相似三角形种A字型（2种类型）（解析版）

专项09相似三角形种A字型（2种类型）

'修【解题思路】

有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，NBAC及NDAE有公共部

分NDAF）,此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点,

则需要分类讨论，如图③中可找条件ND=NC或ND=NB.

---------'CBL---------'C

图①图②图③

（平行）（不平行）（旋转型:由A字

型旋转得到）

w【善例合新】

【类型1：平行类A字型】

【典例1］如图，在△NBC中，DE//BC,DE=2,BC=5,贝的值是（）

DA~\E

【答案】B

【解答】VDE//BC,

:"SHADESS丛ABC，

•:DE=2,BC=5,

:・S/\ADE：SMBC的值为W-，

故选:B.

【变式1-1］如图，在△NBC中，点£、/分别在/8、AC±,EF//BC,处=2,四边形

BE3

BCEE的面积为21,则△/2C的面积是（）

3

【答案】B

【解答】-：EF//BC,

：.AAEFsAABC,

S

.AAEF（AE）2,

^AABC福

..AE=2

,BE.

•.•-A-E_2,

AB5

S

•AAEF_（AE）2=（Z）24

^AABC福525

"""四边形BCFE的面积为21,SA/BC=SZ\4EF+S四边形BCFE，

，SAXBC=4+21=25，

故选：B.

【变式1-2］如图，在△N8C中，点。，£分别是NC的中点，若△/〃£的面积是

4c加2,则四边形8OEC的面积为（）

【答案】C

【解答】解：：点。，E分别是/C的中点,

；.£>£是△/BC的中位线,

：.DE^—BC,DE//BC,

2

：.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

:.AADEsAABC,

.SAADE_(DE)2=(工)2=工，

,△ABCBC24

,?/UDE的面积是4cm2,

:.AABC的面积是16cm2,

/.四边形BDEC的面积=ZU8C的面积-AADE的面积

=16-4

=12(cm2),

故选：C.

【变式1-3］如图，已知每个小方格的边长均为1,则△48。与△CDE的面积比为()

________A_____________

一/田一r

__/_3二2_

—乙二二一'乙—

B[口⑼

A.2：1B.3：2C.8：1D.4：1

【答案】D

【解答】解：如图：

_______4____________

-七丁

工标二

B立DV

由题意得：

ZAMB=ZEND=90°,AM=4,BM=2,EN=2,DN=3

.AM_Bj

ENDN

AAB=BM=2)ZABM=ZEDN,

DEDN

：.AB//ED,

:・/ABC=/CED,/BAC=/CDE,

:.AABCsADEC,

SAABC=（胆）2=4,

^ADECDE

.♦.△4BC与△CDE的面积比为4：1,

故选：D.

【典例2】如图，△/8C是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,高AD=80mm,要把它

加工成矩形零件，使一边在8c上，其余两个顶点分别在边/8、/C上，若这个矩形的

长PN是宽尸0的2倍，求长、宽各是多少？

【解答】解：:四边形PNM0为矩形,

J.MN//PQ,PN//BC,

：.AAPNSAABC,

设边宽PQ=xmm,则长PN=2xmm,

•・,四边形MA①为矩形，

：.PN//BC,

\'AD.LBC,

：.AD.LPN,

DH—PQ=xmm,

\"AD=SOmm,

：.AH=(80-x)mm,

■:PNUBC,

：.△APNSAABC,

・PNAH

**BC"AD?

,:BC=120mm,

.2x_8Q-x

••而二80'

解得x=&2_,2x=%.

77

即长为堂2mm，宽为独小加.

77

【变式2-1］如图，有一块三角形余料4BC,BC^120mm,高线/。=90a加，要把它加工成

一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点尸、M分别在N8,AC±,若满足加:尸0=

C.50mmD.120mm

【答案】A

【解答】解：如图，设AD交PN于点、K.

"：PM：P0=2：1,

.•.可以假设PQ=kmm.

;四边形尸QW是矩形，

：.PM//BC,

：./\APM^/\ABC,

'：AD±BC,BC//PM,

：.AD±PN,

.PM=AK

*'BCAD'

•2k_90-k

,*12090

解得人=36,

.,.PQ-36mm.

故选：A.

【变式2-2］如图，在△48C,8c=30,高4。=20,正方形EFG"一边在3C上，点E,F

分别在AC±,AD交EF于点、N,则NN的长为（）

【答案】A

【解答】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x,

,/四边形EFGH是正方形，

AZHEF=ZEHG=90°,EF//BC,

^\AEF^/\ABC,

,：AD是△ABC的高，

:.NHDN=90°,

.•.四边形以"W是矩形，

:.DN=EH=x,

；AAEFsAABC,

・・・也具（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），

ADBC

V5C=30,0=20,

：.AN=2Q-x,

・20-xx

••----二,

2030

解得：x=12,

•\AN=20-x=20-12=8.

故选：A.

【类型2：不平行A字型】

【典例3］已知如图，D,E分别是△N2C的边/C上的点，/AED=/B,AD=3,AB

=8,4E=4.求/C的长度.

A

D/

/

B乙--------

【解答】解：,：/AED=NB,ZA=ZAf

：.△ADEs”CB,

•・A•—D_A二E丁

ACAB

"."AD=3,AB=8,AE=4,

•.•3-=4,，

AC8

：.AC=6.

【变式3-1】已知：如图，在△48C中，/ADE=/C,则下列等式成立的是（）

ABACBCABBCBDBCAB

【答案】B

【解答】解：•.,在△NBC中，ZADE=ZC,ZA=ZA,

：.△4DEs"CB,

.DEAE

••—1•

BCAB

故选：B.

【变式3-2】如图，0、E分别为△45。的边45、ZC上的点，若N1=N5,坦=工，4ADE

AC2

的面积等于2,则△45。的面积为（）

A

B

A.4B.8C.10D.12

【答案】B

【解答】解：•.,N1=N2,

^ADE^AACB,

..AD=1

.而~2

.SAADE_1

••------------,

SAACB4

「△/OE的面积等于2,

...△/C8的面积等于8.

故选：B.

【变式3-3］如图，在△48C中，ZC=90°,AC=4,AB=5,点。在NC上且NO=3,

于点E,求/£的长.

【解答】解：于点E,ZC=90°,

AZAED=ZC=90a,

,：ZA^ZA,

.♦.△ADESAABC,

•.A•DA二E,

ABAC

'：AB=5,AD=3>,AC=4,

.3AE

••-=，

54

."£=丝.

5

亲【限踪制稼】

1.如图，在△48C中，DE//BC,坦至，记△，£)£的面积为si，四边形D8CE的面积为

AB7

S2，则二L的值是()

s2

【答案】D

【解答】解：-：DE//BC,

：.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

:.△ADEs^ABC,

S

AADE(_5)2.25

,△ABC749

.Si_25

••----，

S224

故选：D.

2.如图，在平面直角坐标系中，将△048以原点为位似中心放大后得到△0C。，若/(1,

0),C(3,0),则△0/3与△OCD的面积比为()

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：9

【答案】D

【解答】解：'：A(1,0)，C(3,0),

OA—l,OC—3,

:△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,

.,.△048与△OCD的相似比是CM：OC=1：3,

...△CM8与△。。的面积的比是1：9.

故选：D.

3.如图，在△N2C中，点。，E分别在AC±,若坦且△/£>£的面积为

ABAC3

9,则四边形BCED的面积为（）

【答案】C

【解答】解：•.•坦•小，=

ABAC3

:.△ADEsAABC,

S

AADE（AD:2=（工）2=工，

^AABC加39

,.•△4DE的面积为9,

的面积=81,

四边形BCED的面积=/i/8。的面积-AADE的面积

=81-9

=72,

故选：C.

4.如图，直线/i〃/2〃b，直线/C，。厂分别交小h，七于点4B,C和点。，E,F,连

结BG//AF,若典＞BG=6,则/尸的长为(

NR=2,)

EF3

1

GF3

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【解答】解：.

EF3

•AB=DE=2

,•而EF百，

.BC_3

••-,

AC5

'：BG//AF,

：.ZCGB=ZCFA,ZCBG=ZCAF,

：./\CBG^/\CAF,

.CB=BG

"AC而，

•.•-3_--6-,

5AF

：.AF=IO,

故选：C.

5.如图，在△4BC中，DE//BC,EF//AB,下列等式成立的是（）

AD=ECAD=DE口AD=EF

DBFCDBAEDBBC,DBAB

【答案】A

【解答】解：A、,：DE〃BC,EF//AB,

：.ADtDB=AE：EC,AE：CE=BF：CF,

坦黑，所以/选项的等式成立；

DBFC

B、・：EF〃AB,

坦迪，所以2选项的等式不成立;

DBEC

C、•:DE〃BC,

：./\ADE^/\ABC,

坦理，所以C选项的等式不成立;

ABBC

D、*：DE//BC,

：.BD：AD=CE：AE,

,JEF//AB,

:.ACEFs/xcAB,

.EF=CE

"ABAC，

.•.毁WgE,所以O选项的等式不成立.

ADAB

故选：A.

6.如图，点尸是△NBC的角平分线4G的中点，点、D、£分别在N8、/C边上，线段。E

过点况且//DE=NC,下列结论中，错误的是（）

GC2BC2AB2BD2

【答案】D

【解答】解：..【G平分N8/C,

NBAG=NCAG,

:点尸是/G的中点，

：.AF=FG=^-,

2

,:NADE=NC,ZDAE=ZBAC,

.♦.△DAEsACAB,

：.ZAEB=ZB,

又：ZBAG=ZCAG,

：.△£/尸S^B/G,

.AEAF=1

"AB=AG~2

•:/ADE=/C,ZBAG=ZCAG,

：./\ADF^/\ACG,

.ADAFDF1

"AC"AG'GC"2

故选：D.

7.已知：如图，在△48C中，AC=6,BC=8,/8=10,点。位于边上，过点。作边

3c的平行线交边NC于点E,过点。作边/C的平行线交边2C于点/，设四边

形CED厂的面积为丹则y关于无的函数关系式是（不必写定义域）

【解答】解：-：DE//BC,DF//AC,

.•.四边形DECF是平行四边形,

在△N8C中，AC=6,BC=8,AB=\Q,

,：AC2+BC2=62+82=100,^B2=102=100,

：.AC1+BC1=AB1,

△NBC是直角三角形，

AZC=90°,

四边形DEC尸是矩形,

'：DE//BC,

：.ZAED=ZC=90°,

：./\AED^/\ABC,

.AE=DE

"ABBC，

.x_DE

••--------，

68

'.DE——x,

3

矩形CEDF的面积=OE・CE,

.,.y=—x(6-x)=--x2+Sx,

■33

故答案为：＞=-生^+8x.

3

8.如图，E为口/8C。的边CD延长线上的一点，连结8E交/C于点。，交/。点足

(1)求证：AAOBSACOE；

(2)求证：B02=E0・F0.

【解答】证明：（1）•••四边形/3C。是平行四边形,

C.AB//CD,

：.△NOBS^COE；

(2)V/\AOB^/^COE,

•.O•-E=OC,，

OBOA

,:AD〃BC,

：.AAOF^ACOB.

•.O•-B=OC1，

OFOA

•.O•-B=-O-E-,

OFOB

即OB~=OF'OE.

9.如图，在△4BC中，点。，E,尸分别在BC,NC上，DE//AC,EF//AB.

(1)求证：ABDEsAEFC.

(2)若坦=当，AMC的面积为9,求△48C的面积.

FC3

ZBED=ZECF,

"：EF//AB,

：.NB=NFEC,

：.△BDEs^EFC；

(2)'：EF//AB,

:.△ABCs^FEC,

.•.也些=三)2,

S/kFECFC

.-.-A-F-=—4，

FC3

•-•---A•C二7,

FC3

SAABC(AC)2—49

^AFECFC9

又：的面积为9,

...△A8C的面积为49.

10.已知：如图，点。在三角形/8C的边上，DE交AC于点E,N4DE=NB,点尸

在4D上，S.AD2=AF'AB.

求证:⑴票噂

(2)AAEF^AACD.

【解答】证明：(1):NADE=NB,

C.DE//BC,

.ADAE

••-=---;

ABAC

(2),:AD2=AF-AB,

.A