山东省潍坊市2023-2024学年高三年级上册10月月考数学试题（解析版）

2023年10月份过程性检测

数学试题

本试卷共4页，分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间

120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、班级和科类填写在答

题卡和答题纸规定的位置上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位

置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改

液、胶带纸、修正带、不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第I卷(选择题，共60分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

A=(x|x2-x-2<o|B=[x\ex<1)

1.已知集合IIJ,L>,则()

A.(—8,1)B.(-0),2)C.(-2,0)D.(-1,2)

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式，得到A3,求出并集.

【详解】4={X卜2—x—2<。}={x|-l<x<2},3={x,<1}={x|x<0},

故4。6=(73,2).

故选：B

2.命题“Vxe(0,+co),%2一2%-3>0”的否定是()

2(2

A.3XG(O,+<»),X-2X-3<0B.3xe0,-H»),x-2x-3>0

22

C.V%e(-oo,0],x-2x-3>0D.VXG(0,-KO),X-2X-3<0

【答案】A

【解析】

【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“Vxe(O,+s),V—2%_3>O”的否定是“3x«0,+co),x2-2x-3<0r.

故选：A

3.记S“是等差数列｛%｝的前〃项和，若4=4,4=8,则S4=()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列定义可求得｛。“｝是以-2为首项，2为公差的等差数列，代入前n项和公式可求得

邑=4.

【详解】设等差数列｛4｝的首项为四,公差为d，

%+3d=44二—2

根据题意可知<解得

+5d=8d=2

4X(4—1)

所以可得邑=46+—~^J=4x(-2)+6x2=4.

故选：C

4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为〃，空气的温度为斗，那么♦小时后物体的温度。可由

公式。=4+(4—4)e力求得，其中人是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有A、8两

个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却2小时后，A、3两个物体的温度分别为

4%、7%,假设A、B两个物体的冷却系数分别为幻、kB,则()

A.左A—左B—5ln2B.k^B—左A=—ln2

k11cD&」n2

C.—Aln2

kB2-kA2

【答案】A

【解析】

1%+(q_%)e-2右=4%[(优_%)e_23=3%

【分析】由已知可得出「:M_2krc，变形可得;M2k/，两式相除变形后可得

%+a-%e4=7%4-％e"B=6%

合适的选项.

%+(q-%)e-=4%(i0)e"=3珞

【详解】由题意可得《则

%+(4-%)e-=7%(4-%)e4=6%

两式相除可得下2%为）=2,所以，2（心—心）=m2,即心一心=gln2.

故选：A.

5.在直三棱柱ABC—AiBiG中，AB=AC=BC=2,A4i=l,则点A到平面45。的距离为（）

A6R6「3百

A.------D.------D.也

424

【答案】B

【解析】

【分析】等体积法求解点到平面的距离.

【详解】设点A到平面4BC的距离为/?,

因为AB=AC=BC=2,

所以SABC=~~x2?=6，VAABC=—SABC-AA.=—x6x1=,

△AOC4、/i|—/i£>c3△ADC13、3

由勾股定理得：A5=AC="n=百，

取8C中点O,连接A。，则BD=1,

故=所以，4丈=35。4。=2,

因为％TBC=V4-AM，所以丸二3'LABC.

故选：B

6.已知函数y=log/（a>0由>0）图象如图所示，则二次函数y=ax2+法+C的图象顶点的横坐标的取

b

值范围为(

A.(1,2)B.1一1,一；]C(J1]D.(-2,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】令y=i,贝打<；<2,则得到顶点横坐标范围.

b

【详解】令y=i°g@x=i,其中“>0力>。，则由图知i<@<2,

bbb

则y=ax2+/zx+c的顶点横坐标为一乡£[-1,一]],

2a<2)

故选：B.

7.已知三棱锥尸—ABC中，平面ABC,AB=2,AC=2,BC=2®，出=3,D为PB中

点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为()

A.亚B.迫C.AD.2

15121413

【答案】D

【解析】

【分析】取8c的中点E,则DE//PC,NADE或其补角即为异面直线AD与PC所成的角，求出所需

边长，利用余弦定理求cos/ADE即可.

【详解】如图所示，取BC的中点E,连接AE,DE,

则DE//PC,/ADE或其补角即为异面直线A。与PC所成的角.

由AB=2,AC=2,BC=272-则有AB?+AC?=5。?，所以AB1AC,

E为BC的中点，则AE=J5,

以，平面ABC,4c中，PC^^PA2+AC2^79+4=713>DE=^PC=^-

RIAPAB中，PB=yjPA1+AB2=J'9+4=V13,DA—~~~~

13+13_?

222+

在7ADE中，根据余弦定理可得cosZADE=-A--D---+--D-F---—--A--F-='A-A乙=—Q

2ADxDEJ313

乙X

4

9

所以异面直线AD与尸C所成角的余弦值为—.

13

故选：D

8.已知函数/(%)=◎—(。+3)三在区间［一1,1］上的最小值为—3,则实数。的取值范围为()

9

A.—,+00B.-8,9]D.

2

【答案】C

【解析】

【分析】分-3<a<0,。>0和a<—3三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数。的取

值范围.

【详解】当一3<a<0时，/(%)=◎—(。+3*单调递减,

故了(%)在％=1处取得最小值，最小值为/(l)=a—(a+3)=—3,满足要求,

当a>0或。<一3时，/,(x)=a-3(a+3)x2,

令人卜。得一gma

3Q+9

a

当a>0时，<1恒成立,

3u+9

故表格如下:

/a1a1a/a

X寸3a+9[\3a+9V3a+9)

卜-L+]\3a+9

r(x)—0+0—

八%)极小值/极大值

故7(%)在x=上取得极小值,

V3a+9

7

~a-、a2aa

且y=----1-(a+37)，/(l)=-3,

3〃+9,\3a+9I3a+9,3y3a+9

要想/(%)=◎—(。+3)丁在区间上最小值为一3,

则要—即J'一>-3,变形得到4«3-243«—72940，

3V3a+9

令人)=4a3-243a-729,h'(a)=12a2-243,

当〃〉■!时，人(。)单调递增，当Ovavg时，单调递减,

且/z(O)=—81,/i(9)=0,

故4a3一2434-72940的解集为0＜。(9,

。＜一3时，令―--=1可得a=——，

3a+92

9

当一一(〃＜一3时,

2

aa

令广(同＜0得一-------<x<

3d+93d+9

故了(%)在［—1』上单调递减,

故"％)在1=1处取得最小值，最小值为了⑴=a—(a+3)=—3,满足要求,

9

当Q＜一一时,恒成立,

23d+9

故表格如下:

要想/(%)=◎—(。+3)丁在区间上的最小值为一3,

3

则要生=_3,变形得到4«-243«-729-0，

3Y3a+9

令w(a)=4q3-243a-729,M/(a)=12a2-243,

a<—|■时，W(a)>0,w(a)单调递增，

(9、9

Xwl--1=0,故a<一,上，4a3—243a—729=0无解,

9

综上：实数。的取值范围是-,,9

故选：c

【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函

数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知a>6>0,则下列不等式中正确的是（）

bZ?+lbaa-b

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用作差法可判断出AC正确，再由不等式的性质：两边同时乘以一个负数不等号改变方向，可得

B错误；由Q>Q-/?>0,可得D正确.

【详解】由a>b>0可得〃一/?>0,

对于A,作差可得9—1=@—2=3二2>0,所以3〉1,即A正确;

bbbbb

对于B,由〃>0可得一。<0,在两边同时乘以一〃，所以一a-a<-〃•/?,BP-a1<-ab，所以B错

误;

〃+1a小+1)—a,+l)=「^<0,所以但<0

对于C,即C正确;

b+1bb(b+l)b(b+l)b+1b

对于D,已知由不等式性质可得,<—可得D正确.

aa-b

故选：ACD

Z7Y

10.已知函数〃x)=——},贝U()

1X

A.=B.对任意实数。，函数/(%)为奇函数

C.存在实数a,使得〃尤)为偶函数D.a>0时，"％)在区间(0,1)上为单调递增函数

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出与/(九)比较，判断A；根据函数的奇偶性定义判断B；取特殊值判断C；根据函数的

单调性可判断D.

「空⑴'错误;

对于B,/(x)=一3的定义域为士1},关于原点对称,

1-X

-ax

且"-x)==/(x),故对任意实数a,函数为奇函数，B正确;

1一(一%)2

对于C,当a=0时，/(x)=0,x^+1,此时/(%)为偶函数,

故存在实数a,使得为偶函数，C正确；

ax=a

对于D,。＞0时，xe(O,l),则‘I刃一1—必一i,

-------X

X

i/Aax=a

因为y=--x在(0,1)上单调递减，故，〈叼一i—必一1在(0,1)上单调递增，D正确，

X---犬

X

故选：BCD

11.在正方体ABC£)—44C]2中，P为棱A。上的动点，则()

A.\B1PCX

B.直线2G与平面8片口。所成的角为30。

c.有且仅有一个点尸，使得BP，平面CG。

D.三棱锥3-PCC]的体积是定值

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用线面垂直的判定定理易知平面DPG，再由线面垂直性质可得43,PG，即A正确；

作出直线BG与平面82Q。所成角的平面角即可得其大小为30。，即B正确；根据线面垂直的性质可得

BPLPC,但以为直径的圆与线段没有交点，即不存在点P满足平面CGP，即C错误;

利用三棱锥体积公式可知三棱锥3-PCG的体积为正方体体积的,，为定值，即D正确.

【详解】对于A,如下图所示：

由正方体性质可知ABHD\C,且D]C，G。；

又AOJ_平面DCC12，。1。匚平面。。62,所以可得2C_LAD,即。＜，。尸；

又DPcCp=D,。尸,CQu平面。PG，所以平面。PC，

又PC】u平面DPC「所以℃，PC】，ABMD\C,

可得45,PC-即A正确；

对于B,连接AG，4A交于点。，连接。8,如下图所示：

由正方体性质可知，ACJBR,5用，平面4月。12，4。1匚平面4月。12,所以AG^B与；

又BB]c42=片，BB],B[D]U平面BDDXBX,所以AG，平面BDDXBX,

所以ZQBO即为直线BC,与平面8片A。所成角的平面角,

易知sinNG30=整=：,又NgBOe0,^,可得NG3O=30°,即B正确；

nCj22」

对于C,如下图所示：

若使得平面CGP，则只需满足BPLPC,

因为BP，C[C,。]。口尸。=。,。1。,/5。匚平面。。7,所以平面CGP；

此时N3PC=90°，所以P的轨迹为以BC为直径的圆与线段A。的交点,

显然以为直径的圆与线段AO没有交点，即不存在点尸，使得平面CGP，所以C错误;

对于D,如下图所示：

不妨设正方体的棱长为。，易知三棱锥3-PCG的体积为

y=CCx5CA5CC3

-\flcp-|i|=--|HHi|=-«>是定值；可得D正确.

3326

故选：ABD

12.欧拉函数0(")(〃wN*)的函数值等于所有不超过正整数“，且与〃互质的正整数的个数(公约数只有

1的两个正整数称为互质整数)，例如：。(3)=2,0(4)=2,贝U()

A.0⑸=4B.数列｛0(2叫单调递增

C.方程9(")=〃—l("wN*)有无数个根D.数列加(5")｝的前〃项和为5〃—1

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据0(9(〃eN*)定义求出姒5),判断A；举特例判断B；当“为质数时，^(n)=n-l(neN*)

有无数个根，判断C；求出｛夕(5")｝的通项公式，判断其为等比数列，即可求得前见项和，判断D.

【详解】对于A,不超过正整数5,且与5互质的正整数有1,2,3,4,

故0(5)=4,A正确；

对于B,由于姒4)=2,姒6)=2,故数列｛夕(2叫不单调递增数列，B错误；

对于C,因为当“为质数时，<p(n)=n-l,

而质数有无数多个，故方程9(")=〃-l("wN*)有无数个根，C正确；

对于D,由A可知0⑸=4,

而与52互质的正整数的个数为5?减去5的倍数5,10,15,20,25之后的正整数个数，

即“52）=52—5=20；

与53互质的正整数的个数为53减去5的倍数5,10,•••,125之后的正整数个数,

即“53）=53—5?=100；

9

由此可得0（5"）=5"—5"T=4-5"T,

即加（5"）｝为首项是4,公比为5的等比数列，

所以数列｛夕（5"）｝的前"项和为4（：_；）=5"-bD正确，

故选：ACD

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要理解。（"乂"eN*）的含义，特别是选项D的判断，要根据

°⑺（〃eN*）的含义，找到规律，求出数列通项公式，判断加（5"）｝为等比数列，即可求解.

第II卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.不等式一心＜0的解集为.

3x+l

【答案】［-；,3

【解析】

【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可.

x-3f（x-3）（3x+l）＜01

【详解】等式^一＜0等价于I八），解得——＜九V3,

3x+l13尤+1。03

所以原不等式的解集为1-g,3.

故答案为：f-1,3.

l,x<0

14.函数/（x）=<1值域为_______.

（万）,尤>o

【答案】（o,i]

【解析】

【分析】根据给定的分段函数，分段求出函数值集合即可得解.

【详解】当无>0时，函数>=（；）”的值域为（0,1）,当XW0时，函数y=l的取值集合为｛1｝,

l,x<0

所以函数/'（%）=1X的值域为（0,1].

（万）,尤>0

故答案为：（0,1]

15.己知数列｛4｝为正项等比数列，且生012=2,则log2。]+log2a2+•,,+10g2“2023

【答案】2023

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算法则计算得解.

【详解】数列｛〃〃｝为正项等比数列，-2=2,则当〃wN*,〃<2023时，2024f=谥12=22,

所以log?4]+log2a2+.''+10g2”2023~log2（@"2"3***^2021^2022^2023

22）2023

=log2aoi•（吭叫=log22=2023.

故答案为：2023

16.在边长为2的菱形A3CD中，4=60°,沿对角线6D折起，使二面角A—BD—C的大小为120。,

此时点A,B,C,。在同一个球面上，则该球的表面积为

【答案】—##—71

33

【解析】

【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质确定球心，求出球半径即可得解.

【详解】依题意，是边长为2的正三角形，取中点E，连接A2CE,

c

则AELBRCELBD,/A£C是二面角A—5D—C的平面角，即NAEC=120。，

并且8D/平面ACE,而BDu平面MD，于是平面ACE,平面MD,平面ACE「平面

ABD=AE，

令△相£)的外心为Q,显然a在AE上，且O]E=gAE=g,O]A=¥

在平面ACE内过。|作直线垂直于AE，则此直线垂直于平面ABD，

于是四面体ABCD的外接球球心。在此直线上，即有OO]，平面ABD,

令△CB。的外心为4,显然。2在CE上，连接。Q，则。。2,平面CB。,

而CEu平面CBD,于是OQLCE,显然。2石=01石，即RtZiOOg且Rt^OQE,

则NOEO[=NOEQ=1^AEC=60°,因此OOX=O.Etan60°=1,

从而四面体ABCD的外接球半径R=OA=JOO；+042=

所以该球的表面积为S=4兀2=

d小品、、28兀

故答案为：---

3

【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解

题的关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(x)=212-lnx+2.

(1)求曲线y=/(£)在处的切线方程;

(2)若函数/(%)在其定义域内的一个子集(m-2,m+2)内存在极值，求实数机的取值范围.

【答案】(1)3x-y+l=0

【解析】

【分析】(1)先求导/'(九)，从而求得切线的斜率再求出/(1),再根据点斜式即可写出切线方

程；

(2)先求出了(%)的极值，再根据题意建立关于根的不等式即可求解.

【小问1详解】

由f(x)=2x2-Inr+2,

则7•'(%)=—所以7•'(1)=4—』=3,

X1

又/(1)=2-0+2=4,

所以曲线y=/(x)在处的切线方程为y_4=3(x—l),即3x—y+l=0.

【小问2详解】

由r(x)=4x_L=4rT(2x-l)(2x+l)

XXx

当0<x<g时，r(x)<0；当时，>0,

所以"%)在x=；时取得极小值,

0<m-2<—

由此可得《2解得2<根<之

C12

m+2>—

2

所以实数机的取值范围为2,1

f/(x),x>0

18.已知函数/(%)=兀一1,

[-/(x)-2,x<0

(1)求证：函数g(x)为偶函数;

(2)集合A={x[2a<%<2—a},8=<xg(x)<g/(x)+2>,若3=求实数a的取值范围.

【答案】(1)证明过程见详解

(2)(-oo,-3)

【解析】

/、x-l,x>0

【分析】(1)先根据题意得到g(x)=__,再分尤>0和x<0两种情况，且结合偶函数的定义

即可证明.

(2)结合(1),且分x>0和x<0两种情况解不等式求出集合B,再根据5。A即可求解.

【小问1详解】

/、x-l,x>0

依题意可得g(x)=_,

Ji人SU

当x>0时，一％<0,所以g(—x)=xT,得g(—x)=g(x),

当x<0时，-x>0,所以g(—x)=—xT,得g(—x)=g(x),

所以g(x)为偶函数.

【小问2详解】

结合(1)可得，

当x20时，%-1<—(%-1)+2,得0^x<5,

当x<0时，—x—1<a(x—1)+2,得—3<x<0,

所以JB=<x—<]<5>,

3,

2a<--

又所以《3,解得。<—3,

2—Q25

所以实数a的取值范围为-3).

19.展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产

品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售

500-2x,0<x<20

完，每万台的销售收入A万元，且R=L八21406250”

370+------------^,%>20

、xx

(1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入一成本)

(2)当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润.

-2X2+120X-150,0<X<20

【答案】(1)S=-10x-^^+1990,x>20

(2)当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元.

【解析】

【分析】(1)根据利润=销售收入一成本结合已知条件求解即可，

(2)分0<xW20和1>20求出S的最大值，比较即可得答案.

【小问1详解】

当0<九(20时，S=x7?-38Ox-15O

=x(500—2x)—380150

=-2d+120150，

当x〉20时，S=x7?-38Ox-15O

2140_6250

370+-380X-150

XX2

-2X2+120X-150,0<X<20

【小问2详解】

当0<%W20时，S=-2x2+120x—150=-2(x-30)2+1650,

函数的对称轴是x=30,则函数在(0,20］上递增，

所以当尤=20时，函数取得最大值1450；

当x>20时，S=-10|%+—|+1990<-10x2Jx—+1990=1490,

当且仅当尤=——，即％=25时取等号，此时S的最大值为1490,

x

因为1450<1490

所以当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元.

20.把矩形01。2冏以口。2所在的直线为轴旋转180°,得到几何体如图所示.其中等腰梯形A3CD为下底

面的内接四边形，且A5=2AD=2,点G为上底面一点，且CG〃O02，0,02=1.

（1）若P为OE的中点，求证：AP工平面

（2）设丽=2方后，4G[0,1],试确定2的值，使得直线AP与平面A3G所成角的正弦值为^

【答案】（1）证明见解析

12

（2）A=—或4=—

33

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可;

（2）空间向量法求线面角正弦值计算求参可得.

【小问1详解】

证明：因为A3为直径，

所以BDLAD，

因为EA_L平面ABD,BDu平面ABD

所以石4，应），

因为人石01£>=4,/场<=平面4。石，ADu平面ADE,

所以801平面ADE，

因为APu平面ADE,所以5DLAP,

因为AZ）=AE，尸为DE的中点，所以APLDE，

因为BDcDE=D，瓦）匚平面8。£,瓦）（=平面3。£,

所以AP1平面班出

【小问2详解】

因为等腰梯形A3CD为底面半圆。1的内接四边形，AB=2AD=2,

7T

所以ZDAOl=NAC\D=ZCQD=NBOQ=-,

所以CD=BC=1,

如图，以。।为坐标原点，在底面半圆。|过点。।垂直于平面A3EE作直线为x轴,

分别以。啰，aa为》z轴建立空间直角坐标系,

由于人£>=。。=5。=1,CG=1，由（1）可知AO|=1,

7，(

故4(0,-1,0)，5(0,1,0),G(AD1,oIE0,-l,l),

I22J22)

3、

贝I通=(0,2,0),AG=

2八，二2，1J，

设平面ABG的一个法向量为专=（羽y,z）,

2y=0,

n-AB=Q,

则一，即,63

n-AG=Q,-----%+—y+z=Un,

I2------2)

令X=26，则/=(273,0,3),

、

由赤=4诙，/te[0,l],DE=31_

2，

2S'、

可得,一7%—,所以AP=

222J

TT

设直线AP与平面ABG所成角为9,0e0,-,

I/一\|\n-AF\|32-3+0+32|J105

则sin。=cos仿,AP}\=L~।।

।4同网J12+0+9々2%—24+135

即得942—92+2=0，

i2

解得或;l=—,符合4G[0,1],

-1-2

故4=一或丸=一

33

—a为奇数,

21.设S”是数列｛4｝的前“项和，已知％=1,an+\=j2n

a“-2n,n为偶数.

⑴证明：｛%,-2｝是等比数列;

（2）求满足邑“>0的所有正整数机

【答案】（1）证明见解析

（2）正整数〃为1,2

【解析】

【分析】（1）由定义能证明数列｛4“-2｝是等比数列;

+a2n=8-4〃—3•U'从而

(2)由«—2=—

2

1+齐3义g卜

S2n=(弓+%)+(%+%)+…+(。2-1+。2")=_2

由求和式子由此能求出满足邑〃>0的所有正整数n的值.

【小问1详解】

由已知得a2n+2=|a2n+l+2〃+1=；—4”）+2〃