数学物理方法(第3版)课件：拉普拉斯变换

拉普拉斯变换本章将继续讨论积分变换，介绍另一个重要的积分变换—拉普拉斯变换。首先给出了拉普拉斯变换的定义；接着讨论了指数阶函数的拉普拉斯变换存在定理；分析了拉普拉斯变换的基本性质和卷积定理，最后给出了如何用拉普拉斯变换求解常微分方程。2§

3.1

拉普拉斯变换的基本原理§

3.2

拉氏变换的性质

§

3.3

拉氏变换的卷积定理

§

3.4

拉氏逆变换及其应用

拉普拉斯变换3§3.1.1

拉普拉斯变换的概念§3.1.2

周期脉冲函数拉普拉斯变换的计算方法3.1

拉普拉斯变换的基本原理4函数h(x)、cosx

、sin

x

、Re(s

)>p

、x

sin

x

、ex

这样一些常见函数都是指数阶函数。满足f

(x)

Mepx就称f

(x)是指数阶函数。定义

对于函数f

(x)，若存在着正数p和M

，当x

>0时，使得f

(x)3.1.1

拉普拉斯变换的概念(3.1-1)5指数阶函数傅立叶积分的收敛性。由于f(x)定义在x

>0区间上，因此f

(x)的傅立叶积分可以写成f

(o)=j

h(x)f

(x)e_jox

dx=j0

f

(x)e_jox

dx

(3.1-2)为了保证积分的收敛性，令o

=a

_jb(b

>0)，将此式代入式(3.1-2),有f

(o)=j0

f

(x)e_bx

e_jax

dx

(3.1-3)对于指数阶函数而言，xl

f

(x)e_bx

=0，符合傅立叶积分存在的条件，即式(3.1-3)是收敛的。的++的的++的的的3.1.1

拉普拉斯变换的概念6上述讨论说明，若对傅立叶积分中函数所乘的因子e

jOx

做

一些变动，可以使常见的指数阶函数的积分变换存在且收敛。

受到启发，取s

=+jO

，用e

一sx

代替傅立叶积分中的e

一

jOx

就可以得到拉普拉斯变换，下面是它的数学定义。3.1.1

拉普拉斯变换的概念73.1.1

拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的数学定义

设函数f(x)是定义在(0,+的)上的实值函数，如果对于复参数s

=b+jo，积分f

(s)=j0

f

(x)e-sx

dx

(3.1-4)在复平面s

的某个区域内收敛，称f

(s)为f(x)的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记作

f

(s)=L[f

(x)]称f

(x)是f

(s)的拉普拉斯逆变换，简称为拉氏逆变换，记作f

(x)=L-1

[f

(s)]称f

(x)与f

(s)分别为象原函数和象函数。拉氏变换对也记作f

(x)一f

(s)的++的8由于f

(x)e

sx

=f

(x)e

x

，虽然f

(x)有时不满足绝对可积的条件，但是f

(x)e

x

很容易满足绝对可积的条件，这样函数的拉氏变换比傅氏变换更容易收敛，特别是常见的指数阶函数的拉氏变换基本上都是存在的。3.1.1

拉普拉斯变换的概念93.1.1

拉普拉斯变换的概念定理

3.1

指数阶函数拉普拉斯变换存在定理。若实值函数f(x)满足条件：(1)在x

>0的任一有限区间上分段连续；(2)在x

充分大后，f

(x)是指数阶函数，即f

(x)共Mepx

(M

>0,p

>0)。那么f

(x)的拉氏变换f

(s)在半平面Re(s)>p上一定存在，并且f

(s)是收敛域上的解析函数。证：在Re(s)=b>p以后，由条件(2)可知

f(s)=

j0

f

(x)e_sx

dx

共

j0

f

(x)e_bx

dx

共

Mj0

epx

e_bx

dx

=

上式左端的积分绝对收敛，即积分收敛，这意味着f

(s)是存在的。由于

与s无关，所以积分也是一致收敛的。+w+w+w++w103.1.1

拉普拉斯变换的概念现在考虑f

(s)的解析性。

f

(s)的导数是f

,

(s)=j0

一xf

(x)e一sx

dx在半平面上取Re(s)>s1

>p，有j0

一

xf

(x)e一sx

dx

共

j0

xMe一(s1

一p

)x

dx

=

(s

M一p)2上式的左端仍然与s无关，所以f

(x)是一致收敛的。根据一致收敛性定理可知，f

(s)在半平面Re(s)>p的每一点都有导数，即f

(s)是Re(s)>p上的解析函数。[证毕]+1w+w++ww++w11定理3.1并没有完全解决拉氏变换的求解。因为一般遇到的指数阶函数都是定义在(-,+)区间上的，而拉氏变换的定义域是[0,+)半区间上的，所求的拉氏变换只是函数某一部分的拉氏变换，对于没有求拉氏变换的那一部分的函数是怎么处理呢？这个问题可以根据拉氏变换的唯一性做出约定。为了保持象函数和象原函数是唯一对应的关系，可以约定函数超出拉氏变换所定义区间的那部分值为零。3.1.1

拉普拉斯变换的概念123.1.1

拉普拉斯变换的概念例如h(x)；sign(x)；常数1，这三个函数有同一个象函数。因为按照在上面对函数求拉氏变换时所做的约定，这三个函数在求拉氏变换时已经被重新定义为1=〈

;h(x)=〈

;sgn(x)=〈所以这三个函数已经自动成为h(x)，对同一个象原函数而言，它的象原函数自然相同。例3.2例3.1例3.3133.1.1

拉普拉斯变换的概念拉氏逆变换的求法。由本节开始关于变换的定义可以看到，并没有定义拉氏逆变换的求解公式。因此，求解逆变换的方法有两个：一是找出逆变换的公式求

解，后面专门有一节去谈这个问题，但由于计算过于繁杂，

很少被采用；二是承认拉氏逆变换与拉氏变换是唯一对应的(尽管证明这个问题不是一件很容易的事)，应用一些已知的变换和后面要谈到的拉氏变换性质去反推，这是工程广泛采用的求解方法。14L[sin

kx]

=

L[6(x)]=1L[xm

]=

(m

>

-

1)(3.1-5)(3.1-6)(3.1-7)(3.1-8)(3.1-9)3.1.1

拉普拉斯变换的概念已经求过的拉氏变换列举如下：L[eax

]=

L[h(x)]=

15周期脉冲函数的拉氏变换定理

3.2

设f(x)是以T

为周期的函数，则有L[f

(x)]=j0

f

(x)e-sx

dx

(3.1-10)TT3.1.2

周期脉冲函数拉普拉斯变换的计算方法163.1.2

周期脉冲函数拉普拉斯变换的计算方法证根据式(3.1-4)有f

(s)=j0

f

(x)e

sx

dx

=j0

f

(x)e

sx

dx

+j

f

(x)e

sx

dx

(3.1-11)上式右边第二个积分中做变量代换t

=x

T

，根据f(x)周期性可得f

(s)=j0

f

(x)e

sx

dx

+e

sT

j0

f

(x)e

sx

dx

(3.1-12)对比式(3.1-11)和式(3.1-12)，可以得到TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT+

+TT

T

++

f

(s)

=

j0

f

(x)e

sx

dx

=

j0

f

(x)e

sx

dxTT

++

例3.4[证毕]173.2

拉氏变换的性质性质1

拉氏变换是线性变换性质2

拉氏变换具有相似性性质3

拉氏变换的微分性质性质4

象函数的微分性质性质5

积分的象函数性质6

象函数的积分性质7

延迟定理性质8

拉氏变换的位移定理183.2

拉氏变换的性质性质

1

拉氏变换是线性变换。设f

(s)=L[f

(x)],g(s)=L[g

(x)]，

常数a和b，则有L[af

(x)+bg

(x)]=af(s)+bg

(s)L-1

[af

(s)+bg

(s)]=aL-1

[f

(s)]+bL-1

[g

(s)]性质

2

拉氏变换具有相似性，若L[f(x)]=f

(s)，则有L[f

(ax)]=f

))|(3.2-1)(3.2-2)例3.5(3.2－3)19性质

3

拉氏变换的微分性质。下面涉及到的函数f(x)和它的导数都是连续或分段连续，并且都是指数阶的。设L[f(x)]=f

(s)，则有L[f

(x)]=sL[f

(x)]f

(0+

)=sf

(s)f

(0+

)式中的f

(0+

)=f

(x)|x=0+

。3.2

拉氏变换的性质(3.2-4)20=f

(x)e一sx

|

+sj0

f

(x)e一sx

dxx)w按照拉氏变换存在定理3.1可知，若s

=b+jO，则有0

共|

f

(x)e一sx

|共

Mepx

.e一bx

=

Me一(b一p

)xx)+w

x)+w由于xl

Me一(b一p

)x

=0，所以xl

f

(x)e一sx

=0，于是得到wwwwwwwwwwwww+w+w当b>p时有0共limf

(x)e一sx

共lim

Me一(b一p

)xL[f

,(x)]=sf

(s)一f

(0)[证毕]=limf

(x)e一sx

一f

(0+

)+s

f(s)L[f

,(x)]=j0

f

,(x)e一sx

dxw++w3.2

拉氏变换的性质证21用证性质3的方法可以证明，若f

(x)和它的f

(x)，…，f

(n

1)

(x)都是连续的，或分段连续的，并且都是指数阶函数，则有L[f

(

n

)

(x)]=sn

L[f

(x)]sn

1f

(0)sn

2

f

(0)…

f

(n

1)

(0)

(3.2-5)实际应用中二阶导数的拉氏变换求解最常见，将公式列在下面L[f

(x)]=s2L[f(x)]sf(0)f'(0)(3.2-6)式(3.2－5)和(3.2－6)中的0都应当理解为0＋。3.2

拉氏变换的性质223.2

拉氏变换的性质性质

4

象函数的微分性质。假设f(x)是指数阶的，并且是连续或分段连续的，若L[f

(x)]=f

(s)，则有L[xf

(x)]=

L[f

(x)]=

更一般的n阶导数公式是L[xn

f

(x)]=

(1)n

L[f

(x)]=

(1)n

例3.7例3.6例3.8(3.2-8)(3.2-7)23L[j0xf

(x)dx]=

更一般，有性质

5

积分的象函数。设f

(s)=L[f

(x)]，对f

(x)的积分则有L

[j0

dxj0

dx

…

j0

f

(x)dx]=

f

(s)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3.2

拉氏变换的性质(3.2-10)(3.2-9)24证设f

(s)=L[f

(x)]，有L

[j0

f

(x)dx]=j0

e

sx

[j0

f

(x)dx]dx=j0

[j0

f

(x)dx]de

sx=[e

sx

j0

f

(x)dx]+j0

f

(x)e

sx

dx=

0

+

j

+

f

(x)e

sx

dx

=

用数学归纳法可以证明式(3.2－10)。[证毕]00xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

+

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+x

+x

+x3.2

拉氏变换的性质25性质

6

象函数的积分。设L[f(x)]=f

(s)，则有js

f

(s)ds

=L

一般地，有

sjs—

=L

nw++w性质6的证明过程与性质5证明过程类似，用分部积分可以得到式(3.2-11)，反复利用式(3.2-11)可以得到式(3.2-12)。3.2

拉氏变换的性质(3.2-11)(3.2-12)例3.10例3.926L[f(x

-x0

)h(x

-x0

)]=j

f(x

-x0

)h(x

-x0

)e-sx

dx

=j

f(x

-x0

)e-sx

dx

=j0

f(T)e-s(x0

+T

)dT=e-sx0

j

f

(T)e-sTdx=e-sx0

f(s)式(3.2-13)得证。式(3.2-14)是式(3.2－13)的一个直接推证。wwww+ww性质

7

延迟定理：设f

(s

)=L

[f

(x

)]，有L[h(x

-x0

)f

(x

-x0

)]=e-x0s

f(s)反之，若L-1

[f

(s

)]=f

(x

)，则有L-1[e-x0sf

(s)]=h(x-x0

)f(x-x0

)证下面来证明这个非常有用的定理。3.2

拉氏变换的性质(3.2-14)(3.2-13)27这里简要地讨论一下g(x)=h(x

x0

)f

(x

x0

)(x

>0)的意义。设函数f

(x)定义在(,+)，其图形如图3.2(a)所示的曲线ABC。如果将f(x)向右平移x0

，得到的图像如图3.2(b)所示，

f

(x

x0

)把不在拉普拉斯变换区域中的图像AB一段也平移到了

x

>0的区域，所以计算平移函数f(x

x0

)拉氏变换时，

不能直接用f

(x

x0

)来做象原函数。3.2

拉氏变换的性质28(b)

f

(x

x0

)

的图像；

x图

3.2

(a)

f

(x)

图像；(c)

h(x

x0

)

的图像；3.2

拉氏变换的性质(d)

f

(x

x0

)h(x

x0

)的图像f(x

x0

)h(x

x0

)f(x

x0

)h(x

x0

)29x0x0x003.2

拉氏变换的性质图3.2(c)的图像与图3.2(a)图像相乘以后得到图像如图

3.2(d)所示。从图3.2(d)可见，这样得到的图像正是x

>0的f(x)

图像完整的移动，这个图像意味着g(x)=h(x

x0

)f

(x

x0

)是x

>

0的f(x)图像的平移函数，这正好符合拉氏变换对象原函数的要求。上述讨论说明h(x

x0

)f(x

x0

)是在拉氏变换定义下的象原平移函数。例3.12例3.1130注意，性质8表面上有点像性质7，前面已经指出了性质7是关于位移函数的拉氏变换，若x

是空间坐标，性质7就是x坐标平移

后的函数的拉氏变换。而性质8则是关于象函数的平移，即f(x)乘

以e

ax

，相当于f(x)的象函数在s

域内平移了a

。图3.3是性质8的解释。性质8也可以简化象函数的求解。L[eax

f

(x)]=f

(s

a)反之，若f

(x)=L

1

[f

(s)]，则有L

1

[f

(s

a)]=eax

f

(x)3.2

拉氏变换的性质性质

8

拉氏变换的位移定理。设L[f(x)]=f

(s)，则有(3.2-16)(3.2-15)313.2

拉氏变换的性质(a)L(x)

一

图像；(b)L[xe

]

一

(s

一1a)2axax(s

一

1

2s例3.13(x)=

xeax图

3.3eax

fa)2321§3.3.1

卷积的意义和它的运算规则

§3.3.2

卷积定理3.3

拉氏变换的卷积定理33卷积是一个用积分表示出来的函数，定义如下。定义

设f

(x)和g(x)在x

<0时，f

(x)=g(x)=0，则称是f

(x)与g(x)的卷积，记作f

(x)*g(x)。3.3.1

卷积的意义和它的运算规则f

(x)*g

(x)=j0

f

(x

T)g

(T)dTxx(3-1)343.3.1

卷积的意义和它的运算规则卷积的意义：考虑下面的常微分方程的解。y

一y

=x

(3.3-2)上式的x

称为强迫函数。式(3.3-2)的伴齐次方程是y

一y

=0上式的解是yc

=

c1ex

+

c2

e一x

。在这个解中取c1

=,c2

=0和c1

=0,c2

=一，可以得到伴齐次方程的两个特解是11yc1

=

2

e

;

yc2

=

一

2

ex

一x353.3.1

卷积的意义和它的运算规则分别求伴齐次方程的特解与强迫函数的卷积，得到y1

=yc1

*f

(x)=ex

*x

=j0

Tex一T

dT

=(ex

一x

一1)y2

=yc2

*f

(x)=一ex

*x

=一j

Te一(x一T

)dT

=一(ex

+x

一1)将y1

与y2

迭加在一起，得到yt

=y1

+y2

。yt

代入式(3.3-2)后，有”yt

一yt

=

x即yt

=yc1

*f

(x)+yc2

*f

(x)是方程的一个解，这说明方程(3.3-2)的解可以用卷积线性表示出来。0xxx36不难验证对应的伴齐次方程解yc

=e-ax

与f(x)的卷积是yc

*f

(x)=j0

f

(T)e-a(x-T

)dT而上式也是式(3.3-3)的解，所以方程(3.3-3)的解也可以用卷积表示。xx3.3.1

卷积的意义和它的运算规则对于一阶常系数线性微分方程ly

x=0

=

0〈(y,+ay

=f

(x

)(3.3-3)373.3.1

卷积的意义和它的运算规则常系数线性微分方程伴齐次方程的特解与方程强迫

函数的卷积是方程的一个解，或者说常系数线性微分方程的一个解可以用卷积线性表示出来，这就是卷积的意义。卷积的代数属性与普通函数的代数属性相似，卷积满足交换律、结合律和分配律。有f

(x)*g(x)=g(x)*f

(x)f

(x)*(g(x)*s(x))=(f

(x)*g(x))*s(x)

f

(x)*(g(x)+s(x))=f

(x)*g(x)+f

(x)*s(x)383.3.2

卷积定理拉氏变换的卷积定理

3.3设f

(s)=L[f

(x)],g

(s)=L[g

(x)]在Re(s)p时都存在，则有L[f

(x)*g(x)]=f

(s).g(s)当Re(s)p也有其逆变换L-1

[f

(s).g

(s)]=f

(x)*g

(x)(3.3-4)(3.3-5)393.3.2

卷积定理证对卷积求拉氏变换，得到L[f

(x)*g(x)]=j0

f

(x)*g(x)e_sxdx

=j0

[j0

f

(T)g(x

_T)dT]e_sx

dT上式可以看成一个二重积分，积分区域如图3.4阴影区所示。改变积分次序，先积分x

，后积分T

，则有x:T

)+w;T:0)+w，所以卷积的拉氏变换是+xw+w++w图

3.4

卷积的积分区域0xT

=

x40T3.3.2

卷积定理L[f

(x)*g(x)]=j0

f

(T)[jT

g

(x

-T)e-sx

dx]dT再令u

=x

-T,x:T

)w,u:0)+w

，上式化简为L

f

(x

)*g

(x

)=

j

f

(T)j

g

(u

)e-s(u

+T)du

dT=

j

f

(T)e-sTdT

.

j

g

(u

)e-su

du=f

(s

).g

(s

)+w+w++w这就证明了式(3.3-4)。上式两边同时取逆变换可以证明式(3.3-5)。例3.14[证毕]413.3.2

卷积定理作为卷积的应用，下面解一个一般的二阶常系数线性微分方程。设微分方程是(

ay,

+by,+cy

=f

(x)〈ly

x=0

=

y(0),

y,

x=0

=

y,(0)

(3.3-6)其中a,b,c

都是实常数，并且a

丰0，f

(x)是定义在[0,+w]上的已知函数。为了看出解的规律性，将上述方程分为二个方程。它们是(

ay,

+by,+cy

=0〈lyc

x=0

=y(0),y,c

x

0

=y,(0)l

yp

x=0

=

0,

y

x=0

=

0

原方程的解是y(x)=yc

(x)+yp

(x)p,cccccccccccccccccccc(3.3-8)(3.3-9)〈(ay

+by

+cyp

=f

(x)p,p,,(3.3-7)423.3.2

卷积定理对方程(3.3-7)求拉氏变换，得到y

c

(s

)

=

y(0)

+

y,(0)实际上方程(3.3-7)的两个线性无关解是yc1(x)

=

L

；yc2

(x)

=

L-1

注意到L[6(x)]=1，可以得到yc

(x

)

=

L

.

1

y

(0)+

L

.

1

y,(0)=yc1(x)*[y(0)6(x)]+yc2

(x)*[y,(0)6(x)](3.3-10)-1-1--11--1433.3.2

卷积定理方程(3.3-8)的拉氏变换是y

p

(s)

=

f

(s)

=

.

f

(s)其解为上式的逆变换，应用卷积定理得到yp

(x)

=

L一1

f

(s)

=

yc2

(x)*

f

(x)

(3.3-11)根据式(3.3-10)，可以得到微分方程的解是y(x)=yc

(x)+yp

(x)=yc1(x)*[y(0)6(x)]+yc2

(x)*[y，(0)6(x)]+yc2

(x)*f

(x)(3.3-12)从上式可以看出，方程的解是几个函数卷积的和。44§3.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理§3.4.2

用拉氏逆变换求常微分方程3.4

拉氏逆变换及其应用45一些复杂的场合，只知道象函数，无法去反推象原函数。在这些情况下，可以将拉氏逆变换化成梅林－里曼公式，再用复变函数的留数理论去求象原函数。3.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理463.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理定理

3.4

里曼－梅林公式。设a,s0

为实数，若函数f

(s)在半平面Re(s)>s0

上是解析的，在任意半平面Re(s)>a

>s0

上，当s

)

w时，arg

s一致收敛于0，且积分jb

jw

f

(s)ds存在，则f

(s)是函数f

(x)=

j

f

(s)esx

ds

(3.4-1)的象，即有拉氏变换对f

(x)

=

jb

jwf

(s)esx

ds

一

f

(s)

=

j0

f

(x)e-sx

dx-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+w+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+473.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理定理3.4的证明是繁琐的，下面给出一个形式上的证明，而略去定理3.4的证明过程。假设f(x)的拉氏变换存在，那么它的象函数为f

(s)，设s

=b+jO，则有f

(s)=f

(b+jO)=j0

f

(x)e-sx

dx根据3.1讨论可知，在拉氏变换中f(x)在x

想0时是零，所以上式中的f

(x)可以写成f(x)h(x)，因而积分区间也扩展为(-w,+w)，这样就得到f

(s)=f

(b+jO)=j

h(x)f

(x)e-sxdx=j-

w

h(x)f

(x)e-bx

.e-jOxdx+++++++++++++++++ww+www++w483.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理对比傅立叶变换公式(2.2-2)可以知道，上式是f(x)h(x)e-bx

的傅立叶变换，根据式(2.2-3)可以写出f

(x)h(x)e-bx

=j-

w

f

(b+jO)e-jOx

dO上式两边同乘以ebx

，可以得到f

(x)h(x)=j-

w

f

(b+jO)e(b+jO)x

dO在上式中作变量代换s

=b+jO，则ds

=jdO，且s:b-jw)b+

jw因此f

(x

)可以写成+++++++++++++ww+++++++++++++ww+f

(x)

=

jb

jw

f

(s)esx

ds-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+(x

>0)49一般情况下，由于里曼－梅林公式过于复杂，因此很少使

用。但是，在某些无理函数的象函数计算中，使用它有一定的简便性。下面是里曼－梅林公式一个充分存在条件，即反演积分定理。3.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理50定理

3.5

反演积分定理。设f

(s)在半平面Re(s)共C内，除了有限个孤立奇点s1

,s2

,…sn

外，其余区域内都是解析的，且当s

)w

时，

f

(s))0，则有f

(x)

=

jb

jwf

(s)esx

ds

=

Re

s[f

(s)esx

,

sk

](x

>

0)

(3.4-2)反演公式的计算过程也很复杂，所以这种方法大部分只用于一些象函数比较简单的场合，其中最常见到的是象函数为分式的

情况，下面是有理分式函数的象原函数的计算公式。-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+3.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理513.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理定理

3.6

有理分式象函数的拉氏逆变换运算法则。设象函数为f

(s)其中A(s)和B(s)均为不可约多项式，f

(s)为真分式，它的拉氏逆变换有以下计算公式：(1)设s1

是B(s)的m

重零点，即s1

是的m

阶极点。有f

(x)

=

(m

1-

1)!ls

(s

-

s1

)

esx

(3.4-3)(2)设B(s)的n

次多项式，只有单零点s1

,s2

,…sn

。有f

(x)

=

esk

x

,

x

>

0

(3.4-4)))sksk)s1im523.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理证(1)由于s1

是多项式B(s)的m

重零点，所以s1

是

的m

阶孤立奇点，且s

)w

时，f

(s))0，因此可用定理3.5求它的拉氏逆变换，即f

(x

)=

Re

s

esx

,

s1

A(s)

sx把B

(

S

)

e

展开成罗朗级数，有

e

=

+

+

…

+

(sc--

)

+

c0+

c1(s

-

s1)+

c2(s

-

s1)

+

…sxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsxsx121sxs1))ss((BA))ss((BA533.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理(s

-

s1

)+

c-(m-1)

(s

-

s1

)+…

+

c-

1

(s

-

s1

)+

…c0

(s

-

s1

)

+c1

(s

-s1

)m+1

+c2

(s

-s1

)m+2

+…对上式两边同时求导(m-1)次，再令s

)s1

，并求极限，则有ls

(s

-

s1

)

esx

=

(m-

1)!c-1c-1

是留数，所以有f

(x)

=

Res

esx

,s1

=

c-1

=

(m

1-

1)!ls

(s-

s1

)

esx

mm))ss((BA)s1im))ss((BA)s1imm-m-m-m-m-m-m-m-m-m-m1m-m-543.4.1

拉氏逆变换的反演积分原理(2)容易看出符合定理3.5的条件，所以有f

(x)

=

Re

s

esx

,

sk

(3.4-5)由于B(sk

)=0，根据(1)所证可知，对于任意一个奇点sk

有

B

(

B

(s

)

ls

ss()s

__

s

)

上式代入(3.4-5)可得式(3.4-4)。[证毕]ResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResResxkse，=k)e)ek=ksxsx)e)e)ks

_ss

_ss

_s(sl=ks,sxeResRes))sksk((BA)(skBskx((BA)skim_s)(sA)skim))ss((BA例3.15553.4.2

用拉氏逆变换求常微分方程有初始问题的常系数微分方程及其常微分方程组比较适合用拉氏变换求解，大致有以下三个步骤：(Ⅰ)对微分方程求拉氏变换，将微分方程变换成代数方程；(Ⅱ)求象函数的显式表达式；(Ⅲ)求拉氏逆变换，所得的结果就是微分方程的解。另一类适合用拉氏变换求解的方程是难于直接积分的方程，例如强迫函数中含有函数的方程。工程上最常见的是用拉氏变换求解常系数线性微分方程，对于常系数线性微分方程组的拉氏变换解法原则上是可行的，但是运算量较大。例3.16例3.18例3.19例3.1756本章结束

拉普拉斯变换57h(s)=j0

h(x)e一sx

dx

=

sign(s)=j0

sign(x)e一sx

dx

=

1(s)=j0

1.e一sx

dx

=

+

++

++

例

3.1例3.1求函数h(x)；sign(x)；常数1的拉氏变换。拉氏变换求解的另一个问题是象函数的存在域问题。实际函数的拉氏变换得到的象函数的存在域会随着象原函数的特性而变。(Re(s)0)(Re(s)0)(Re(s)0)返回解58例

3.2例3.2

求eax

，sinkx的拉氏变换(a,k都是实数)。例3.2表明每一个象函数的定义域可能不同，通常约定可以略去Re(s)>a,Re(s)>0这样的标注，只有在特别需要时，才加以说明。下面考虑几个特殊函数的拉氏变换。L[sin(kx)]=j0

sinkx

.e一sx

ds

=Imj0

e一sx

.ejkx

dx+w+w++w解L[eax

]=

j

一sx

dx

=s

1一

a(Re(s)>a)(Re(s)>0)返回s2

+k2k59=解(1)L[6(x)]=j0

6(x)e-sx

dx

=e-sx

x=0

=1(2)L[xm

]=j0

xm

e-sx

dx令sx

=t

，dx

=dt，将这两式代入上式得到L

xm

=

j

e-

t

.dt

=j

tm

e-

t

dt

=j

e-

t

.t(m+1)-1dt

=T

(m

+1)w++ww++w例

3.3例3.3求(1)6(x)；(2)xm

(m

>-1)的拉氏变换。60例

3.3这个结果结合T(x)的性质可以给出几个有用的结论。当m为正整数时，根据T(x)的性质可知T(m

+1)=m!，所以有

L[xm

]=

当m

=_时，xm

=。对于此函数，x

)0时，函数不是指数阶的，所以不能引用定理3.1。但是，这并不表示的拉氏变换不

存在，因为定理3.1只是拉氏变换存在的充分条件，而非必要条件。这时候的拉氏变换的积分是无界函数的积分，拉氏变换是L[x_

]=

j

e_sx

dx

=

=wwc)0lim返回

Ts611例3.4已知周期函数f(x)如图3.1所示，求它的拉氏变换。T2T

3T

4T图

3.1

周期三角波的图形例

3.4T62例

3.4解从图3.1中可以写出一个周期内的函数表达式是f

(x)

=〈|

T

x

,

0

施

x

施

2|2A

-

2A

x

,

T

施

x

施

T一个周期内的拉氏变换是j

f(x)e-sxdx=

j

xe-sxdx+j

2A

-

x))|e-sxdx

=

(1-e-

s

)上式代入(3.1-10)，可以得到函数的拉氏变换是222TT02T0Tf

(s)

=

(

1

-e

)

=

=11111111T2e-2e-2e-2T1sTs--tanh(2A

T返回l

T

263例

3.5例3.5求cos

kx的拉氏变换解这里用性质1、性质2和L[eax

]=来求解coskx的拉氏变换。设f

(s)=L[cosx]，则有f

(s)=L[cosx]=L

(ejx

+e-jx

)=L[ejx

]+L[e-jx

]s=

s2

+

1

s/k

1

s

(s/k)2

+1.

k

=

s2

+k2=

+

L[cos

kx]

=

1

f

(|

s

)|

=返回k

\k

)64例

3.6例3.6求解下面函数的拉氏变换(1)2；(2)an

xn

+an-1xn-1

+an-2

xn-2

+…

+a1x

+a0

(n

为正整数)。解(1)设f

(x)=2

，则有f

(0)

=0，f

,(x)=

。f

,(x)的拉氏变换为L[f

,(x)]=sL[f

(x)]-f

(0)L

=

sf

(s)冗1冗1冗x冗x65由例

3.3

的结果L

=

，可以得到L[6(x)]=1(2)设f(x)

=

anxn

+an-1xn-1

+an-2xn-2

+

…+a1x+a0

，则有下面的等式成立：s冗例

3.666例

3.6f(x)=an

xn

+an

1xn

1

+an

2

xn

2

+…

+a1x

+a0

,f

(0)=a0

=0!a0

；f

'

(x)=nan

xn

1

+(n1)an

1xn

2

+…

+a1

，

f

(0)=a1

=1!a1f

''

(x)=n(n1)an

xn

2

+(n1)(n2)xn

3

+…

+2.1.a2

，f

(0)=2!a2

；对于f

(

n

)

(x

)

求拉氏变换，可得L[f

(

n

)

(x)]=snL[f

(x)]sn

1f

(0)sn

2

f

(0)sn

3f

(0)…

f

(

n

1)

(0)由于L[f

(

n

)

(x)]=L[n!an

]=n!an

L[1]=1s

an

n!将上式和f

(0)，f

(0)，…，f

(n

1)

(0)代入求导后的公式，有67：f

(

n

)

(x)=n(n1)…

1.an

=n!an

，f

(n

1)

(0)=(n1)!an

1；f

(n

)

(0)=

n!an

；1

s

an

n!=sn

f(s)sn

1

.0!a0

sn

2

1!a1

…

(n1)!an

1f

(s)

=

an

+

an

1

+

an

2

+

…

+

a1

+

a0例

3.6返回68例

3.7例3.7求(1)x2

sin2x

；(2)xn

(n为正整数)的拉氏变换解

(1)

L[x2

sin

2x]

=

(一

1)2

=

(32ss

)(2)L[xn

]=L[xn

.1]=(一1)L[1]=(一1)n

=(一1)n

.(一1)n

=)344一(4返回69例

3.8例3.8求e一

x

的拉普拉斯变换a

2解这个拉氏变换的象函数e

2

是下面常微分方程的一个解：〈

a一exfa2x2(对上面常微分方程求拉氏变换，得到L[f

，(x)]+aL[xf

(x)]=0sf

(s)一

f

(0)+

a.

(一

1).

=

0

一

f

(s)

=

一

一一一xx一2270解上面一阶线性方程，得到f(s)=e[j0

_e_

du

+c]上式中任意常数c可以用下式求出：

f

(0)=j0

e

.e_0.x

dx

=

将(2)代入(1)，得到下式：_2x_w++wssf

(s)

=

e

_

j

e

du

=

e

1

_

j0

e_u

du

(3)____________________a2a_2s0s例

3.8(2)(1)71例

3.8由于误差函数erf

))|=

j0

e-u

du

，所以式(3)可以写成

f

(s)

=

e

1-

erf

))|=

e

erfc

))|式中用了余误差函数是erfc()=[j

e-u

du]例3.8给出了一个重要的拉氏变换对，是22swaaaaaa22a2s一e

erfc(

)返回a

2-

x2e722a例

3.9例3.9求正弦积分函数的拉氏变换，正弦积分Si

(x)是Si

(x)=j0

dt解

先求

的拉氏变换。L

=j

L[sint]ds

=j

=-arctans

=arctan因此正弦积分的拉氏变换是Si

(s)=L

j0

dt

=L

=arctanxxxx73利用拉氏变换所得到的一些等式，可以求解一些特殊情况下的广义积分，下面是例3.10进一步拓展应用的例子。例

3.9返回74解(1)利用例3.9的结果可以写出下面等式

=

j0

dx

=

-

arctan

sj0+

”

dx

=

j0+

”

dx

=

-

arctan

s

s=0

=

j

”

dx

=

j0+

”

dx

=

-

arctan

s

s=1

=

-

=

根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒根据上述恒+”+根据上述恒，xn等L例

3.10例3.10求下列积分的值(1)j0

si

x

dx

,

j0

e

sinx

x

dx

；(2)j

-3x

sinxdx+x-”+”++

”xns=0s=175(2)

利用

L[sin

x]=