课时作业55（解析版）

3/3课时作业(五十五)1.答案D解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanx＋\f(1,tanx)))cos2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)＋\f(cosx,sinx)))cos2x＝eq\f(cos2x,sinxcosx)＝eq\f(1,tanx).2．答案A解析因为α为第二象限角，所以eq\f(1,\r(1＋tan2α))＝eq\f(1,\r(1＋\f(sin2α,cos2α)))＝eq\f(1,\r(\f(cos2α＋sin2α,cos2α)))＝eq\f(1,\r(\f(1,cos2α)))＝－cosα.故选A.3.答案B解析∵2弧度角为钝角，∴sin2>0，cos2<0.故选B.4．答案A解析eq\r(1－2sin50°cos50°)＝eq\r(（sin50°－cos50°）2)＝|sin50°－cos50°|＝sin50°－cos50°.5．答案C解析原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.6．答案B解析根据题意，得eq\f(sinx,|sinx|)－eq\f(cosx,|cosx|)＝2，所以sinx>0，cosx<0，于是x是第二象限角，又0<x<2π，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).7．答案C解析tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).∵sinαcosα＝eq\f(1－（sinα－cosα）2,2)＝－eq\f(1,8)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝－8.8．答案D解析方法一：∵θ为第四象限角，∴sinθ<0，∴eq\r(\f(1－cosθ,1＋cosθ))－eq\r(\f(1＋cosθ,1－cosθ))＝eq\r(\f(（1－cosθ）2,1－cos2θ))－eq\r(\f(（1＋cosθ）2,1－cos2θ))＝eq\f(1－cosθ,－sinθ)－eq\f(1＋cosθ,－sinθ)＝eq\f(2cosθ,sinθ)＝eq\f(2,tanθ).方法二：∵θ为第四象限角，∴sinθ＜0，∴原式＝eq\f(（1－cosθ）－（1＋cosθ）,\r(1＋cosθ)·\r(1－cosθ))＝eq\f(－2cosθ,\r(1－cos2θ))＝eq\f(－2cosθ,－sinθ)＝eq\f(2,tanθ).9．答案eq\f(5,13)解析由已知得eq\f(cosθ,sinθ)＋eq\f(1,sinθ)＝5，所以cosθ＝5sinθ－1，两边平方得1－sin2θ＝25sin2θ－10sinθ＋1，解得sinθ＝eq\f(5,13)或0(舍去)．10．解析(1)原式＝eq\f(\r(（sin130°－cos130°）2),sin130°－cos130°)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.(2)原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(（1－cosα）2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|)＝±1.11．答案B解析∵tan160°＝eq\f(sin160°,cos160°)＝k，∴sin160°＝kcos160°.又∵sin2160°＋cos2160°＝1，∴(kcos160°)2＋cos2160°＝1，∴cos2160°＝eq\f(1,k2＋1).又160°是第二象限角，∴cos160°<0，∴cos160°＝－eq\f(1,\r(1＋k2))，∴sin160°＝kcos160°＝－eq\f(k,\r(1＋k2)).故选B.12．答案AB解析eq\f(2tanαcosα,sinα)＝eq\f(2sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝2，A正确；tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝2，B正确；eq\f(2sinx,cosx－sinx)＝eq\f(2tanx,1－tanx)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\f(1,2))＝2，C不正确；∵α范围不确定，∴tanα的符号不确定，D不正确．13．答案D解析由tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝4，得sinθcosθ＝eq\f(1,4)，∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×eq\f(1,16)＝eq\f(7,8).故选D.14．证明方法一：右边＝eq\f(tan2α－sin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2α（1－cos2α）,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，所以原等式成立．方法二：左边＝eq\f(tanαsinα,tanα－tanαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右边＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα（1－cosα）)＝eq\f(sin2α,sinα（1－cosα）)＝eq\f(sinα,1－cosα)，所以左边＝右边，原等式成立．15．答案C解析因为tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，所以(tanα－4sinα)(tanα＋sinα)＝0，因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以tanα<0且sinα<0，所以tanα－4sinα＝0，即eq\f(sinα,cosα)＝4sinα，所以co