2024年高考数学（新高考Ⅱ卷）真题详细解读及评析

2024年新高考IⅡ卷数学试题在贯彻党的二十大精神、立德树人的教育理念下，展现出了多方面的创新和特色。以下是对试题特点的详细分析：一、试卷结构设计精巧，题型丰富多样新高考II卷数学试题在结构上进行了精心设计，通过选择题和非选择题两大板块的有机结合，全面考查了学生的数学素养和能力。选择题部分涵盖了单项选择和多项选择，不仅检验了学生对基础知识的掌握程度，还考察了他们的解题速度和判断能力。非选择题部分则包括填空题、解答题、证明题等多种题型，这些题目更加注重学生的解题思路和方法的运用，有助于全面展示学生的数学思维和创新能力。二、题目难度适中，具有挑战性整体而言，新高考IⅡ卷数学试题的难度适中，既不会过于简单导致学生失去挑战的乐趣，也不会过于复杂而超出学生的能力范围。部分题目设计得相当巧妙，需要学生在掌握基础知识的同时，能够灵活运用所学知识进行推理和分析。这种设计有助于激发学生的思维潜能，培养他们的解题能力和探索精神。三、突出数学学科特点，强化基础知识考查新高考II卷数学试题充分体现了数学学科的特点，强化了对基础知识的考查。试题内容涵盖了高中数学的主要知识点，包括代数、几何、概率统计等各个领域。通过对这些知识点的深入考查，试题旨在帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高他们的数学素养和能力。四、注重关键能力测试，推动学生全面发展除了对基础知识的考查外，新高考IⅡ卷数学试题还注重对学生关键能力的测试。这些能力包括逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力以及创新思维能力等。通过设计具有挑战在试题设计中，新高考IⅡ卷数学试题充分贯彻了立德树人的教育理念，强调了德育的重综上所述，2024年新高考II卷数学试题在试卷结构、题目难度、学科特点以及德育导向2024年新高考IⅡ卷数学试题在多个方面展现出了显著的改革与创新。以下是对其特点的具体分析：新高考II卷数学试题在结构上进行了调整，减少了部分题目的数量，这一变化为学生预新高考II卷数学试题的难度分布相对合理，既立足基础，又有一定区分度。除了最后一题的最后一问难度稍高外，其他题目的难度相对适中，这一设计有助于满足不同水平学生的需求，既能让大部分学生得到基本分数的保障，又能选拔出具有潜力的优秀学生。同时，试题在题型设置上呈现出多样化趋势，通过增加不确定性和融合跨章节知识点，考查学生的综合运用能力和问题解决能力。这种设计有助于培养学生的创新思维和实践能力，提升他们的综合素质。四、德育导向与立德树人的体现新高考II卷数学试题在贯彻德育导向方面做得十分出色。试题通过融入家国情怀、爱国情操等德育元素，引导学生树立正确的价值观和人生观。同时，试题还注重培养学生的世界眼光和时代意识，引导他们关注社会发展和科技进步，增强社会责任感和创新精神。这种德育导向不仅有助于提升学生的综合素质，还有利于推动学校教育的改革和创新。综上所述，新高考II卷数学试题在试卷结构、命题风格、难度分布以及德育导向等方面都展现出了显著的改革与创新。这些变化不仅有助于更全面地评价学生的数学素养和综合能力，还有利于推动基础教育的提质增效和培养学生的创新精神和实践能力。考查点15单选题复数复数模的计算2535已知向量的模长，通过向量的垂直关系，计算向量的模45统计55圆锥曲线65函数二次函数与余弦函数的交点问题，考查偶函也可转化为零点问题7585函数分析对数函数的符号，分类讨论，通过转化为二次函数96多选题正弦型函数的零点、最值、周期、对称轴6圆锥曲线直线与圆相切；三点共线问题；线段垂直判断；线段相等时动点个数6函数三次方型函数的零点、最值、对称轴、对称中心，拐点结论5填空题数列等差数列求和5同角公式，恒等变换，角的范围确定，弦化切5统计列举法表示样本空间求三角形的内角；求三角形的周长导数求切线方程；通过极值求参数取值范围投篮比赛问题，对立事件、独立事件的概率公式，分布列及期望圆锥曲线与数列双曲线与等比数列综合考查，求交点，证明等比数列2024年新课标全国Ⅱ卷数学试题A.0B.1C.√2A.p和q都是真命题B.P和【详解】因为(b-2a)1b,所以(b-又因为d=1,a+26=2,所以1+4a-b+4B²=1+6²=4,从而6据表中数据，结论中正确的是()B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间【分析】计算出前三段频数即可判断A;计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B;根据极差计【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,所以低于1100kg的稻田占比对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确；对于D,由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100]的频数为100-(6+12+18+24+10)=30,中点M的轨迹方程为()A.-1B.C.因为h(-x)=a(-x)²+a-1-cos(-x)=ax²+a-1-cosx=h(x),则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,即h(0)=a-2=0,解得a=2,若a=2,则h(x)=2x²+1-cosx,x∈(-1,1),又因为2x²≥0,1-cosx≥0当且仅当x=0时可得h(x)≥0,当且仅当x=0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意；7.已知正三棱台ABC-A₁B₁C的体积为,AB=6,A₁B₁=2,则A₁A与平面ABC所成角的正切值为()【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高,做辅助线，结合正三棱台的结构特,进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台ABC-A₁B₁C₁补成正三棱锥P-ABC,A₁A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，根据比例关系可得Vp-ABc=18,进而可求正三棱锥P-ABC的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取BC,B₁C₁的中点D,D₁,则AD=3√3,AD₁=√3,可知设正三棱台ABC-A₁B₁C₁的为h,则如图，分别过A,D₁作底面垂线，垂足为M,N,设AM=x,则AA,DN=AD-AM-MN=2√3-x,结合等腰梯形BCC₁B₁可得解法二：将正三棱台ABC-A₁B₁C₁补成正三棱锥P-ABC,则A₁A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，8.设函数f(x)=(x+a)In(x+b),若f(x)≥0,则a²+b²的最小值为()则当且仅当时，等号成立，所以a²+b²的最小值为关键点点睛：分别求x+a=0、In(x+b)=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.二、多选题,A.f(x)与g(x)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0,解得,k∈Z,显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1,B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为t,C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足,k∈Z,g(x)的对称轴满足,k∈Z,显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.10.抛物线C:y²=4x的准线为l,P为C上的动点，过P作⊙A:x²+(y-4)²=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B,则()A.l与DA相切C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足IPAHPBI的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据|PB|=2先算出P的坐标，然后验证kpAkAB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，|PB|=|PF|,于是问题转化成P|A|=|PF|的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y²=4x的准线为x=-1,◎A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离A(0,4),F(1,0),AF中点AF中垂线的斜率于是AF的中垂线方程为：与抛物线y²=4x联立可得y²-16y+30=0,△=16²-4×30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点，方法二：(设点直接求解)△=16²-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解，11.设函数f(x)=2x³-3ax²+1,则()C.存在a,b,使得x=b为曲线y=fD.存在a,使得点(1,f(1))为曲【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=a,根据零点存在定理和极值的符号判断出f(x)在(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴，则f(x)=f(2b-x)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的a,使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心，则f(x)+f(2-x)=6-6a,据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.故x∈(-,0)u(a,+o)时f'(x)>0,则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，则f(O)f(a)<0,根据零点存在定理f(x)在(0,a)上有一个零点，又f(-1)=-1-3a<0,f(2a)=4a³+1>0,则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0,x∈(0,+00)时f'(x)>0,f(x)单调递增，此时f(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴，即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x),即2x³-3ax²+1=2(2根据二项式定理，等式右边(2b-x)³展开式含有x³的项为2C3(2b)°(-x)³=-2x³,于是等式左右两边x³的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简f(1)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心，f(x)+f(2-x)=2x³-3ax²+1+2(2-x)³-3a(2-x)²+1=(12-6a)x²+(12a于是6-6a=(12-6a)x²+(12a-24)x+18-12a方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f(x)=2x³-3ax²+1,f'(x)=6x²-6ax,f",于是该三次函数的对称中心即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.结论点睛：(1)f(x)的对称轴为x=b⇔f(x)=f(2b-x);(3)任何三次函数f(x)=ax³+bx²+cx+d都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是f"(x)=0的解，即是三次函数的对称中心三、填空题12.记S,为等差数列{a}的前n项和，若a₃+a=7,3a,+a₅=5,【答案】95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出a,d,再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列a,为等差数列，则由题意解得13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4,tanatanB=√2+1,则sin(a+β)=_【答案】【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan(a+β)=-2√2,再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得,则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,又因为tan(a+β)=-2√2<0,法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosa>0,cosβ<0,则sin(α+β)=sinacosβ+cosasinβ=cosacosβ(tanα+14.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所每种选法可标记为(a,b,c,d),a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,3(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.故答案为：24;112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.2B,求ABC的周长.【分析】(1)根据辅助角公式对条件sinA+√3cosA=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三(2)先根据正弦定理边角互化算出B,然后根据正弦定理算出b,c即可得出周长.【详解】(1)方法一：常规方法(辅助角公式)方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)4cos²A-4√3cosA+3=0⇔(2cosA-√3)²=0,解得,又A∈(0,π),故方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)根据向量的数量积公式，a.b=|a|b|cos(a,b)根据向量共线条件，而,得到16.已知函数f(x)=e*-ax-a³.【详解】(1)当a=1时，则f(x)=e*-x-1,f'(x)=eˣ-1,可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1,即切点坐标为(1,e-2),切线斜率k=e-1,若a>0,令f'(x)>0,解得x>Ina;令f'(x)<0,解得x<Ina;若f(x)有极小值，则f'(x)=e*-a有零点，令f'(x)=e*-a=0,可得e*=a,令f'(x)<0,解得x<Ina;则f(x)有极小值f(lna)=a-alna-a³,无极大值，符合题意，可知g(a)在(0,+0)内单调递增，且g(1)=0,不等式a²+Ina-1>0等价于g(a)>g(1),【分析】(1)由题意，根据余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可证得EFIAD,则EF⊥PE,EF⊥DE(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE⊥ED,建立如图空间直角坐标系E-xyz,利用【详解】(1)由AB=8,AD=5√3,AE=号AD.AF=AB,得AE=2√3,AF=4,又∠BAD=30°,在△AEF中，所以AE²+EF²=AF²,则AE⊥EF,即EF⊥AD,所以EF⊥PE,EF⊥DE,又PEDE=E,PE、DEc平面PDE,所以EF⊥平面PDE,又PDc平面PDE,故EFIPD;(2)连接CE,由∠ADC=90°,ED=3√3,CD=3,则得EC²+PE²=PC²,所以PE⊥EC,又ECNEF=E,EC、EFc平面ABCD,所以PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),P(0,0,2√3),D(0,3√3,0),C(3,3√3,0),F(由F是AB的中点，得B(4,2√3,0),设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n=(x₁,y₁,z₁),m=(x₂,y₂,Z₂),则令y₁=2,x₂=√3,得x₁=0,z₁=3,y₂=-1,z₂=1,所以n=设平面PCD和平面PBF所成角为θ,则即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)假设0<p<q,(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛?(ii)为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛?【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；(2)(i)首先各自计算出局=[1-(1-p³]g³,P=[1-(1-q³].p³,