直线与平面垂直 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

直线与平面垂直1.掌握直线与平面垂直的性质定理；(重点)2.能运用性质定理解决一些简单问题；(难点)3.了解直线与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.

【情境探究】1.观察图中书脊所在直线与桌面的位置关系.

问:书脊所在直线与桌面的位置关系是什么?提示:垂直.必备知识生成2.如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c,…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么?

提示:不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c,…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c,…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交或平行.3.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直?

提示:从试验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么结论?提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则该直线垂直这个平面.4.直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?提示:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°.一、直线与平面垂直的定义与表示2.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示.二、点到平面的距离过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.知识点三

直线与平面垂直的判定定理1.文字语言:如果一条直线与一个平面内的

垂直,那么该直线与此平面垂直.

2.符号语言:若l⊥m,l⊥n,m∩n=B,m⊂α,n⊂α,则

.

3.图形语言:如图8-6-9所示.图8-6-9两条相交直线l⊥α【诊断分析】1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)线面垂直的判定定理中,平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点.(

)(2)如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平面垂直.(

)(3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则此直线与该三角形所在平面垂直.(

)×[解析]它们可以有公共点,也可以没有公共点.×[解析]在线面垂直判定定理中,要求平面内的两条直线必须相交.√[解析]因为三角形的任意两条边都相交,所以根据直线与平面垂直的判定定理知,此直线与该三角形所在平面垂直.2.若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直,则此直线与该平行四边形所在平面垂直吗?解:当一条直线垂直于平行四边形的两条邻边时,此直线与该平行四边形所在平面垂直;当一条直线垂直于平行四边形的两条对边时,因为这两条对边平行,所以此直线与该平行四边形所在平面不一定垂直.四.直线与平面垂直的定义？垂线垂足垂面1.直线与平面垂直的判定定理？2.如何理解点到平面的距离？平面的斜线斜足斜线在平面上的射影斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．线面角

注：平面的斜线与平面内所有直线所成

的角中，斜线与平面所成的角最小．

BDCA1B1C1D1AOCAMB

求斜线和平面所成的角的一般步骤：

作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足

和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为

斜线和平面所成的角；

证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；

（注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）

求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小．知识点五

直线和平面所成的角1.斜线、

射影的定义(1)斜线:一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫作这个平面的

,斜线和平面的交点A叫作斜足,如图8-6-10.

图8-6-10斜线(2)射影:过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线在这个平面上的

.

这里要注意两点:一是点P具有任意性,可通过取不同的点来说明;二是斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段.课前预习图8-6-10射影2.直线和平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的

所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角.如图8-6-10所示,

就是斜线AB和平面α所成的角.特别地,一条直线垂直于平面,它们所成的角是

;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是

.因此,直线和平面所成的角的取值范围为

.

射影∠PAO(θ)图8-6-1090°0°0°≤θ≤90°【诊断分析】1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面的一条斜线和平面所成角的取值范围是[0°,90°]. (

)(2)平面的一条斜线和平面内一条直线所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角. (

)×[解析]平面的一条斜线和平面所成角的取值范围是(0°,90°),任意一条直线和平面所成角的取值范围才是[0°,90°].×[解析]平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角.

2.证明:平面的斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.1.直线与平面垂直概念的理解(1)定义中强调的是垂直于平面内的任意一条直线(即所有直线),而不能用垂直于平面内的无数条直线来代替.(2)若一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,则这条直线就一定不与这个平面垂直.(3)直线与平面垂直的定义既可用作线面垂直的判定,也可作为线面垂直的性质.2.线面垂直的判定定理解读(1)线面垂直的判定定理可简述为“若线线垂直,则线面垂直”.(2)利用线面垂直的判定定理时,一定要注意这条直线和平面内的两条相交直线垂直,而不是任意的两条直线(一交一内一垂直).3.确定点(或线)在平面内射影位置的常用方法(1)如果一个角所在平面外一点到角两边的距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上.(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线与这个角的两边的夹角相等,那么斜线在这个平面内的射影是这个角的平分线所在直线.(3)在三棱锥A-BCD中,有下列结论:①若AB=AC=AD,则点A在平面BCD内的射影为△BCD的外心;②若点A到BC,CD,BD的距离相等,则点A在平面BCD内的射影为△BCD的内心;③若AB⊥CD,AC⊥BD,则点A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心.

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