空间中的平行关系（线线平行、线面平行、面面平行）-2025年高中数学一轮复习

第03讲空间中的平行关系

（线线平行、线面平行、面面平行）

（11类核心考点精讲精练）

IN.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

证明面面垂直

2024年新I卷，第17题,15分证明线面平行

由二面角大小求线段长度

证明线面垂直

2023年全国乙卷（理），第19题,12分证明线面平行证明面面垂直

求二面角

2022年新H卷，第20题,12分证明线面平行面面角的向量求法

2022年全国甲卷（文），第19题,12分证明线面平行求组合体的体积

求线面角

2020年全国乙卷（理），第20题,12分证明线面平行

证明面面垂直

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-15分

【备考策略】1.理解、掌握空间中点线面的位置关系及相关的图形和符号语言

2.熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理及其应用

3.熟练掌握面面平行的判定定理和性质定理及其应用

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面平行、面面平行的判定及其性质,

需强化巩固复习.

IN.考点梳理・

1

知识点1常见立体几何的定义、性质及其关系

知识点2四个公理与一个定理

知识点3空间中点线面的位置关系

知识点4线线平行

知识点5线面平行的判定定理

知识点6线面平行的性质定理

知识点7面面平行的判定定理

知识点8面面平行的性质启理

考点1空间中点线面的位置关系

考点2空间中线面平行的判定（直接里）

考点3空间中线面平行的判定（中位线里）

考点4空间中线面平行的判定（平行四边形型）

考点5空间中线面平行的判定（相似型）

考点6空间中线面平行的判定（向量型）

考点7空间中线面平行的性质

考点8空间中面面平行的判定

考点9空间中面面平行的性质

考点10补全条件证空间中的平行关系

考点11补全图形证空间中的平行关系

知识讲解

1.常见立体几何的定义、性质及其关系

（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等）

（2）斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱

（3）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱

（4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱

（5）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形

底面为平P/一、wl侧棱垂直于

行四边放平行六面体————

四棱柱直平行六面体

侧棱与底，而丽底面为，

面垂直।且［二I平行四边形

百雨底面为正方形，国筱尚卡曰

2.四个公理与一个定理

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

2

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3.空间中点线面的位置关系

点在直线上点不在直线上

点与直线的位置关系/■-

AeaB色a

•B

点在平面上点不在平面上

点与面的位置关系/i/

A^aB色a

线与线的位置关系----------a/h丁

----------b\

平行，allb相交，aC\b=o1，m异面

______a

///Z/

线与面的位置关系/

auaa[\a=Aalia

勺，X

面与面的位置关系4___________z

平行，allp相交，aC\/3=aa与，重合

4.空间中的平行关系

(1)线线平行

①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质(对边平行且相等)

③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行

(2)线面平行的判定定理：

平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行

图形语言符号语言

1------n/b1

1Ua\=lHa

/b/6uaj

(3)线面平行的性质定理

3

若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行

图形语言符号语言

1Ha、

luf3'nlllb

金7aPiP=b

(4)面面平行的判定定理

判定定理1:一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行

图形语言符号语言

alia

bnp

>=>a〃尸

a^\b=A

/CZ7aua,bua

判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别］F另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行

图形语言符号语言

alln

bllm

a^\b=A

=>a〃夕

加二B

a.bua

m9nu0

(5)面面平行的性质定理

性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面

性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行

考点一、空间中点线面的位置关系

甲典例引领

1.(2024•全国•高考真题)设%夕为两个平面，加、〃为两条直线，且。口£=加.下述四个命题：

①若小〃〃，则〃//a或〃//£②若加_L〃，则或〃

③若”//a且〃//£,则加〃"④若〃与见夕所成的角相等，则加"1_"

其中所有真命题的编号是()

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

4

【详解】对①，当"ua,因为机〃“，mu0,则"//分，

当nu0,因为加〃”，〃?ua,则〃//々，

当”既不在a也不在?内，因为”z〃"，muajnu。,则为〃a且〃//£,故①正确；

对②，若机则〃与a,£不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n分别作两平面与a,/3分别相交于直线s和直线t,

因为〃//a,过直线〃的平面与平面a的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知〃〃s,

同理可得〃/〃，贝!Js/4,因为S（Z平面£,lu平面则s//平面£,

因为su平面a,a[\p=m,贝作//机，又因为〃〃s,贝lj冽〃〃，故③正确；

对④，若ac/=〃z，〃与a和6所成的角相等，如果"〃生”〃乃，贝!故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

2.（2024・天津・高考真题）若九〃为两条不同的直线，&为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若加〃a,nlla,则加_L〃B.mHa,nila,则加〃”

C.若mlla,nLa,则机_L〃D.若机〃a,〃_La,则加与〃相交

【答案】C

【分析】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断CD的正误.

【详解】对于A,若机//a,nlla,则〃g〃平行或异面或相交，故A错误.

对于B,若机〃a,〃//a,则"夕平行或异面或相交，故B错误.

对于C,mlla,nla,过机作平面尸，使得£口&=5,

因为〃?u£,故加〃s,而sua,故〃_Ls,故加_L〃，故C正确.

对于D,若mllajiLa,则4与〃相交或异面，故D错误.

故选：C.

即时检测

■一

L（2024•河北邢台•二模）已知两条不同的直线〃、6和平面。，下列命题中真命题的个数是（）

(1)若a//a,b!la,则q//6(2)若a//b,b!la9则a//a

(3)若a_La,bLa,则a//b(4)若〃_|_6，bLa,则a//a

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用线面平行的判定与性质判断（1）（2），利用线面垂直的性质判断（3）（4）.

【详解】由两条不同直线。，6及平面。，知：

5

对（1）,若。//a,blla,则。与6相交、平行或异面，故错误；

对（2）,若q//6,bIla,则a//a或aua,故错误；

对（3）,若。_La,bLa,则由线面垂直的性质得a//b,故正确；

对（4）,若〃_16,b.La,则a//a或aua,故错误.

故选：A.

2.（2024・浙江绍兴・三模）设切，〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若a_L尸，m\\af则7nls

B.若mJ./?,m-La,n//a,则几II尸

C.若冽_La,ni,m\\n,则a_L用

D.若。口/=加，n//a,n\\13,则加||加

【答案】D

【分析】由空间中的线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可.

【详解】若a，尸，m\\a,则加||尸或加u/7,所以A错；，.・加_L尸，m1cr,:.a//p,"〃a,夕或

nu0,所以B错；

若加_La,n±/3,m\\nf则a〃夕，所以C错；若aCl/?=加，n//a,n\\j3,则几与两面的交线冽平行，

即加||及，故D对.

故选：D.

3.（2024・辽宁•二模）设a,，是两个平面，加，〃，/是三条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若lu/3,冽ua,11m,则。_1万

B.若/〃a,I//P,aC\（3=m,贝!J/〃加

C.若。口/=冽，PV\y=n,yca=l,则加//〃/〃

D.若加J_〃，mLa,则〃//a

【答案】B

【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若/u",m^a,/im,则凡/相交或平行，所以A错误；

对于B中，若/〃a,/〃/，a^/3=m,由线面平行的性质可得/〃加，所以B正确；

对于C中，若aCl/?=加，p[}y=n,yca=l,当/人/两两相交时，冽/,/两两相交，所以C错误；

对于D中，若加_L〃，m-\.a,则〃〃a或〃ua,所以D错误.

故选：B.

考点二、空间中线面平行的判定（直接型）

典例引领

1.（2024•全国•高考真题）如图，在以/,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形/BCD与四边形/。£尸

6

均为等腰梯形，EF/IAD,BCI/AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=®,FB=25M为40的中点.

(1)证明：区区//平面。。£；

(2)求二面角尸的正弦值.

【答案】⑴证明见详解;

唔

【分析】(1)结合已知易证四边形8coM为平行四边形，可证及W7/CD,进而得证；

(2)作交40于。，连接OF,易证。民。。,。尸三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即

可求解.

【详解】(1)因为8。〃/。,跖=2,AD=4,M为4D的中点，所以BCHMD,BC=MD,

四边形为平行四边形，所以BMHCD,又因为u平面CDE,

CDu平面CDE,所以3M〃平面CDE；

(2)如图所示，作交4D于O,连接。尸，

因为四边形/BCD为等腰梯形，BCIIAD,AD=A,AB=BC=2,所以CD=2,

结合(工)BCDM为平行四边形，可得3M=CD=2,又4M=2,

所以ANBM为等边三角形，。为中点，所以。8=6，

又因为四边形4DE尸为等腰梯形，河为中点，所以EF=MD,EF"MD,

四边形EFW为平行四边形，FM=ED=AF,

所以△力而为等腰三角形，ANBM与△/瓶底边上中点O重合，OF±AM,OF=-JAF2-AO2=3>

因为。笈+O尸=5尸2,所以03_L0F,所以。3,。。,。尸互相垂直,

以方向为无轴，方向为y轴，o尸方向为z轴，建立。-“空间直角坐标系,

/(0,0,3),S(V3,0,0),M(O,l,O),E(0,2,3),丽7=卜月,1,0),而=(r/5,0,3),

BE=(-52,3),设平面的法向量为记=(x1,y1,z1),

平面EMS的法向量为元=(X2,y2,z2),

m-BM=0—y]3X[+y,=0i—.._、

则一，即厂，令再=百，得M=3/1=1,即记=(V5,3,1),

m-BF=0_+3zj-0

亢•BM=0A/3+%=0厂

则_,即r，令工2=百，得%=3/2=T,

HBE=GA/3%2+2%+3Z2=0

7

即六（/"/-3，-1\），。由一一八m丽-n;而11而下11，则sm.=*AAC,

故二面角尸的正弦值为述.

即0^（

1.（23-24高三上•辽宁朝阳•阶段练习）如图所示，在三棱锥尸-48C中，PA=AB=AC,直线两

两垂直，点。,石分别为棱尸民PC的中点.

（1）证明：8c〃平面4DE；

（2）求平面ABC与平面ADE所成角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）由于点2E分别为棱必，尸C的中点，应用中位线定理可得DE〃BC,从而得到了证明线面平

行所需的线线平行；

（2）首先以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求平面N8C和平面NDE的法向量，进而用空

间向量的夹角公式求解即可.

【详解】（1）证明：因为点。,E分别为棱尸用尸C的中点，

所以BC//DE.

又DEu平面/DE,BCO平面4DE,S.BC//DE,

所以8c〃平面ADE.

（2）解：以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

8

设43=2,则力（0,0,0）,£＞（1,0,1）,£（0,1,1）,

得而=（1,0,1）,荏=（0』,1）.

设平面4DE的法向量为k=（x,y,z）,

n-AD=x+z=0,

则►取x=l,则＞=1,z=-1,

n•AE=y+z=0,

由尸/，平面ABC,得平面ABC的一个法向量为m=（0,0,1）,

所以平面ABC与平面ADE所成角的余弦值为|cos机司=R.

叫叫3

2.（2024•宁夏石嘴山•模拟预测）如图，在正方体中，£是。。的中点.

⑴求证：4。〃平面/CE；

（2）若BDl=6,求点B到平面4EC的距离.

【答案】⑴证明见解析

（2）72

【分析】（1）根据正方体的性质得到NC〃4G，即可得证；

（2）利用等体积法求出点到平面的距离.

【详解】（1）在正方体48c-ABCD中，AAJ/CC,且皿=CQ,

所以四边形44GC为平行四边形，所以NC7/4G，

又4cle平面NCE,/Cu平面NCE,所以4G〃平面/CE.

（2）设正方体的棱长为。（。＞0）,则叫="2+°2+/=6,解得a=2VL

9

所以4c=J（26j+（2百j=2指，4E=EC=《2喃+（阴=岳,

所以S.ACE=；X2新＞J（衣J_（逐了=3新,

设点8到平面AEC的距离为d,则/TBC=/TEC，即;SJBC-DE=；SJECS，

即:x；x2百x2百xVJ=gx3Cz,解得］=也，

即点B到平面4EC的距离为V2.

考点三、空间中线面平行的判定（中位线型）

典例引领

1.（浙江・高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2e的菱形，且/BAD=120。，且PAJ_平

面ABCD,PA=2戈，M,N分别为PB,PD的中点.

（1）证明：MN〃平面ABCD；

（2）过点A作AQJ_PC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）叵.

33

【分析】⑴证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点，所以MN是4PBD的中位线，所以MN〃BD.

10

又因为MN《平面ABCD,BDU平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

(2)解：在菱形ABCD中,/BAD=120。，

得AC=AB=BC=CD=DA,

BD-JjAB.

又因为PA_L平面ABCD,

所以PA_LAB,PA_LAC,

PA±AD.

所以PB=PC=PD.

所以△PBCt△PDC.

而M、N分别是PB、PD的中点，

所以MQ=NQ,

口11

且AM=-PB=-PD=AN.

取线段MN的中点E,连接AE,EQ,

D

则AE_LMN,QEJ_MN,

所以/AEQ为二面角A-MN-Q的平面角.

由.石，故在中,

AB=25y^,PA=2^AMNAM=AN=3,MN=-BD=3,得AE=.

在直角APAC中,AQLPC,得AQ=20,QC=2,PQ=4,

在4PBC中,COS/BPC='」+R'-3U=，,

1PBPC6

Z

得MQ=+PQ-2PMPQcosZBPC=旧

在等腰△MQN中,MQ=NQ=#,MN=3,

得QE=J戟酎-瓢萨=空.

11

在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2，

得cosZAEQ=

MEQE

所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为史3.

55

包即哪疗

1.（23-24高二上•广西•阶段练习）如图，在正四棱柱/BCD-48cA中，MM是。2的中点.

（1）求证：瓦”/平面M4C；

（2）若正四棱柱的外接球的表面积是24m求三棱锥A-苗4c的体积.

【答案】⑴证明见解析

呜

【分析】（1）连接8。交NC于O,连接M0,则九0//8功，利用线面平行的判定定理即可证明;

（2）求出正四棱柱的外接球半径，进而可求出N8=2,N4=4,根据/_^C=七一即可求解.

【详解】（1）连接AD交NC于O,连接M0；

••・可。分别是。。08的中点，

:.MOHBDX

MOu平面MAC,BDia平面MAC,

，AD"/平面M4c.

12

（2）设N3=x（尤>0）,正四棱柱的外接球的半径为"r>0）,

因为正四棱柱的外接球的表面积S=4+=24兀，解得升=几,

由题意8A为正四棱柱的外接球的直径，

由4+喃二师，得/+/+4/=（2府，

解得x=2或x=-2（舍），即/8=2,/4=4.

••V=V

*'D[-MACyC-D'MA

'''^^D,MA=-X2X2=2

14

%-M4c=231AM=§*XS-01MA=-

2.（2024•陕西渭南•三模）如图，在四棱锥P-NBC。中，底面4BCD是平行四边形，平面4BCD,

4E4=44B=34D=12,BA-AD=0,且跖N分别为尸。，NC的中点.

P

（1）求证：MNII平面PBC；

（2）求三棱锥M-ACD的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）3

【分析】（1）利用三角形的中位线，证明〃尸8,可证得儿W〃平面P3C；

（2）利用三棱锥的体积公式求解.

【详解】（1）证明：如图，连接3。，由/8CA是平行四边形，则有3。交NC于点N.

'：M,N分别为PD,BD的中点，：.MNHPB.

又PBu平面P8C,AGVU平面P3C,故AGV〃平面尸3c.

（2）,：BA.AD=0>：.BAVAD,二平行四边形N8C。为矩形.

13

V4PA=4AB=3AD=n,；.PA=AB=3,AD=4,

S4ACD~；4D-CD=6.

13

又尸4_L平面45C。，M为尸。的中点，则〃到平面4CQ的距离为〃=—P/=—.

22

,,^M-ACD=§S"CD.〃=3.

3.（2024•河北•二模）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面NBC。是菱形且/A8C=120。，△以。是边长为

的等边三角形，E,F,G分别为尸C,BC,的中点，/C与8G交于点

（1）证明：PH//平面DEF；

（2）若尸〃=,求平面尸N3与平面PA尸所成锐二面角的余弦值.

【答案】⑴证明过程见解析

【分析】（1）作出ME,再根据线面平行的判定定理证明即可.

（2）使用建系法，根据向量的夹角公式求出两个法向量的夹角余弦值，即可求出锐二面角的余弦值.

【详解】（1）如图，设/C与。厂交于点连接ME.

因为EG分别为8C,/。的中点，底面/BCD是菱形，

所以。G//AF且0G=2尸,

所以四边形G是平行四边形，而以BGUDF,

因为尸为8C的中点，所以M为CH的中点，

因为£为PC的中点，而以EM/IPH,

又PHU平面DEF,EMu平面。所，所以尸〃//平面。EF.

（2）连接尸G,因为△尸40是边长为26的等边三角形，G为4D的中点，

所以尸G，4D,PG=3.

因为底面/BCD是菱形且/48C=120。，易知为等边三角形，所以3G_L/Z）,8G=3.

「HAC11

易知AAGH~ACBH,所以---=---=—,所以G//=l.

BHCB2

因为尸〃=而，所以PG2+GH2=PH?,所以尸G_LGH.

所以ND,GX,PG两两垂直，以G为坐标原点，分别以所在直线为xj,z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，

14

则/(G,0,0),。(-6,0,0),尸(0,0,3),8(0,3,0),尸(-@3,0),

所以方=(G,0,-3),方=(0,3,-3),而=(V,0,-3),而=(，3,3,-3,

设平面尸48的法向量为万=(x,y,z),

,,,PA-n=0V3x-3z=0

则一，得，

PB-ii=Q[3y-3z=0

取z=l,贝！J尤=6/=1,所以〃=(百,1,1).

设平面PDF的法向量为m=(x,,y,z,),

PDm=Q|-收'-3z'=0

贝"一，得厂，

PFm=Q〔一gx'+3V—3z'=0

贝|JV=O,取z'=T,则r=所以帚=(G,0,-1).

所以c°s（应㈤=

所以平面PAB与平面PDF所成锐二面角的余弦值好.

考点四、空间中线面平行的判定（平行四边形型）

典例引领

1.（2024・北京•高考真题）如图，在四棱锥尸-N8C。中，BC//AD,AB=BC=1,40=3,点E在4D上,

且PE=DE=2.

（1）若尸为线段尸E中点，求证：3尸〃平面PCD.

15

⑵若AB1平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

(2)回

30

【分析X1)取PD的中点为S,接防,SC,可证四边形SFBC为平行四边形，由线面平行的判定定理可得BFH

平面PCD.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面4PB和平面PCD的法向量后可求夹角的余弦值.

【详解】(1)取尸。的中点为S,接贝IJM〃瓦，,

而ED//BC,ED=2BC,&SFHBC,SF=BC,故四边形SE8C为平行四边形，

故AF//SC,而8下0平面尸CD,SCu平面PCD,

所以5F〃平面尸CD.

因为ED=2,故/E=1,故4E〃BC,AE=BC,

故四边形AECB为平行四边形，故CEHAB,所以CE_L平面PAD,

而尸平面尸4。，故CELPE,CELED,而PE工ED,

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,-(⑼,3(1尸］,0),41,0,0),。(0,2,0),尸(0,0,2),

贝1|莎=(0,-1,-2),而=(1,-1,-2)斥=(1,0,-2，方《0,2,-3

设平面尸48的法向量为应=(x,%z),

m-PA=0f-y-2z=0

贝岫＜可得,取应=（0,-2,1）,

mPB=0[x—y-2z=0

设平面PCD的法向量为五=(a,6,c),

iiPC=0a—2b=0

则由＜可得取为=（2,1,1）,

n~PD=02b-2c=0

-1V30

故COS而，元=

75x76

故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为回

30

16

2.（2024・天津•高考真题）已知四棱柱48cz）-44G4中，底面NBC。为梯形，AB//CD,4/，平面

AD1AB,其中/8=44]=2,/。=。。=1.N是3£的中点，”是。2的中点.

（1）求证AN〃平面CS也；

（2）求平面C[M与平面A8CG的夹角余弦值;

⑶求点3到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵2后

11

⑶巫

,11

【分析】（1）取CA中点p,连接NP,MP,借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得2N//MP,结

合线面平行判定定理即可得证；

（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；

（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.

【详解】（1）取C4中点p,连接NP,MP,

由N是3G的中点，故MV/CG，且NP=gcG，

由M是。2的中点，故。也=,且D、MHCC\,

则有D{MHNP、D、M=NP,

故四边形是平行四边形，故D\NHMP,

又MPu平面CB{M,DXN（Z平面CB.M,

故BN〃平面C81M；

（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，

17

有力(0,0,0)、8(2,0,0)、吕(2,0,2)、M(0,1,1),C(l,l,0)>G(1,1,2),

则有西=(1,-1,2)、两=(一1,0,1)、函=(0,0,2),

设平面CB\M与平面BB、CC1的法向量分别为比=(占,％Z])、n=(x2,y2,z2),

□『白.m-CBX=-y1+2z1=0n-CBX=x2-+2z2=0

mCM=—xx+Z]=0n-BBX=2z2=0

分别取再=X2=1，则有另=3、4=1、y2=lfz2=of

即成=(1,3,1)、元=(1,1,0),

则cos成於*-1+3,普

|邮司ji+9+i.ji+i11

故平面与平面的夹角余弦值为拽1；

11

(3)由函二(0,0,2),平面。印11的法向量为玩=(1,3,1),

则有•玩2=M2A/TLT,

\m\Jl+9+1H

即点B到平面CB\M的距离为名叵.

11

1.(23-24高二上•广东深圳•期末)如图，在四棱锥P-/2CD中,尸D,平面/BCD,底面/BCD为直角梯

形，PD=CD=AD=2AB,ABI/CD,ADICD.

AB

18

（1）设点E为棱PD的中点，证明：/£〃平面尸8C.

⑵求平面PBC与平面PAB的夹角的大小.

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）尸为尸C的中点，通过证明/£〃班"得证/£〃平面尸3c.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法解决两个平面夹角问题.

【详解】（1）设尸为PC的中点，连接EF,FB,AE,

AB

在△尸CD中，点E为棱尸。的中点，EFHCD,EF=；CD.

因为CD=2/3,ABI/CD,所以EF//AB,EF=AB,

所以四边形£尸氏4为平行四边形，所以4E//BF.

因为BFu平面P8C,/£</平面尸8（7,所以/£〃平面PBC.

（2）以。为坐标原点，。4,。。,。尸所在直线分别为了，-2轴，建立

如图所示的空间直角坐标系.

Af\L

/B

设PD=CD=AD=2AB=2,则4(2,0,0),尸(0,0,2),C(0,2,0),5(2,1,0),

而=(2,1,-2),PC=(0,2,-2).

丽"PR~QV-I-1;—7—f)

设平面PBC的一个法向量为次=(x/,z),则有一一'

m-PC=2y-2z=0

令y=2,则x=l,z=2,得所=(1,2,2).

评=(2,0,-2),AB=(0,l,0),

19

^2.P4—2cl—2c—0

设平面E/2的一个法向量为方=（见仇c）,贝！J有彳—.，

m-AB=b=O

令a=l,则6=0,c=l,得元=（1,0,1）.

设平面P8C与平面尸48的夹角为6,有cos<9=kos戒司="击|=1+^-=号

7T

所以平面〃与平面加8夹角的大小为,

2.（2024•天津•二模）如图，在直三棱柱/3C-4耳£中，ACIBC,AC=BC=2,CCX=3,F为片。的中

点，点DE分别在棱和棱CG上，且40=1，CE=2.

（1）求证：4尸〃平面ADE；

⑵求平面NCG4与平面BDE夹角的余弦值;

⑶求点4到平面BDE的距离.

【答案】⑴证明见解析

呜

【分析】（1）取BE的中点G,证明4/〃DG即可；

（2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值；

（3）向量法求点到平面的距离.

【详解】（1）证明：取3E的中点G,连接尸G,DG,则尸G〃CC///4,

且尸G==詈生=*=2,.•.尸G〃&。且FG=4。，

则四边形4OG厂为平行四边形，，A.F//DG.

又4尸。平面瓦乃，。3匚平面5。石，

尸〃平面BDE.

20

(2)解：直三棱柱N8C-44cl中，AC1BC.以C为原点，以至,而，反।的方向为x轴、＞轴、z轴的

正方向建立空间直角坐标系，

贝I]8(0,2,0),E(0X),2),D(201),:.BE=p,-22)BD=Q,-2L),

人，一ii-BE=-2y+2z=0,

设平面的一个法向量为有二(%,y,z),则|—.

n-BD=2x-2y+z=0,

即令＞=1,则z=l,x=；,得到平面瓦出的一个法向量力

易知平面ZCG4的一个法向量为成=(o，i，o).

设平面/CG4与平面的夹角为。,

।一一।—x0+lxl+lx0

।।\m-n\22

贝I]COS0=\cosm,n\=匕皆=----1---=-,

HIT3

2

平面/CG4与平面2DE夹角的余弦值为2.

(3)解：•••4(203),=(0,0,-2),

|而臼|-2|4

•••点4到平面BDE的距离d=不厂=丁=8・

2

3.(2024•西藏拉萨•二模)如图，在四棱台44CQ中，。。]_1平面458,两底面均为正方形,

AB=DXD=4,AXBX=2,点£在线段5。上，且DE=3EB.

21

（1）证明：〃平面&BCi；

⑵求点用到平面AB。的距离.

【答案】（1）证明见解析

(2)位

17

【分析】（1）根据平行四边