人教版八年级数学下册第一次月考（压轴32题10种题型）（解析版）

第一次月考（压轴32题10种题型）

范围：八年级下册第一-第二单元

二次根式有意义的条件（共1小题）

1.若|2017-7l+Ym-2018=m,则m-20172=2018.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：V|2017-/n|+Vm-2018=^-

.".m-2018^0,

加22018,

由题意，得帆-2017+Vin_2018—m-

化简，得Virr2018=2017,

平方，得根-2018=20172,

m-20172=2018.

故答案为：2018.

二.二次根式的性质与化简（共3小题）

2.把a/Z中根号外面的因式移到根号内的结果是

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=-―2=-C，

故答案为：-V_a

3.先阅读下列的解答过程，然后作答：

形如劣m±2五的化简,只要我们找到两个数。、匕使a+b=，“，ab=n,这样（«）?+

（Vb>2=m,Va*Vb=Vn-那么便有Jm±±a）2=4土加（。〉

b）例如：化简J7+44

解:首先把Y7+4百化为-7+2任，这里机=7,n=12；

由于4+3=7,4X3=12,即（74）2+（V3）2=7,V4'V3=^/12>

•1•V7+4V3=V7W12=V（V4W3）2=2+如

由上述例题的方法化简：

（1）V13-2V42；

⑵V7-V40；

⑶V2-V3.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）V13-2V42—（A/7-Vo）2=V7-Vs；

⑵VT-TZO"=V7~2\AIO=-7（Vs-V2）=_V2；

（3）=18-46=娓S.

V42

4.已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简_|a+b|+7（c-a）2+Ib+c卜

,.।---1>

a匕0c

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由数轴可得：

〃<0,〃+。<0,c-a>0,0+cV0,

故原式=-a+（a+b）+c-a-b-c

~~-a.

三.分母有理化（共1小题）

5.已知了=遍+3,>=遥-3,求下列各式的值

（1）x2-2xy+y2,（2）x2-y2.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：⑴当尸&+3,尸泥-3时，

x2-2xy+j2=:（x-y）2—[（^5+3）-（V5-3）]2—62—36；

（2）?-7=（尤+y）（x-y）=[（V5+3）+（V5-3）][（遍+3）-（遥-3）]=275

X6=12A/5

四.二次根式的化简求值（共1小题）

6.阅读下面计算过程：

1_1义（加-1）飞1

2-1

V2+r（V2+i）（V2-i）^

1_1x（代-%）〜反一叵

ETEWDM心）7r

11X(赤-2)=亚_2

V5+2(V5+2)(V5-2)

试求：

(1)l1L的值为五~V6.

V7W6———

(2)求1一「厂I「IL1/__的值.

1W2V2W3V3+V4V98+V99V99W100

(3)若a==1——，求/-4a+4的值.

V5-2

【答案】⑴V7-V6；

(2)9；

(3)5.

【解答】解：(1)

_V7W6

=_______w_______

(V?W6)(V7-Vs)

=V7-Vs>

故答案为：V?-Vs：

1W2+V2W3+V3W4…V98W99+V99W100

=V2-1+V3-V2+-+V99-V98+V100-V99

=Vioo-1

=10-1

=9；

(3)a=-7A—=V5+2,

V5-2

:•a?-4〃+4

=(a-2)2

=(V5+2-2)2

=(V5)2

=5.

五.二次根式的应用(共2小题)

7.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题.

0A宁(V1)2+1=2,S1=2^L；0氏2=仔+(&)2=3,52=^-；…

2232

ni2=l2+(V3)2=4,S3=^~；…

42

(1)请用含有为正整数)的等式表示上述变化规律：042=n,Sn=1.

气—2~

(2)若一个三角形的面积是2m，计算说明它是第几个三角形？

(3)求出$2+$2+§2+…+$2的值.

1239

【解答】解：(1)因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OAi=Vl，

,

OA2=V2>OA3=V3"OAw=Vn>所以0/=〃.5"=」・1・石=石■故：答案为"与

n22

~2~_

(2)当S,=2加时，有：26=石_,解之得：n=32

2

即：说明它是第32个三角形.

(3)q2+q2+・・・+《

>1^2^3A

=_L+2+・・・+9

444

=11.25

即：§2+§2+§2+…+§2的值为1L25.

1239

8.已知°,6均为正整数.我们把满足1x=2a+3b的点p(居,)称为幸福点.

[y=3a+2b

(1)下列四个点中为幸福点的是尸1(5,5)；

Pi(5,5)；P2(6,6)；P3(7,7)；P4(8,8)

(2)若点P(20,力是一个幸福点，求f的值；

(3)已知点尸(y+1,、6-1)是一个幸福点，则存在正整数a,b满足卜£+；2a+3b,

IVm-l=3a+2b

试问是否存在实数k的值使得点P和点Q(L+匕lb-k)到x轴的距离相等，且到y

22

轴的距离也相等？若存在，求出左的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴Pi(5,5)；

(2)f的值为15或20或25；

(3)人的值为10.5,理由见解析.

【解答】解：(1),:a,6均为正整数，满足卜=2@+3b的点2a,,)称为幸福点，

|y=3a+2b

・••当〃=1,。=1时，x=5,y=5,故尸1(5,5)是幸福点，

当a=l,〃=2时，x=8,y=7,故(8,7)是幸福点，

当〃=2,6=1时，x=7,y=8,故(7,8)是幸福点，

：.Pi(5,5),Pi(6,6),尸3(7,7),尸4(8,8)中只有尸1(5,5)是幸福点，

故答案为：P1(5,5)；

(2)•・,点尸(20,力是一个幸福点,

2〃+3/?=20,3a+2b=t,

•・・〃，。均为正整数，

，4=1,Z?=6或〃=。=4或〃=7,。=2,

当〃=1,。=6时，t=15,

当a=b=4时，t=20,

当a=7,。=2时，t=25,

・•"的值为15或20或25；

(3)...点尸(«+1,1)是一个幸福点，则存在正整数。，6满足+l”a+3b

Ivm-l=3a+2b

「・消去加得，。=〃+2,

,:P(2〃+3。，3〃+2。)，Q(工〃+左，—b-k),

22

:・P(5〃+6,5〃+4),Q(Atz+Z,Azz+l-k),

22

•・,点P和点Q到x轴的距离相等，

，有4种情况，

,1

5a+6=^a+k

。：，

5a+4=-a+1-k

解得，a=-1（舍），k=—；

2

「1

5a+6=万a+k

②,，

5a+4=--a-l+k

解得，a=lf左=10.5,

:,b=3,符合题意;

5a+6=-~a-k

5a+4=*a+l-k

解得，a=-3（舍）,

5a+6=-~a-k

④，

5a+4=—^-a-l+k

解得，a=-1（舍）,

・••当4=1,。=3,女=10.5时，点尸和点。至！Jx轴的距离相等，且到y轴的距离也相等.

六.勾股定理（共13小题）

9.如图，在RtZXABC中，ZC=90°，AZ）平分NCAB,BE平分NABC,AO,BE相交于点

F,若AP=4,EF=V2>则AC=（）

C.炳D.段

5

【答案】D

【解答】解：如图,过点E作EGLAD于G,连接CR

,：AD,BE是分别是NBAC和NABC的平分线，

：.ZCAD=ZBAD,NCBE=/ABE,

VZACB=90°,

：.1CZBAD+ZABE）=90°,

：.ZBAD+ZABE=45°,

：.ZEFG=ZBAD+ZABE=45°,

在RtZiEPG中，EF=M，

：.FG=EG=1,

VAF=4,

：.AG=AF-FG=3,

根据勾股定理，得

：AD平分/CAB,BE平分/ABC,

；.CP是NACB的平分线，

/.ZACF=45°=ZAFE,

'：ZCAF=ZFAE,

：.AAEF^AAFC,

•AE=AF

"AFAC，

•AC=AF2=16=8折

..5

故选：D.

10.如图,在RtZXABC中,ZBAC=9Q°,以其三边为边分别向外作正方形，延长EC,DB

分别交GEAH千点、N,K,连接KN交AG于点M,若SI-S2=2,AC=4,则AB的长

为（）

A.2B.&C,2V2D.Z

3

【答案】A

【解答】解：（1）如图，根据条件得到“K”型,LABC咨LFNC,得到NF=A8=x.

（2）连接GK,可以发现△GNK的面积=GNXAG+2=2GN,同理△必G的面积=2AK.

利用条件SI-S2=2,得到GN-AK=1,即"-m=1,又因为“+x=4,所以优=3-x.

（3）在△KBC中，有射影定理A82=ACXAK.

这样可以得到方程：f=4X（3-尤），解得x=2,即AB=2.

故选：A.

11.如图，AB=AC=4,尸是8C上异于8、。的一点，贝U人尸+^尸・尸。的值是（）

A.16B.20C.25D.30

【答案】A

【解答】解：过点A作A0L8C于点D

BPD

\'AD±BCf

：.△AO尸"ABD都为直角三角形.

222222

：.AP=AD+DPfAB=AD+BD.

VAB=AC,ADLBC,

：.BD=CD.

■:PC=CD+DP,BD=CD,

：.PC=BD+DP.

•：BP=BD-DP,PC=BD+DP,

:.BP，PC=B®-DP1.

2121

'：AP=AD+DP9BP・PC=BI^-DP,

：.AP2+BPXPC=AD1+Bb2.

•・•AB2=AD1^-BD2,AP2^BPXPC=AD1^BD1,

：.AP2+BP^C=AB2.

•・・A5=4,

：.AP2+BP^C=16.

故选：A.

12.如图，在四边形ABC。中，已知ACLLBDAC=4,BD=5,则AO+8C的最小值是（）

D7

V41

A.3B.6D.V41

~2~

【答案】D

【解答】解：设AC,8。的交点为O,AB,BC,CD,D4的中点分别是P,Q,R,S,

连接尸Q，QR，RS,SP,OQ,OS,QS,如图：

,：AC,80互相垂直,

.•.△AOD和△BOC为直角三角形，且A，BC分别为斜边，

：.AD=2OS,8c=20。，

：.AD+BC=2(.OS+OQ),

.•.当OS+O。为最小时，AO+8C为最小，

根据“两点之间线段最短”得：OQ+OS>QS,

当点。在线段QS上时，OQ+OS为最小，最小值为线段QS的长，

:点P,。分别为AB,3C的中点，

...PQ为△ABC的中位线，

：.PQ=XAC=2,PQ//AC,

同理：QR=LBD=2QR//BD,RS=1AC=2,RS//AC,SP=ABD=A,SP//BD,

22222

J.PQ//AC//RS,QR//BD//SP,

四边形PQRS为平行四边形，

'JACLBD,PQ//AC,SP//BD,

：.PQ±SP,

...四边形PQRS为矩形，

在Rt/YPQS中，PQ=2,SP=立，

2

由勾股定理得：QS=JpQ2+sp2=隼,

.*.02+05的最小值为退1,

2

J.AD+BC的最小值为值.

故选：D.

13.如图，在△ABC中，AC=8,NA=30°,ZB=45°,点尸是AC延长线上一动点，PM

_L8C边与点M,PNLAB边与点N,连接MN,则MN的最小值为()

c.V2W3D.啦吗

【答案】A

【解答】解：过点C作CHLAB,

VZA-30°,AC=8,

：.CH=4,AHS

VZB=45°,

：.BH=CH=4,

.•.A8=4+4百，

连接PB,取尸8的中点。，连接“。，QN,

"：PM±BCPNLAB,

点尸，M,N,8四点共圆，点。为圆心，

VZB=45°,

:.NMQN=2NB=90°,

：.MN=42QN,

'：PB=2QN,

:.MN=^^PB,

2

...当PB最小时，MN最小，

设PN=x,

VZA=30°,

：.PA=2x,AN=MX，

，BN=4+4百-Mx,

'：PB2=PN2+NB2,

.".PB2=?+(4+4A/3-V3x)2=4?-(8A/3+24)犬+64+32我，

V4>0,

...当尤=8近+24=a+3时,即/^=如+3时，Pl有最小值,

2X4

此时BN=4+4愿-V3x=V3+l>

:.PN=MBN,

；.PB=28N=2百+2,

：.MN=^-X(2"/3+2)=&+衣，

2

故选：A.

14.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形，连结CR作GM

J_CF于点M,A/_LGM于点J,AK_LBJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方

形JKLW的面积之比为5,3=百5+&,则C8的长为（）

A.V5B.c.2A/2D.A/10

2

【答案】C

【解答】解：设C尸交AB于点尸，过C作CNLAB于点N,如图：

正方形JKLM面积为m2,

:正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,

正方形ABGF的面积为5m2,

由已知可得：ZAFL=90°-ZMFG=ZMGF,ZALF=90°=ZFMG,AF=GF,

：./\AFL^/\FGM(A4S),

：.AL=FMf

设x,则也=/〃+地=%+如

在RtZ"1也中，AL2+FL2=AF2,

•••W+(x+m)2=2,

解得％=m或x=-2m(舍去)，

:.AL=FM=m,FL=2m,

VtanZAFL=-^.=-^L=JL=A,

AFFL2m2

•AP_1

下>m2

...4尸=近旦

2__________________

♦••"=、AM+AF2=J吗5L)2+(述m)2=1_〃z,BP=AB-AP^^m-^^二

^5m

----,

2

：.AP^BP,即P为AB中点，

VZACB=90°,

CP=AP=BP=^m,

2

ZCPN=ZAPF,ZCNP=90°=ZFAP,

:ACPNs^FPA,

m

.CP-CN.PNpn2_CN_PN

FPAFAP旦依m45m

2mI-

CN—m,PN~-m,

2

：.AN=AP+PN=遍+1〃7,

2

谭皆透一标2’

2m

•/AA£C和△BC”是等腰直角三角形,

△AECs^BCH,

•BC=CH

"ACCE)

VCE=-/10+V2>

•2=CH

,75+1迎啦’

：.CH=242>

故选：c.

15.如图，在△ABC中，ZACB=90°,以AC,BC和AB为边向上作正方形ACED和正方

形BCA〃和正方形A8GF,点G落在上，若AC+BC=7,空白部分面积为16,则图中

阴影部分的面积是典.

—5—

【答案】典.

5

:四边形A8GB是正方形，

ZFAB=ZAFG=ZACB=9G0,

AZFAC+ZBAC=ZFAC+ZABC=W0,

ZFAC=ZABC,

：./^FAH^AABN(ASA),

••S/\FAH=S丛ABN,

••S/\ABC=S四边形尸NC”,

在△ABC中，ZACB=90°,

：.AC1-^BC1=AB2,

VAC+BC=7,

(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC»BC=49,

：.AB2+1AC-BC^49,

2

•/AB-SAABC=16,

：.AB2-AAC・BC=16,

2

：.BC*AC=^-,AB2=113,

55

：.AC2+BC2=m,

5

.•.阴影部分的面积和=4。2+叱2+2必钻<:-S白=213+2X工X地-16=里.

5255

故答案为：91

5

16.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E,使得/CAE=15°,连接BE并延长

BE到R使CF=C2,8尸与C。相交于点8,若AB=%,有下列四个结论：①/CBE

=15°；②AE=J§+1；③SADEC=1二1；®CE+DE=EF.则其中正确的结论有

2—

【答案】见试题解答内容

【解答】解：①：四边形ABCO是正方形,

：.BC=CD,NBCE=NDCE=45°.

，BC=DC

在ABCE和△OCE中，，ZBCE=ZDCE-

CE=CE

：./\BCE^/\DCE(SAS),

:.NCBE=NCDE=15°,故①正确；

②过D作DW_LAC于M,

'：ZCDE=150,ZADC=90°,

:./ADE=75°,

VZ£>AE=45°,

AZAED=60°,

•：AD=AB=4^,

：.AM=DM=晅乂娓=M,

_2_

ME=M=返X百=1,

33

.*.A£=V3+1＞故②正确；

③根据勾股定理求出AC=2j§,

•：DM=M，EM=1,

'：ZDCA=45°,NA£D=60°,

:.CM=M，

:.CE=CM-EM=M-1,

/.5AD£C=1X(V3-l)＞＜百=生2巨，故③错误;

22

④在上取一点G,使EG=EC,连接CG,

'：BC=CF,

：.ZCBE=ZF,

：.ZCBE=ZCDE=ZF=150.

；.NCEG=60°.

,:CE=GE,

.♦.△CEG是等边三角形.

：.ZCGE=60°,CE=GC,

AZGCF=45°,

：.ZECD=GCF.

'CE=GC

在和△尸GC中，，NECD=/GCF，

CD=CF

:.△DEC"XFGC(SAS),

：.DE=GF.

'：EF=EG+GF,

:.EF=CE+ED,故④正确；

故答案为：①②④.

17.如图，Rt^ABC中，ZBAC=90°,分别以AABC的三条边为直角边作三个等腰直角三

角形：△AB。、AACE,ABCF,若图中阴影部分的面积Si=6.5,%=3.5,$3=5.5,则

【答案】2.5.

【解答】解：•••△AB。、AACE,ZiBC尸均是等腰直角三角形，

：.AB=BD,AC=CE,BC=CF,

i^AB=BD=a,AC=CE=b,BC=CF=c,S/xABG=m,S^ACH=n,

a2+b2=c1,

SAABD+S/^ACE—SABCF,

Si+m+n+S4=S2+S3+m+n,

；.S4=3.5+5.5-6.5=2.5

故答案为：2.5.

18.阅读：如图1,在△ABC中，3ZA+ZB=180°,BC=8,AC=10,求AB的长.

小明的思路：如图2,作BELAC于点E,在AC的延长线上取点。，使得。E=AE,连

接B。，易得/A=/D,△43。为等腰三角形，由3/A+N8=180°和/A+NABC+/

BCA=180°,易得NBCA=2NA,△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和A3

的长.

解决下列问题:

(1)图2中，AE=9,AB=12；

(2)在△A3C中，NA,/B,NC的对边分别为〃、b、c.如图3,当3NA+2NB=180°

时，用含Q,C式子表示反

图1图2图3

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图2,作BELAC于点在AC的延长线上取点D,使得OE=AE,

连接

则BE是AD的垂直平分线，

：.AB=BD,ZA=ZD,

V3ZA+ZABC=180°,ZA+ZABC+ZBCA=180°,

：.ZBCA=2ZA,

•；/BCA=/D+/CBD,

：.ZBCA=ZA+ZCBD=2ZA,

：.ZCBD=ZA,

：.DC=BC=S,

・・・AD=OC+AC=8+10=18,

：.AE=AD=9,

：.EC=AD-CD=9-S=1.

・•・在直角ABCE和直角AAEB中，

由勾股定理得到：BC2-CE2=AB2-AE2,即82-12=AB1-92,

解得，AB=12,

故答案为：9；12；

(2)作BEJLAC于点区在AC的延长线上取点。，使得连接30,

则BE是边A0的垂直平分线，

：.AB=BD,ZA=ZD.

V3ZA+2ZB=180°,ZA+ZABC+ZBCA=180°,

・・・2NA+NA3C=ZACB,

NACB=/D+/DBC,

：.2ZA+ZABC=ND+NDBC,

ZA=ZD,

AZA+ZABC=ZDBCfBD=AB=c,即NOC3=NO5C,

:・DB=DC=c,

由题意得，Z)E=AE=kiS,

2

：.EC=AE-AC=k!S-6=_£Zk,

22

在RtABEC中，BE2=BC2-EC2,

在RtABEA中，BE2=BA2-EA2,

222222

ABC-EC=BA-EA,即)=c-(b+c)2,

22

22

整理得，b=2H.

19.如图，已知四边形ABC。中，AB//CD,2C=AO=4,AB=CD=10,ZDCB=90°,

E为CO边上的一点，DE=1,动点尸从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向

终点B运动，连接尸E,设点尸运动的时间为f秒.

(1)求8E的长；

(2)若48尸£为直角二角形，求t的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)VCD=10,DE=T,

：.CE=10-7=3,

在RtZ\CBE中，BE=>J^Q2^2=5-

(2)当NBPE=90°时，AP=10-3=7,

则f=7+l=7(秒)，

当/B£P=90°时，BE^+PEr^BP1,即52+42+(7-/)?=(10-r)2,

解得，字=互,

3

.•.当f=7或5时，△BPE为直角三角形.

3

20.如图1,四边形AOCO中，ZAOC=90°,ZADC=90°,AD=7,0c=24,CO=15.

(1)求线段AO的长度；

(2)如图2所示，。2是/AOC的平分线，一动点尸从点。出发，以每秒2个单位长度

的速度沿射线运动.设点P的运动时间为/秒，当△AO尸是等腰三角形时，请求出f

(2)/的值为5如或10或IOA/2.

【解答】解：如图1,连接AC,

VZAZ)C=90°,AD=7,DC=24,

'AC=VAD2+DC2=V72+242=25'

VZAOC=90°,CO^15,

；•=VAC2-co2=V252-i52=20;

(2)如图2,YOB是NAOC的平分线,

/.ZAOB=ZCOB=45°,

:一动点P从点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OB运动，设点P的运动时

间为/秒，

：.OP=2t,

当44。尸是等腰三角形时，分3种情况讨论：

①当AP=OP时，

：.ZPAO=ZPOA=45°,

.•.△AOP是等腰直角三角形，

由(1)知：AO=20,

：.OP=^-AO=10y/2,

2

；.f=5加；

②当0A=0尸"时，

/.2/=20,

③当AP=AO时，

/.ZAP'O=ZAOPf=45°,

.♦.△AOP是等腰直角三角形，

：.OP=®AO=2Q近,

：.2t=20如,

的值为5&或10或1072.

21.如图，/XABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=6an,若动点尸从点C开始，按C-A

一8一C的路径运动，且速度为每秒Ie：",设出发的时间为f秒.

(1)出发2秒后，求AABP的周长；

(2)当/为几秒时，8P平分/ABC；

(3)问/为何值时，△BCP为等腰三角形？

A

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)VZC=90°,AB=10cm,BC=6cm,；.有勾股定理得AC=8cm,动

点尸从点C开始，按C-A-B-C的路径运动，且速度为每秒1cm

出发2秒后，则CP=2cro,那么AP=6aw.

VZC=90",

/.由勾股定理得PB=2y[lQcm

...△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2V10=(16+2^10)cm；

(2)如图2所示，过点P作POLAB于点£>,

：8尸平分/ABC,

:.PD=PC.

在RtABPZ)与RtABPC中，jPD=PC,

lBP=BP

:.RtABPD咨RSPC(HL),

:・BD=BC=6cm,

'.AD—10-6=4cm.

设PC=xcm,则B4=(8-x)cm

在RtZXAPD中，尸£>2+4炉=以2,

BP?+42=(8-x)2,

解得：尤=3,

.•.当t=3秒时，BP平分/CAB；

(3)若P在边AC上时，BC=CP=6cm,

此时用的时间为6s,△BCP为等腰三角形；

若尸在边上时，有两种情况：

①若使BP=CB=6CT?I,此时AP=4a",尸运动的路程为12C%,

所以用的时间为12s,故f=12s时△BCP为等腰三角形；

②若3=2。=6的，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8的，

根据勾股定理求得BP=1.2cm,

所以P运动的路程为18-7.2=10.8cm,

的时间为10.8s,ABCP为等腰三角形；

③若BP=CP时，贝i|NPCB=ZPBC,

VZACP+ZBCP=90°,ZPBC+ZCAP=90°,AZACP=ZCAP,：.PA=PC

.'.PA=PB=5cm

；.尸的路程为13c机,所以时间为13s时，aBC尸为等腰三角形.

.1=6s或13s或12s或10.8s时△BCP为等腰三角形.

七.勾股定理的证明（共2小题）

22.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示

的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直

角三角形较长直角边长为。，较短直角边长为江若4=6,大正方形的面积为16,则小

正方形的面积为（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】C

【解答】解：由题意可得，,

,a^+b^=16

・••小正方形的面积=（〃-。）2=a2+b2-2ab=16-12=4,

故选：C.

23.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形A5CD与正方形ENG”.连

结EG,BD相交于点。、BD与"C相交于点P.若GO=GP,则也些的值是（

^AEFG

BC

A.1+V2B.2+V2C.5-V2D.K

4

【答案】B

【解答】解：；四边形瓦GH为正方形，

：.ZEGH=45°,ZFGH=90°,

OG=GP,

：.ZGOP=ZOPG=61.5°,

：.ZPBG=22.5°,

VZDBC=45°,

.\ZGBC=22.5°,

：.ZPBG=ZGBC,

'：ZBGP=ZBGC^90°,

在△BPG和△BCG中，

'NPBG=NCBG

(BG=BG，

ZBGP=ZBGC=90°

:.丛BPG沿ABCGCASA),

：.PG=CG.

设OG=PG=CG=x,

•：O为EG,8。的交点，

:.EG=2x,FG=®x,

••・四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，

；.BF=CG=x,

BG=x+\l'^x,

:.BduBd+Cd-W(V2+1)2+x2=(4+2V2)/，

...SAABD2"—(4+2,日)x2=2

SAEFGyFG2(V2x)2

故选：B.

八.勾股定理的逆定理(共2小题)

24.已知△ABC中，BC—m-n("z>">0),AC=2-\/nn-AB=m+n.

(1)求证：△ABC是直角三角形；

(2)当NA=30°时，求相，“满足的关系式.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)BC=m-n(m>w>0),AC=2Vm>AB=m+n,

.,.AC2+CB2=(m-n)2+4//zw=m2+n2-Imn+^mi^n^+r^+lmn=(%+〃)2=AB2.

：.ZC=90°.

/.△ABC是为直角三角形；

(2)：NA=30°,

•BC=m-n=1

"AB病T

Am=3n.

25.定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB,若以AM、MN、N8为边的三

角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段A8的勾股分割点.

(1)已知M、N把线段A8分割成AM、MN、NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则

点M、N是线段A8的勾股分割点吗？请说明理由.

(2)己知点M、N是线段A2的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=24,AM=6,求

8N的长.

•・・・

/MNB

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)是.

理由：,/AM2+BN2=1,52+22=6.25,W2=2.52=6.25,

：.AM2+NB2^MN2,

：.AM.MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，

・••点M、N是线段A3的勾股分割点.

(2)设BN=x,贝ljMN=24-AM-3N=18-x,

①当MN为最长线段时，依题意MN2=A"+N32,

即(18-x)2=7+36,

解得％=8；

②当8N为最长线段时，依题意5N2=AM2+“N2.

即X2=36+(18-x)2,

解得x=10,

综上所述，BN=8或10.

NMNB

九.勾股定理的应用(共6小题)

26.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最

重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，

更因为应用广泛而使人入迷.

如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度将它往前推6%至C处时(即水平距

离0)=6〃。,踏板离地的垂直高度CF=4%,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是()

m.

【答案】B

【解答】解：设绳长为x米,

在RtzXAOC中,

AD=AB-BD=AB-(.DE-BE)=x-(4-1)=(x-3)米,

DC=6m,AC=x米,

：.AB2+DC2^AC2,

根据题意列方程：?=（X-3）2+62,

解得：尸生，

2

...绳索AC的长是正.

2

故选：B.

27.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以A8为直径的半圆，下方是长方形

的仿古通道，已知AD=2.3米，CO=2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6

米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由.

【解答】解：：车宽L6米，

...卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高.

在RtZ\OEF中，由勾股定理可得：

£F=VOE2-OF2=V1-0-82=O-6

EH=EF+FH=0.6+2.3=2.9>2.5,

；.卡车能通过此门.

28.如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯

子顶端距离地面的垂直距离记作"A，如果梯子的底端尸不动，顶端靠在对面墙上，此时

梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB.

(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角8处，若K4=1.6

米，AP=1.2米，则甲房间的宽度AB=3.2米.

(2)当他在乙房间时，测得MA=2.4米，MP=2.5米，且NMPN=90°,求乙房间的宽

AB；

(3)当他在丙房间时，测得加4=2.8米，且/Affi4=75°,ZNPB=45°.

①求NMPN的度数；

②求丙房间的宽48.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)在RtZXAMP中，VZA=90°,MA=1.6米，AP=1.2米,

PM=VAM2+AP2=71.62+l.22=2>

"：PB=PM=2,

甲房间的宽度AB=AP+PB=3.2米，

故答案为：3.2；

(2)VZMPN=90°,

/.ZAPM+ZBPN=90°,

VZAPM+ZAMP^90°,

：.NAMP=NBPN.

'NAMP=NBPN

在△AMP与△BPN中，，ZMAP=ZPBN=90°，

MP=PN

AAMP沿ABPN,

.•.A/A=PB=2.4,

VB4=^pH2_AH2=o.7,

AB=以+尸8=0.7+2.4=3.1；

(3)①NMPN=180°-ZAPM-ZBPN=60°；

②过N点作MA垂线，垂足点D连接NM.

设AB=x,且AB=ND=x.

:梯子的倾斜角/8PN为45°,

...△BNP为等腰直角三角形，为等边三角形(180°-45°-75°=60°,梯子

长度相同)，ZMND=15°.

VZAPM=15°,

：.ZAMP=15°.

ZDNM=ZAMP,

「△PM/为等边三角形，

：.NM=PM.

:.LAMP当ADNM(44S),

：.AM=DN,

.'.AB=DN=AM=2.8米，

即丙房间的宽AB是2.8米.

丙

29.今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有

极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向8移动，已知点C为一

海港，且点C与直线AB上的两点A、8的距离分别为AC=300切38c=400切1,又A8

=500历"，经测量，距离台风中心260hw及以内的地区会受到影响.

(1)海港C受台风影响吗？为什么？

(2)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长?

c

【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解答过程；

(2)台风影响该海港持续的时间为眼小时.

7

【解答】解：(1)海港C受台风影响，理由：

VAC=300^m,BC=400km,AB=500km,

:.AC1+BC2=AB2,

.,.△ABC是直角三角形，90°；

过点C作CD±AB于。，

,/△ABC是直角三角形，

：.ACXBC=CDXAB,

.\300X400=500XCD,

.*.C£>=240(km),

:以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，

海港C受台风影响；

(2)当EC=260初Z,PC=260加时，正好影响C港口,

22

V£Z)=A/EC2_CD2=7260-240=100(公力

：.EF=2ED=2Q0km,

,/台风的速度为28千米/小时，

.,.200+28=/(小时).

7

答：台风影响该海港持续的时间为型■小时.

30.己知：在中，/C=90°NA、ZB./C所对的边分别记作a、b、c.如图1,

分别以AABC的三条边为边长向外作正方形,其正方形的面积由小到大分别记作Si、S2、

S3,则有S1+S2=S3;

（1）如图2,分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记

作Si、S2、S3,请问S1+S