高考数学分类专项训练之一元二次函数、方程和不等式

高考数学分类专项精讲精练

一元二次函数、方程和不等式

目录

明晰学考要求...................................................................................1

基础知识梳理...................................................................................1

考点精讲讲练...................................................................................4

考点一：等式性质与不等式性质..................................................................4

考点二：基本不等式.............................................................................6

考点三：二次函数与一元二次方程、不等式.......................................................9

实战能力训练..................................................................................13

明晰学考要求明晰学考要求01

1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质；

2、掌握基本不等式疝<竺2(«>0,/7>0)；

2

3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题

4,会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程的

根的关系；

5、了解一元二次不等式的意义，会求一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；

基础知识梳理基础知识梳理02

1、不等式的概念

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号““"W”

连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.

自然语言大于小于大于或等小于或等至多至少不少于不多于

于于

符号语言><><<>><

2、实数。力大小的比较

1>如果是正数，那么。>6；如果。一6等于0,那么a=b；如果。一万是负数，那么a<b,反过来

也对.

2、作差法比大小：@a-b>0<^>a>b；②a-b=0oa=b；③a-b〈0oa<b

3、不等式的性质

性质性质内容特别提醒

对称性a>b=b<ao（等价于）

传递性a>b,b>c今a>cn（推出）

可加性a>boa+c>b+co（等价于

a>lo

>nac>be

c>0)注意c的符号（涉及分类讨论

可乘性

a>19的思想）

>nac<be

c<。.

a>b

同向可加性a+c>b+dn

c>d

a>b>Q

同向同正可乘性>nac>bdn

c>d>0

可乘方性a>b>0^an>bn{nEN,n>2)a,b同为正数

4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

①如果a>0,b>0,4ab<^-,当且仅当a=b时，等号成立.

2

②其中J茄叫做正数。，b的几何平均数；一叫做正数。，b的算数平均数.

5、两个重要的不等式

①6+b222ab（a,beR）当且仅当a=6时，等号成立.

②。人〈（一尸SGR）当且仅当a=b时，等号成立.

6、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正数，如果积u等于定值p,那么当且仅当％=丁时，和％+y有最小值2JA；

V2

②已知x,y是正数，如果和x+y等于定值S,那么当且仅当x=y时，积孙有最大值己一；

4

7、二次函数

（1）形式：形如/（%）=奴2+云+03/0）的函数叫做二次函数.

（2）特点：

①函数f(x}=ax1+bx+c(.aw0)的图象与x轴交点的横坐标是方程以?+法+c=0(aw0)的实根.

②当a>0且/<0(/W0)时，恒有/(x)>0(/(x)»0)；当a<0且/<0(/W0)时，恒有/(x)<0

(/W<0).

8、一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

9.(x—X])(x—/)〉0或(x—xj(x—%)<0型不等式的解集

解集

不等式

%]<x2Xj=x2x}>x2

{x\x<x^x>x2]

(X-Q)(X-Z?)>0{x\x^xx]{x\x<x2^x>x1}

(x-a)(x-b)<0{x\Xj<X<x2}0{x\x2<X<xr}

10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判另U式A=/—4acA>0A=0A<0

-

二次函数

/(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象*JZ

有两相等实数根

一元二次方程有两相异实数根玉，

b没有实数根

2的根

ax+Zzx+c=0(a>0)x2(^<x2)为二々.五

一元二次不等式

{x\%<玉或X〉x2}{尤|xw---}R

ax2+bx+c>Q(a>0)的解集2a

一元二次不等式

{x\<x<x2]00

ax2+/zx+c<0(a>0)的解集

考点精讲讲练考点精讲精练03

考点一：等式性质与不等式性质

【典型例题】

例题1.（2024北京）已知。>6,c>d,则下面不等式一定成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+d<b+c

C.a-d>b—cD.a—d<b—c

【答案】C

【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小

【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.

【详解】对于人8口:取。=4,6=3,。=2,4/=1,满足a>b,c>d,显然q+d>>+c和a+d<>+c,a—d<b—c

都不成立;

对于C：由c〉d可4^—d>—cf.故a—d>b—c

故选：C

例题2.（2024福建）已知a>6,则下列不等式一定成立的是（）

A.a-b>0B.l-a>l—bC.\a\>\b\D.cr>b2

【答案】A

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】根据不等式的性质判断AB,举反例判断CD.

【详解】因为

所以a-b>0,A正确;

—a<—b,因此1一々<1一/?,B错;

〃=1,。=一2时，a>b,但［4<同,22

a<b9CD错;

故选：A.

例题3.（2024湖北）已知b克糖水中含有a克糖再添加，“克糖（机>0）（假设全部溶解），

糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（）

a+mab+mb

A.-------<—B.------<—

bbaa

a+mab+mb

--------〉——D.------>—

b+mba+ma

【答案】C

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】根据题意建立不等关系即可.

【详解】由题意可知糖水原浓度为加糖之后的浓度为产

bb+m

故选:c

【即时演练】

1.已知四个实数2",2/.当0<。<1时，这四个实数中的最大者是()

A.aB.2a2C.2aD.a2

【答案】C

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合作差法比较大小.

【详解】由得2。一。=。>0,贝！

2a-a2=a(2-a)>0,则2a>/；

2a—2a2=2a(1-a)>0,则2a>2a?，

所以这四个实数中的最大者是2a.

故选：C

2.(多选)对于任意的实数4,b,c,d,下列命题错误的有()

A.若a>b,贝!]<7c>〃cB.若a>6,c>d,贝!

C.若a2>庆2,贝[]〃>>D.若a>b,贝!]—>:

ab

【答案】ABD

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】根据不等式性质可判断.

【详解】A选项：a>b,若c<0,贝!|ac<bc,选项错误；

B选项：a>b,c>d,设。=1,c=l,b=-2,d=-2,贝!)ac<bd,选项错误；

C选项：若a/〉》/,则a>6,选项正确；

D选项：a>b,设a=2,b=l,则选项错误.

ab

故选：ABD.

3.设尸=(a—2)(a+4),Q=2a(a-1),则有pQ.(请填"V")

【答案】<

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】利用作差法以及完全平方数比较即可求解.

【详解】因为尸=(a—2)(a+4),Q=2a(a-1),

所以p_Q=(a_2)(a+4)—2a(a-1)

=(a?+2a—8)-(2/_2a)

=-ci~+4a—8,

=-(a2-4a+4)+4-8

=-(a-2)2-4<0

故P<Q.

故答案为：<.

考点二：基本不等式

【典型例题】

例题1.(2023广西)如图，A5是半圆。的直径，点C是直径A3上一动点，过点C作A3的垂线，交弧

于点。，联结AD、BD、OD.设AC=a,BC=b,比较线段OO与CO的长度，得出结论正确的是

a+b

B.

2

C.“/<(a>b,b>0)a+b

D.>ab(a>0,b>0)

2

【答案】B

【知识点】由基本不等式比较大小

【分析】根据几何关系表示8和OD,即可比较大小.

【详解】因为OD是圆。的半径，所以学=7，

22

因为AB是圆。的直径，所以ZAO2=90。，

ACCD

则△ACD△Z)CB,即=――9即CD2-AC-CB=ab,

CDCB

所以CD=病,

当点。与点。重合时，CD=OD,否则CDv。。，即

所以等2碗(a>0,b>0).

故选：B

例题2.(2024天津)已知当x>0时，不等式f一6+16>0恒成立，则实数。的取值范围是

【答案】(-8,8)

【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

【分析】分析可知：原题意等价于当x>0时，不等式x+屿〉。恒成立，结合基本不等式运算求解.

X

【详解】因为当X>()时，不等式f-〃龙+16>0恒成立，则X+电>。，

原题意等价于当x>0时，不等式彳+3>。恒成立，

X

又因为X+3N2、口匝=8,当且仅当x=3,即x=4等号成立，

可得。<8,所以实数a的取值范围是(-8,8).

故答案为：(-8,8).

9

例题3.(2024云南)已知。>0,贝!M+-的最小值是.

a

【答案】6

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】根据基本不等式求出最小值即可.

9I~

【详解】由题意知a>0,a+—>2.a—=2x3=6,

a\a

当。==9即〃=3时，等号成立，

a

所以〃+=9最小值是6.

a

故答案为：6

例题4.(2024安徽)已知函数是二次函数，且满足/(。)=2,/(x+1)=/(%)+2%.

⑴求函数/(%)的解析式；

(2)当x>0时，求函数了二上^^^的最小值.

X

【答案】(1)/(尤)—x2-x+2

(2)272

【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式、基本不等式求和的最小值

【分析】(1)由/(0)=2求出c,由/(x+l)=/(x)+2x求出a,b,即可得出答案；

(2)由基本不等式求解即可.

【详解】(1)设/(X)=依2+b%+c(〃W。),

由〃0)=2,得c=2,

由/(%+1)=f(%)+2%,得a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c+2x,

整理，得2办+a+b=2x,

则(Ln»解得。=1,b=-l9

\a+b=G

所以f(x)=x2-x+2.

(2)由(1)知，y=/(X)+\=Ct^=x+2,

XXX

因为x>0,所以丫=尤+222/r2=2忘，

当且仅当x=2,即X=0时等号成立，

X

故,=心±£的最小值为2a.

X

【即时演练】

1.已知0<xVl,则'+普的最小值是()

X1-x

A.16B.25C.27D.34

【答案】B

【知识点】基本不等式"1"的妙用求最值

【分析】利用，+=8=卜+(1-x)x，+4],结合基本不等式可求最小值.

XIX\XJLXJ

【详解】由0<x<l,得1-%>。

116r\-|/116、…l-xI6xcll-xI6xcl

m因此ir丁匚=3(j)]丁二97+丁+匚；217+2<丁.0=25,

1_y]6丫1

当且仅当口=产，即X=3时取等号，

x1-x5

所以当x时，!+普取得最小值25.

5x1-x

故选：B.

2.当尤>。时，函数v=X^的最小值为.

X

【答案】4

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式即可得解.

【详解】因为1>0,

4

当且仅当％=一，即X=2时，等号成立，

x

所以>="的最小值为4.

X

故答案为：4.

3.若当x>l时，不等式x722M-1恒成立，则实数，”的取值范围是.

【答案】（f2]

【知识点】基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题

【分析】由基本不等式求出工+工23,从而得到3N2〃z-1,求出答案.

x-1

【详解】因为X>1,所以x+Lux—l+'+lwaJ（尤一l）xJ-+l=3,

x-1x-1Vx-1

当且仅当无-1=工，即x=2时，等号成立，

x-1

故只需322相-1,解得,〃<2,所以实数小的取值范围是（-8,2].

故答案为：（-8,2].

4.已知x>0,y>0且x+2y=2O0,则孙的最大值为.

【答案】100

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】利用基本不等式求解.

【详解】由基本不等式，x+2y>2yj2xy,

所以20022艰百，解得孙工100,

当且仅当x=2y=10垃，即x=10垃,y=50时等号成立，

故答案为：100.

考点三：二次函数与一元二次方程、不等式

【典型例题】

例题1.（2024福建）不等式（x-l）（x-2）<0的解集为（）

A.1x|l<x<2jB.{x|-2<x<-1}C.{x[x>2或尤<1}D.1x|x<-11

【答案】A

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】根据给定条件，解一元二次不等式即可.

【详解】解不等式(x-1)(%-2)<0,得l<x<2,

所以原不等式的解集为｛邓<x<2].

故选：A

例题2.(2024安徽)若不等式办2-4x+4-3<0对所有实数了恒成立，贝!I。的取值范围为()

A.(-oo,-l)u(4,+oo)B.

C.(-oo,-l]u[4,+oo)D.

【答案】B

【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题

【分析】分。=0和两种情况讨论，awO时，结合二次函数图象得到〃的取值范围.

【详解】。=0时，原不等式化为4尤-3<0,解得不对所有的了恒成立，不符合题意；

4n0时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数X恒成立，

则二次函数、=62-4工+。-3的图象开口向下且与x轴无交点，

<0

从而A/八27\，解得々V—1，

A=(-4)

所以，。的取值范围为

故选：B.

例题3.(2024广东)若不等式“f+6无+2>。的解集为｛尤|一:<彳<；，，贝!)。+6=()

A.1B.-12C.-28D.-14

【答案】D

【知识点】由一元二次不等式的解确定参数

【分析】由题意可得占=-(，/=；是方程62+法+2=0的两个根，且“<0,利用韦达定理运算求解.

【详解】由题意知网=-；，々=；是方程办2+云+2=0的两个根，且。<0,

b11

则”2J,解得\=

211\b=-2

—=—X—i

«23

所以〃+5=—14.

故选：D.

例题4.（2024新疆）设函数=

（1）若m=1,求不等式/（尤）22的解集；

⑵若时，不等式/（x）+/+2N0恒成立，求机的取值范围.

【答案】⑴（fT卜[2,+8）

（2）m<4

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立

问题

【分析】（1）代入〃2=1,解出一元二次不等式即可；

（2）分离参数，再利用基本不等式求出右边最小值即可.

【详解】⑴当机=1时，/（x）W2即为1—XN2,

解得xV-1或x22,

则该不等式解集为（-双-1卜[2,+8）.

（2）/⑴+/+220对恒成立，

即2d—e+2'O对恒成立，

分离参数得加+*2对恒成立，

x

因为当时，2天+仁2、吊工=4,当且仅当2X=2,即x=l时等号成立，

XVXX

则机<4.

【即时演练】

1.已知关于x的不等式（。-2）d+2（a-2）x+lW0的解集是0,则实数。的取值范围是（）

A.[2,3）B.（-co,2）U（3,+oo）

C.（2,3）D.（-oo,2]u（3,+oo）

【答案】A

【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题

【分析】对二次项系数是否为0分类讨论可得正确的选项.

【详解】若。=2,贝也V0,此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设；

a>2

若4*2,因为不等式的解为空集，故人..,,

A=4（a-2）2-4（a-2）<0

故2<a<3,

综上，ae[2,3）,

故选：A.

2.一元二次不等式-2f+5元-2>0的解集是（）

C.{x|x<2}D.R

【答案】B

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】不等式-2d+5-2>0即2/-5x+2<0可化为(2x-1)(-2)<0,

解得底x<2,

所以不等式的解集为<x<,

故选：B

3.关于x的不等式：“尤+»卜+5>0的解集为{x|x<-l或x>3},则关于x的不等式尤2+加一2"0的

解集为（）

B.I-2<x<5}C.{xI-2<x<1}D.{x|-5<x<2}

25

【答案】B

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数

【分析】由一元二次不等式的解集可得。、6的具体值，再代入不等式/+法-2a<0中求解即可得.

a>0b=-3

故］5］，解得a=5

【详解】由题意可得5

(x+Z?)x+—=(x+l)(x-3)'一二1b=-39

a

故婷+反-2a一3x-10=（x-5）（x+2）<0,解得一2<x<5,

故关于x的不等式x2+bx-2a<0的解集为{x|-2<x<5}.

故选:B.

4.已知关于了的不等式一一2内-”>0的解集为R,则实数。的取值范围是.

【答案】（T,O）

【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题

【分析】不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0,函数图像与x轴无交点，则不等式大于。恒

成立，从而求出参数取值范围.

【详解】因为关于x的不等式V-2依-。>0的解集为R,

所以A=442+4a<0,解得T<a<。，

即实数”的取值范围是（T，。）.

故答案为：（-1,0）

实战能力训练实战能力训练04

一、单选题

1.已知下列不等式一定成立的是（）

,t,cc11aa+

A.ab-\-1＜a+bB.ac＞beC.-7=7=D.—＜—

7bbb+

【答案】C

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】根据不等式的性质以及代入特殊值可求得结果.

【详解】对于A,令。=3/=2,则必+故选项A错误，不符合题意;

对于B,若c=0,“=3,6=2,贝!|砒2=庆2,故选项B错误，不符合题意；

对于C,a＞b＞l,则近＞1,即一尸＜~77，故选项C正确，符合题意；

7a7b

对于D,令a=3,b=2,贝！|?＞察，故选项D错误，不符合题意；

bb+l

故选：c.

2.下列命题中，正确的是（）.

A.若a于b,则同力网B.若同＞网，贝!

C.若a=b,则同=网D.若同=忖,则a=6

【答案】C

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】利用绝对值的意义结合特殊值法判定即可.

【详解】若。=-1力=1,即"6,但同=同，故A、D错误；

若々=-2,6=1,即时＞例,但"6,故B错误;

显然。=6,则同=同，故C正确.

故选：C

3.不等式（尸3）（尤+1）＜。的解集是（）

A.(-oo,-3)u(l,+oo)B.(-oo,-l)u(3,+oo)

C.(-3,1)D.(-1,3)

【答案】D

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】解出一元二次不等式，写出解集即可.

【详解】因为(x-3)(x+l)<0,所以-l<x<3,所以解集为(T3).

故选：D.

4.若一元二次不等式62一⑪+100对一切实数x都成立，贝!的取值集合为()

A.1a|0<cz<400jB.{404。<400}

C.|fl|0<a<400^D.{《。<0或"400}

【答案】A

【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题

【分析】根据一元二次不等式恒成立列不等式，由此求得。的取值范围.

【详解】依题意，一元二次不等式冰2-依+100>0对一切实数x都成立,

a>0

所以解得0<"400,

A=一400〃<0

所以〃的取值集合为{。1。<，<400}.

故选:A

5.已知xi则4x+占的最小值为()

A.-4B.0C.4D.8

【答案】B

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】由4x+—1=4(尤+1)+—1-4,利用基本不等式求解即可.

X+lX+1

【详解】因为%>-1,所以％+1>0,

所以4了+—*—=4(x+l)+-^—-4>2J4(x+l)x^—-4=0,

x+1x+1Vx+1

当且仅当4(x+l)=—即x=-1时，等号成立，

故4x+—1的最小值为0.

故答案为：B.

12

6.设％>0,y>0,且;Y+>=1，则一+一的最小值为()

2犬y

119

A.5B.-C.4D.-

22

【答案】D

【知识点】基本不等式"1”的妙用求最值

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

12/12"%y5yx5.lyx9

［详解］-+-=-+--+y=-+-+-^-+2H--=-

xyy八2J2xy2yxy2

vx2

当且仅当2=—,x=y=£时等号成立，

xy3

12Q

所以一+一的最小值为

xy2

故选：D.

7.若尤>1,则y=£的最小值为()

x-1

A.3B.4

C.1D.2

【答案】B

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用、=尤-1+—1+2,结合基本不等式可求最小值.

x-1

【详解】因为X>1,所以x—1>0,

0-1)2+2(x-l)+］=x-l+—+2=2./(x-l)x-^—+2=4,

所以y=--：=

x-1x-1Vx-1

当且仅当尤-1=<，即x=2时取等号,

x-1

所以y=£的最小值为4.

x—\

故选:B.

8.已知X>1,y>0,x+y=3,则(尤一l)-y的最大值是()

【答案】D

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值.

【详解】由x>l,7>0,尤+>=3,得(无一1>”(±|t2)2=1,当且仅当x-l=y=l时取等号,

所以(x-i)-y的最大值是1.

故选：D

二、多选题

9.英国数学家哈利奥特最先使用和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影

响深远.已知b<a<0,c>0,则下列不等式一定成立的有（）

A.b3c>a3cB.ab>a2

【答案】BCD

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】采用作差法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,b3c-c^c=c（b-a）（b2+ab+a2>j,

22

Qc>0,b<a<0,:.b-a<0fZ?+tz>0,ab>0,

:.c[b—a)[b2+tzZ?+tz2)<0,即0%—〃3c人错误;

对于B,ab-a2=a[b-a),

22

Qb<a<09：.b-a<09：.a[b-a)>G9BPab-a>0,/.ab>a9B正确;

bc-bb(c-a\-a(c-b\(b-a^c

对于C，-----------=7\=~7v

ac-aayc-a)a(c-a)

(b-a)c

Qc>0,b<a<0:.b-a<0c-a>0->•—；-----r>0,

999ayc-a)

bc-b八bc-b

即an------->0,—>-------,C正确；

ac—aac—a

•xx-r/—r~T-b—a

对于D,y/-a-yj—b=i——j==i——-7=,

yj-a+7-by/-a+7-b

QZ?VQVO,h—〃<0,yj—ci+-\J—b>0,--1—/~丁<°,

7—a+7—b

BP-4~b<0,/.D正确.

故选：BCD.

10.已知不等式ax2+2x+c>0的解集为则下列选项正确的是（）

A.a=—12B.c=—12

C.c=2D.a=2

【答案】AC

【知识点】由一元二次不等式的解确定参数

【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解.

【详解】由于不等式cue2+2x+c>0的解集为卜|-；<X<斗,