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文档简介
第一讲数论初步---喻鹏举基本概念
数论是研究数的性质的学科，数论基本上可分为初等数论、解析数论、代数数论等几个较大的分支。整数的整除性
整除与约数、倍数.注意负数a除以非0整数b商为整数，且余数为零。（我们就说a能被b整除或说b能整除a，记作b|a）可整除性的基本性质若a|b,a|c,则a|(b+c)若a|b,那么对所有整数c,a|bc若a|b,b|c,则a|c整除关系具有传递性.素数和合数如果大于1的正整数p仅有的正因子是1和p,称p为素数(prime)大于1又不是素数的正整数称为合数(compound)如果n是合数,则n必有一个小于或等于n1/2的素因子除法和同余令a为整数，d为正整数，那么有惟一的整数q和r，其中0≤r<d，使得a=dq+r可以用这个定理来定义除法：d叫除数，a叫被除数，q叫商，r叫余数。如果两个数a,b除以一个数c的余数相等，说a和b关于模c同余，记作a≡b(modc)最大公约数和最小公倍数令a和b是不全为0的两个整数，能使d|a和d|b的最大整数称为a和b的最大公约数，用gcd(a,b)表示，或者记为(a,b)。令a和b是不全为0的两个整数，能使a|d和b|d的最小整数称为a和b的最小公倍数，用lcm(a,b)表示，或者记为[a,b]定理:ab=gcd(a,b)*lcm(a,b)如果gcd（a,b）=1,a,b互质定理的证明使用惟一分解定理.设则有:容易验证定理成立求出1—n的全部素数；法一：Eratosthenes的筛子2是素数,删除2*2,2*3,2*4,…,2*50第一个没被删除的是3,删除3*3,3*4,3*5,…,3*33第一个没被删除的是5,删除5*5,5*6,…5*20得到素数p时,需要删除p*p,p*(p+1),…p*[n/p],运算量为[n/p]-p,其中p不超过n1/2(想一想,为什么)近似公式(Legendre常数B=-1.08366)素数判定枚举法:O(n1/2),指数级别改进的枚举法:O(phi(n1/2))=O(n1/2/logn),仍然是指数级别概率算法:Miller-Rabin测试+Lucas-Lehmer测试对于奇数n,记n=2r*s+1,其中s为奇数随机选a(1<=a<=n-1),n通过测试的条件是as≡1(modn),或者存在0<=j<=r-1使得a2^j*s≡-1(modn)素数对于所有a通过测试,合数通过测试的概率不超过1/4只测试a=2,3,5,7,则2.5*1013以内唯一一个可以通过所有测试的数为3215031751最大公约数方法一:使用惟一分解定理,先分解素因数,然后求最大公约数方法二:(Euclid算法)利用公式gcd(a,b)=gcd(b,amodb),时间复杂度为O(logb)方法三:(二进制算法)若a=b,gcd(a,b)=a,否则A和b均为偶数,gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2)A为偶数,
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