微专题1 函数的图象与性质

板块一函数与导数微专题1函数的图象与性质高考定位1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性和单调性；2.利用函数的性质推断函数的图象；3.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强．【

真题体验

】1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是√法二易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B，y＝cosx＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D，y＝sinx＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数，故选B.2.(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8，2.8]的图象大致为

√由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，√因为函数f(x)在R上单调递增，A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞)且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B.√因为f(1)＝1，在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1).②由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由①式得f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，所以f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，

精准强化练热点一函数的概念与表示热点二函数的性质热点三函数的图象热点突破热点一函数的概念与表示1.复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则y＝f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域. (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.例1√因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5].√由a[f(a)－f(－a)]>0，若a>0，则f(a)－f(－a)>0，即a＋1－[－2×(－a)－1]>0，解得a<2，所以0<a<2.若a<0，则f(a)－f(－a)<0，即－2a－1－(－a＋1)<0，解得a>－2，所以－2<a<0，综上，a的取值范围为(－2，0)∪(0，2).1.解决抽象函数定义域问题时，谨记f(g(x))中g(x)的值域与f(x)中x的范围相同.2.对于多段函数的解不等式(求值)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.规律方法训练1√√热点二函数的性质1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.3.函数图象的对称中心或对称轴(多选)(2024·河南名校大联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则A.f[f(1)]<f[f(2)] B.f[g(1)]<f[g(2)]C.g[f(1)]<g[f(2)] D.g[g(1)]<g[g(2)]例2√因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，即g(x)在R上单调递减，所以f(1)<f(2)，但不能判定两个的正负，所以A不正确；而g(2)<g(1)<g(0)＝0，所以f[g(1)]<f[g(2)]，g[f(1)]>g[f(2)]，g[g(1)]<g[g(2)]，故B，D正确.综上所述，选BD.考向1奇偶性与单调性√例3√因为f(x－1)为奇函数，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f′(x－1)＝f′(－x－1)，即g(x－1)＝g(－x－1)，所以g(x)的图象关于直线x＝－1对称.故A正确；考向2奇偶性、周期性与对称性√√因为f(x－1)为奇函数，则其图象关于(0，0)对称，向左平移一个单位后得到f(x)的图象，则f(x)的图象关于(－1，0)对称，故B错误；因为g(2x＋1)为奇函数，则g(2x＋1)＝－g(－2x＋1)，则有g(x＋1)＝－g(－x＋1)，所以g(x)＝－g(－x＋2)，①又g(x－1)＝g(－x－1)，则g(x)＝g(－x－2)，②由①②得g(－x－2)＝－g(－x＋2)，则g(x－2)＝－g(x＋2)，则g(x)＝－g(x＋4)，g(x＋4)＝－g(x＋8)，则g(x)＝g(x＋8)，所以8是函数g(x)的一个周期，g(x)是周期函数，故C正确；规律方法(1)(2024·乌鲁木齐质检)偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(2x－3)>0的解集为A.(－2，－1) B.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)训练2√因为f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以结合对称性可得f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(－1)＝f(1)＝0，若f(2x－3)>0，则2x－3>1或2x－3<－1，故x>2或x<1，故选D.√由题意f(x＋1)为奇函数得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，√√故f(x)的图象关于(1，0)中心对称，故A正确；由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的函数，故B错误；

由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，则f(1)＝－f(1)，因为f(1)＝0，故f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；x∈[0，1)时，f(x)＝x2,因为f(x)的周期为4，对∀x∈R，都有f(x)＝f(－x)，热点三函数的图象1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换.2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性、解不等式、求解函数的零点等问题.例4√sgn(x)定义域为R，且为奇函数，故sgn(－x)＝－sgn(x)，√√设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0<t<4，则直线y＝t与函数y＝f(x)图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4，

对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于B，由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0<x3<1<x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确；由图象可知log2x4∈(0，4)，则1<x4<16，故C错误；1.确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.2.函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.规律方法(1)(2024·台州模拟)函数y＝f(x)的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为

训练3√(－∞，－3)∪(－3，0)(2)(2024·西安质检)已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为_______________________.依题意知，f(0)＝0，当x∈(0，3)∪(3，＋∞)时，f(－x)>2f(x)，即－f(x)>2f(x)，得f(x)<0，由f(3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，由此画出f(x)的可能图象如图所示，

由图可知，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(－3，0).【精准强化练】√函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，√若m≥1，则f(m)＝3m＋1－1＝－2，所以3m＋1＝－1，无解；若m<1，则f(m)＝－log3(m＋5)－2＝－2，所以log3(m＋5)＝0，所以m＝－4，所以f(m＋6)＝f(2)＝32＋1－1＝26，故选C.√√√5.(2024·济南质检)若实数m满足log2(－m)<m＋1，则m的取值范围为A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－1，0)log2(－m)<m＋1⇔log2(－m)－m－1<0，因函数y＝log2(－x)，y＝－x－1在(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)＝log2(－x)－x－1在(－∞，0)上单调递减，又f(－1)＝0，则f(m)<0⇔f(m)<f(－1)⇔－1<m<0.√7.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是 A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000√因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：

3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，显然f(16)>1000，所以f(20)>1000，故选B.√因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，则f(1＋x)＝f(1－x)，故f(2－x)＝f(1－(x－1))＝f(x－1＋1)＝f(x)，f(2＋x)＝f(1＋(x＋1))＝f(1－(x＋1))＝f(－x).又因为∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)，即函数f(x)为偶函数.9.(2024·长沙模拟)下列函数中是奇函数的是√对于A，y＝f(x)＝ex－e－x的定义域为R，关于原点对称，√√且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故A满足题意；对于B，若y＝f(x)＝x3－x2，则f(1)＝0≠f(－1)＝－2，故B不满足题意；√对于A，因为f(x)－x是偶函数，所以f(x)－x＝f(－x)＋x，√则f(1－x)－(1－x)＝f(x－1)＋1－x，f(1＋x)－(1＋x)＝f(－1－x)＋1＋x，所以f(1－x)－(1－x)≠f(1＋x)－(1＋x)，故A错误；对于B，因为f(x)－x为偶函数，所以f(x)－x＝f(－x)＋x，即f(x)－f(－x)＝2x，对于C，因为g(1－2x)是偶函数，所以g(1－2x)＝g(1＋2x)，即g(1－x)＝g(1＋x)