寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题（原卷版）

专题19寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题（原卷版）

第一部分其用勤析+针对别殊

类型一A型

ZDCE3

典例1（2021•徐州）如图,在△/8C中,点°、£分别在边胡、8c上,且而=布=5,与四边

针对训练

AD2

1.（2022•凉山州）如图，在△45。中，点、D、E分别在边45、4C上，若DE〃BC,—=DE=6cm,

UDD

则BC的长为（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

类型2X型

典例2（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳（两条尺长/C和AD相等）

ACBD_

可测量零件的内孔直径/民如果加=］方=3,且量得CD=4c〃z,则零件的厚度x为（）

A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm

针对训练

1.（2022秋•保定期末）如图，已知5。是△48。的角平分线，£是5。延长线上的一点，S.AE=AB.

DC1

(1)求证：AADEs4CDB.(2)若45=4,=求5C的长.

类型3“斜交线”型（斜A型）

典例3如图，RtZUBC中，NC=90°,4B=14,AC=7,。是2C上一点，皮）=8,DELAB,垂足为

E.

（1）求证：LDEBsAACB；（2）求线段DE的长.

针对训练

1.（2022秋•射洪市期中）如图，在△NBC中，AB=6cm,BC=12cm,动点P从点/开始沿48边运动，

速度为l"i/s；动点。同时从点8开始沿8c边运动，速度为3c加/s的速度.当P、。运动时，△

48C与△Q3P相似.

类型4“一线三等角”型（K型相似）

典例4（2022•兴化市模拟）在等边△48C中，尸为上一点，。为/C上一点，且//PD=60°,BP=

4,CD=2,则△/3C的边长为

典例5(2022秋•黄浦区期末)已知，如图1,在四边形48c。中，NA4c=N4DC=90°,CD=4,cosZ

4

ACD^~.

备用图

(1)当3c〃/。时(如图2),求48的长;

(2)联结3D,交边NC于点£,

①设CE=x,AB^y,求＞关于x的函数解析式并写出定义域;

②当△3DC是等腰三角形时，求的长.

针对训练

1.如图，在等边△48C中，点尸是3c上一点，点。是NC上一点，ZAPD^60°.

2

(1)若BP=l,CD=~,求△48C的边长；

(2)若N3=3,BP=x,CD=y,求〉与x之间的函数关系，并求y的最大值.

类型5“母子”型

典例6（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形45CD中，过点。作对角线NC的垂线，垂足为E,过点£作

的垂线，交边于点凡如果N8=3,BC=5,那么。尸的长是.

针对训练

I.（2017•泰安模拟）如图所示，在△48C中，。是8c的中点，DELBC交AC于点、E,已知/。=/氏连

接交4D于点尸，下列结论：①BE=CE；（2）ZCAD=ZABE；③SDBF=3S&DEF；@AZ）EF^A

DAE,其中正确的有（）

类型6“手拉手”型

典例7（2021•南通）如图，正方形/BCD中，点E在边/。上（不与端点力,。重合），点/关于直线2E

的对称点为点R连接CR设NABE=cc.

（1）求N3CF的大小（用含a的式子表示）;

（2）过点C作CGL直线/R垂足为G,连接。G.判断。6与Cr的位置关系，并说明理由；

（3）将绕点8顺时针旋转90°得到△C8”,点£的对应点为点“，连接8尸，HF.当为

等腰三角形时，求sina的值.

备用图

针对训练

1.（2022秋•靖江市期末）如图，△48C中，ZACB=9Q°，AC=BC,点、D、£在边上，C#=BE*

DE.

（1）求证：NDCE=45°；

（2）当NC=3,时，求。£的长.

第二部分专题班优别练

1.（2022秋•海港区期末）如图，在口4BCD中，E是A4延长线上一点，CE分别与AD交于点G,F.下

EGAGEFBFFCBFEAAG„

列结论：①彳=7万：=（3）—=--,@—=—；（5）CF2=GF-EF,其中正确的个数是（）

A.5B.4C.3D.2

2.（2022•环翠区一模）如图，把两个含30°角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点N是45边的

CM

中点，连接ZW交5C于点则内的值为（

Cz）

1112

C—D.

2525

3.（2021秋•藤县期末）如图，点4,B,。在同一直线上，NA=/DBE=NC,则下列结论：@ZD=Z

^^ADBD

CBE,②△ABDs'EB,（3）—=—,其中正确的结论有（）个.

£5CDC.

A.0B.1C.2D.3

4.（2022•两江新区模拟）如图，在矩形4BCZ）中，点E是对角线上一点，连接并延长交CQ于点R

过点£作£6_14£交5。于点G,若45=8,40=6,BG=2,则/£=()

7V17

0工D,

5.（2021秋•南京期末）如图，在矩形48cZ）中，E,F,G分别在45,BC,CD上，DELEF,EF1FG,

1314

A.4B.-C.-D.5

6.（2019•阜新）如图，在中，ZC=90°,点。是/C边上的一点，OE垂直平分48,垂足为点

E.若/C=8,BC=6,则线段DE的长度为.

7.（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形

纸片,如果所得四边形纸片/BCD如图5所示，其中N/=/C=90°,48=7厘米，2C=9厘米，CD=

2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是平方厘米.

8.（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△NBC中，AB=AC=3向,BC=6,点尸在边“C上运动（可与点力,

C重合），将线段AP绕点尸逆时针旋转120°,得到线段。P,连接3。，CD,则CD长的最小值

为

9.（2022秋•静安区期末）在等腰直角△48C中，ZC=90°,/C=4,点。为射线C2上一动点（点。不

与点3、C重合），以4D为腰且在4D的右侧作等腰直角△/£）尸，NAD尸=90°