数学游戏与数学文化课件 -趣味对策问题

趣味对策问题在日常生活中，经常看到一些相互之间斗争或竞争的行为．具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为．在这类行为中，各方为了达到各自的目标和利益，必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最有利或最为合理的方案．

对策论就是研究对策行为中争斗各方是否存在最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法．

对策论亦称博弈论或竞赛论．它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学中的一个重要学科．

问题1一个大和尚带着两个小和尚去河对岸的寺院。河上没有桥，他们又都不会游泳。为了过河，他们找来一只空船，船最多载重50千克，而大和尚正好重50千克，两个小和尚各重25千克。

问：他们怎么才能全部过河？问题2一个农夫带着一只狼、一只羊和一棵大白菜准备过河，可是，仅有一只小船，他每次只能带一样东西过河．如果没有农夫看着，那么狼会吃掉羊，羊会吃掉大白菜．农夫怎样才能把狼、羊和白菜完好无损地全运过河呢?假如我们不知道答案，如何遵循一定方法找到渡河方案呢？

——状态转换图

以F，W，S和C分别代表农夫，狼，羊和白菜．我们用[FWSC，)来表示初始状态，用(，FWSC]表示终止状态．我们用逗号表示河，用中括号表示船所在的一边．状态转换图

从图中很容易看出，有两个简单解，分别由两条简单路表示：（1）[FWSC，)—(WC，FS]—[FWC，S)—(C，FWS]—[FSC，W)—(S，FWC]—[FS，WC)—(，FWSC]；（2）[FWSC，)—(WC，FS]—[FWC，S)—(W，FSC]—[FWS，C)—(S，FWC]—[FS，WC)—(，FWSC]．

三个老道在河的西岸，想到东岸去．三个和尚在河的东岸，要到西岸去．河中只有一只小船，可以坐两个人，停在西岸．但是只有一个老道和一个和尚会摆船．由于某种原因，无论在岸上，还是在船上，老道的人数都不准超过和尚人数．你能找出个摆渡方法吗?问题3解以A表示那个会划船的老道，B表示那个会划船的和尚，C表示一个不会划船的老道，D表示一个不会划船的和尚．那么，初始状态是[ACC，BDD)，终止状态是(BDD，ACC]或[BDD，ACC)．画出本问题的部分状态转换图。图8-2从左图容易发现，存在由初始状态到终止状态之一的一条路：[ACC，BDD)—(CC，ABDD]—[CCBD，AD)—(CD，ACBD]—[ACBD，CD)—(AD，CCBD]—[ABDD，CC)—(BDD，ACC]．这是不是唯一解呢？想想．尼姆游戏与类似的游戏问题4甲、乙两人轮流在2000粒石子中取走1粒，3粒，5粒或7粒棋子．若甲先取，乙后取，取到最后一粒石子者为胜．甲、乙两人谁能获胜？分析：2000是偶数，甲先取奇数粒，剩下的是奇数；乙再取奇数粒，剩下的是偶数．接着甲再取．由于每次取的必须是奇数粒，所以甲不可能取走最后一粒，乙才可能取走最后一粒．故乙必胜．问题5设有30枚棋子，甲、乙两人轮流取，每人一次可取1或2枚棋子，谁取到最后一个棋子谁胜．问：

（1）若甲先取，甲有必胜办法吗？

（2）若有50枚棋子，仍按上规则进行，甲又该如何取才能获胜呢？

（3）若每人一次最少取1枚，最多取3枚棋子，该如何取呢？

（4）若规定谁取到最后一枚棋子谁输，又该如何取胜呢？分析

这类问题我们可以采用逆向思考．对第1、2问，要想取到最后一枚棋子，按照规则，自己上一次取后留下的棋子数不能是1或2，至少为3．如果留下3枚，那么不论对方取1枚还是2枚，自己都定能将剩下的2枚或1枚棋子取完．我们把这种不论对方如何操作，自己总能取胜的残局叫做“贏局”．“给对方留下3枚”就是你的赢局．同样的分析知道，要想取得这一赢局，前一次取后应当留下6枚．依比类推，每次应给对方留下3，6，9，12，......枚棋子．即留下3的倍数枚棋子就是赢局．

若每人一次最少取1枚，最多取3枚棋子，每次应给对方留下4，8，12，16，......枚棋子，即留下4的倍数枚棋子就是赢局．知识链接巴什博弈:

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。属于博弈论范畴。问题6设有30枚棋子，分成两堆，一堆19枚，一堆11枚．甲、乙两人轮流从中取走1枚或2枚，但每次只能在一堆中取，谁取到最后一枚棋子谁获胜．如果甲先取，有没有必胜的诀窍?答案：先取着甲应先在11枚这堆，取走1枚，这时两堆棋子数除以3余数相同．以后无论乙在哪堆取几枚，甲就在另一堆取同样的枚数．先取者甲保证获胜．威佐夫博奕知识链接威佐夫博奕：有两堆各若干个物品,双方轮流取走一些物品，合法的取法有如下两种：

（1）在一堆物品中取走任意多颗；

（2）在两堆物品中取走相同多的任意颗；

最后取光者得胜。设有三堆棋子，一堆10枚，一堆6枚，一堆6枚．甲乙两人轮流从任意一堆中取走一枚或几枚甚至一堆棋子，谁取走最后一枚谁获胜．如果甲先取，问甲如何才能获胜？如果三堆棋子数目各不相等，如一堆10枚，一堆6枚，一堆3枚，问甲又如何做才能获胜？问题7

分析对于三堆棋子，一堆10枚，一堆6枚，一堆6枚情况，显然甲只需把第一堆全取完，给乙留下相同