相与c交于A,B两点,若△月A3面积是面积的2倍，则优=().

A.工B.克C.一变D.二

3333

22

3.（2021年天津高考数学试题）己知双曲线二-斗=1（4>0,》>0）的右焦点与抛物线9=22以0>0）的焦

点重合，抛物线的准线交双曲线于A,B两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，若|CD|=夜|AB|.则双曲

线的离心率为（）

A.72B.bC.2D.3

4.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设8是椭圆C:]+V=i的上顶点，点尸在C上，则|理的最

大值为（）

5LL

A.—B.y/6C.垂D.2

5.（多选题）（2023年新课标全国H卷数学真题）设。为坐标原点，直线y=-百（x-1）过抛物线

C：V=2/（p>0）的焦点，且与C交于M,N两点，/为C的准线，贝U（）.

O

A.p=2B.|MAf|=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.AQW为等腰三角形

6.（多选题）（2022年新高考全国n卷数学真题）己知。为坐标原点，过抛物线0：;/=2.%（口〉0）焦点

厂的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限，点河（p,0）,若耳=|4M，则（）

A.直线A3的斜率为2"B.\OB\^\OF\

c.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<180°

1.已知抛物线的方程为J=4x,直线/绕点尸（-2,1）旋转，讨论直线/与抛物线J=4x的公共点个数，并

回答下列问题：

（1）画出图形表示直线/与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线/与抛物线只有一个公共点时是什

么情况？

（2）V=4x与直线/的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？

2.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点/作直线与抛物线交于A,8两点，以为直径画圆，观察它与抛物

线的准线/的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？

3.综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜.这种望远镜的特点是，镜筒

可以很短而观察天体运动又很清楚.例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，

其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜尸。卫弧所在的曲线为抛物线，另一

个反射镜”。2汽弧所在的曲线为双曲线的一个分支.已知居，骂是双曲线的两个焦点，其中歹2同时又是

抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm）,分别求抛物线和双曲线的方程.

4.在抛物线丁=以上求一点p,使得点P到直线y=x+3的距离最短.

5.设抛物线的顶点为O,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于瓦C两点，经过抛物线上一点尸且

垂直于轴的直线与轴交于点。.求证：IPQI是IBCI和|OQ|的比例中项.

6.如果直线＞=丘-1与双曲线尤2-丁=4没有公共点，求上的取值范围.

㈤6

/八易错分析」答题模属\\

答题模板：求直线与圆锥曲线相交的弦长

1、模板解决思路

首先，联立直线与圆锥曲线方程，消去一个变量得到关于另一个变量的二次方程。然后，利用韦达定

理求出交点横（纵）坐标和。最后，利用弦长公式（涉及两点间距离公式和根的判别式）求出弦长。

2、模板解决步骤

第一步：联立直线与圆锥曲线的方程，通过消元法得到一个关于x或y的二次方程。

第二步：利用二次方程的求根公式，求出交点的坐标和（利用韦达定理，即根与系数的关系）。

第三步：根据弦长公式，代入交点坐标和，求出弦长。

【经典例题1】已知双曲线C:1-y2=i,直线/：y=x+/w被C所截得的弦长为4«,贝打九=—.

22

【经典例题2］若直线y=x+l和椭圆工+匕=1交于A,8两点，则线段的长为—.

42―

第08讲直线与圆锥曲线的位置关系

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：直线与圆锥曲线的位置判断..............................................4

知识点2：弦长公式..............................................................4

知识点3:点差法................................................................5

题型一：直线与圆锥曲线的位置关系...............................................6

题型二：求中点弦所在直线方程问题...............................................7

题型三：求弦中点的轨迹方程问题.................................................7

题型四：利用点差法解决对称问题.................................................8

题型五：利用点差法解决斜率之积问题............................................10

题型六：弦长问题..............................................................11

题型七：三角形面积问题........................................................13

题型八：四边形面积问题........................................................16

04真题练习•命题洞见............................................................18

05课本典例高考素材............................................................19

06易错分析•答题模板............................................................21

答题模板：求直线与圆锥曲线相交的弦长..........................................21

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

从近五年的全国卷的考查情况来看，本

2024年北京卷第13题,5分

节是高考的热点，特别是解答题中，更是经

2024年甲卷（理）第20题，12分

（1）直线与圆锥曲线的常出现.直线与圆锥曲线综合问题是高考的

2023年I卷第22题，12分

位置关系热点，涉及直线与圆锥曲线关系中的求弦

2023年H卷第21题，12分

（2）弦长问题长、面积及弦中点、定点、定值'参数取值

2023年甲卷（理）第20题，12分

（3）中点弦问题范围和最值等问题.多属于解答中的综合问

2022年I卷第21题，12分

题.近两年难度上有上升的趋势，但更趋于

2022年H卷第21题，12分

灵活.

复习目标：

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义'标准方程及简单几何性质.

（3）了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.

（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

直线与圆锥曲线

考点突破■题型探究

知识固本

知识点1:直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去x（或y）,得到关于y（或尤）的一元二次方程，则

（1）直线与圆锥曲线相交QA>0;

（2）直线与圆锥曲线相切=A=0；

（3）直线与圆锥曲线相离=A<0.

22

【诊断自测】3.己知椭圆C啧+,=1,直线/:（m+2）x—（〃?+4）y+2—〃?=0（根eR）,则直线/与椭圆

C的位置关系为（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】D

【解析】对于直线/：（根+2）x-（m+4）y+2—根=。，整理得m（x-y-l）+2（x-2y+l）=0,

x-y-l=Ofx=3

,解得c

x-2y+l=Q卜=2

故直线/过定点A（3,2）.

=则点g2）在椭圆C的内部，

所以直线/与椭圆。相交.

故选：A.

知识点2：弦长公式

设%）,Ng,%）根据两点距离公式|MV|="（%了+（%-为产.

（1）若M、N在直线>=日+机上，代入化简，得|出|=/1+左2|&_%].

（2）若M、N所在直线方程为x=3+帆，代入化简，得|MV|=&+〃也一%|

（3）构造直角三角形求解弦长，I」％7".其中左为直线斜率，a为直线倾斜

|cosa||sina|

角.

【诊断自测】已知椭圆C:1+W=l（Qb>。）的离心率为e，且过点（10和.

Clu〈NN,

（1）求椭圆c的方程；

（2）若椭圆C上有两个不同点A,B关于直线>=尤+；对称，求|4却.

1e2_1c2_1a2-b2_1,,

【解析】（1）由题意知:V豆丁就丁^^=铲=1'2=1

（史丫（也）22

[Tj[T）13'••-a2=2）所以椭圆C:J+y2=l；

a2+1-2?+4-1

（2）法一设4（%,%）5（%2，%）及A5中点M（/o，%）,由题意知女一=T

]+犬=1,]+£=i，以上两式相减得：与看+犬―犬=（）,

可化为：一*=o即;+如■x&w=o,故如■=；,

2xf-xf2%与2

又・・加在直线y=%+g上，所以%=%+g,解得：/=T，%=一；

即加11,-直线"：、+；=-（x+1）,化简为：y=-x-|

3%+%=-2

y——x—

联立«2整理得：6/+12x+5=0由韦达定理知《5

%2+2/=2

由弦长公式得：AB=J1+左2|xj-X2|=后J（X]+%）2-4%%2=友j（-2『-4X.=2?.

法二设直线A3:y=-X+%,

y=—x+m,

联乂｛2c2c，整理得：3x2—4mx+2m2—2=0

[x+2/=2

W+%=等4桃，则中点MI2n7