沪科版九年级数学上册期末复习：解直角三角形知识归纳与题型突破（12类题型清单）

第二十三章解直角三角形知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

困

*定义.段

正切

「锐角三角函数•

由概念求三角函数值

-计算V由角的度数求三角函数值

由三角函数值求角的度数

r三边之间的关系

依据-锐角之间的关系

I质之间的关系

解直角三角形y

r已知斜边和一直角边

已知两直角边

基本类型

已知斜边和一锐角

»已知一直角边和一锐角

仰俯角问题

方位角问题

坡度问题

（与生活有关的其他问题

02知识速记

1、在RSZCB中，“=90°,

乙的对边4A的邻边4A的对边

sinA=4cos4=tan4=

斜边斜边jA的邻边

1

2、特殊三角函数值

_数值=«

30°45°60°

三赢8—

1.

sina叵

TT2

721

cosa旦

2TT

73

tana173

3

3、直角三角形的边角关系(a、b为直角边，c为斜边)

⑴锐角之间的关系:/A=90°—ZB,ZB=90°-ZA;

(2)三边之间的关系:a=7c2-b?b-Vc2—a2c=Va2+b2；

(3)边角之间的关系：a=csinA,a=ccosB,a=btanA,b=csinB,b=ccosA,b=atanB.

4、用解直角三角形解决实际问题的步骤

⑴审题，弄清方向角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念，将实际问题抽象为

数学问题.

(2)认真分析题意，画出平面图形,转化为解直角三角形问题，对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线

构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形.

⑶根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形.

⑷按照题目中的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答

案，并标注单位

03题型归纳

题型一求角的三角函数值

例1.(24-25九年级上•云南•阶段练习)在Rt△力BC中，ZC=90°,AB=3,AC=1,贝Us讥4=()

「屈

A.誓BVz.-----D.叵

-I310

2

巩固训练

1.（2024•广东•模拟预测）正方形网格中，N40B如图所示放置（点4O,C均在网格的格点上，且点C在

OB上），贝!Jsin/AOB的值为（）

2.（22-23九年级下•浙江金华•开学考试）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，AB、

C、。都在格点处，48与CD相交于点P,贝IJcos//PC的值为（）

3.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）在RtA4BC中，ZC=90°,AC=15,BC=8,下列三角函数值

正确的是（）

一，4

AA.si.nA4=一15B.cosA=——C.tanA=—15D.sinB—

17

题型二已知三角函数值求长度

例2.（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在矩形2BCD中，DE，AC,垂足为点及若sin/ADE=:

AD=4,则力C的长为.

3

巩固训练

1.（22-23九年级上•全国・单元测试）在△ABC中，ZC=90°,AC=6,cosB=则=

2.（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，在矩形A8CD中，48=8,AD=6,点£在2B上，BE=2,点、

厂在BD上，tan//£尸=3,贝UEF=__________

3.（2023・湖南娄底•中考真题）如图，点E在矩形4BCD的边CD上，将△力DE沿力E折叠，点D恰好落在边BC

上的点尸处，若BC=10.sin/LAFB=^,则DE=

题型三特殊三角形的三角函数

例3.（24-25九年级上•山东泰安•阶段练习）在R3A8C中，NC=9（T,cos/=：,则cos曰=_________.

22

巩固训练

1.（2024九年级上•上海•专题练习）RtZVlBC中，4c=90。，乙4:48=1:2,则加九，2的值（）

4

A.|B.—C.—D.百

223

2.（22-23八年级下•吉林长春・期末）小明利用如图所示的量角器量出"0B的度数，cos♦力。B的值为（）

D.V3

3

3.（2024九年级下•浙江•专题练习）在△ABC中，若三个内角乙4；乙B：NC=1：2；3,则sinAsinB等于

（）

A.1：2B.1：V3C.1：3D.2；V3

题型四特殊三角函数值的混合运算

例4.（24-25九年级上•河北石家庄•开学考试）sin245°+3tan30°sin60°=.

巩固训练

1.（24-25九年级上•重庆•阶段练习）计算：tan60。-cos60。+cos30。=.

2.（24-25九年级上•全国•单元测试）cos230°-3tan45°+2sin245O+sin30°=_.

3.（2023・湖北黄冈•模拟预测）计算：V2sin45°-2cos30°+V（l-tan6O0）2=.

题型五三角函数的综合

例5.（2023•上海普陀•三模）如图，已知△ABC是等边三角形，点5、C、D、£在同一直线上，且CG=CD,

DF=DE,则tcmE=.

5

A

巩固训练

1.（23-24九年级上•上海•阶段练习）如图，在RtA4BC中，NC4B=90。,48=4C,点D为斜边BC上一点,

S.BD=3CD,将△4BD沿直线4D翻折，点B的对应点为B',则sin/CB,D=一.

2.（2024・广东深圳・模拟预测）如图，在中，AB=4C=6,t即=*点D是"边上任意一点,

连接8D,将△BCD沿着B。翻折得△BC'D,且C,D_L力B且交于点E,贝“DE=.

3.（2023・上海长宁•一模）如图，点E在正方形力BCD的边CD上，乙48E的平分线交力。边于点凡连接EF,如

果正方形4BCD的面积为12,且CE=2,那么cot（/BEF-/DFE）的值为.

6

题型六解直角三角形的相关计算

例6.（24-25九年级上•上海虹口•阶段练习）已知△力BC中，4B=4,sinA=g,BC=a,如果解这个三角

形有2解，贝南的取值范围是.

巩固训练

3

1.（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）等腰△力BC中，力B=AC,tan/48c=—，。为48的中点，BE1

4

BC交射线CD于£,若BC=8,则线段BE的长为.

2.（23-24九年级下•全国•期末）在△4BC中，a、b、c分别是乙4、乙B、NC的对边，若sin力•cos力=0且。=

2ccosB,则△4BC的形状是.

3.（2024・湖北荆门•模拟预测）如图，在矩形A8CD中，点E在边上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，

点B的对称点F在边力。上，G为CD中点，连结BG分别与CE,CF交于M,N两点.若BM=BE,MG=1,则BN

的长为，s讥/力FE的值为.

7

题型七解非直角三角形

例7.（2024・四川资阳・中考真题）在△ABC中，乙4=60。，AC=4.若△ABC是锐角三角形，则边4B长的

取值范围是.

巩固训练

1.（22-23九年级上・江苏南通・期末）如图,在△.中，〃=3。。，AC=2V3,tanB则力B的长为

（）

A.2+2V3B.3+V3C.4D.5

2.（22-23九年级上•山东淄博•期中）如图，在△ABC中，ABAC=60°,ZB=45°,BC=646,4D平分ABAC

交BC于点D,则线段4。的长为（）

C.6V3D.6

3.（2024•安徽合肥•一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点N、B、C、。都在这些小正方形的顶点

上，4B与CD相交于点P,则//尸。的余弦值为（）

8

A"B-fC-TD.W

题型八构造直角三角形求边长或面积

例8.（2022•四川绵阳•三模）如图，四边形/BCD的对角线/C、AD相交于。，ZAOD=60°,AC=BD=2,

A-TB-TC.遍D.2V3

巩固训练

1.（22-23九年级上•安徽宣城•阶段练习）如图，在△ABC中，N力=30。，ZB=45°,BC=3a,求△ABC

的面积.

2.（23-24九年级上•山东青岛・期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民

全面发展.如图，四边形N3CD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙2c与地面垂直，且长度为5米，现测

得N/8C=112。，/。=67。，/8=4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度.（精确到0.1米）（参考数据：sin22%|,

O

1c212c12

cos22°~—，tan22°^-,sin67°^—,cos67°-—，tan67°^r）

16513135

9

A

3.（20-21八年级下•安徽淮南•期末）已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组

想要求出它的面积，经过测量知：/B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,AD=13m,请你根据以上测量

结果求出不规则四边形的面积？

题型九仰俯角问题

例9.（2024•山东日照•中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌.某数

学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119nl的点M处测得

潮汐塔顶端/的俯角为22。，再将无人机沿水平方向飞行74爪到达点N,测得潮汐塔底端8的俯角为45。

（点4,B在同一平面内），则潮汐塔力B的高度为（）

（结果精确到1m.参考数据：sin22°«0.37,cos220«0.93,tan22°=0.40）

A.41mB.42mC.48mD.51m

巩固训练

1.（24-25九年级上•全国•单元测试）某班的同学想测量一教楼力B的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC,已

知的长为8米，它的坡度i=l：g,在离C点30米的。处，测得以教楼顶端/的仰角为37。，则一教

10

楼4B的高度约为（）米.（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,V3«

1.73）

2工c82

A.24.

B.D.20.

2.（23-24九年级上•山东济南•期末）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面

A处安置测角仪测得楼房CD顶部点。的仰角为45。，向前走20米到达4处，测得点。的仰角为67.5。，已知

测角仪4B的高度为1米，则楼房CD的高度为（）（tan67.5°=l+V2）

A.572+21B.5V3+21c.10V2+21D.20V3+1

3.（2024•广东深圳・中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45。,

小军在小明的前面5nl处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53。，则电子厂4B的高度为（）（参考数据:

424

sin53°«cos53°«tan53°«-）

553

Ed"___r.M

\c\-------

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

11

题型十方位角问题

例10.（23-24九年级上•重庆•阶段练习）让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒.重庆某中学倡议全校师生“每

天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学.如图，小明家在N

处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C,也可以从点A经过点D到点C.经

测量，点3在点/的正北方向，48=300米.点C在点8的北偏东45。；点。在点N的正东方向，点C

在点。的北偏东30。方向，CD=2900米.

（1）求BC的长度（精确到个位）;

（2）小明每天步行上学都要从点/到点C,路线一；从点/经过点2到点C,路线二；从点/经过点。到点

C,请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：V2«1.414,1.732,逐=2.449）

巩固训练

1.（24-25九年级上•重庆九龙坡•开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发,

小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台。在北偏东15。方向上,

而寺庙C在B的北偏东30。方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台。处，再步行至正东方向

的寺庙C处.

（1）求小山B与亭台。之间的距离；（结果保留根号）

（2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处.（结果精确到个位，参考数据：收°1.41，1.73,乃=2.45）

12

2.（23-24九年级上•重庆荣昌・期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心/的

正北方向的3处，其中/3=2km,明明位于游客中心N的西北方向的C处.烈日当空，妈妈准备把包里的

太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60。方向缓慢前进.15分钟

后，他们再游客中心/的北偏西37。方向的点D处相遇.

（1）求妈妈步行的速度；

（2）求明明从C处到D处的距离.

3.（22-23九年级上•重庆沙坪坝•期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场,

设立雷达塔.某日，在雷达塔A处侦测到东北方向上的点B处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且

以30海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了1小时10

分到达点A南偏东53。方向的C处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不计）与N、C在一条直

线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与A相距100海里的D处.

⑴求力C的距离和点D到直线BC的距离；

（2）若海警船航行速度为40海里/时，可侦测半径为25海里，当海警船航行1小时时，是否可以侦测到

菲律宾渔船，为什么？（参考数据：sin53°~|,cos53°«|,tan53°）

题型十一坡度坡比问题

13

例11.（2024•安徽六安•模拟预测）和平路中学一年一度的校运会正在如火如荼的进行中，负责通讯报道的

小明和小亮使用无人机采集一组航拍画面.在航拍时，小明在C处测得无人机N的仰角为45。，同时小亮

登上看台CF上的。处测得无人机/的仰角为31。.若小亮所在看台CF的坡比为1:3,铅垂高度DG=3米

（点£,G,C,8在同一水平线上），求此时无人机的高度2B.（结果精确到1米，参考数据：sin31。=

0.52,cos31°=0.86,tan31°~0.60）

巩固训练

1.（21-22九年级上•安徽亳州•阶段练习）为测量底部不能到达的建筑物A8的高度，某数学兴趣小组在山坡

的顶端C处测得建筑物顶部N的仰角为20。，在山脚。处测得建筑物顶部/的仰角为60。，若山坡CD的坡

度i=1:皮,坡长CD=20米，求建筑物4B的高度.（精确到1米）（参考数据：s讥50。=0.77,cos50。=0.64,

2.（2024•吉林•模拟预测）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进，如图，AB1BC

测得力B=5米，BC=12米，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13。，即4DC=13。（此时点2、

C、。在同一直线上）.

地面

（1）求这个车库的斜坡4C的长；

（2）求斜坡改进后的起点。与原起点C的距离（结果精确到0.1米,参考数据:sin13°«0.22,cos13°«0.97,

14

tan13°=0.23).

3.（23-24九年级下•重庆•阶段练习）如图，斜坡力B长130米，坡度i=1:2.4,BC1AC,现计划在斜坡中

点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线C4的平台DE和一条新的斜坡3E.

（1）若修建的斜坡8E的坡角为30。，求平台DE的长；（结果保留根号）

（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN,小明在。点测得广告顶部M的仰角为26.5。，

他沿坡面ZM走到坡脚/处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为53。，此

时小明距大楼底端。处30米.已知3、C、/、M、。在同一平面内，C、A.P、。在同一条直线上，求广

告MN的长度.（参考数据：sin26.5°~0.45,tan26.5°20.50,sin53°q0.80,cos53°«0.60,tan53°«1.33）

题型十二其他问题

例12.（24-25九年级上•山东泰安•阶段练习）拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱示意图如图所示（滚

轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE,BC的长度为60cm,两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条

直线上.如图1,当拉杆伸出一节Q1B）时，力C与地面夹角乙4CG=53。；如图2,当拉杆伸出两节（AM、MB）

时，AC与地面夹角N4CG=37。，两种情况下拉杆把手力点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度.（参考数

据：sin53°«-,sin37°«-,tan53°--,tan37°«—）

5534

巩固训练

15

1.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点8为“水族展

览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”.已知NBAC=60。，N8C4=45。，AC=1640m.求“彭城风华”观演

场地与“水族展览馆”之间的距离力B（精确到1TH）.（参考数据：V2«1.4bV3«1.73）

2.（2024・全国•模拟预测）【综合与实践】

如图1,光线从空气射入水中会发生折射现象，其中a代表入射角，夕代表折射角.学习小组查阅资料了解

到，若n=舞，则把n称为折射率.（参考数据：sin53°«icos53°«1,tan530~J）

sinp55o

【实践操作】如图2,为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，

光线可沿尸。照射到空容器底部B处，将水加至。处，且8F=12cm时，光点移动到C处，此时测得。尸=

16cm,BC=7cm,四边形A8FE是矩形，GH是法线.

图1图2

【问题解决】

（1）求入射角NPDG的度数;

（2）请求出光线从空气射入水中的折射率n.

3.（2023•山东济南・中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段4BC表示车后盖，已知48=lm,BC=

0.6m,^ABC=123°,该车的高度力。=1.7租.如图2,打开后备箱，车后盖力BC落在力B,C'处，AB’与水平

面的夹角NB'AD=27°.

16

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面Z的距离；

(2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明理由.

(结果精确到0.01m,参考数据：s讥27。=0.454,cos27°«0.891,tan27°«0.510,73«1.732)

17

第二十三章解直角三角形知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

困

*定义.段

正切

「锐角三角函数•

由概念求三角函数值

-计算V由角的度数求三角函数值

由三角函数值求角的度数

r三边之间的关系

依据-锐角之间的关系

I质之间的关系

解直角三角形y

r已知斜边和一直角边

已知两直角边

基本类型

已知斜边和一锐角

»已知一直角边和一锐角

仰俯角问题

方位角问题

坡度问题

（与生活有关的其他问题

02知识速记

1、在RSZCB中，“=90°,

乙的对边4A的邻边4A的对边

sinA=4cos4=tan4=

斜边斜边jA的邻边

18

2、特殊三角函数值

一数直、a

三赢®----二30°45°60°

1

sina叵

TT2

73J21

cosa

2~TT

tana叵173

3

3、直角三角形的边角关系(a、b为直角边，c为斜边)

⑴锐角之间的关系:/A=90°—ZB,ZB=90°-ZA;

(2)三边之间的关系:a=7c2-b?b-Vc2—a2c=Va2+b2；

(3)边角之间的关系：a=csinA,a=ccosB,a=btanA,b=csinB,b=ccosA,b=atanB.

4、用解直角三角形解决实际问题的步骤

⑴审题，弄清方向角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念，将实际问题抽象为

数学问题.

(2)认真分析题意，画出平面图形,转化为解直角三角形问题，对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线

构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形.

⑶根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形.

⑷按照题目中的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答

案，并标注单位

03题型归纳

题型一求角的三角函数值

例1.(24-25九年级上•云南•阶段练习)在Rt△力BC中，ZC=90°,AB=3,AC=1,贝Us讥4=()

A.誓BD.叵

-I亍10

【答案】A

19

【分析】根据正弦：我们把锐角4的对边a与斜边c的比叫做N力的正弦，记作s讥力进行计算即可.此题主要

考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义.

【详解】解：•.・NC=90。，AB=3,AC=1,

二BC=7AB2一4C2=V9^T=2VL

..BC2V2

•••sinA=­=——

AB3

故选：A.

巩固训练

1.（2024•广东•模拟预测）正方形网格中，乙4OB如图所示放置（点/,O,C均在网格的格点上，且点C在

OB上），贝！Isin/AOB的值为（）

A.-B.—C.—D.1

223

【答案】B

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出。B边上的格点C,连接AC,

利用勾股定理求出4。、AC.CO的长度，再利用勾股定理逆定理证明△力。C是直角三角形，然后根据正弦

的定义计算即可得解.

【详解】如图，C为OB边上的格点，连接4C,

根据勾股定理，AO—V22+42=2V5>

AC="2+32=V10,

oc=V12+32=VTo,

所以，AO2=AC2+OC2=20,

20

所以，△aoc是直角三角形,

，也4。8=券=凑=苧

故选：B.

2.（22-23九年级下•浙江金华•开学考试）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，AB、

C、。都在格点处，48与CD相交于点P,则cosN/PC的值为（）

【答案】B

【分析】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关

键.连接DE,CE,根据题意可得：AB||DE,从而利用平行线的性质可得乙4PC=NEOC,然后利用勾股定

理的逆定理证明△DCE是直角三角形，从而可得NDCE=90。，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得

cos/CDE的值，即可解答.

【详解】解：如图：连接DE,CE,

由题意得：

AB||DE,

,ZAPC=/EDC,

在中，0)2=22+42=20,

CE2=12+22=5,

DE2=32+42=25,

CD1+CE1=DE2,

二△£）（7£是直角三角形,

21

・・・^DCE=90。,

AcosZCDE=—之石

DE5

2-J5

・•・cosZAPC=cos/CDE=

5

故选：B.

3.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）在RtA/BC中，4c=90。，AC=15,BC=8,下列三角函数值

正确的是（）

ACA-A15c,c8

AA.si,nA=一15B.cosA=—15C.tanA=—D.sinB=—

1717815

【答案】B

【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键.根据题意作出图形,

进而根据三角函数关系求解即可.

【详解】解：如图，在RtzXZBC中，zf=90°,AC=15,BC=8f

/.AB=ylAC2+BC2=17,

AC15ABC.AC15

一=一,tanA=—=8sinB=—二一

AB17AC15AB17

「•A、C、。错误，8正确,

故选B.

题型二已知三角函数值求长度

例2.（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在矩形4BCD中，DE1AC,垂足为点E.若sinNADE=/

AD=4,则力C的长为.

【答案】5

【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等.根据同角的余角相等，得至Us讥=

sin^ACD,再根据正弦定义即可解得AC的长.

【详解】解：在矩形力BCD中，ZADC=90°,

22

DE1AC,

・•.ZADE+NEDC=NEDC+ZACD=90。,

ZADE=ZACD

AHA.

・•・sinZADE=sinZACD

AC5

AD—4,

AC=5,

故答案为：5.

巩固训练

1.（22-23九年级上•全国・单元测试）在△ABC中，ZC=90°,4C=6,cosB=则BC=

【答案】8

【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦、余弦的定义是解题关键.

根据题意得出s讥8确定84=10,然后再利用余弦求解即可.

【详解】解：AC=6,cosB-I，

3

；・sinB=（,

AC3

—=）

AB5

：.BA=10,

:・BC—ABxcosB=8,

故答案为：8.

2.（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，在矩形A8CD中，AB=8,AD=6,点£在4B上，BE=2,点、

F在BD上,tanZAEF=3,贝!JEF=

C

B

【答案】巫

3

【分析】根据正切函数的定义得出4M=2,利用勾股定理求出OM的长，过点。作EF的平行线构造相似三

角形，利用相似三角形的性质即可得答案.

23

本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数，熟练掌握判定，正切函数的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，作DM||EF交48于点

贝ljAAMD=AAEF，

•••四边形ABCD是矩形，

AD=6,tanAAMD==tanAAEF=3,

AD

AM=2,

•••由勾股定理得DM=yjAD2+AM2=2屈.

AM=2,AB=8,

BM=6,

•••EF||DM,

•••△BEFMBMD,

.EF_BE_1

••DM-BM~3’

3.（2023・湖南娄底•中考真题）如图，点£在矩形ABCD的边CD上，将△力DE沿4E折叠，点。恰好落在边8c

上的点尸处，若BC=10.sin/力FB=（,贝.

【答案】5

【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得=4F=10,EF=ED,可得力B=AF-sin^AFB=10x(=8,

BF=VXF2-AB2=6,设DE=%,贝i]CE=CD-DE=8-x,利用勾股定理可得EF?=CF2+CE2,进而

24

可得结果.

【详解】解：：四边形力BCD是矩形，

：.4B=NC==90°,AB=CD,AD=BC=10,

根据折叠可知，可知力D=4F=10,EF=ED,

贝ij,在RtZ\4BF中，AB^AF-sin^AFB=10x|=8,贝iJCD=8,

:.BF=\AF2-4B2=6,贝1JC尸=8C-2尸=4，

设DE=x,贝l|CE=CD—DE=8—x,

在RtACEF中，EF2=CF2+CE2,即：%2=（8-x）2+42,

解得：x=5,

即：DE=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问

题的关键.

题型三特殊三角形的三角函数

例3.（24-25九年级上•山东泰安•阶段练习）在RtAABC中，ZC=90°,cosJ=^,则cos；=_________.

22

【答案】昱

2

【分析】本题考查特殊三角函数值，利用cos4=:求出乙4=60。，则cos^=cos30。即可求解.

【详解】解：在中，ZC=90°,cosA=~,

2

・•・ZA=60°,

••・cos-=cos30°=—，

22

故答案为：&.

2

巩固训练

1.（2024九年级上•上海•专题练习）RtA4BC中，ZC=90°,NANB=1:2,则tcm—4的值（）

A.-B.—C.省D.V3

223

【答案】C

25

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关

键.

根据NC=90。，乙4:NB=1:2,求出的值，即可求解.

【详解】解：如下图:

4:瓜=1:2

1

..・々=90。广30。,

tanNN—tan30°=—

3

故选：C.

2.（22-23八年级下•吉林长春・期末）小明利用如图所示的量角器量出N40B的度数，cosZ40B的值