北京市平谷区2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市平谷区2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．1.已知集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.2.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A项，由于函数在上单调递增，所以在上单调递减，故A项错误；B项，由于在上是减函数，故B项错误；C项，由于在上单调递增，故C项正确；D项，由于是对称轴为，开口向上的二次函数，所以在上单调递减，在上单调递增，故D项错误.故选：C.3.若，，则一定有（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】根据，有，由于，两式相乘有.故选：A.4.设，且，则（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】因为，且，则或.故选：A.5.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，则.故选：B.6.如果函数的一个零点是，那么可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，解得，对比选项可知只有，符合题意.故选：D.7.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意.故选：B.8.函数的定义域为．则其值域为（）A B. C. D.【答案】C【解析】由题意，所以，.故选：C.9.“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，所以或，，即或，因此题中应是必要不充分条件．故选：B．10.已知函数为坐标原点，若对于图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转后，点落在的图象上，则实数（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】设图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转，如图，设为旋转后的点，过作于，过作于，则易知，得到，所以点，依题有，得到，所以.故选：B.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.11.函数的定义域为__________．【答案】【解析】由题意函数有意义，当且仅当，解得，即函数的定义域为.12.能说明“若函数满足，则在内不存在零点”为假命题的一个函数是______．【答案】【解析】可举函数，可得，即有，但在内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数满足，则在区间上不存在零点”假命题.13.已知函数，那么当______时，函数取得最小值为______．【答案】【解析】因为，又，所以，当且仅当，即时，取等号.14.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则____________．【答案】【解析】由余弦值的定义得，则.15.已知函数，用表示的最小值，记为，那么的最大值为______．【答案】【解析】由，得到或，在同一坐标系中，画出的图像，如图所示，因为，由图知，当时，取到最大值为.16.设，函数，当时，的值域是______；若恰有一个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】当时，，当时，，当时，，所以此时的值域是；当时，若，则令，解得，若，则，所以此时恰有一个零点，故，满足题意，当时，若，则，若恰有一个零点，则只能当时，有解，即当时，有解，所以，综上所述，若恰有一个零点，则的取值范围是.17.在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论：①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多；②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等；③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆；④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆．依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【解析】对于①，因为，令；则在内单调递减，在内单调递增，所以先增后减，命题①错误；对于②，因为是二次函数，函数图象的对称轴是，所以，所以，命题②正确；对于③，因为的最小值是，所以的最大值是，即在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆，命题③正确；对于④，因为，，且，所以的最小值为，即在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆，命题④正确.综上，所有正确结论的序号是②③④.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.已知函数．（1）求的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）当时，求的最大值与最小值．解：（1）因为，所以.（2）由，得到，所以函数的单调递减区间为.（3）当，，令，则，由的图像知，当时，最小为，当时，最大为，所以的最大值为，最小值为.19.设集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由，得到，即，由，得到，即，所以.（2）由（1）知，由，得到，又，由图知，.20.已知函数如图所示．（1）求的解析式；（2）求的最大值：（3）将的图象向右平移2个单位长度后得到函数的图象，直接写出不等式的解集．解：（1）由图知，函数过点，所以，解得，所以的解析式为.（2）由（1）知，二次函数的对称轴为，开口向下，所以函数在处取到最大值为.（3）因为，所以，在同一直角坐标系中，作出和的图像，如图所示，当时，，，由，解得，所以不等式的解集.21.已知函数的图像过原点，且．（1）求实数的值；（2）若，写出的最大值；（3）设，直接写出的解集．解：（1）由题意，解得.（2）由（1）可知，若，则，所以的最大值为.（3）由题意不等式等价于，且注意到，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象如图所示：由图可知：不等式的解集为.22.已知函数的部分图象如图所示．（1）直接写出的值；（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点，求实数的取值范围．条件①：当时，函数取得最小值；条件②：为函数的一个零点．解：（1）由对称性可知函数的周期满足，解得.（2）若选条件①：当时，函数取得最小值，则，解得，又，所以只能，由图可知，解得，所以此时函数的解析式为；若选条件②：为函数的一个零点，由图可知，则当时，函数取得最小值，这又回到了条件①，由以上可知此时同样有，综上所述，无论是选条件①还是选条件②，函数的解析式均为.（3）由题意结合题图可知，在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点，则该零点只能是，所以，即实数的取值范围为.23.已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的