高一数学讲义（人教A版2019）453函数模型的应用（五大题型）

4．5．3函数模型的应用目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 3题型一：一次函数与二次函数模型的应用 3题型二：分段函数模型的应用 6题型三：指数或对数函数模型的应用 9题型四：拟合函数模型的应用问题 11题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型 13

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、几种常见的函数模型1、一次函数模型：（，为常数，）2、二次函数模型：（为常数，）3、指数函数模型：（为常数，，且）4、对数函数模型：（为常数，，且）5、幂函数模型：（为常数，）6、分段函数模型：知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤1、解应用题的基本思想2、解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．上述四步可概括为以下流程：实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．知识点三、解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它．其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系．其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率．【典型例题】题型一：一次函数与二次函数模型的应用【典例11】（2024·高二·山东潍坊·期末）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（

）A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速【答案】C【解析】对于甲车，令，即解得（舍）或，所以甲未超速；对于甲车，令，即解得（舍）或，所以乙超速；故选:C.【典例12】（2024·辽宁大连·一模）一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t内的路程为米，那么，此人A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米【答案】D【解析】设人于x秒追上汽车，有，∵x无解，因此不能追上汽车，由二次函数的性质可知，，最近距离为7米，故选D．【方法技巧与总结】1、一次函数模型的应用利用一次函数求最值，常转化为求解不等式（或）．解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．2、二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．【变式11】（2024·高一·陕西西安·期中）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（元/件）与月销售量（件）之间的关系为，生产件的成本为若每月获得的利润不少于元，该厂的月销售量的不可能取值为（）A． B． C．. D．【答案】D【解析】设该厂月获得的利润为元，则.

由题意，，解得：，∴当月产量在至件（包括和）之间时，月获得的利润不少于元.故选：D.【变式12】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期中）“相约哈尔滨，逐梦亚冬会”．哈尔滨地铁3号线预计年底全线载客运营，届时，哈尔滨地铁1号线2号线3号线将形成“十字+环线”地铁线网，将为哈尔滨2025年第九届亚冬会的举办提供有力交通保障.通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，则当发车时间间隔为时，列车的载客量为（

）A．410 B．420 C．450 D．480【答案】C【解析】当时，载客量为，设，由题意可知，，解得，当时，，此时载客量为，故选：C.【变式13】（2024·高一·广东揭阳·阶段练习）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为万元.(1)写出与之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）；(3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，）【解析】（1）依题得：，（2）解不等式，得：，，，故从第3年开始盈利.（3）①，当且仅当时，即时等号成立，故第七年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元，②，当时，，故第十年，盈利额达到最大值，工厂获利万元，盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理.题型二：分段函数模型的应用【典例21】（2024·高一·广东潮州·期中）设某公司生产某商品所获利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本G（单位：万元）与产量x（单位：百台）的函数关系是；销售收入R（单位：万元）与产量x的函数关系式为．(1)将利润（单位：万元）表示为产量x的函数；（利润=销售收入生产成本）(2)当产量为何值时，公司所获利润最大？【解析】（1）依题意，．（2）时，，故当时，有最大值，而当时，是减函数，，所以当时，有最大值，所以，当产量为4百台时，公司所获利润最大．【典例22】（2024·高一·浙江·期中）某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：辆）满足函数：(1)将利润（单位：元）表示为月产量（单位：辆）的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）【解析】（1）由题可知总成本为，∴利润.（2）当，，∴当时，有最大值；当时，是减函数，∴.∴当时，有最大值，即当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为元.【方法技巧与总结】1、分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．2、分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．3、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．【变式21】（2024·高一·北京·期中）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；【答案】【解析】由题意，当时，；当时，.则机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式为：.故答案为：.【变式22】（2024·高一·北京丰台·期中）某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过台，每台售价为万元.每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为万元，每月生产台时需要投入的可变成本为（单位：万元），每月的利润为（单位：万元），其中利润是收入与成本之差．当每月产量不超过台时，；当每月产量超过台时，．假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄．(1)求关于的函数解析式；(2)如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）由题意知：，.（2）当时，为开口方向向下，对称轴为的抛物线，此时；当时，（当且仅当时取等号）；，该公司每月生产台电子设备可以使月利润最大，最大利润是万元.【变式23】（2024·高一·天津宁河·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为万元.【答案】1680【解析】由题意可得：当时，利润为，当时，，故；若，，由二次函数的性质可知，在上单调递增，在,上单调递减，所以当时，万元，②若，当且仅当时，即时，万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．故答案为：1680【变式24】（2024·高一·四川·阶段练习）某公司生产产品，每月的固定成本为10000元，每生产一件产品需要增加投入80元，该产品每月的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：.则该公司的月利润的最大值为元.【答案】57600【解析】该公司的月利润.故函数在上单调递增，在上单调递减，故，该公司的月利润的最大值为57600元.故答案为：57600.题型三：指数或对数函数模型的应用【典例31】（2024·高三·黑龙江佳木斯·开学考试）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过．年，其残留量为初始量的（参考数据：，）【答案】【解析】由题意知：当时，，；当时，，，.故答案为：.【典例32】（2024·高一·上海·随堂练习）《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”请你写出截取x次后，单位长度的木棰的剩余量y关于x的函数关系式是.【答案】，，且【解析】题干的意思是第二天取的长度是上一天的一半，所以符合指数函数模型，底数为12剩余量y关于x的函数关系式是,且,故答案为：,且.【方法技巧与总结】1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式．2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．【变式31】（2024·高一·全国·随堂练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是.【答案】32/【解析】当时，.故答案为：.【变式32】（2024·高一·上海·单元测试）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气剩余污染物数量P（mg/L）与过滤开始后的时间t（h）的关系为，其中为过滤开始时废气的污染物数量，k为常数，如果过滤开始后经过5个小时消除了10％的污染物，试求：(1)过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？(2)求污染物减少50％所需要的时间．【解析】（1）由可知，当时，；当时，，于是有，解得，那么，当时，，所以过滤开始后经过10个小时还剩的81％污染物．（2）当时，有，解得，所以污染物减少50％所需要的时间为33个小时．题型四：拟合函数模型的应用问题【典例41】（2024·高一·北京·阶段练习）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投万元，获得总利润为万元.【答案】【解析】设李明获得的利润为万元，则，则，当且仅当，因为，即当时，等号成立.此时总利润为.故答案为：；.【典例42】（2024·高一·江苏·阶段练习）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的䟬离为3千米时，运费为9万元，仓储费为4万元，则运费与仓储费之和的最小值为万元.【答案】12【解析】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，依题意可设.工厂和仓库之间的距离为3千米时，运费为9万元，仓储费用为4万元，代入求得：于是，运费与仓储费之和为万元，因，由，当且仅当，即时，运费与仓储费之和最小，最小为12万元.故答案为：12.【方法技巧与总结】在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．【变式41】（2024·高一·陕西汉中·期末）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在某次事故中，根据现场勘测结果，肇事汽车的刹车距离为32m，经查询知该车的刹车距离与车速v（km/h）之间的关系为，则该车的速度为km/h.【答案】80【解析】将代入，得，解得或（舍去），所以该车的速度为km/h.故答案为你：.【变式42】（2024·高一·湖南郴州·期末）我们家里大多数装了空调，空调风机的工作原理就是把室内热空气抽出去，然后把室外新鲜空气通过空调制冷系统，净化后再传回室内.假设某房间体积为，室内热气的质量为，已知某款空调机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为（），室内热气体的浓度与时刻的函数关系为，其中常数为过滤效率，.若该款新风机的过滤效率为，且时室内热空气的浓度是时的倍，则该款空调单位时间内从室外吸入的空气体积.【答案】【解析】由题意得，，，因为，所以，由于，整理得，解得，故，进而解得．故答案为：【变式43】（2024·高一·上海·随堂练习）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数中，t表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），N表示每分钟打出的字数（字/分）.(1)计算要达到20字/分、40字/分水平所需要的学习时间；（精确到“时”）(2)利用（1）的结果，结合对数函数性质的分析，作出函数的大致图象.【解析】（1），所以要达到20字/分水平所需要16小时；，所以要达到40字/分水平所需要37小时；所以，；（2），因为是减函数，所以是增函数，当N接近于90时，接近0，无穷大，当N等于0时，，可得大致图象如下图.题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型【典例51】（2024·高一·广东·期末）人工放射性核素碘131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量，经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量，经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量，，经过天后，剩留的质量，.故选：A.【典例52】（2024·高二·甘肃·学业考试）加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（

）A．B．且C．D．且【答案】B【解析】由题意可知，该县城区常住人口每年大约以的增长率递增，则该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数.故选：B.【变式51】（2024·高一·上海浦东新·期中）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h的小道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离S（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：，.问：甲、乙两车有无超速现象？【解析】，又，故解得，，又，故解得，甲无超速现象，乙有超速现象．【变式52】（2024·高一·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示．01030700132533759275为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．(1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值．【解析】（1）对于，当时，它无意义，所以不符合题意；对于，它显然是个减函数，所以不符合题意，故选．根据提供的数据，则有，解得，当时，．（2）设车速为，所用时间为，所耗电量，