用锐角三角函数解决问题之三大题型（解析版）

专题04用锐角三角函数解决问题之三大题型

题型导向

目录

【题型一仰角俯角问题】...................................................................1

【题型二坡度坡比问题】...................................................................8

【题型二实物抽象出几何图形问题】.......................................................14

典型例

【题型一仰角俯角问题】

例题：（2023•浙江嘉兴•统考二模）为了预防近视，要求学生写字姿势应保持"一尺、一拳、一寸"，即眼睛

与书本距离约为一尺（约33cm）,胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸.如图，

8。为桌面，某同学眼睛尸看作业本A的俯角为50。,BC为身体离书桌距离3C=9cm,眼睛到桌面的距离

PC=20cm.

⑴通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求；

⑵为确保符合要求，需将作业本沿54方向移动.当眼睛尸看作业本A的俯角为37。时，求作业本移动的距

离.（sin50。=0.77,cos50。=0.64,tan50。=1.19,sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,结果精确到

0.1）

【答案】⑴不符合要求

⑵作业本移动的距离约为9.9cm

【分析】(1)依题意，ZPAC=ZQPA=50°,在Rt.ACP中，求得AP的长，比较大小，即可求解.

(2)依题意，移动后，NR4c=37。，在Rt.ACP中，求得AC的长，与在(1)中求得AC,求差即可求

解.

EAP=--------®-------®26.0cm,AC=--------------«——®16.8cm

sin50°0.77tanAPAC1.19

026<33

回这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求；

(2)依题意，移动后，ZR4C=37°,

PC

在Rt-ACP中，tanNPAC=—

AC

PC20

团AC=-------------x——比26.7

tanZPAC0.75

团26.7—16.8=9.9cm

答：作业本移动的距离约为9.9cm

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键.

【变式训练】

1.(2023・浙江•一模)如图，数学兴趣小组的几位同学在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为

60°,沿山坡向上走到尸处再测得该建筑物顶点A的仰角为45。.测得BC=60m,AP与BC的延长线交于点

D,同学们用测倾器测得山坡的坡度为J(BPtanZPCD=1).

22

⑴求该建筑物的高度A3的长.

⑵求山坡上点尸处的铅直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号的形式）.

【答案】（1）60鬲

(2)(20G-20)m

【分析】（1）直接利用正切函数的定义列式求值即可；

（2）过点尸作尸于点H,过点P作尸于点M.设尸H=x,利用三角函数关系设法用x表示

AM和尸Af,再利用AM=PM列方程求解即可.

【详解】（1）解：在中，

3c=60,ZACB=60°,

tan60°=^^,

BC

即

•，-AB=604.

答：该建筑物的高度AB的长为60Gm.

（2）如图，过点尸作a于点/7,过点尸作于点

设7W=x.

在Rt^CP”中，

1pH

tanNPCD=—=—,

2CH

:.CH=2x,BM=PH=x,

又：ZAPM=45°,

:.AM=PM,

=BC+CH,

即60G-X=60+2X,

解得：x=2073-20.

山坡上点尸处的铅直高度为（20否-20）m.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角，解直角三角形的应用一坡度坡角，解题的关键是构造

直角三角形，利用三角函数关系求值，或列方程求解.

2.（2023,浙江宁波•统考中考真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器

和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示.

⑴如图2,在尸点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上AB两点均在视线PC上时，测得视线与

铅垂线所夹的锐角为a,设仰角为夕，请直接用含a的代数式示4.

⑵如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点BC分别测得气球

A的仰角―血）为37。，/ACD为45。,地面上点BC,。在同一水平直线上，BC=20m,求气球A离

地面的高度AD.（参考数据：sin37。土0.60,cos37。土0.80,tan37°«0.75）

【答案】（1）6=90。一a

⑵AD=60m

【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案;

（2）根据题意，AD±BD,在RtA4CD中，448=45。，由等腰直角三角形性质得到CD=AD；在

AnAnAn

RtZvWD中，/ABD=37°,由tan/ABO=tan37。=——=------=--------,解方程即可得到答案.

BDCD+20AD+20

【详解】⑴解:如图所示:

c

a

A

D

P

由题意知O。，尸。,

在Rt尸0。中，？O90?,则NP+NPOD=90°,即c+/7=9O。，

/.p=90°-a；

（2）解：如图所示:

ADJ.BD,

在RLAACD中，Z4CD=45°,由等腰直角三角形性质得到CD=AD,

在RtA4B£>中，NABD=37°,

AnADAD

由tan/ABD=tan37。=——

BDCD+20~AD+20

AD

即0.75=

AD+20

解得AD=60m,

「•气球A离地面的高度AD=60m.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高

等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键.

3.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内

才能被识别），其示意图如图2,摄像头A的仰角、俯角均为15。，摄像头高度。4=160cm,识别的最远水

平距离05=150cm.

阳I

⑴身高208cm的小杜，头部高度为26cm,他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要

下蹲多少厘米才能被识别.

⑵身高120cm的小若，头部高度为15cm,踮起脚尖可以增高3cm,但仍无法被识别.社区及时将摄像头

的仰角、俯角都调整为20°(如图3),此时小若能被识别吗？请计算说明.(精确到0.1cm,参考数据

sin15°x0.26,cos15°«0.97,tan15°»0.27,sin20°«0.34,cos20°x0.94,tan20°«0.36)

【答案】(1)12.9cm

⑵能，见解析

【分析】(1)根据正切值求出石厂长度，再利用三角形全等可求出所尸=35.1(cm),最后利用矩形的性

质求出CE的长度，从而求出蹲下的高度.

(2)根据正切值求出MP长度，再利用三角形全等可求出MP=PN=54.0(cm),最后利用矩形的性质求出

3尸的长度，即可求出3N长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案.

【详解】(1)解：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E,D,交水平线于点尸，如图所示，

图2

在RtAEE中，tanZE4F=——.

AF

£F=AF-tan15°=130x0.27=35,1(cm).

AF=AF,ZEAF=ZDAF,ZAFE=ZAFD=90°,

.-.AADF^AAEF.

：.EF35.

CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm),ED=2EF=35.1x2=70.2(cm)>26(cm),

小杜下蹲的最小距离=208-195.1=12.9(cm).

(2)解：能，理由如下:

过点8作0B的垂线分别交仰角、俯角线于点N,交水平线于点尸，如图所示,

仰角20°

极像头A「(二水平线

俯角

图3

MP

在RtAAPAf中，tanZMAP=——.

AP

:.MP=AP-tan20°=150x0.36=54.0(cm),

AP=AP,ZMAP=/NAP,ZAPM=ZAPN=90°,

:.AAMP^AANP.

，PN=MP=54.0(cm),

BN=BP-PN=160-54.0=106.0(cm).

小若垫起脚尖后头顶的高度为120+3=123(«11).

二小若头顶超出点N的高度123-106.0=17O(cm)>15(cm).

小若垫起脚尖后能被识别.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性

质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识.解题的重点在于熟练掌握

相关概念、性质和全等方法.

4.（2023•浙江•校联考三模）大善塔位于绍兴市区城市广场东南角，始建于梁天监三年（504）,为明代建

筑，在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量大善塔的

⑴【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端

A的仰角为点C到点B的距离BC=。米，即可得出塔高AB=米（请你用。和。表示）.

（2）【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此BC无法直接测量，该小组对测

量方案进行了如下修改：如图3,从水平地面的C点向前走到点Z）处，在。处测得塔顶端A的仰角为用，

即可通过计算求得塔高A3,若测得的戊=37。，6=60。，CZ）=26米，请你利用所测数据计算塔高

AB.（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin37。“0.6,cos37。。0.8,豆=1.732）

【答案】⑴a・tanc

⑵塔高约34.4米

【分析】（1）在Rt/VIBC中，根据三角形函数直接求解即可；

（2）设塔高AB的长为尤米，先在Rt/XABC中，利用锐角三角函数表示出BC,再在中，求出

X.

【详解】(1)解：在RtzXABC中，ZABC=90°,ZACB=a,

团AB=a-tana；

（2）解：设塔高AB的长为x米,

在中，ZABC=9Q°,

「“cSin(70.6_3_AB

团tana=tan37=------

cos。E8-4-BC

44

SBC=-AB=-x^,

13co=26米,

4

0BD=BC-CD=(-x-26)7^,

在RtAABD中，？ABD90?,

团tanp=tan60°==,3,

x

0x»34.4,BPAB«34.4（米），

答：塔高约34.4米.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，关键是利用锐角三角函数表示

线段的数量关系.

【题型二坡度坡比问题】

例题：（2023•浙江•模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线>=工炉的形

状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.

⑴如图1,若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多

少米的高度？

⑵如图2,若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20

米的塔柱.求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？

【答案】⑴22米

(2)14.75米

【分析】(1)由题意，最低点的横坐标是40,代入函数表达式中可求得高度即可;

(2)以点。为坐标原点，OC方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系数法求得抛物线

的解析式为y=+直线DE的解析式为y=3,设加卜,击苏-、加+2()](0〈根＜50)为

抛物线上一点，过点〃作轴于R交DE于G,则由

1O11

MG=——m2——m+20——m=——(m-25)2+13.75可求解.

100105100V)

【详解】(1)解：由题意，最低点的横坐标是40,则丁=**4。2=16,

16+6=22(米)，

答：固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度；

(2)解：以点。为坐标原点，OC方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，

图2

设此时抛物线的解析式为y+6x+c,

由于斜坡的坡度为1:5,且CD=50米，

EICE=10米，

而3C=CE+BE=10+20=30（米），

回川50,30）；

0A（O,2O）,

4（0,20）,3（50,30）坐标两点分别代入解析式中，得

,3

c=20b=-----

解得10,

25+50&+c=30

c=20

13

团y=----x29------x+20

10010

131

即丁=——x2——％+20=——（％—15）9+17.75

10010100v7

即抛物线的顶点坐标为（15,17.75）；

过点M作“轴于F，交DE于G,

团坡度为1:5,DF=15,

0GF=|xl5=3（米），

IWG=MF—Gr=17.75—3=14.75（米），

答：在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为14.75米.

【点睛】本题考查二次函数在实际生活中应用、坡度问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.

【变式训练】

1.（2023•浙江金华・统考三模）如图，垂直于地平线8。的旗杆AB上系一旗帜，在距旗杆底部3点6米的

。处有一坡比为1:若的斜坡OR.旗帜在点C时，其影子落在斜坡端点。，测得旗高3c=3m；继续拉动

旗帜到杆顶A时，其影子落在斜坡£＞尸上的E点，测得DE=8m.

(1)求坡角NEDG的度数

⑵求旗杆A3的高度.

【答案】⑴NRDG=30。

⑵AB=1+26

【分析】(1)过E作EHL3G于X,用坡度比求解;

(2)延长AE交3G于点用含30。的直角三角形的性质求出勾股定理求出D”，进而得到3〃的

长度，根据ABL8G和题意易得到利用相似三角形的性质求出,易得

公ABMSAEHM,最后用相似三角形的性质求解.

【详解】(1)解：过E作于如下图

由题意得£7八〃7=1:百,

0tanZFDG=—,

3

0ZFDG=3O°；

(2)解：延长AE交BG于点

RtAOEH中,

DE=8,

0EH=-DE=-x8=4,

22

DH=[DE。-EH。=^82-42=4G，

^\BH=BD+DH=6+4y/3.

回£7f_L3G,AB±BG,

回NCB£）=NEffi0=9O。.

团旗帜在点C时，其影子落在斜坡端点。，继续拉动旗帜到杆顶A时，其影子落在斜坡。尸上的E点，

由平移的性质可得NCDB=NEMH,

EHHM

团---=----,

CBBD

目口4HM

即彳=^,

36

^\HM=8.

国/CBD=/EHM=90。,ZAMB=ZEMH,

团AABMs^EHM,

EHHM

团---=----,

ABBM

48

gn----=---------------

AB6+4百+8'

4x（6+4—+8）「

^AB=—------------'-=”26

8

【点睛】本题主要考查了坡度比，相似三角形判定和性质，平移的性质，勾股定理，含30。的直角三角形

的性质，理解相关知识是解答关键.

2.（2023•浙江宁波•校考三模）耸立在宁波海曙区的天封塔始建于唐武则天"天册万岁"至"万岁登封"（695-

696）年间，因建塔年号始末"天""封"而得名（如图1）,在天封塔正前方有一斜坡C£）,长为13米，坡度

为1:2.4,高为DE.某中学数学兴趣小组的同学利用测角仪在斜坡底的点C处测得塔上观景点P的仰角为

64°.在斜坡顶的点。处测得塔上观景点尸的仰角为45。（其中点A,C,E在同一直线上，如图2）.

图1

⑴求斜坡的高DE;

⑵求塔上观景点尸距离地面的高度（精确到1米）.（参考数据：sin64°«0.9,tan64°»2）

【答案】⑴5米

⑵塔上观景点P距离地面的高度AP为34米

【分析】⑴由斜坡co的坡度为1:2.4,可得名=二7=j设DE=5x,则CE=12x,在Rtz\C£>E

CE2.412

中，由勾股定理得DE2+CE2=cr>2,即（5x）2+（12x）2=132,计算求出满足要求的解即可;

（2）如图，过点。作于点孔则四边形。£4F是矩形，AF=DE=5米，DF=AE,

Ap

PF=DF,^PF=DF=a,贝ljAC=a—12,AP=5+a,在RtAAPC中，tanZACP=——,即

AC

生q它2,解得a=29,进而可求AP的值.

a-12

【详解】（1）解：回斜坡8的坡度为1:2.4,

DE

i?i______1_—__5

CE2.412'

设。E=5x,则CE=12x,

在RtACDE中，由勾股定理得OE2+C”=C£>2,即（5x）2+（12x）2=132,

解得x=l,x=—l（舍去）,

回。£=5米,

答：斜坡的高DE为5米;

（2）解：如图，过点D作于点尸，则四边形。E4R是矩形,

团NPQ尸=45。，

国PF=DF,

^PF=DF=a,贝！jAC=a—12,AP=5+a,

在Rt/XAPC中，tanZACP=——,即上一n2,解得a=29,

ACa-12

EIAP=34（米），

答：塔上观景点P距离地面的高度AP为34米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等角对等边，勾股定理.解题的关键在于

明确线段之间的数量关系.

【题型三实物抽象出几何图形问题】

例题：（2023•浙江舟山・统考模拟预测）倡导"低碳环保"让"绿色出行”成为一种生活常态.小海买了一辆自

行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为26cm,图2是该自行车的车架示意

图，立管AB=24cm,上管AC=32cm,且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A、B、E在同一条直

线上，且—ABD=75。.

⑴求下管BC的长；

（2）若后下叉与地面平行，座管AE伸长至IJ13cm,求座垫E离地面的距离.（结果精确到1cm参考数据

sin75°~0.97,cos75°®0.26,tan75°~3.73)

【答案】⑴下管2C长40cm;

⑵座垫E离地面的距离是62cm.

【分析】⑴在RfACB中利用勾股定理求得BC即可.

(2)在过后作叱，筋，在及一EE4中，利用三角函数求跖=AEsin75。，即可得到答案.

【详解】(1)解：在RjACB中，AB=24cm,AC=32cm,

^BC=V242+322=40cm

团BC=40cm,

答:下管3c长40cm.

(2)解：过点E作EFLDB,垂足为尸，

图2

回3E=AB+AE=24+13=37(cm),

0EF=BEsin75°=37sin75°=36cm

036+26=62(cm),

答：座垫E离地面的距离是62cm.

【点睛】本题考查勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算.

【变式训练】

1.(2023・浙江绍兴•统考中考真题)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱。4垂直地面。8,支架

CO与Q4交于点A,支架CGLCD交Q4于点G,支架DE平行地面。8,篮筐政与支架DE在同一直线

⑴求NG4c的度数.

⑵某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在髡子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上

篮网吗？请通过计算说明理由.(参考数据：sin32°。0.53,cos32。。0.85,tan32°。0.62)

【答案】⑴58。

(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析

【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；

(2)延长。LED交于点根据题意得出ZADM=32。，解RtZvUW,求得AAf,根据

OM=OA+AM与3比较即可求解.

【详解】⑴解：0CG±cr),

0ZACG=90°,

EZAGC=32°,

回NG4c=90°—32°=58°.

(2)该运动员能挂上篮网，理由如下.

如图，延长。4即交于点

^\OAYOB,DE//OB,

回"MA=90°,

又回ADAM=Z.GAC=58°,

^\ZADM=32°,

在RtAADM中，AM=?Wsin32。®0.8x0.53=0.424,

^OM=OA+AM=2.5+0.424=2.924<3,

回该运动员能挂上篮网.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题

的关键.

2.(2023•浙江绍兴•统考三模)图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力.图

2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图，已知AC,3。互相平分于点。，AC=BD=26cm,若

ZA(9B=60°,ZDCE=3T.

⑴求CO的长.

⑵求点D到底架CE的高。尸(结果精确到0.1cm,参考数据：sin37°®0.60,cos37°®0.80,

tan37°«0.75).

【答案】(l)13cm

⑵7.8cm

【分析】(1)根据题意得出。4=OS=OC=OD=13cm,由NCOD=NAOB=60。，证明，AOB与

均是正三角形，即可得出答案；

(2)在RtaCDF中，利用正弦定义求解即可.

【详解】(1)解：AC=BD=26cm,AC,8。互相平分于点。，

OA=OB=OC=OD=13cm,

ZCOD=ZAOB=60°,

二AOB与均是正三角形，

CD=13cm.

DF

(2)解：在RtZkCD尸中，sinZDCF=—,

即OF=sinZDCF=13xsin37°它13x0.6=7.8(cm),

答：点£＞到底架CE的高为7.8cm.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断和性质，解直角三角形，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握

三角函数的定义，准确计算.

3.(2023,浙江宁波•校考二模)如图1是一种可折叠台灯，其主体部分的示意图如图2,由固定灯座

(RtAABC)和可转动的光源(BD)组成，其中BD//AC,经测量，灯座高度(AB)为

30cm,光源(BD)为24cm,ZABC=8°.

图1图2图3

⑴求台灯灯座的宽度AC的长；

（2）此种台灯配置的是合盖关灯，当光源3。绕点8旋转至光源与灯座（BC）夹角不超过30。时，台灯自动

关闭电源.求台灯自动关闭电源时，台灯光源末端。，距桌面的最大高度.（结果精确到0.参考数

据；sin8°»0.139,cos8°»0.990,tan8°«0.141,sin38°®0.616,cos38°«0.781,tan38°20.788）

【答案】⑴台灯灯座的宽度AC的长约为4.3cm；

⑵台灯自动关闭电源时，台灯光源末端M距桌面的最大高度约为11.3cm.

【分析】（1）在Rt^ABC中，利用正切函数的定义即可求解；

（2）过点。叫乍DFLAB于点片在RtAD'B/中，利用余弦函数的定义求得的的长，据此求解即可.

【详解】（1）解：在.ABC中，ABJ.AC,即/3AC=90,AB=30cm,ZBAC=8°,

AC

0tan80=——«0.141,

AB

团ACe30x0.141e4.3（cm）,

答：台灯灯座的宽度AC的长约为4.3cm；

（2）解：过点。，作。尸，AB于点凡

由题意得/DBF=/DBE+ZABC=38°,

在RtAD'5/中，BD=24cm,

BF

0cos38°=——«0.781,

BDf

024x0.781«18.7,

0AF=AB-B^=30-18.7=11.3（cm）,

答：台灯自动关闭电源时，台灯光源末端。，距桌面的最大高度约为11.3cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关

键.

4.（2023•浙江宁波・统考一模）读书架也称临帖架、书托架，可帮助我们解放双手和保护眼睛，非常适合

书法人群和学生使用.图1是实木读书架实物图，图2是其侧面示意图，其工作原理是通过调节点。在CE

上的位置，来改变的倾斜角度.已知AB=30cm,AD=20cm,当点。调节到图2位置时，测得

NABE=65°,ZCAD=50°,NDEB=30°.

⑴求点A到班;的距离.

(2)求的长.(参考数据：sin65°«0.91,cos65°~0.42,tan65°~2.14)

【答案】(l)27.3(cm)

(2)18.2(cm)

【分析】（1）如图，过点A作于点尸，解即可求解；

（2）延长交3E于点G,过点。作DHLBE于点根据已知得出/4BG=NAG3,进而得出

AG=AB=30cm,在RtDHG中,求得DH,在RtDHE中,根据含30度角的直角三角形的性质，即可

求解.

【详解】（1）解：如图，过点A作AF_L3E于点尸.

在RtAM中，ZABF=65°,

AF=AB-sinZABF®30x0.91=27.3(cm).

A

BFHGE

(2)延长AD交班于点G,过点。作。石于点H.

ZABG=65°,ZCAD=50°,

NAG5=180。—NABG—NOW=65。.

「.ZABG=ZAGB.

AG=AB=30cm.

DG=AG-AD=30-20=10(cm).

在Rt_D"G中，DH=DG-sinZDGH«10x0.91=9.l(cm).

在RtDHE中,ZDEB=30°

/.DE=2DH=2x9.1=18.2(cm).

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键.

5.(2023•浙江宁波•统考一模)如图①是一把折叠躺椅，其示意图如图②所示，其中DE平行地面，人们

可通过调整/7DE和/DEG的大小来满足不同需求，经测量两支脚AB=AC=50cm,支点。在AC上且

AD=10cm,椅背。尸=80cm,躺椅打开时两支脚的夹角N3AC=80。.

图①图②

⑴求躺椅打开时两支脚端点8、C之间的距离；

⑵躺椅打开时，调整椅背使NEDP=14O。，求此时椅背的最高点/到地面的距离.(参考数据:

sin40°«0.64,cos40°«0.77,tan40°«0.84)

【答案】⑴64cm

(2)82cm

【分析】(1)如图，过点A作加交BC于点根据等腰三角形三线合一性质和锐角三角函数即可

求解；

(2)过点。作DPL3C交BC于点P,过点尸作交即延长线于点N,在Rt.DPC和Rt44VF

利用锐角三角函数求出DP和FN即可得出答案.

【详解】(1)解：如图，过点A作M，8C交BC于点M,

0ZAMC=9O°,

回AB=AC=50,ZBAC=80°,

0ZAMC=-ZBAC=-x8O°=4O°,BC=2MC,

22

[?]MC=ACxsin40°«50x0.64=32,

团BC=2MCx64(cm),

回躺椅打开时两支脚端点5、C之间的距离为64cm.

(2)过点。作DPL5C交5C于点P,过点尸作交互)延长线于点N,

^\DP//AM,/DPC=90。,

团NCDP=NC4M=40。，

团AD=10,

团CD=AC—4)=50—10=40,

团DP=CDxcos40°x40x0.77=30.8,

0Z)F=8O,NED尸=140。，FN-LED

团Z7V=90。，ZFDN=1800-ZEDF=40°,

团7W=。/xsin40Op80x0.64=51.2,

0DP+/W«30.8+51.2=82(cm),

团此时椅背的最高点方到地面的距离为82cm.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数，平行线的判定和性质.通过

作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

6.(2023•浙江宁波•统考一模)桑梯一一登以探桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具.图1是明

朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知4?=AC=1.6米，

AD=1.2米，设N&4c=c,为保证安全，a的调整范围是30。＜戊490。.

⑴当夕=60。时，若人站在AD的中点E处，求此人离地面(BC)的高度.

⑵在安全使用范围下，求桑梯顶端。到地面2C的距离范围.(参考数据：sin75°«0.97,cos75°«0.26,

tan750-3.73,小\.73,虎。1.41,精确到01米）

【答案】⑴此人离地面的高度约1.9m

⑵。与地面的距离范围为2.0mWDMW2.7m

【分析】(1)过E作EH工BC,由题意易得/C=60。，然后问题可求解；

(2)过点。作然后分当1=30。时和当(/=90。时，进而分类求解即可.

【详解】(1)解:过E作EHJ.BC,

回cr=60°,AB=AC,

0ZC=6O°,

团点E为AD的中点，AZ)=1.2米，

回AE=0.6m,

团£C=2.2m,

EH-x/3

在RtAE"C中，sin60°=—-----=—，